Só Tem uma Questão de Cálculo 2

Boa prova 0 Determine o valor das integrais definidas abaixo a 𝜋2 𝑥21 𝑥2𝑑𝑥 a ₀π2 x² 1x² dx Solução Repase que x² 1x² 1 x² 1x² 1x²32 1x²12 Logo I ₀π2 x² 1x² dx ₀π2 1x²32 dx ₀π2 1x²12 dx Considere fx antiderivada de 1x²32 Gx antiderivada de 1x²12 Então I Fx Gx₀π2 Dessa forma Gx 1x² dx Fazendo x senht então dx cosht dt 1x² cosh²t e 1x² cosht Assim 1x² dx cosht cosht dt cosh²t dt Usando cosh²t 1 cosh2t2 cosh²t dt 1 cosh2t2 dt 12 dt 12 cosh2t dt t2 14 senh2t C Sabemos que t arcsenhx senht x cosht 1x² Além disso senh2t 2 senht cosht 2x 1x² Logo t2 14 senh2t 12 arcsenhx 14 2x 1x² Gx 12 arcsenhx x2 1x² C Agora determinando Fx Fx 1x²32 dx Fazendo x senht então dx cosht dt 1x² cosh²t e 1x²32 cosh³t Logo fx 1x²32 dx cosh³t cosht dt cosh⁴t dt Usando a identidade cosh²t 1 cosh2t2 cosh⁴t 1 cosh2t2² 38 12 cosh2t 18 cosh4t cosh⁴t dt 38 dt 12 cosh2t dt 18 cosh4t dt 38 t 14 senh2t 132 senh4t C Voltando para x lembrando que t arcsenhx senht x e cosht 1x² Senh2t 2 senht cosht 2x 1x² cosh2t 2 cosh²t 1 21x² 1 1 2x² senh4t 2 senh2t cosh2t 4x 1x² 1x² Substituindo Fx 38 arcsenhx 14 2x 1x² 132 4x 1x² 1x² C 38 arcsenhx x 1x² 12 12x²8 C 38 arcsenhx x 5 2x²8 1x² C Então Fx Gx 38 12 arcsenhx 5 2x²8 12 x 1x² 18 x 1 2x² 1x² arcsenhx Avaliando de 0 a π2 Em x 0 0 10² 10² arcsenh0 0 Em x π2 π2 1 2 π2² 1 π2² Como 1 π2² 4 π² 2 então I 18 π2 2 π²4 4 π² arcsenhπ2