Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais Múltiplas em Coordenadas Polares, Cilíndricas e Esféricas

Questão 1 Calcule a integral R xy dA onde R é a região do primeiro quadrante compreendida entre os círculos x² y² 4 e x² y² 25 Questão 2 Calcule a integral R 3x dA sobre a região R rθ 1 r 2 0 θ π Questão 3 Calcule a integra tripla E x² z² dV onde E é a região limitada pelo parabolóide y x² z² ver Figura 1 e o plano y 4 Questão 4 Enconte o volume do sólido ver Figura 3 que está abaixo do paraboloide z 1 x² y² e acima do círculo x² y² 1 no plano z 0 Figura 2 Gráfico do volume acima descrito Questão 5 Seja E a região limitada abaixo pelo cone z x² y² e acima pelo paraboloide z 2 x² y² Escreva a integral tripla por coordenadas cilíndricas para calcular o volume desta região Observe a figura 3 e calcule o volume Figura 3 Região limitada abaixo pelo cone e acima pelo hemisfério Questão 6 Calcule utilizando coordenadas esféricas E z dV onde E está entre as esferas x² y² z² 1 e x² y² z² 4 no primeiro octante Questão 1 Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica 0 π 2 2 5 xyr drdθ 0 π 2 2 5 r cosθ r sinθrdrdθ 1 2 0 π 2 2 5 r 32sinθcosθdrdθ 1 2 0 π 2 2 5 r 3sin2θdrdθ 1 2 0 π 2 sin2θ dθ 2 5 r 3 dr 1 2 1 2 cos2θ0 π 2 r 4 4 2 5 1 2 1 2 cos π 1 2 cos 0 5 4 4 2 4 4 1 8 1 2 1 262516 609 8 2𝜋 223 42𝜋3 Questão 2 Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica 0 π 1 2 3x rdrdθ 3 0 π 1 2 r cosθ rdrdθ 3 0 π cosθ dθ 1 2 r 2 dr 3 sinθ0 π 1 2 r 2 dr 3 sinπsin0 1 2 r 2dr 3 00 1 2 r 2 dr 0 Questão 3 Temos a integral x 2 z 2dxdydz Passando para coordenadas polares temos xr cosθ zr sinθ dxd zrdrdθ x 2 z 2r 2 Logo a integral fica x 2 z 2dxdydzr 2r dydrdθ 0 2π 0 2 r2 4 r 2d yd rdθ 0 2π 0 2 r 2 r2 4 dydrdθ 0 2π 0 2 r 2 4r 2 drdθ 0 2π 0 2 4r 2r 4 drdθ 0 2π 4 3 r 3r 5 5 0 2 dθ 4 3 2 32 5 5 0 2 π dθ 2π 4 3 832 5 16 π 4 34 5 64 π 1 31 5 64 π 2 15 128 15 π Questão 4 Temos a integral 1x 2 y 20 dxdy 1x 2y 2dxdy Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica 0 2π 0 1 1r 2rdrdθ 0 2π 0 1 rr 3 drdθ 2π 0 1 rr 3 dr 2π r 2 2 r 4 4 0 1 2π 1 21 4 π 2 Questão 5 Temos a integral x 2 y 22x 2y 2dxdy x 2 y 22x 2 y 2dxdy Passando para coordenadas polares temos xr cosθ yrsinθ dxdyrdrdθ x 2 y 2r 2 Logo a integral fica 0 2π 0 2 r 22r 2rdrdθ 0 2π 0 2 r 22rr 3drdθ 2π 0 2 r 22rr 3dr 2π r 3 3 r 2 r 4 4 0 2 2π 22 3 2 4 4 Questão 6 Temos a integral z dxdydz Usando coordenadas esféricas temos xr sinψ cosθ yrsinψ sinθ zr cosψ dxdydzr 2sinψ drdψdθ x 2 y 2z 2r 2 Logo a integral fica z dxdydzr cosψ r 2sin ψdrdψdθ 0 2π 0 π 2 1 2 r 3sinψ cosψ drdψdθ 1 2 0 2π 0 π 2 sin2ψ 1 2 r 3drdψdθ 1 2 0 π 2 0 π 2 sin2ψ r 4 4 1 2 dψdθ π 4 0 π 2 sin2ψ 2 4 4 1 4dψ π 4 0 π 2 sin2ψ 16 4 1 4dψ π 15 16 0 π 2 sin2ψ dψ π 15 16 1 2 cos2ψ0 π 2 π 15 16 1 2 cos π1 2 cos0 π 15 16 1 2 1 2 15 16 π Se esta solução ajudou você favor deixar um comentário no meu perfil para outros alunos verem que se trata de