Funções Vetoriais - Definição, Domínio, Limite, Derivadas e Integrais

Folha 17 Quadra 04 Lote Especial Nova Marabá CEP 68505080 MarabáPA Fone 21015903 Fax 21015901 Campus II da Unifesspa CÁLCULO DIFERENCIAL E ENTEGRAL II UNIDADE03 FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS Prof EVALDINEY MONTEIRO DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO VETORIAL Uma função vetorial é definida por suas componentes xt yt e zt e t é o parâmetro rt xtytzt ou rt xti yt j ztk DOMINIO DE FUNÇÃO VETORIAL O domínio da função vetorial é dado pela intersecção dos domínios de suas componentes Drt Dxt Dyt Dzt t LIMITE DE FUNÇÃO VETORIAL O limite de uma função vetorial quando t a é dado por t a t a t a t a lim rt limxt i limyt j limzt k O limite da função vetorial existe se os limites das funções componentes existem Obs Todas as regras vistas em cálculoI Funções de uma variável real são validas CONTINUIDADE DE FUNÇÃO VETORIAL A continuidade de uma função vetorial é tal que se t a lim rt ra E desde que todas as componentes sejam continuas em a DERIVADAS DE FUNÇÃO VETORIAL A derivada de uma função vetorial é dada por drt dxt dyt dzt dt dt dt dt ou drt dxt dyt dzt i j k dt dt dt dt Obs Todas as regras vistas em cálculoI Funções de uma variável real são validas INTEGRAIS DE FUNÇÃO VETORIAL A integral definida de uma função vetorial é dada por b b b b a a a a rtdt xtdt ytdt ztdt ou b b b b a a a a rtdt xtdt i ytdt j ztdt k Obs Todas as regras vistas em cálculoI Funções de uma variável real são validas Folha 17 Quadra 04 Lote Especial Nova Marabá CEP 68505080 MarabáPA Fone 21015903 Fax 21015901 Campus II da Unifesspa Exemplo1 Domínio de funções vetoriais Determine o dominio da funções vetoriaial 3 rt t ln3 t t Neste caso a lei de formação de cada função é 3 xt t yt ln3 t e zt t Observase a lei de formação de cada coordenada individualmente para compor o domínio da função vetorial i Para a variável 3 xt t Esta função não apresenta restrição quanto a sua variável independente pois 3t pode assumir qualquer valor na reta real ii Para a variável yt ln3 t Para esta função logarítmica seu argumento deve ser sempre positivo e diferente de zero em símbolos matemáticos temse 3 t 0 t 3 x 1 t 3 iii Para a variável zt t Neste caso o parâmetro t deve assumir valores maiores ou iguais a zero por se tratar de uma função racional de expoente 12 que matematicamente é representado por t 0 Leis de formação Restrições Domínios das coordenadas 3 xt t yt ln3 t zt t 3t t ln3 t 3 t 0 t t 0 Dx Dy t t 3 Dz t 0 t Domínio da função vetorial Dr t 0 t 3 ou Dr 03 Representação dos intervalos Folha 17 Quadra 04 Lote Especial Nova Marabá CEP 68505080 MarabáPA Fone 21015903 Fax 21015901 Campus II da Unifesspa LISTA DE ATIVIDADES PARA A SEGUNDA AVALIAÇÃO 60 Dominio de funções vetorias 1Determine o dominio das funções vetoriais 11 2 3t rt 4 t e lnt 1 114 2 rt t 2 t 1 t 4 12 2 t 2 rt i sent j ln9 t k t 2 115 2 rt t 2 t t 9 Limites de funções vetorias 2Determine t a lim rt se 21 2 3t 2 t rt e cos2t a 0 sen t 22 2t 1 sen t rt t 8 a 1 t 1 lnt Derivadas de funções vetorias Folha 17 Quadra 04 Lote Especial Nova Marabá CEP 68505080 MarabáPA Fone 