Prova Final de Cálculo - Equipe 2017.1

UFESCCEDMATProva FinalmanhaCalculolEquipe20171 020817 Leia a prova com atencgao e justifique suas respostas 1 Determine 2x7 a 1pt dz 9 Opt Vi dr 2 senddO 1 cos26d0 6 C ITS ae 2 sencoséC arcsenz 2V1274C b 1pt a derivada de fx x7e Insen 2 a x e Insenx dx cos 2x e Insen x x sec x e Insenx 2 8 sen x 12 oe c 1pt da ie pt Vi iia Fada T sen 9 ie sen 0d0 2 cos 6 2 V3 InInz d 05pts lim d 05pts lim limp soo MUM limy 400 Ge 0 2 Seja fx oe Temos fx op e fx meee Acerca de f determine a 05pts as assintotas verticais e horizontais AV x 3 83 pois lim 33 2 ooe lim 3 5 00 AH y 2 pois limy 546 ae limy 400 a 2 e analogamente 362 limy0 92 2 b 05pts os intervalos onde é crescentedecrescente maéximos e minimos locais Temos fx mae Numeros criticos 0 3 3 O sinal de fx é igual ao do fator x descrito em baixo junto com os intervalos onde é cres centedecrescente 3 Of 3 ee ole eee fil Ni adin nd 7 Extremos locais apenas um minimo local f0 0 Nota é falso afirmar que f é decrescente em oo 3 U 30 e é falso afirmar que f é crescente em 03 U 3 00 c 05pts os intervalos de concavidade e pontos de inflexao Temos f2 ee Ntimeros criticos 3 3 O sinal de fx é igual ao do fator 9 x descrito em baixo junto com os intervalos de concavidade P f3f 8 f nd nd f nd U nd A Nao existem pontos de inflexao d 05pts um esboco do grafico 3 15pts As extremidades de um cocho de 25m de comprimento sao triangulos equildteros cujos lados medem 60cm de comprimento ver figura Se a Agua esta entrando no cocho a razao de 142 litros por minuto determine a taxa em que 0 nivel de Agua esta subindo quando a profundidade da agua é 20cm 2a p ee bitiaulbenay a E dada a taxa i 142 litromin ie 142 10cmmin onde V é 0 volume do cocho em cm e o tempo t é medido em minutos Queremos determinar a taxa fh onde h é o nivel da Agua em cm Temos a relacao de volume V 3 10 mh em que b é obtido pela razéo de semelhanga entre triangulos retangulos b2h 30V60 30 1V3 ie b 2hV3 Assim V 24Eh Derivando em ordem at b au 2h e quando h 20 cm obtemos 4 55 cmmin 4 15pts Para construir uma taga em forma de cone circular reto removese um setor circular de uma folha circular de cartolina de raio a e unemse as duas margens retilineas do corte ver figura Determine o volume da maior taca que pode ser construida S O cone tem volume V ah em que fh é a altura do cone e r é o raio do da base circular Por construcao r a h Teorema de Pitdgoras Procuremos o maximo de Vh a hh 2 para h 0a Temos Vh mae nh 0eh yz donde o volume maximo V q Nota o maximo global de V existe TVE e é atingido num numero critico no interior desse intervalo pois nos extremos V se anula 5 Seja R a regiao delimitada pelas curvas x y 1 y 32 Seja S 0 sdlido obtido rodando a regiao R em torno da reta x 1 a 05pts Esboce a regiao R b 10pt Determine o volume do sdlido S Pelo método das fatias um corte perpendicular ao eixo de rotacao 7 1 para y 2 1 origina uma secao transversal anel com raio exterior 3y1 2 ye raio interior y 1 1y Logo 0 volume de S é 1 xf 2y WPdy nly 25 933 9 582 26