Listas de Exercícios Resolvidos - Cálculo III - Teorema de Stokes e Gauss

SMA0355 Cálculo III Décima Lista 1 Aplicando o teorema de Stokes calcule as integrais abaixo a γyz dx zx dy xy dz onde γ é a circunferência x² y² z² a² x y z 0 b γyz dx zx dy xy dz onde γ é a elipse x² y² 1 x z 0 c γ y² dx z² dy x² dz onde γ é o triângulo de vértices a 0 0 0 a 0 e 0 0 a a 0 d S rot F n dS onde F 2yi ezj arctan xk e S é a parte do parabolóide z 4 x² y² acima do plano z 0 e n é a normal superior apontando para cima 2 Calcule S rot F n dS Quando achar conveniente use o teorema de Stokes a Fx y z x y z e S é a parte superior da esfera unitária centrada na origem b Fx y z 3z 4x 2y e S é a porção do parabolóide z 10 x² y² compreendida entre os planos z 1 e z 9 c Fx y z x⁴ xy z⁴ e S é o triângulo de vértices 2 0 0 0 2 0 e 0 0 2 d Fx y z zi xj yk e S é a parte do parabolóide z 1 x² y² com z 0 e Fx y z y²i xyj 2xzk e S é x² y² z² a² z 0 Respostas 1 a 0 b 4π c a³ d 8π 2 a 0 b 32π c 43 d π e 0 SMA0355 Calculo III Nona Lista 1 Usando o teorema de Gauss calcule o uxo dos campos abaixo atraves das respectivas abaixo A normal e a exterior quando a superfcie for fechada ou aponta para cima componente de k positiva quando a superfcie for um gra co de uma funcao de x y a Fx y z x2 y2 z2 e S e superfcie do cubo 0 a 0 a 0 a b Fx y z x y z e S e superfcie da piramide limitada pelos planos x y z a x 0 y 0 e z 0 c Fx y z x3 y3 z3 e S e a esfera x2 y2 z2 a2 d Fx y z x2 y2 z2 e S e o cone x2 a2 y2 a2 z2 b2 0 0 z b e Fx y z y sen xi y2zj x 3zk e S e a superfcie da regiao limitada pelos planos x 1 y 1 z 1 2 Use o Teorema de Gauss para calcular o uxo do campo Fx y z 2x 5y z que atravessa a superfcie S sabendose que S tem a forma de um balao in ado com volume de 250 cm3 e que sua abertura e a circunferencia x y 0 x2 y2 8 3 Calcule o uxo do campo Fx y z z cos y7 z3ex2 z sobre o paraboloide sem tampa z x2 y2 0 z 1 Respostas 1 a 3a4 b a32 c 12 5 πa5 d πa2b2 2 e 24 2 2000 3 π 2 SMA0355 Cálculo III Oitava Lista 1 Calcule a área do paraboloide hiperbólico z x² y²2 que fica dentro do cilindro x² y² 1 2 Calcule as seguintes integrais de superfície a S x² y² dS onde S é a esfera de centro na origem e raio a b S x² y² dS onde S é a superfície lateral do cone x²a² y²a² z²b² 0 0 z b c S 1 y² dS onde S é dada por z y²2 0 x 1 e 0 y 1 3 Calcule S fx y z dS onde a fx y z 1 e S é a porção do plano x y z 1 0 no primeiro octante b fx y z x² e S é a parte do plano z x interior ao cilindro x² y² 1 c fx y z x² e S é o hemisfério superior z a² x² y² d fx y z x y e S é a porção do plano 2x 3y z 6 situada no primeiro octante 4 Calcule o fluxo de F na direção normal escolha uma à superfície S isto é calcule Φ S F n dS nos seguintes casos a Fx y z x 1i 2y 1j zk e S é o triângulo de vértices 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 b Fx y z x²i y²j z²k e S é a parte do cone z² x² y² para z entre 1 e 2 c Fx y z xy i xz j yz k e S é a parte do cilindro y² 2 x x 0 cortado pelos cilindros y² z e y z³ 0 y 1 Respostas 1 23 π22 1 2 a 83 πa⁴ b 2πa² a² b²3 c 43 3 a 32 b 24 π c 2π3 a⁴ d 5 14 4 a 0 b 152 π c 13552184 Q1 Calcule a área do paraboloide hiperbólico z x2 y22 que fica dentro do cilindro x2 y2 1 Q2 Calcule as seguintes integrais da superfície A s x2 y2dS onde S é a esfera de centro na origem e raio α Para calcular a integral de superfície A Sx² y²dS onde S é a esfera de centro na origem e raio α podemos usar coordenadas esféricas Substituindo x αsinφcosθ y αsinφsinθ e z αcosφ temos A S α²sin²φcos²θ α²sin²φsin²θdS α² S sin²φdS α² ₀²π ₀π sin²φα²sinφdφ dθ 2πα⁴ ₀π sin³φdφ Essa integral pode ser resolvida usando a substituição u cosφ O resultado final é A 83 πα⁴ B s sqrtx2y2 dS onde S é a superfície lateral do