Integrais Múltiplas

Nos exercícios 1 e 2 calcule a soma de Riemann da Integral Dupla R fxydA Onde R 14 13 é o retângulo e a grade e as duas escolhas de pontos de amostragem são mostradas na Figura a seguir 1 fxy 2x y para a integral usar a grade A e B 2 fxy x 2 y para a integral usar a grade A e B Calcule a Integral dupla N último dígito do código do aluno diferente de 0 3 R x sec²y dA R xy 0 x N 0 y π4 4 R xy²x²1 dA R xy 0 x 1 N y N Para a Função f e a região R fornecidas a expresse a integral dupla D fxydA como uma integral iterada b calcule a integral 5 fxy x y 6 fxy x 6 Do gráfico temos y6x yx² O ponto A é a intersecção das curvas a qual é obtida fazendo o seguinte y x² 6 x x² x 6 0 x₁₂ 1 1242 1 52 2 3 Logo o ponto A tem coordenada dada por x2 e y4 Daí segue que a região D é D xy R² 0 x 2 x² y 6x E a integral pedida é D fxy dA ₀² x²6x x dy dx Calculandoa temos D fxy dA ₀² x²6x x dy dx ₀² x y x²6x dx ₀² 6x x² x³ dx 6x²2 x³3 x⁴4 ₀² 12 83 4 8 83 163 D fxy dA 163 Digitalizado com CamScanner 3 Com N5 temos R x sec²y dA ₀⁵ ₀π4 x sec²y dy dx ₀⁵ x dx ₀π4 sec²y dy x²2 ₀⁵ tany ₀π4 252 tanπ4 tan0 252 10 252 R x sec²y dA 252 4 R xy²x²1 dA ₀¹ 55 xy²x²1 dy dx ₀¹ xx² 1 dx 55 y² dy u0u1 xu du2x 55 y² dy 12 lnu ₁2 y³3 ₅⁵ ln2 ln12 1253 1253 125 ln2 3 Aqui fizemos u x² 1 dudx 2x dx du2x u0 0² 1 1 u1 1² 1 2 Digitalizado com CamScanner Nos exercícios 1 e 2 calcule a soma de Riemann da Integral Dupla R fxy dA Onde R 1 4 1 3 é o retângulo e a grade e as duas escolhas de pontos de amostragem são mostradas na Figura a seguir 1 fxy 2x y para a integral usar a grade A e B 2 fxy x 2y para a integral usar a grade A e B Na grade A os pontos são os pontos médios dos quadrados que são X1 122 32 e Y1 122 32 X2 322 52 e Y2 122 32 X3 432 72 e Y3 122 32 X4 122 32 e Y4 322 52 X5 322 52 e Y5 322 52 X6 432 72 e Y6 322 52 Com isso temos que R fxy dA fxiyi ΔA com ΔA 1 Vamos descrever a área D Com efeito o ponto A é obtido fazendo a interseção das curvas que nos dá x x 2 x² x 2² x x² 4x 9 x² 5x 4 0 x 5 25 16 2 5 3 2 4 1 Logo o x do ponto A é 4 pois x1 não é solução para ambas as curvas Veja que o ponto é onde a reta inicia sendo o valor de B obtido pela reta y x 2 para y 0 Logo segue disso que y 0 0 x 2 x 2 Assim podemos descrever a região D como sendo a diferença dos conjuntos D1 xy ℝ² 0 x 4 e 0 y x D2 xy ℝ² 2 x 4 e 0 y x 2 Logo segue que a integral iterada é D fxy dA D1 fxy dA D2 fxy dA 04 0x xy dy dx 24 0x2 xy dy dx Calculando a integral temos D fxy dA D1 fxy dA D2 fxy dA 04 0x xy dy dx 24 0x2 xy dy dx 04 x y²2 ₀x dx 24 x y²2 ₀x2 dx 04 x²2 dx 24 x x2²2 dx 04 x²2 dx 24 x x² 2x 4²2 dx 12 x³3 04 x⁴4 2x³3 4x²2 24 12 643 64 1283 32 4 163 8 12 763 383 Portanto D fxy dA 383 f15 15 215 15 45 f25 15 225 15 65 f35 15 235 15 85 f15 15 215 15 45 f25 25 225 25 75 f35 25 235 25 95 45 65 85 45 75 95 410 g15 15 215 15 15 g25 15 225 15 05 g35 15 235 15 05 g15 15 215 15 15 g25 25 225 25 25 g35 25 235 25 15 15 05 05 15 25 15 70 f15 15 215 15 45 f2 1 22 1 5 f35 15 235 15 85 f2 3 22 3 7 f25 25 225 25 75 f4 3 24 3 11 g15 15 215 15 15 g2 1 22 1 0 g35 15 235 15 05 g2 3 22 3 4 g25 25 225 25 25 g4 3 24 3 2 45 5 85 7 75 11 435 15 0 05 4 25 2 95