Resolução de 4 Questões de Algebra Linear

Questão 1 Seja P₂ o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 com coeficientes reais Considere a transformação linear T P₂ P₂ e os valores T1 1 T1 x 1 2x Tx 2x T1 2x² 1 6x² e Tx² 3x² Considere px a bx cx² e px b 2cx px denota a derivada de px a Determine a transformação linear Tpx usando px b Determine o núcleo de TNucT c Determine se T é sobrejetiva Questão 2 Considere a transformação linear T R³ R² definida por Txyz x y 2z x a Encontre uma base para o Núcleo de T denotado por NucT e determine sua dimensão nulidade b Verifique o Teorema do Núcleo e da Imagem Teorema da Dimensão para esta transformação exibindo explicitamente as dimensões envolvidas Questão 3 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T V V um operador linear tal que ImT NucT a Prove que a dimensão de V deve ser necessariamente um número par b Dê um exemplo explícito de um operador linear T R² R² que satisfaça a condição ImT NucT Questão 4 Seja V xy R² xy 0 o espaço vetorial com as operações V V V xy ab x a y b e R V V α xy xα yα Considere o operador T V V definido por Txy x²y a Determine se T é linear b Determine se T é injetiva c Determine se existe xy V tal que Txy 11 d Determine se T é sobrejetora no espaço V QUESTÃO 1 Seja 𝑃2 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑎 𝑏 𝑐 𝑅 e 𝑇 𝑃2 𝑃2 linear com 𝑇1 1 𝑇1 𝑥 1 2𝑥 𝑇𝑥 2𝑥 𝑇1 2𝑥2 1 6𝑥2 𝑇𝑥2 3𝑥2 Como T é linear basta entender sua ação numa base A base canônica é 1 𝑥 𝑥2 Do enunciado já se tem diretamente 𝑇1 1 𝑇𝑥 2𝑥 𝑇𝑥2 3𝑥2 As demais igualdades como 𝑇1 𝑥 𝑇1 𝑇𝑥 e 𝑇1 2𝑥2 𝑇1 2𝑇𝑥2 ficam automaticamente consistentes com essas três a Determinar Tpx usando px Considere 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑝𝑥 𝑏 2𝑐𝑥 Pela linearidade 𝑇𝑝𝑥 𝑇𝑎 1 𝑏 𝑥 𝑐 𝑥2 𝑎𝑇1 𝑏𝑇𝑥 𝑐𝑇𝑥2 Substituindo os valores conhecidos 𝑇𝑝𝑥 𝑎 1 𝑏 2𝑥 𝑐 3𝑥2 𝑎 2𝑏𝑥 3𝑐𝑥2 Agora expressase isso em termos de p e p Observe que 𝑥 𝑝𝑥 𝑥 𝑏 2𝑐𝑥 𝑏𝑥 2𝑐𝑥2 logo 𝑝𝑥 𝑥 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑏𝑥 2𝑐𝑥2 𝑎 2𝑏𝑥 3𝑐𝑥2 Portanto 𝑇𝑝𝑥 𝑝𝑥 𝑥 𝑝𝑥 b Determinar o núcleo de T O núcleo é Nuc𝑇 𝑝 𝑃2 𝑇𝑝 0 Se 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 então pelo item a 𝑇𝑝𝑥 𝑎 2𝑏𝑥 3𝑐𝑥2 Logo 𝑝 Nuc𝑇 se e somente se 𝑎 2𝑏𝑥 3𝑐𝑥2 0 polinômio nulo Isso implica que todos os coeficientes devem ser zero 𝑎 0 2𝑏 0 3𝑐 0 Resolvendo o sistema 𝑏 0 𝑐 0 e portanto 𝑎 𝑏 𝑐 0 𝑝𝑥 0 Assim Nuc𝑇 0 c Determinar se T é sobrejetiva Como Nuc𝑇 0 a transformação é injetiva Como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão dim𝑃2 3 uma transformação linear 𝑇 𝑃2 𝑃2 injetiva é automaticamente sobrejetiva