EDO-Equacoes-Diferenciais-Ordinarias-Resolucao-de-Problemas

Questão 1 40 pts Determine a solução geral para as EDOs de ordem 2 abaixo ver formulário no final da página 2 a y 7y 0 b y 5y 0 c y 4y 5y 0 d y 3y 4y 0 e y 4y 4y 0 Questão 2 25 pts Use o wronskiano para mostrar que as soluções das equações c d e e da Questão 1 constituem um conjunto fundamental de soluções da EDO Questão 3 25 pts Suponha que as equações a d e e da Questão 1 têm as mesmas condições iniciais ou PVI de y0 1 e y0 1 Encontre a solução específica de cada um desses três itens Questão 4 3 pts Considere a seguinte EDO y y 2y sen 2t a Encontre a solução da parte homogênea b Suponha que a parte nãohomogênea tem a seguinte solução Yt A sen 2t B cos 2t encontre o valor de A e B c Monte a solução geral da equação Questão 5 4 pts Uma EDO do tipo y pty qty gt tem como solução geral yt c1y1t c2y2t Yt O termo Yt é a solução particular da parte nãohomogênea e depende das soluções da parte homogênea da equação y1t y2t de forma que Yt y1t y2tgtWy1 y2t dt y2t y1tgtWy1 y2t dt Use o Método de Variação de Parâmetros para encontrar a solução geral yt das seguintes EDO a y y 2y 2et b y 2y y exx Questão 6 2 pts Um corpo de 250g está preso a uma mola que estica 40 cm além do seu comprimento natural Põese a massa em movimento a partir do repouso com uma velocidade inicial de 4 ms para baixo Considere a resistência do ar de 2 s N e a aceleração da gravidade como 10 ms2 Determine a equação do movimento para qualquer instante t de tempo Questão 7 2 pts Um objeto de dez quilogramas está preso por uma mola de constante elástica 140 Nm Esse objeto é posto em movimento a partir do repouso com uma velocidade inicial de 1 ms para cima A força externa sofrida pelo corpo é de Ft 5 sen t e a resistência do ar 90 s N Escreva a equação do movimento para qualquer instante t de tempo Seja a equação Linear Homogênea de ordem 2 ay by cy 0 as soluções podem ser do tipo 1 Raízes distintas r1 r2 yt c1 er1t c2 er2t com W y1 y2 y1 y2 2 Raízes complexas r λ iμ yt c1 eλt cosμt c2 eλt senμt com W μe2λt 0 3 Raízes iguais r1 r2 yt c1 er1t c2 t er2t com W ebta 0 1a λ2 7λ 0 λ1 1 7 0 λ1 0 λ2 7 yt c1 c2 e7x b λ2 5 0 λ 5 yt c1 e5 x c2 e5 x c λ2 4λ 5 0 λ 4 16 202 2 u yt e2t c1 sen x c2 cos x d λ2 3λ 4 0 λ 3 9 162 3 72 yx e32 x c1 sen72 x c2 cos72 x e λ2 4λ 4 0 λ 4 16 162 2 yx c1 e2x c2 x e2x 2 c y1x c1 e2t sen x y2x c2 e2t cos x y1x c1 e2t cos x 2 sen x y2x c2 e2t sen x 2 cos x Wy1 y2 det y1 y2 y1 y2 c1 c2 e4t sen x 2 cos x sen x c1 c2 e4t cos x 2 sen x cos x c1 c2 e4t 0 Como Wy1 y2 0 as funções y1 e y2 constituem um conjunto fundamental d y1x e32 x c1 sen72 x y2x e32 x c2 