Lista de Exercícios - Cálculo Diferencial e Integral III - Integrais Triplas e Aplicações

Cálculo Diferencial e Integral III Atividade complementar 2810 Prof Me Mateus de Sousa Zanzi Email mateuszanzihotmailcom Lista complementar Cálculo III Esta lista de exercícios foi elaborada para que individualmente você possa exercitar e aprimorar suas habilidades sobre integração de funções e suas aplicações Nesta lista você encontrará exercícios referentes a Equação do plano e plano tangente Integrais triplas Aplicações de integrais triplas Integrais triplas com mudança do sistema de coordenadas O prazo final para a entrega é até 25112022 Obs Em caso de dúvidas preferencialmente procurem esclarecêlas antes das aulas ou via os meios de comunicação disponíveis Bons estudos Lista complementar Cálculo III 1 Calcule o que se pede a Determine a equação do plano que passa pelo ponto P 2 4 1 e tem vetor normal b Qual a equação do plano que passa pelo ponto A 2 3 3 e tem como vetor normal c Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto B 2 1 1 e tem como vetor normal Lista complementar Cálculo III 2 Calcule o que se pede a Determine a equação do plano que passa pelo ponto P 2 4 1 e é tangente a superfície x2y2z40 b Qual a equação do plano que passa pelo ponto A 1 1 3 e é tangente à superfície z8x24y2 c Determine a equação geral do plano que passa pelo ponto Q 2 3 1 e é tangente a superfície x2y2z29 4 Calcule o que se pede a Determine a massa da região representada pela integral tripla ₁¹ y²¹ ₀ˣ 2xdV onde a função de densidade é equacionada por ρ 2xy b Determine a massa e o centro de massa do sólido limitado pelo cilindro parabólico z 1 y² e pelos planos x z 1 x 0 e z 0 c Determine a massa do tetraedro limitado pelos planos x y z 1 x 0 y 0 e z 0 3 Calcule o que se pede a Determine o valor da integral ₁² ₀² ₀¹ 2xyz dxdydz b Determine a integral tripla B xyz² dV onde o volume B é dado por xyz E R³ 0 x 2 1 y 3 1 z 4 c Determine o valor da integral R 2yzdV onde o volume R é dado por xyz E R³ 0 x 2yz 0 y 2z 1 z 4 Lista complementar Cálculo III 5 Represente graficamente o sólido descrito pelas seguintes desigualdades a e b e c Determine a massa e o centro de massa do tetraedro limitado pelos planos e 6 Reescreva as seguintes equações em coordenadas cilíndricas a z² x² y² b x² y² 9 c x² 2x y² z² 0 d x 2y 3z 1 9 Represente graficamente os sólidos delimitados por a ρ 2 0 Ø π2 e 0 θ π2 b 2 ρ 4 π2 Ø π e 0 θ π c ρ 1 3π4 Ø π e 0 θ 2π 7 Calcule os seguinte volumes em coordenadas cilíndricas a E 2ydV onde E é o sólido que está entre os cilindros x² y² 1 e x² y² 4 acima do plano xy e abaixo do plano z x 2 b E x2 dV onde E é o sólido que está entre os planos z 0 z x y 2 e pelos cilindros x² y² 4 e x² y² 9 8 Reescreva as seguintes equações em coordenadas esféricas a z² 3x² y² b 2x² 5y² 9 c x² 2x y² 4z² 0 d 5x y 3z 7 Lista complementar Cálculo