Logo T é sobrejetiva Também é possível verificar construindo a préimagem de um polinômio arbitrário Dado 𝑞𝑥 𝛼 𝛽𝑥 𝛾𝑥2 𝑃2 procurase 𝑝𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 tal que 𝑇𝑝 𝑞 Como 𝑇𝑝 𝑎 2𝑏𝑥 3𝑐𝑥2 impõese 𝑎 2𝑏𝑥 3𝑐𝑥2 𝛼 𝛽𝑥 𝛾𝑥2 o que leva ao sistema igualdade de coeficientes 𝑎 𝛼 2𝑏 𝛽 3𝑐 𝛾 Daí 𝑎 𝛼 𝑏 𝛽 2 𝑐 𝛾 3 e existe sempre solução 𝑝 𝑃2 Portanto T é sobrejetiva na verdade bijetiva QUESTÃO 2 Considere 𝑇 𝑅𝟛 𝑅𝟚 dada por 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 2𝑧 𝑥 a Núcleo de T uma base e a nulidade O núcleo é o conjunto dos vetores 𝑥 𝑦 𝑧 𝑅𝟛 tais que 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 00 Assim 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 00 𝑥 𝑦 0 2𝑧 𝑥 0 Da primeira equação 𝑥 𝑦 0 𝑥 𝑦 Da segunda 2𝑧 𝑥 0 𝑥 2𝑧 Juntando as duas relações 𝑥 𝑦 e 𝑥 2𝑧 𝑥 2𝑧 𝑦 2𝑧 Tomando 𝑧 𝑡 𝑅 obtémse 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑡 2𝑡 𝑡 𝑡 221 Logo Nuc𝑇 𝑡 221 𝑡 𝑅 span221 Portanto uma base para Nuc𝑇 é 221 e a nulidade dimensão do núcleo é dimNuc𝑇 1 b Verificação do Teorema do Núcleo e da Imagem Teorema da Dimensão Primeiro identificase a matriz de T nas bases canônicas Como 𝑇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 2𝑧 𝑥 1 𝑥 1 𝑦 0 𝑧 1 𝑥 0 𝑦 2 𝑧 a matriz associada é 𝐴 1 1 0 1 0 2 A dimensão da imagem é o posto de A Para obter o posto fazse escalonamento por operações elementares nas linhas 1 1 0 1 0 2 𝐿2 𝐿2 𝐿1 1 1 0 0 1 2 𝐿2 𝐿2 1 1 0 0 1 2 𝐿1 𝐿1 𝐿2 1 0 2 0 1 2 A forma escalonada tem 2 pivôs logo posto𝐴 2 dimIm𝑇 2 Assim as dimensões relevantes são dim𝑅𝟛 3 dimNuc𝑇 1 dimIm𝑇 2 O Teorema do Núcleo e da Imagem afirma que dim𝑅𝟛 dimNuc𝑇 dimIm𝑇 Substituindo os valores obtidos 3 1 2 o que confirma o teorema para esta transformação QUESTÃO 3 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e 𝑇 𝑉 𝑉 um operador linear tal que Im𝑇 Nuc𝑇 a Provar que dim𝑉 deve ser par Como T é linear e V tem dimensão finita vale o Teorema do Núcleo e da Imagem dim𝑉 dimNuc𝑇 dimIm𝑇 Pela hipótese do enunciado os subespaços Im𝑇 e Nuc𝑇 coincidem logo têm a mesma dimensão dimIm𝑇 dimNuc𝑇 Denotando 𝑟 dimIm𝑇 dimNuc𝑇 substituise no Teorema do Núcleo e da Imagem dim𝑉 dimNuc𝑇 dimIm𝑇 𝑟 𝑟 2𝑟 Como 𝑟 𝑁 0 concluise que dim𝑉 é múltiplo de 2 isto é necessariamente um número par b Exemplo explícito de 𝑇 𝑅𝟚 𝑅𝟚 com Im𝑇 Nuc𝑇 Considere 𝑇 𝑅𝟚 𝑅𝟚 definida por 𝑇𝑥 𝑦 𝑦 0 Ela é linear pois pode ser escrita via matriz na base canônica 𝑇𝑥 𝑦 0 1 0 0 𝑥 𝑦 Para determinar o núcleo impõese 𝑇𝑥 𝑦 00 𝑇𝑥 𝑦 00 𝑦 0 00 𝑦 0 0 0 Logo Nuc𝑇 𝑥 𝑦 𝑅𝟚 𝑦 0 𝑥 0 𝑥 𝑅 span10 Para determinar a imagem tomase um vetor arbitrário 𝑥 𝑦 𝑅𝟚 e observase o