Cálculo de Volume em Coordenadas Esféricas - Intersecção de Esfera e Cone

3 Sejam E e F regiões do espaço dadas por E x y z x2 y2 z2 4z e F x y z 3x2 3y2 z2 a Região E E x y z x2 y2 z2 4z x2 y2 z2 4z x2 y2 z2 4z 4 0 x2 y2 z 22 4 interior da esfera a centro 0 0 2 e raio 2 Região F F x y z 3x2 3y2 z2 3x2 3y2 z2 x2 y2 z23 interior do cone vértice 0 0 0 desenho que para cada valor de z temos um círculo de raio z3 encontrando o ângulo do cone z como vimos x z3 logo tgθ xz z3 z 33 θ 30 b G E F região dentro do cone e da esfera ao mesmo tempo mudança de variáveis para coordenadas esféricas x p senϕ cosθ y p senϕ senθ z p cosϕ fórmula fx y z dx dy dz fp ϕ θ x y zp ϕ θ d p d ϕ d θ x y zp ϕ θ xp yp zp xϕ yϕ zϕ xθ yθ zθ p2 sen ϕ zálante G fxyz dx dy dz G fp ϕ θ p2 senϕ d p d ϕ d θ Voltando à nossa integral nossa G E F x p senϕ cosθ 0 p 4 vai da origem ao final da esfera y p senϕ senθ 0 θ 2π percorre todo o plano xy z p cosϕ 0 ϕ π6 alei só até 30 como calculamos Calculando a integral 0π6 02π 04 ep3 p2 senϕ d p d θ d ϕ 0π6 02π 04 p2 p senϕ d p d θ d ϕ 0π6 sen2ϕ d ϕ 02π d θ 04 ep3 p2 d p 0π6 sen2ϕ d ϕ 0π6 1 cos 2ϕ2 d ϕ 0π6 12 d ϕ 0π6 cos 2ϕ2 d ϕ ϕ2 sen 2ϕ4 0π6 π12 3324 02π d θ θ02π 2π 04 ep3 p2 d p u p3 du 3p2 d p 04 eu du3 13 04 eu du 13 eu04 1 1e643 Integral 2π33242π31 1e64 π26 2π 33