III 10 Calcule os seguinte volumes em coordenadas esféricas a E zdV onde E é o sólido que está entre as esferas x² y² z² 1 e x² y² z² 4 no primeiro octante b E ex²y²z² dV onde E é o sólido limitado pelo hemisfério superior da esfera escrita por x² y² z² 9 c E 4 x² y² dV onde E é o hemisfério sólido limitado pela esfera x² y² z² 4 nos octantes 1 e 2 Resolver as questões indicadas abaixo Questão Letra 2 A 4 todas 5 todas 6 BCD 7 todas 9 todas 10 todas Cálculo 3 T1 A Fsnl Gn Questão 2 item A Seja P 241 um ponto do espaço e a superfície x² y² z 4 0 Determinaremos a equação do plano que passa por P e é tangente a superfície A equação geral do plano é dada por n xyz n P P 241 onde n é o vetor do plano e o produto escalar Com isso vamos determinar n em verdade n é n f xyzxyz 241 Onde fxyz é definido a partir da superfície dada isto é fxyz y² z² x² 4 Logo temos f î x f ĵ y f k z f î x y² z² x² 4 ĵ y y² z² x² 4 k z y² z² x² 4 î 2x ĵ 2y k 2z 2x 2y 2z No ponto 241 temos então n f 241 22 24 21 4 8 2 Portanto o vetor do plano é n 4 8 2 agora resta determinarmos a equação do plano pois temos que ƒ241 n 482 p 241 Então temos o seguinte nxyz n241 Ou seja nxyz n241 482xyz 482241 4x 8y 2z 8 32 2 4x 8y 2z 22 2 2x 4y z 11 Logo a equação do plano procurado é 2x 4y z 11 4 a A região da integral tripla 11 y21 0x 2x dv é a seguinte 0 z x 1 x y2 e 1 z 1 Usando isso calcularemos a massa da região com densidade ρxy 2xy Com efeito m 11 y21 0x 2xyz dz dx dy 11 y21 2xyz 0x dx dy 11 y21 2xyx0 dx dy 11 y21 2x2 y dx dy 11 23 x3 y y21 dy 11 23 y y6 dy 23 11 y y6 dy 23 y22 y77 11 23 12 17 12 17 0 Portanto a massa é m0 nessa região Evidentemente o centro de massa fica por isto requer faz sentido ser calculado 4 b Aqui temos z 1 y2 x z 1 y 0 z 0 A questão não é possível de ser respondida pois não temos o conhecimento da função densidade de massa c A questão apresenta o mesmo problema do item Sem a função ρ densidade de massa tornase impossível o desenvolvimento Ademais essa é repetida na questão 5 a justificativa é a mesma a qui posta Questão 5 a 0 r 2 π2 θ π2 e 0 z 1 A região acima está posta em coordenadas cilíndricas Nesse sentido vamos usar as transformações dessas coordenadas para determinar mas o sólido como efeito as transformações dessas coordenadas nos dão que x rcosθ i y rsenθ ii π2 θ π2 iii Agora note que de i e ii temos x rcosθ x2 rcosθ2 r2cos2θ x2 r2cos2θ y rsenθ y2 rsenθ2 r2sen2θ y2 r2sen2θ Somando os resultados x2 y2 r2 0 x2 y2 22 4 Ou seja a informação 0 r 2 é associado ao raio de uma circunferência de raio 2 e a adiv a informação de que π2 θ π2 nos mostra que o ângulo da circunferência não varre toda a região da circunferência mas apenas a parte de π2 a π2 Logo no plano xy devemos ter região 0 r 2 π2 θ π2 agora vamos ao plano XYZ aqui basta introduzir mais que 0 z 1 e teremos Que seja o sólido é um semi cilindro meta de um cilindro