formato de Txy 𝑇𝑥 𝑦 𝑦 0 Quando xy varia em 𝑅𝟚 o valor y pode ser qualquer real t Assim todo vetor da imagem tem a forma t0 e todo t0 é atingido escolhendo por exemplo 𝑥 𝑦 0 𝑡 Portanto Im𝑇 𝑡 0 𝑡 𝑅 span10 Concluise que Im𝑇 span10 Nuc𝑇 isto é o operador proposto satisfaz Im𝑇 Nuc𝑇 QUESTÃO 4 Seja 𝑉 𝑥 𝑦 𝑅𝟚 𝑥 0 𝑦 0 com as operações 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝛼 𝑥 𝑦 𝑥𝛼 𝑦𝛼 Considere 𝑇 𝑉 𝑉 definida por 𝑇𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 a Verificar se T é linear Para T ser linear nesse espaço vetorial deve satisfazer para quaisquer 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑉 e 𝛼 𝑅 𝑇𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑇𝑥 𝑦 𝑇𝑎 𝑏 𝑇𝛼 𝑥 𝑦 𝛼 𝑇𝑥 𝑦 Primeira condição compatibilidade com 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 Aplicando T 𝑇𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑇𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑎2 𝑦 𝑏 𝑥2 𝑎2 𝑦 𝑏 Agora calculando 𝑇𝑥 𝑦 𝑇𝑎 𝑏 𝑇𝑥 𝑦 𝑥2 𝑦 𝑇𝑎 𝑏 𝑎2 𝑏 logo 𝑇𝑥 𝑦 𝑇𝑎 𝑏 𝑥2 𝑦 𝑎2 𝑏 𝑥2 𝑎2 𝑦 𝑏 Comparando 𝑇𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥2 𝑎2 𝑦 𝑏 𝑇𝑥 𝑦 𝑇𝑎 𝑏 Segunda condição compatibilidade com 𝛼 𝑥 𝑦 𝑥𝛼 𝑦𝛼 Aplicando T 𝑇𝛼 𝑥 𝑦 𝑇𝑥𝛼 𝑦𝛼 𝑥𝛼2 𝑦𝛼 𝑥2𝛼 𝑦𝛼 Por outro lado 𝛼 𝑇𝑥 𝑦 𝛼 𝑥2 𝑦 𝑥2𝛼 𝑦𝛼 𝑥2𝛼 𝑦𝛼 Portanto 𝑇𝛼 𝑥 𝑦 𝛼 𝑇𝑥 𝑦 Como as duas propriedades valem concluise que T é linear em relação às operações e definidas em V b Determinar se T é injetiva Para verificar a injetividade considerase 𝑇𝑥1 𝑦1 𝑇𝑥2 𝑦2 Isso equivale a 𝑥1 2 𝑦1 𝑥2 2 𝑦2 logo 𝑥1 2 𝑥2 2 𝑦1 𝑦2 Da primeira equação 𝑥1 2 𝑥2 2 𝑥1 𝑥2 𝑥1 𝑥2 0 Como 𝑥1 0 e 𝑥2 0 temse 𝑥1 𝑥2 0 então necessariamente 𝑥1 𝑥2 0 𝑥1 𝑥2 Junto com 𝑦1 𝑦2 concluise 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 Logo T é injetiva c Determinar se existe 𝑥 𝑦 𝑉 tal que 𝑇𝑥 𝑦 11 A condição 𝑇𝑥 𝑦 11 equivale a 𝑥2 𝑦 11 isto é ao sistema 𝑥2 1 𝑦 1 Da primeira equação 𝑥 1 Como em V vale 𝑥 0 escolhese 𝑥 1 𝑦 1 Assim existe solução em V e ela é 𝑥 𝑦 11 d Determinar se T é sobrejetora em V Para a sobrejetividade tomase um vetor arbitrário 𝑢 𝑣 𝑉 isto é 𝑢 0 𝑣 0 e procurase 𝑥 𝑦 𝑉 tal que 𝑇𝑥 𝑦 𝑢 𝑣 Isso equivale a 𝑥2 𝑦 𝑢 𝑣 ou ao sistema 𝑥2 𝑢 𝑦 𝑣 Como 𝑢 0 existe a raiz quadrada positiva 𝑢 e tomando 𝑥 𝑢 𝑦 𝑣 obtémse 𝑥 𝑦 𝑉 e 𝑇𝑢 𝑣 𝑢 2 𝑣 𝑢 𝑣 Logo para todo 𝑢 𝑣 𝑉 existe uma préimagem em V e concluise que T é sobrejetora Como T é injetiva e sobrejetora ela é bijetiva em V QUESTÃO 1 Seja P2abxc x 2ab cR e T P2P2 linear com T 11T 1x 12 x T x 2x T 12 x 216 x 2T x 23x 2 Como T é linear basta entender sua ação numa base A base canônica é 1 x x 2 Do enunciado já se tem diretamente T 11T x 2x T x 23 x 2 