Séries de Funções - Critérios de Convergência e Exemplos

1 Série de Funções Uma série de funções é uma sérieAn em que cada fr n 0 é uma funçãoNfizemos que An converge em B a função n 0 S B I se para cada e B Stall Fute n 0 o que significa que para cada de B Stal lim Fabe n 0k0 Exemplo A Série a converge em 1 1 à função n 0 Stall 1 a1 1 2 0 A série sin é uma série geométrica que converge para n 0 1 quando or 1 1 Gl Critério M de Weierstrass Seja fo uma série de funções R0 e suponhamos que escista uma série numérica Metal R0 que para todo se B e para todo natural a frabe I Mr Nestas condições se a Série Mr por convergente então k 0 a série fo convergirá uniformemente em B à função R0 stall Fabe R0 v Exemplo Verifique que a sériesenka é uniformemente convergente em R Para todo a e e para todo natural 21 senka 1 1 a 14 2 RY R4 A série Eu é convergente Segue do Critério M de Weiers R 1 ass br que a série dada converge uniformemente emRa v função Sal Sental a 14 R 1 Exemplo Mostre que a função ske Senka é continua a 14 emR R 1 Para todo R stall Lim Snar em que Snal Senka N 0 a 14 R 1 Como a convergência é uniforme em e as funções Sna são contínuas emR segue do Corema Aula 2 que sal é continua emR Exemplo a Verifique que a sériet converge uniforme memente em R a função v sla k y2b 12 6 Justifique a igualdade S sal dos aretoao a Para todo e para todo natural 1 1 1 22 R2 2 A série é convergente segue do critério de Weierstrass Fr R 1 que a série a converge uniformemente em e a funcoe Stall T te N b Su ar Star lim Snr nets R 1 Como a convergência é uniforme em segue que a convergência é também uniforme no intervalo 0 13 Segue do Corema Aula 2 que Sa das Lim 21 dos limo da P 1 neo p in im do lim aretg argo Torema Seja S B R dada por v Skal Fatal R0 v Se a série de funções fo convergir uniformemente a s R0 em B e se cada fa for continua emalo e B então s será contínua em No Demonstração sal lim subes em que Suba Fala 2 8 R0 Como a convergência é uniforme em B e como cada Sn é contínua emaco segu do CoremaAulaz que é contínua emalo Torema Seja s s ce a b dada por v Skal fabe R0 v Se cada fr for continua em a b e se a serie f R convergir uniformemente a s em a b então R0 stadasfakl da bemplo Seja x Justifique a igualdade fx das Para todo n11 En a é continua em at0 1 2 42 2 n n 2 1 1 al 1 1 242 22 242 22 Como é convergente segue do critério M de Weierstrass 42 n 1 v que a série a 1 sex converge uniformemente em 50 23 Segue do Corema anterior que mse 2 das fa dos limfa da limo 2u R limc ch Corema Seja s I R I intervalo dada por v Skal fabe R0 v Se cada fá for continua em I e se a série fo comergir unifor mementeem I então R0 I v v faa Fabe R0 R0 Exemplo Seja s sa a função dada por stal Senkol k 1 3 a Qual o domínio de s b Justifique para todo a real v Sx wskal k 1 2 a Observemos que senpa para cadas e todo R Como a série é uma psérie convergente pois p 1 entoe segue do Teste da comparação que a Série sal Senka con verge absolutamente para todo as R 1 3 O domínio de S Sa é IR v I v b senka coska R 1 3 R 1 22 Como para todo a real e 1 cara então segue do Q2 Q v Critério M de Weierstrass que a série cosko converge unifor memente emR Pelo Corema anterior R 1 v I v 1 v senka Senka coska R 1 3 R 1 3 R 1 22