b 0 r 4 0 θ π e 0 z 5 Aqui temos das mudanças de coordenadas que x² y² r² 0 r² 4² 0 x² y² 4² 16 0 x² y² 16 Ou seja temos uma circunferência que está entre 0 e π pois 0 θ π Logo no plano xy temos que x² y² 4² 16 E o sólido possui altura em z que parte de 0 até 5 Logo no plano xyz temos que corresponde a um semi cilindro No text content extracted contains continuation drawing of the semi cylinder with no additional text 6 Em coordenadas cilíndricas introduzimos a seguinte mudança de variáveis x r cosθ y r senθ z z 61 Com efeito usamos essa transformação nos itens a seguir item B x² y² 9 Empregando 61 temos x r cosθ x² r cosθ² r² cos²θ x² r² cos²θ y r senθ y² r senθ² r² sen²θ y² r² sen²θ Somando temos 9 x² y² r² cos²θ r² sen²θ r² cos²θ sen²θ r² Portanto r² 9 r 3 Ou seja x² y² 9 descreve uma circunferência de raio 3 e logo temos em coordenadas cilíndricas que o conjunto Dxy xy R² x² y² 9 é equivalente a Dnθ rθ R² r 3 e 0 θ 2π onde z 0 Assim as equações são r 3 0 θ 2π z 0 ou apenas r 3 6b continuação A equação da da pele conjunto Dro pode ser posta simplesmente por n3 e a informaca de O fica ja entendida c x2 2x y2 z2 0 Primeiro Vamos ajustar a e equacao com efeito 0 x2 2x y2 z2 x2 2x 1 1 y2 z2 x2 2x 1 y2 z2 1 x2 2x 1 y2 z2 1 x 12 y2 z2 1 Portanto temos x 12 y2 z2 1 Agora vamos projetar a equacao acima no plano xy isto e faremos z 0 e teremos x 12 y2 1 que e um circulo centrado em 10 com raio n 1 e a mudanca de coordenada cilíndrica e x 1 1cosθ y 1senθ onde 0 θ 2π Logo para t 0 teremos x 1 1cosθ y senθ z 0 Mas esse e um caso particular de veremos ainda analisar z 0 com z R a qui vamos por a substituicao x 1 rcosθ y rsenθ que nos daio de desenvolvimento x 12 y2 z2 1 1 rcosθ 12 rsenθ2 z2 1 r2cos2θ r2sen2θ z2 1 r2cos2θ sen2θ z2 1 E logo para z qualquer a equacao em coordenadas cilíndricas fica dada por r2 z2 1 Se empregarmos a mudanca 61 teremos 0 rcosθ2 2rcosθ rsenθ2 z2 r2cos2θ sen2θ 2rcosθ z2 r2 z2 2rcosθ E aqui teremos r2 z2 2rcosθ equivalente anterior diferindo sob o uma translacao da mudanca de coordenada 6 item D d x 2y 3z 1 Aqui vamos por a sua mudança de coordenadas do tipo 61 com efeito teremos x 2y 3z 1 r cos θ 2r sen θ 3z 1 3z 1 r cos θ 2r sen θ z 1 r cos θ 2r sen θ 3 Essa equação em coordenadas cilíndricas fica dada por 3z 1 r cos θ 2r sen θ ou equivalentemente rcos θ 2 sen θ 1 3z que é a equação procurada 7 Calcularemos as integrais com uso das coordenadas cilíndricas Aqui usaremos em ambos os itens a seguinte mudança 71 x r cos θ y r sen θ z z onde temos que x² y² r² e dx dy dz r dr dθ dz dV Então vamos aos itens a E 2y dV onde E é o sólido entre os cilindros x² y² 1 e x² y² 4 e acima do plano XY isso querer dizer que parte de z 0 e abaixo de z x 2 Comecemos definindo E da informação da região está entre os cilindros e mais que os pontos x e y devem ser tais que 1 x² y² 4 Mas das coordenadas cilíndricas sabemos