21015903 Fax 21015901 Campus II da Unifesspa Integrais de funções vetorias Domínio de funções vetoriais 11 vt4t² e3t ln1t 4t² 4t²0 2t2 e3t D₂R ln1t t1 D₁xtR 1t2 12 v₂t t2 t2 i mnt j ln9t² t2 t2 t 2 ln9t² 3t3 sint t R Dv₂t tR 3t3 e t 2 114 v³tt2 t1 t²4 t2 t2 t²4 t2 e t 2 t1 t1 D₃ t R t2 115 t2 t t²9 t2 t2 t t0 t²9 t3 e t3 t3 Limites de funções vetoriais 21 rt e3t t2 cos2 t sen2 t lim t0 e3t e0 1 Por Lhopital lim t0 t2 sen2 t lim t0 2t 2sen t cos t lim t0 t sen t cos t 1 cos t lim t0 sen t t1 1 cos t 11 1 1 lim t0 cos 2t cos 0 1 lim t0 rt 111 22 rt t21t1 sqrtt8 sen Pi t ln t lim t1 t21t1 lim t1 t1t1t1 11 2 lim t1 sqrtt8 sqrt18 sqrt9 3 lHopital lim t1 sen Pi t ln t lim t1 Pi cos Pi t 1t Pi cos Pi Pi lim rt 23Pi Derivadas de funções vetoriais 1 x t sen t dydt 2t 1 y t2 t dydt dydx dxdt dxdt sen t t cos t dydx 2t 1 sen t t cos t 2 x 1t dxdt 1t2 y sqrt t et dydt 12sqrt t et sqrt t et dydx dydt dxdt et 2t et 2 sqrt t t2 et 2t et 2 sqrt t 1t2 3 x t4 1 y t3 t t 1 dxdt 4t3 dydt 3t2 1 quando t 1 x 14 1 2 y 13 1 1 1 0 2 rt dxdt dydt dxdt 1 4 dydt 1 312 1 4 rt P t rt 22 t44 24t 2 4t rt 2 4t 2 4t y x 4 x t t1 t 1 y 1 t2 dxdt 1 1t2 dydt 2t quando t1 x 111 0 y 1 12 2 dxdt t1 1 112 1 1 2 dydt 21 2 rt P t rt 02 t 22 rt 2t 2 2t y x 2 5 x t cos t t π y t sin t dxdt cos t t sin t dydt sin t t cos t x π cos π π 1 π y π sin π π 0 0 dxdt tπ cos π π sin π 1 dydt tπ sin π π cos π π vt π 0 t 1 π vt π t π t 7 a x 1 ln t 13 y t2 2 1 1 ln k k 1 k 1 3 k2 2 k 1 dxdt 1t dydt 2t vt 13 t 12 1t 32t b Eliminando o parâmetro x 1 ln t ln t x 1 t ex1 y ex12 2 e2x1 2 yx e2x2 2 dydx 2 e2x2 dydx 1 2 y y0 dydx 1 x x0 y 3 2 x 1 y 2x 1 8 x 1 t y et2 2e a 2 1 t t 1 t 1 t 1 e et2 t2 1 t 1 dxdt 12t dydt 2t et2 t 1 vt 2e t 12 2e 2 12 t e 2 e t b Eliminando o parâmetro t x 1 t x 12 y ex122 ex14 dydx 4x13 ex14 dydx 2 4 e y e 4 e x 2 y 4 e x 7 e x t2 1 y t2 t dxdt 2t dydx dydt dxdt 2t 1 2t dydt 2t 1 d2ydx2 ddt dydx dxdt ddt 1 12t 2t 14t3 d2ydx2 0 função crescente 14t3 0 t 0 A curva é concáva para cima para t0 x t3 12t y t2 1 dxdt 3t2 12 dydx dydt dxdt 2t 3t2 12 dydt 2t d2ydx2 ddt 2t 3t2 12 dxdt ddt 2t 3t2 12 23t2 12 2t6t 3t2 122 6t2 24 3t2 122 d2ydx2 6t2 24 3t2 123 6t2 4 3t2 123 d2ydx2 0 6t2 4 3t2 123 0 sign analysis for t values 2 0 2 t in 2 2 13 dxdt et dydt et t et et 1 t dydx dydt dxdt et1 t et e2t 1 t d²ydx² ddt e2t1t dxdt 14 dxdt 2t Integrais de funções retornas 33 x 1 et dxdt et y t t2 y 0 dydt 1 2t t t2 0 t1t 0 t 0 t 1 A ₀¹ t t²et dt ₀¹ t et t² et dt ₀¹ t et dt ₀¹ t² et dt u t² v et du 2t dt dv et ₀¹ t et t² et ₀¹ ₀¹ 2t et dt ₀¹ t et t² et ₀¹ 2 ₀¹ t et dt 3 ₀¹ t et e 3 ₀¹ eu du ₀¹ et dt e w t u t dv et 3e e 1 e 31 e 3 e 37 dxdt 1 et dydt 1 et ₀² dxdt² dydt² dt ₀² 1 et² 1 et² dt ₀² 1 2et e2t 1 2et e2t dt ₀² 2 2e2t dt 2 ₀² 1 e2t dt 31416 38 dxdt 2t 1 dydt 4t3 ₁⁴ dxdt² dydt² dt ₁⁴ 2t 1² 4t3² dt ₁⁴ 4t² 4t 1 16t6 dt 2553756 41 dxdt 6t dydt 6t2 ₀¹ 6t2 6t22 dt ₀¹ 36t2 36t4 dt ₀¹ 36t21 t2 dt ₀¹ 6t 1t2 dt 6 ₀¹ t 1t2 dt 3 ₁² u du u 1 t2 t0 u 1 t1 u 2 du 2 t dt t dt 12 du 3 23 u32 ₁² 2 u32 ₁² 2 8 2 42 2 222 1 42 dxdt et et dydt 2 ₀³ et et2 22 dt ₀³ e2t 2 e2t 4 dt ₀³ e2t 2 e2t dt ₀³ et et2 dt ₀³ et et dt ₀³ et dt ₀³ et dt et03 et03 e3 1 e3 1 e3 e3 e3 1e3