cos72 x y1x c1 e32 x 72 cos7 x 2 32 sen7 x 2 y2x c2 e32 x 72 sen7 x 2 32 cos7 x 2 Wy1 y2 det y1 y2 y1 y2 c1 c2 e3x 72 cos7 x 2 32 sen7 x 2 cos7 x 2 c1 c2 e3x 72 sen7 x 2 32 cos7 x 2 sen7 x 2 c1 c2 e3x 72 0 Wy1 y2 0 as funções y1 e y2 são têm um conjunto fundamental de soluções do ETO d 1 y1x C1 e2x y1x 2 C1 e2x y2x C2 x e2x y2x C2 e2x 1 2x Wy1 y2 det y1 y2 y1 y2 C1 C2 e4x 1 2x C1 C2 x e4x 2 C1 C2 e4x 0 Wy1 y2 0 as funções y1 e y2 têm um conjunto fundamental de soluções do ETO e 3 yx c1 c2 e7x yx 7 c2 e7x y0 c1 c2 1 y0 7 c2 1 c1 c2 1 7 c2 1 c1 67 c2 17 yx 67 17 e7x 1 yx e32 x c1 sen7 x 2 c2 cos7 x 2 yx e32 x 72 c1 cos7 x 2 72 c2 sen7 x 2 32 c1 sen7 x 2 32 c2 cos7 x 2 y0 c2 1 y0 72 c1 32 c2 1 c2 1 c1 5 7 5 7 7 yx e32 x 5 7 7 sen7 x 2 cos7 x 2 2 yx c1 e2x c2 x e2x yx 2 c1 e2x c2 1 2x e2x y0 c1 1 c1 1 c2 3 y0 2 c1 c2 1 yx e2x 3xe2x 4 Parte homogênea y y 2y 0 Equação característica λ2 λ 2 0 λ 1 1 8 2 1 3 2 λ₁ 2 λ₂ 1 yht c₁e2t c₂et 5 ypt A sen 2t B cos 2t ypt 2A cos 2t 2B sen 2t ypt 4A sen 2t 4B cos 2t y y 2Y 4A sen 2t 4B cos 2t 2B sen 2t 2A cos 2t 2A sen 2t 2B cos 2t 6A 2B sen 2t 6B 2A cos 2t sen 2t 6A 2B 1 6B 2A 0 A 3B B 120 A 320 yt c₁e2t c₂et 320 sen 2t 120 cos 2t 5 solução homogênea foi encontrada no exercício 4 yht c₁ e2t c₂ et W detc₁ e2t c₂ et 2c₁ e2t c₂ et c₁ c₂ et 2c₁ c₂ et 3c₁ c₂ et y₁ y₂ gt W dt c₁ e2t c₂ et 2et 3c₁ c₂ et dt 2e2t 3 e3t dt 2 9 et c y₂ y₂ y₁ gt W dt c₂ et c₁ e2t 2et 3c₁ c₂ et dt 2 3 et 1 dt 2 3 t et yt c₁ e2t c₂ et 23 t et 6 solução homogênea y 2y y 0 Eq característica λ2 2λ 1 0 λ 2 4 4 2 1 yx c₁ ex c₂ x ex y₁x ex y₁x ex y₂x x ex y₂x ex 1 x Wy1y2 det y1 y2 ex t1 x xe2x e2x y2 y2 gtx dt w ex x e2 exx dt e2x dt ex 1 dx x ex ĉ y2 x y2 y1 gtx dt w x ex ex exx dt e2x x ex dx x x ex ln x solução geral y x c1 ex c2 x ex x ex ln x 6 constante do molc kx mg k x 04 025 x 10 k 625 Nm equação m x kx 2 x x0 04 x 0 4 x km x 2m x 0 x 8 x 25 x 0 eq característica x2 8 x 25 0 λ 8 64 100 2 4 3i xt e8t c1 cos 3t c2 sen 3t xt e8t 3 c1 sen 3t 3c2 cos 3t 8 c1 cos 3t 8 c2 sen 3t x0 c1 04 c1 04 m x0 3 c2 8 c1 4 c2 24 ms ce æ Șș 1 î O j O J ść e t o A æ XŁ T I O śı fi OŻ t lŠ 0 I J it1 O Wy1y2 det y1 ẏ2 y2 gt dt w e2t 12 sen t dt 5 e9t e7t 10 dt 1500 cos t sen t Olhar últ ma y2 gt w e2t dt 150 2 sen t cos t Olhar últ ma t q o a qlt Q yfi œ 0 O I fi x ïo c c ÎLLš c ç to Ț ż o e7t sen t dt I Realizando integração por partes I e7t cos t 7 e7t cos t dt e7t cos t 7 e7t sen t 7 e7t sen t dt e7t cos t 7 e7t sen t 49 I I 150 e7t 7 sen t cos t e2t sen t dt I2 Realizando integração por partes I e2t cos t 2 e2t cos t dt e2t cos t 2 e2t sen t 2 e2t sen t dt e2t cos t 2e2t sen t 4 I I 15 e2t 2 sen t cos t