que x² y² r² ou seja temos que 1 x² y² 4 1 r² 4 1 r 4 1 r 2 E temos que r fica definido assim Além disso a coordenada θ fica também delimitada por 0 θ 2π Pois as regiões x² y² 4 e x² y² 1 são varridas completamente Por fim para z temos 0 z x 2 e empregando a mudança 71 teremos 0 z r cos θ 2 Daí o conjunto E de integração pode ser posto por Dmorz r θ z R³ 1 r 2 0 θ 2π e 0 z 2 r cos θ Então temos para a integral desejada o seguinte desenvolvimento E 2y dV Dmorz 2y dV ₁² ₀²π ₀² r cos θ 2 r sen θr dr dθ dz ₁² ₀²π 2r² sen θ z ₀² r cos θ dθ dr ₁² ₀²π 2r² sen θ 2 r cos θ dθ dr Continuando E 2y dV 12 02π 4 r2 senθ 2 r3 senθ cosθ dθ dr 12 02π 4 r2 senθ r3 sen2θ dθ dr 12 4 r2 cosθ r3 cos 2θ 2 02π dr 12 4 r2 cos 2π cos 0 r3 2 cos 4π cos 0 dr 12 4 r2 11 r3 2 11 dr 12 0 dr 0 Portanto temos que E 2 y dV 0 b E xz dV Onde E é o sólido entre os planos z x y 2 e cilindros x2 y2 4 e x2 y2 9 O desenvolvimento é análogo a questão anterior Usaremos a transformação 71 com efeito por estar entre os cilindros temos que 4 x2 y2 9 Logo como x2 y2 r2 temos 4 x2 y2 9 4 r2 9 4 r 9 2 r 3 Similarmente θ fica delimitado de 0 até 2π ou seja 0 θ 2π pois buscaremos descrever todo o cilindro Agora para z teremos o seguinte 0 z x y 2 Onde por 71 temos que x r cosθ y r senθ e logo 0 z 2 r cosθ r senθ 2 rcosθ senθ Portanto 0 z 2 rcosθ senθ E o conjunto de integração E fica posto por En θ z r θ z ℝ3 2 r 3 0 θ 2π e 0 z 2 rcosθ senθ Então usando isso e as mudanças de 71 temos o seguinte desenvolvimento para a integral E xz dV En θ z xz dV 23 02π 02 rcosθ senθ r cosθ 2 r dz dθ dr 23 02π 02 rcosθ senθ r2 cosθ 2 dz dθ dr Então continuando temos E xz dV 23 02π r2 cosθ 2 z02 rcosθ senθ dθ dr 23 02π r2 cosθ 2 2 rcosθ senθ dθ dr 23 02π r2 cosθ 2 r3 2 cos2θ senθ cosθ dθ dr Vamos agora a avaliar a integral em θ separadamente 02π r2 cosθ r3 2 cos2θ senθ cosθ dθ dη 02π r2 cosθ dθ 02π r3 2 cos2θ dθ 02π r3 sen2θ dθ 4 onde usamos que sen2θ 2 senθ cosθ senθ cosθ sen2θ 2 Logo temos para cada integral 02π r2 cosθ dθ r2 senθ02π r2 0 0 0 02π r3 2 cos2θ dθ r3 2 02π cos2θ dθ Em que é conhecido que cos2θ 12 cos2θ 2 Logo ₀²π p³2 cos² θ dθ ₀²π p³3 12 cos2θ2 dθ p³6 ₀²π 1 cos2θ dθ p³6 θ sen2θ2₀²π p³62π 0 12sen4π sen0 2π p³ 6 π3 p³ ₀²π p³2 cos² θ dθ p³ π 3 ₀²π p³4 sen2θ dθ p³ ₀²π sen2θ dθ p³ cos 2θ2₀²π p³2 cos4π cos0 p³21 1 0 Logo temos ₀²π r² cos θ p³2cos² θ 2 sen θ cos θ dθ π p³3 Daí voltando a integral teremos E x2 dv ₂ r π p³3 dr π r⁴ 12 ₂³ π123⁴ 2⁴ 65π12 Portanto obtemos que E x2 dv 63π2 A detetermos a seguinte convenção de coordenadas p coordenada radial θ coordenada polar φ coordenada azimutal E usaremos que as relações x p senφ cos θ y p senφ sen θ z p cosφ com x² y² z² p² estabelecem as mudanças de coordenadas esfericas Logo vamos aos itens a p 2 0 φ π2 e 0 θ π2 Aqui temos que a componente radial se estende de 0 até 2 e a parte angular vai de 0 até π2 isto nos dá o seguinte