As demais igualdades como T 1x T 1T x e T 12 x 2T 1 2T x 2 ficam automaticamente consistentes com essas três a Determinar Tpx usando px Considere p x abxc x 2 p x b2cx Pela linearidade T p x T a1b xc x 2aT 1 bT x cT x 2 Substituindo os valores conhecidos T p x a1b2x c3 x 2a2bx3c x 2 Agora expressase isso em termos de p e p Observe que x p x x b2cxbx2c x 2 logo p x x p x abxc x 2bx2c x 2a2bx3 c x 2 Portanto T p x p x x p x b Determinar o núcleo de T O núcleo é Nuc T pP2T p0 Se p x abxc x 2 então pelo item a T p x a2bx3c x 2 Logo pNuc T se e somente se a2bx3c x 20 polinômio nulo Isso implica que todos os coeficientes devem ser zero a0 2b0 3c0 Resolvendo o sistema b0c0 e portanto abc0 p x 0 Assim Nuc T 0 c Determinar se T é sobrejetiva Como Nuc T 0 a transformação é injetiva Como domínio e contradomínio têm a mesma dimensão dim P23 uma transformação linear T P2P2 injetiva é automaticamente sobrejetiva Logo T é sobrejetiva Também é possível verificar construindo a préimagem de um polinômio arbitrário Dado q x αβ xγ x 2 P2 procurase p x abxc x 2 tal que T pq Como T pa2bx3c x 2 impõese a2bx3c x 2αβ xγ x 2 o que leva ao sistema igualdade de coeficientes aα 2bβ 3cγ Daí aα b β 2 cγ 3 e existe sempre solução pP2 Portanto T é sobrejetiva na verdade bijetiva QUESTÃO 2 Considere T R 3R 2 dada por T x y z x y2 zx a Núcleo de T uma base e a nulidade O núcleo é o conjunto dos vetores x y z R 3 tais que T x y z00 Assim T x y z 00 xy0 2 zx0 Da primeira equação xy0xy Da segunda 2 zx0 x2 z Juntando as duas relações xy e x2 z x2 z y2z Tomando zt R obtémse x y z 2t 2t tt 221 Logo Nuc T t 221t Rspan 221 Portanto uma base para Nuc T é 221 e a nulidade dimensão do núcleo é dim NucT 1 b Verificação do Teorema do Núcleo e da Imagem Teorema da Dimensão Primeiro identificase a matriz de T nas bases canônicas Como T x y z x y2 zx 1 x1 y0 z 1 x0 y2 z a matriz associada é A 1 1 0 1 0 2 A dimensão da imagem é o posto de A Para obter o posto fazse escalonamento por operações elementares nas linhas 1 1 0 1 0 2 L2 L2L1 1 1 0 0 1 2 L2L2 1 1 0 0 1 2 L1 L1 L2 1 0 2 0 1 2 A forma escalonada tem 2 pivôs logo posto A2dim Im T 2 Assim as dimensões relevantes são dim R 33dim Nuc T 1dimIm T 2 O Teorema do Núcleo e da Imagem afirma que dim R 3dim Nuc T dim Im T Substituindo os valores obtidos 312 o que confirma o teorema para esta transformação QUESTÃO 3 Seja V um espaço vetorial de dimensão finita e T V V um operador linear tal que Im T Nuc T a Provar que dim V deve ser par Como T é linear e V tem dimensão finita vale o Teorema do Núcleo e da Imagem dim V dim Nuc T dim