cone x2α2 y2α2 z2b2 0 0 Z B Para calcular a integral de superfície B S x² y² dS onde S é a superfície lateral do cone x²α² y²α² z²b² 0 com 0 z b podemos usar coordenadas cilíndricas Substituindo x rcosθ y rsinθ e z z temos B S r dS A equação do cone pode ser reescrita como z bx²α² y²α² Substituindo as coordenadas cilíndricas temos z brα A derivada parcial de z em relação a r é zr bα A fórmula da área de superfície para uma função z fxy é A D 1 zx² zy² dA onde D é o domínio da projeção da superfície no plano xy Nesse caso D é o círculo de raio α Substituindo o valor da derivada parcial na fórmula da área de superfície temos B D r 1 bα² dA 1 bα² D r dA Podemos resolver essa integral usando coordenadas polares Substituindo x rcosθ e y rsinθ temos B 2π α² b² ₀α r² dr C s sqrt1y2 dS onde S é dada por Z y22 0x1 e 0 Y 1 Para calcular a integral de superfície C S 1 y² dS onde S é dada por z y²2 com 0 x 1 e 0 y 1 podemos usar a fórmula da área de superfície para uma função z fxy A D 1 zx² zy² dA onde D é o domínio da projeção da superfície no plano xy Nesse caso D é o quadrado unitário 0 x 1 e 0 y 1 Calculando as derivadas parciais de z em relação a x e y temos zx 0 e zy y Substituindo esses valores na fórmula da área de superfície temos C D 1 y² dA Essa integral pode ser resolvida diretamente O resultado final é C 43 Questão 3 Calcule s fxyz dS onde A fx y z 1 e S é a porção do plano x y z 1 0 no primeiro octante B fxyzx2 e S é a parte do plano Z x interior ao cilindro x2 y2 1 C fxyzx2 e S é o hemisfério superior Z sqrta2x2y2 D fx y z x y e S é a porção do plano 2x 3y z 6 situada no primeiro octante A integral de fx y z x y sobre a superfície S que é a porção do plano 2x 3y z 6 situada no primeiro octante pode ser escrita como S x ydS Para resolver essa integral podemos usar coordenadas paramétricas Seja x u e y v então z 6 2u 3v A normal ao plano é dada pelo vetor gradiente de 2x 3y z 6 0 que é 2 3 1 Portanto o vetor normal unitário é 1142 3 1 A integral pode ser reescrita como S x ydS R u v xyzuv dudv onde R é a projeção de S no plano xy O Jacobiano é dado por xyzuv 1 0 0 1 2 3 14 Substituindo na integral temos R u v14 dudv 14 R u vdudv A região R é o triângulo com vértices 0 0 3 0 e 0 2 Integrando primeiro em relação a u e depois em relação a v temos 14 02 03 32v u v dudv 14 02 u²2 uv03 32v dv 14 02 3 32v²2 v3 32v dv 14 02 94 3v 34 v² 3v 32 v² dv 14 02 94 94 v² 14 v³ dv 14 94v 94v³3 14v⁴4 0² 14 4 4 84 514 Questao 4 Calcule o fluxo de na direção normal escolha uma a superfície S isto é calcule Φ S F n dS nos seguintes casos A Fx y z x 1i 2y 1j z k e S e o triângulo de vértices 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 b Fx y z x2i y2j z2k e S e a parte do cone z2 x 2 y2 para z entre 1 e 2 cFx y z xyi xzj yzk e S e a parte do cilindro y2 2 x x 0 cortado pelos cilindros y2 z e y z3 0 y 1 Seja Fx y z xyi xsj yek e S a parte do cilindro y² 2 x x 0 cortado pelos cilindros y² x e y z³ 0 y 1 Então o fluxo de F através de S é dado por S F dS S xy xs ye dS Para calcular esse fluxo podemos dividir a superfície S em três partes S₁ a parte do cilindro y² 2 x S₂ a parte do cilindro y² x e S₃ a parte do cilindro y z³ Então temos S F dS S₁ F dS S₂ F dS S₃ F dS Para calcular cada um desses fluxos podemos usar o Teorema de Stokes Por exemplo para calcular S₁ F dS podemos considerar a curva C₁ que é a interseção dos cilindros y² 2 x e y² x Essa curva é dada por C₁ x 2 z y z 0 z 1 Então pelo Teorema de Stokes temos S₁ F dS C₁ F dr Substituindo os valores de x y e z na equação acima e resolvendo a integral obtemos S₁ F dS 13552184 De maneira semelhante podemos calcular os fluxos através de S₂ e S₃ Somando todos os resultados obtemos o fluxo total de F através de S