Ja para φ temos que essa parte de zero e vai até π2 Logo temos Com isso o solido formado e Ou seja apenas uma porção de uma esfera no 1º octante b 2 ρ 4 π2 φ π e 0 θ π Aqui temos uma região entre esferas pois ρ² x² y² z² 2² ρ² 4² 2² x² y² z² 4² Uma região entre as esferas de raio 2 e maior Mas não completas pois como 0 θ π essa varre apenas metade da parte lateral da esfera Para φ esse nos dá a descrição de apenas um octante o que parte de φ π2 até φ π logo essa região é Ou seja é a região interior a duas semiesferas de raios 2 e 4 limitadas apenas a região em que x é negativo c ρ 1 3π4 φ π e 0 θ 2π Aqui temos ρ 1 x² y² z² ρ² 1² Uma esfera de raio unitário 3π4 φ π tomase apenas a porção inferior dos eixos com o x o positivo em z p 0 θ 2π A esfera é completamente rotacionada e envolve todo o eixo z Logo temos com isso 10 Calcularemos as integrais traz abaixo usando coordenadas esféricas essas são obtidas pela mudança de variável 101 x ρ sen φ cos Θ y ρ sen φ sen Θ z ρ cos φ onde Θ é o ângulo polar e φ o ângulo azimutal De 101 note que temos x² ρ² sen² φ cos² Θ y² ρ² sen² φ sen² Θ z² ρ² cos² φ Somando as funções teremos x² y² z² ρ² sen² φ cos² Θ ρ² sen² φ sen² Θ ρ² cos² φ ρ² sen² φ cos² Θ sen² Θ ρ² cos² φ ρ² sen² φ ρ² cos² φ ρ² sen² φ cos² φ ρ² Portanto ainda temos 102 x² y² z² ρ² Além de que 103 dν dx dy dz ρ² sen φ dρ dΘ dφ Daí empregando as mudanças de coordenadas 101 e resultados 102 e 103 calcularemos o desejado Item a E z dν E a região entre esferas x² y² z² 1 e x² y² z² 4 no primeiro octante Vamos descrever a região E como é dito que esta está entre as esferas dadas então temos 1 x² y² z² 4 Usando 102 temos 1 ρ² 4 1 ρ 4 1 ρ 2 Assim já descobrimos a informação sobre ρ Agora vamos nos ater ao entendimento dos ângulos Θ e φ De fato nos é dito que a região está no primeiro octante ie Que seja na região em que 0 Θ π2 e 0 φ π2 Logo o conjunto E em coordenadas esféricas é Eρθφ ρθφ R³ 1 ρ 2 0 θ π2 e 0 φ 2π2 Portanto para a integral temos E z dν 12 0π2 0π2 ρ cos φρ² sen φ dθ dφ dρ 12 0π2 0π2 ρ³ sen φ cos φ dθ dφ dρ 12 ρ³ dρ 0π2 dθ 0π2 sen2φ2 dφ ρ⁴412 θ0π2 12 cos2φ20π2 14 2⁴ 1 π2 0 12 cosπ2 cos02 154 π2 12 15π16 Portanto E z dν 15π16 b E ex2 y2 z2 dV Onde E é a região do sólido limitado pelo hemisfério superior da esfera x2 y2 z2 9 Primeiramente vamos descrever a região E Da esfera dada x2 y2 z2 ρ2 e da fórmula 102 temos o seguinte 9 x2 y2 z2 ρ2 ρ2 9 ρ 3 Isso nos dá que ρ está entre 0 e 3 pois 0 ρ2 x2 y2 z2 9 0 ρ2 9 0 ρ 3 Com a limitação de ρ definida vamos agora para as componentes angulares Veja é dita que o sólido está no hemisfério superior ou seja conforme o esboço a seguir Ou seja No caso estamos falando de uma semiesfera Portanto a componente 0 deve sair de 0 e ir até 2π enquanto que o ângulo azimutal restringe de 0 até π2 ou seja 0 θ 2π e 0 φ π2 Com isso devemos ter que o conjunto E é o seguinte em coordenadas