Im T Pela hipótese do enunciado os subespaços Im T e Nuc T coincidem logo têm a mesma dimensão dim Im T dim Nuc T Denotando rdim Im T dim NucT substituise no Teorema do Núcleo e da Imagem dim V dim Nuc T dim Im T rr2r Como r N 0 concluise que dim V é múltiplo de 2 isto é necessariamente um número par b Exemplo explícito de T R 2R 2 com Im T Nuc T Considere T R 2R 2 definida por T x y y 0 Ela é linear pois pode ser escrita via matriz na base canônica T x y 0 1 0 0 x y Para determinar o núcleo impõese T x y 00 T x y00 y000 y0 00 Logo Nuc T x y R 2 y0x0 x Rspan10 Para determinar a imagem tomase um vetor arbitrário x y R 2 e observase o formato de Txy T x y y 0 Quando xy varia em R 2 o valor y pode ser qualquer real t Assim todo vetor da imagem tem a forma t0 e todo t0 é atingido escolhendo por exemplo x y0t Portanto Im T t 0t Rspan 10 Concluise que Im T span 10 Nuc T isto é o operador proposto satisfaz Im T Nuc T QUESTÃO 4 Seja Vx y R 2x0 y0 com as operações x y ab x a yb αx y x α y α Considere T V V definida por T x y x 2 y a Verificar se T é linear Para T ser linear nesse espaço vetorial deve satisfazer para quaisquer x y ab V e α R T x y abT x y T ab T αx y αT x y Primeira condição compatibilidade com x y ab x a yb Aplicando T T x y abT xa y b x a 2 yb x 2a 2 y b Agora calculando T x y T ab T x y x 2 yT ab a 2b logo T x y T ab x 2 y a 2bx 2a 2 y b Comparando T x y ab x 2a 2 y bT x y T ab Segunda condição compatibilidade com αx y x α y α Aplicando T T αx y T x α y α x α 2 y αx 2α y α Por outro lado αT x y αx 2 yx 2 α y αx 2α y α Portanto T αx y αT x y Como as duas propriedades valem concluise que T é linear em relação às operações e definidas em V b Determinar se T é injetiva Para verificar a injetividade considerase T x1 y1T x2 y2 Isso equivale a x1 2 y1x2 2 y2 logo x1 2x2 2 y1y2 Da primeira equação x1 2x2 2 x1x2x1x20 Como x10 e x20 temse x1 x20 então necessariamente x1x20 x1x2 Junto com y1y2 concluise x1 y1x2 y2 Logo T é injetiva c Determinar se existe x y V tal que T x y11 A condição T x y11 equivale a x 2 y11 isto é ao sistema x 21 y1 Da primeira equação x1 Como em V vale x0 escolhese x1 y1 Assim existe solução em V e ela é x y 11 d Determinar se T é sobrejetora em V Para a sobrejetividade tomase um vetor arbitrário uv V isto é u0 v0 e procurase x y V tal que T x y uv Isso equivale a x 2 yuv ou ao sistema x 2u yv Como u0 existe a raiz quadrada positiva u e tomando xu yv obtémse x y V e T uv u 2vuv Logo para todo uv V existe uma préimagem em V e concluise que T é sobrejetora Como T é injetiva e sobrejetora ela é bijetiva em V