um Guru comprometido Obrigado Questão 1 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 𝑥𝑦𝑟𝑑𝑟 5 2 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑟 cos 𝜃𝑟 sin 𝜃𝑟𝑑𝑟 5 2 𝑑𝜃 𝜋 2 0 1 2 𝑟32 sin𝜃 cos 𝜃𝑑𝑟 5 2 𝑑𝜃 𝜋 2 0 1 2 𝑟3 sin2𝜃𝑑𝑟 5 2 𝑑𝜃 𝜋 2 0 1 2 sin 2𝜃𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝑟3𝑑𝑟 5 2 1 2 1 2 cos 2𝜃 0 𝜋 2 𝑟4 4 2 5 1 2 1 2 cos 𝜋 1 2 cos 0 54 4 24 4 1 8 1 2 1 2 625 16 𝟔𝟎𝟗 𝟖 Questão 2 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 3𝑥𝑟𝑑𝑟 2 1 𝑑𝜃 𝜋 0 3 𝑟 cos 𝜃𝑟𝑑𝑟 2 1 𝑑𝜃 𝜋 0 3 cos 𝜃𝑑𝜃 𝜋 0 𝑟2𝑑𝑟 2 1 3sin 𝜃0 𝜋 𝑟2𝑑𝑟 2 1 3sin 𝜋 sin 0 𝑟2𝑑𝑟 2 1 30 0 𝑟2𝑑𝑟 2 1 𝟎 Questão 3 Temos a integral 𝑥2 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑧 𝑟 sin 𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑧 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑧2 𝑟2 Logo a integral fica 𝑥2 𝑧2𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑟2𝑟𝑑𝑦𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑟2𝑑𝑦 4 𝑟2 𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟2 𝑑𝑦 4 𝑟2 𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟24 𝑟2𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 4𝑟2 𝑟4𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 4 3𝑟3 𝑟5 5 0 2 𝑑𝜃 2𝜋 0 4 3 23 25 5 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 4 3 8 32 5 16𝜋 4 3 4 5 64𝜋 1 3 1 5 64𝜋 2 15 𝟏𝟐𝟖 𝟏𝟓 𝝅 Questão 4 Temos a integral 1 𝑥2 𝑦2 0𝑑𝑥𝑑𝑦 1 𝑥2 𝑦2𝑑𝑥𝑑𝑦 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 1 𝑟2𝑟𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟 𝑟3𝑑𝑟 1 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 𝑟 𝑟3𝑑𝑟 1 0 2𝜋 𝑟2 2 𝑟4 4 0 1 2𝜋 1 2 1 4 𝝅 𝟐 Questão 5 Temos a integral 𝑥2 𝑦2 2 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑥2 𝑦2 2 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑥𝑑𝑦 Passando para coordenadas polares temos 𝑥 𝑟 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜃 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑟2 Logo a integral fica 𝑟2 2 𝑟2 𝑟𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 𝑟2 2𝑟 𝑟3𝑑𝑟 2 0 𝑑𝜃 2𝜋 0 2𝜋 𝑟2 2𝑟 𝑟3𝑑𝑟 2 0 2𝜋 𝑟3 3 𝑟2 𝑟4 4 0 2 2𝜋 22 3 2 4 4 2𝜋 22 3 𝟒𝟐𝝅 𝟑 Questão 6 Temos a integral 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 Usando coordenadas esféricas temos 𝑥 𝑟 sin 𝜓 cos 𝜃 𝑦 𝑟 sin𝜓 sin𝜃 𝑧 𝑟 cos 𝜓 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑟2 Logo a integral fica 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝑟 cos 𝜓𝑟2 sin 𝜓 𝑑𝑟𝑑𝜓𝑑𝜃 𝑟3 sin 𝜓 cos 𝜓 𝑑𝑟 2 1 𝑑𝜓 𝜋 2 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 1 2 sin 2𝜓 𝑟3𝑑𝑟 2 1 𝑑𝜓 𝜋 2 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 1 2 sin 2𝜓 𝑟4 4 1 2 𝑑𝜓 𝜋 2 0 𝑑𝜃 𝜋 2 0 𝜋 4 sin2𝜓 24 4 1 4 𝑑𝜓 𝜋 2 0 𝜋 4 sin2𝜓 16 4 1 4 𝑑𝜓 𝜋 2 0 𝜋15 16 sin 2𝜓 𝑑𝜓 𝜋 2 0 𝜋15 16 1 2 cos 2𝜓 0 𝜋 2 𝜋15 16 1 2 cos 𝜋 1 2 cos 0 𝜋15 16 1 2 1 2 𝟏𝟓 𝟏𝟔 𝝅 Se esta solução ajudou você favor deixar um comentário no meu perfil para outros alunos verem que se trata de um Guru comprometido Obrigado