esféricas E ρ θ φ ℝ3 0 ρ 3 0 θ 2π e 0 φ π2 Logo temos a integral é a seguinte E ex2 y2 z2 dV 03 02π 0π2 eρ2 ρ2 sinφ dφ dθ dρ 03 02π 0π2 ρ2 eρ sinφ dφ dθ dρ 03 eρ ρ2 dρ 02π dθ 0π2 sinφ dφ Agora calcularemos primeiro as integrais angulares Com efeito 02π dθ θ02π 2π 0 2π 0π2 sinφ dφ cosφ0π2 cosπ2 cos0 1 Para a integral em ρ vamos fazer integração por partes com efeito 03 eρ ρ2 dρ ρ2 eρ dρ ddρ ρ2 eρ dρ dρ 03 ρ2 eρ 2ρ eρ dρ03 ρ2 eρ 2 ρ eρ dρ03 ρ2 eρ 2 ρ eρ dρ ddρ ρ eρ dρ03 ρ2 eρ 2 ρ eρ eρ dρ03 ρ2 eρ 2ρ eρ 2 eρ03 9 e3 6 e3 2 e3 0 0 2 5 e3 2 Portanto temos para a integral com a em todo que E ex² y² z² dV 03 ep p² dp 02π dθ 0π2 sen φ dφ 5e³ 2 2π 1 2π5e³ 2 10π e³ 4π Portanto obtemos ao fim que E ex² y² z² dV 10π e³ 4π c E 4 x² y² dV Onde E é o hemisfério limitado por x² y² z² 4 nos octantes 1 e 2 Vamos primeiro descrever E Comecemos por ρ De fato só lido ser delimitado por uma esfera bem como do resultado 10 2 temos que 0 ρ² x² y² z² 4 0 ρ² 4 0 ρ 4 0 ρ 2 Logo já temos então que 0 ρ 2 Agora para a parte angular Veja a questão nos disse que o sólido fica no 1 e 2 octante ou seja nas seguintes regiões octante 2 octante 1 Logo temos então que o ângulo θ e φ estão definidos por 0 θ 2π e 0 φ π2 Portanto o conjunto E em coordenadas esféricas é Eρφθ rθφ R³ 0 θ π 0 φ π2 e 0 ρ 2 Daí empregando esse conjunto a integral se torna E 4 x² y² dV 0π 0π2 02 4 ρ cos θ sen φ² ρ sen θ sen θ² p² sen φ dρ dφ dθ 0π 0π2 02 4 ρ² sen² φ cos² θ sen² θ ρ² sen φ dρ dφ dθ 0π 0π2 02 4 ρ² sen² φ ρ² sen φ dρ dφ dθ 0π 0π2 02 ρ² sen φ ρ⁴ sen³ φ dρ dφ dθ E ex² y² z² dV 03 ep p² dp 02π dθ 0π2 sen φ dφ 5e³ 2 2π 1 2π5e³ 2 10π e³ 4π Portanto obtemos ao fim que E ex² y² z² dV 10π e³ 4π c E 4 x² y² dV Onde E é o hemisfério limitado por x² y² z² 4 nos octantes 1 e 2 Vamos primeiro descrever E Comecemos por ρ De fato só lido ser delimitado por uma esfera bem como do resultado 10 2 temos que 0 ρ² x² y² z² 4 0 ρ² 4 0 ρ 4 0 ρ 2 Logo já temos então que 0 ρ 2 Agora para a parte angular Veja a questão nos disse que o sólido fica no 1 e 2 octante ou seja nas seguintes regiões Continuando temos E 4 x2 y2 dv 0π dθ 0π2 p3 senφ p5 sen3φ dp dφ 0π dθ 0π2 p33 senφ p55 sen3φ02 dφ π 0 0π2 233 senφ 255 sen3φ dφ 8π 0π2 senφ3 45 sen3φ dφ Vamos agora avaliar as integrais em φ com efeito 0π2 senφ3 45 sen3φ dφ 13 0π2 senφ dφ 45 0π2 sen3φ dφ Para cada integral temos o desenvolvimento 0π2 senφ dφ cosφ 0π2 cosπ2 cos0 1 1 0π2 sen3φ dφ 0π2 senφ sen2φ dφ 0π2 senφ 1 cos2φ dφ 0π2 senφ dφ 0π2 senφ cos2φ dφ 1 0π2 senφ cos2φ dφ fazemos a mudança de variável u cosφ Essa mudança nos dá u cosφ dudφ senφ dφ dusenφ u0 cos0 1 uπ2 cosπ2 0 Logo a integral passa a ser 0π2 senφ cos2φ dφ 10 senφ u2 du senφ 10 u2 du u33 10 033 13 13 Portanto temos ao fim que E 4 x2 y2 dv 8π 0π2 senφ3 45 sen3φ dφ 8π 13 0π2 senφ dφ 45 0π2 sen3φ dφ 8π 13 45 1 13 8π 13 45 23 8π3 1 85 8π3 35 8π5 Portanto temos que E 4 x2 y2 dv 8π5