Calculo de Area Entre Curvas com Integral Definida - Exercicios e Aplicacoes

TÍTULO A UTILIZAÇÃO DA INTEGRAL NO CÁLCULO DA ÁREA ENTRE CURVAS CONTEXTUALIZAÇÃO Para encontrarmos a área entre as curvas y fx e y gx onde fx g x para alguns valores de x mas gx fx para outros valores de x então dividimos determinada região S em várias regiões S₁ S₂ com áreas A₁ A₂ como mostrado na figura abaixo Em seguida definimos a área da região S como a soma das áreas das regiões menores S₁ S₂ ou seja A A₁ A₂ Ā seguindo as seguintes normas Dessa forma temos a seguinte expressão par o cálculo da área A A área entre as curvas y fx e y gx e entre x a e x b é A ab fx gx dx IMAGEM REPRESENTATIVA Fonte Alfa Connection PROPOSTA DA ATIVIDADE Encontre a área delimitada pelas funções y5xx2 e yx e descreva todo o processo A imagem da área está representada na figura abaixo CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO Resolução completa da atividade mostrando os cálculos com justificativas A postagem precisa estar coerente com a contextualização e a proposta da atividade informada acima Seja sucinto e coerente Cópia da solução dos colegas ou da Internet reduzirá a nota a ZERO ATIVIDADE 2 CONTEÚDOS DE REFERÊNCIA E PESQUISA Para explorar e construir um embasamento teórico sólido você poderá pesquisar em Unidade 1 INTEGRAÇÃO E INTEGRAL DEFINIDA Unidade 2 CÁLCULO DAS INTEGRAIS DEFINIDAS E INDEFINIDAS Artigo APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA NA ECONOMIA UMA VISÃO DO FUTURO PROFESSOR disponível em httpswwwufsmbrcursospos graduacaosantamariappgemefwpcontentuploadssites534202003 CCValleJaquelinepdf IMAGEM REPESENTATIVA Disponível em https2imgnethi1145photobucketcomalbumso507EuclidesPiR2 Apressurezps58480e3bpng Acesso em 14 de agosto de 2020 CONTEXTUALIZAÇÃO DA ATIVIDADE O estudo da integral em cálculo muitas vezes é visto distante do mundo real mas quando aprofundamos nesse conteúdo encontramos a aplicação da integral indefinida em vários setores como na computação economia entre outras áreas PROPOSTA DA ATIVIDADE Após explorar os conteúdos de referência elabore um texto dissertativo Introdução desenvolvimento e conclusão informando o nome do curso disciplina tutor e o nome do aluno buscando respaldo teórico em estudiosos que abordem os seguintes aspectos Definição da Integral Definida Cite pelo menos 3 aplicações da Integral Definida e como é aplicada Dê exemplos dessa aplicação da Integral Definida Por fim concluindo seu texto apresente seu ponto de vista mostrando a importância da aplicação da integral definida CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO O texto deverá conter cabeçalho informando o nome do curso disciplina tutor e o nome do aluno O texto construído precisa ser de sua autoria com no mínimo 1 lauda e no máximo uma 3 laudas As citações utilizadas no texto devem ser apresentadas corretamente com base na ABNT Ver site httpswwwnormasabntorg O conteúdo precisa estar coerente com a contextualização e a proposta da atividade informada acima A formatação do texto deverá seguir os seguintes critérios I Construir o texto em parágrafos II Atentar para a escrita correta das palavras acentuação e sinais de pontuação III Formatação fonte Arial ou Times New Roman tamanho 12 IV Espaçamento entre linhas 15 V Margens esquerda e superior 3cm direita e inferior 2cm A atividade precisa ser postada em formato PDF DICAS FINAIS Pesquise sobre o assunto O texto disponível em conteúdo de referência é um norte sobre a aplicação da integral definida A nota do Estudo Dirigido será registrada a partir da correção do tutor e estará disponível na data informada em seu CRONOGRAMA Demanda de Cálculo II 1 Encontre a área delimitada pelas funções y 5x x2 e y x e descreva todo o processo A imagem da área está representada na figura abaixo RESOLUÇÃO Para encontrarmos a área entre duas curvas usamos o conceito fundamental de integral definida o qual é mostrado abaixo a b f x g x dx Na equação mostrada acima a e b representam o intervalo de integração enquanto f x e gx correspondem às funções as quais a área está limitada Para continuarmos a resolução vamos encontrar os limites de integração a e b Para tal vamos igualar as duas funções y y e encontrar suas raízes 5 xx 2x 5 xx 2x0 x 24 x0 Encontrando as raízes da equação acima teremos x 24 x0 x x4 0 Desse modo teremos que x0e x4 Logo teremos que a integração será no intervalo de 0 até 4 Determinado o intervalo de integração vamos montar e resolver a integral a b f x g x dx 0 4 5xx 2xdx Simplificando a expressão do módulo teremos I 0 4 x 24 xdx Ix 3 3 4 x 2 2 Ix 3 3 2 x 2 Aplicando os limites de integração teremos Ix 3 3 2 x 2 I 4 3 3 24 2 0 3 3 2 0 2 I 64 3 320 I 32 3 ua Ou seja verificamos que a área delimitada pelas curvas dadas é igual a 323 unidades de área Demanda de Cálculo II 1 INTRODUÇÃO As integrais definidas são um ramo fundamental da matemática que se concentra na determinação da área sob uma curva em um intervalo específico Representam a soma acumulada de infinitos pequenos segmentos ou a integral de uma função em um intervalo definido O símbolo é usado para denotar integrais definidas Sua importância se estende por várias áreas das ciências como física engenharia economia e muitas outras disciplinas Na física por exemplo as integrais definidas são vitais para calcular a energia o trabalho e a área sob gráficos que representam quantidades variáveis ao longo do tempo Na engenharia são utilizadas para determinar propriedades como a massa o centro de massa e o momento de inércia em objetos complexos Em economia são empregadas para modelar fenômenos financeiros como o cálculo de lucros custos e taxas de crescimento em diferentes cenários Essa ferramenta matemática é crucial para compreender e modelar fenômenos contínuos e variáveis ao longo de um intervalo fornecendo uma base sólida para a análise e resolução de uma ampla gama de problemas nas ciências e na vida cotidiana 2 DESENVOLVIMENTO 21 Definição de integral definida De acordo com Stewart 2002 as integrais definidas constituemse como uma ferramenta fundamental da matemática que descreve a acumulação de valores de uma função ao longo de um intervalo específico Elas representam a área aproximada sob uma curva de uma função entre dois limites denotada pelo símbolo Enquanto as integrais indefinidas são antiderivadas as integrais definidas fornecem um número real como resultado representando a área sob uma curva em um intervalo determinado 22 Aplicações das integrais definidas 221 Economia De acordo com Valle et al 2019 as integrais definidas desempenham um papel significativo na economia fornecendo ferramentas matemáticas essenciais para modelar e resolver uma variedade de problemas Algumas das aplicações das integrais definidas na economia incluem Cálculo de Lucros e Receitas As integrais podem ser usadas para determinar os lucros totais ao integrar a função de receita em relação ao tempo ou quantidade de produtos vendidos Custo Total e Marginal Ao integrar a função de custo total é possível calcular o custo total de produção A derivada da função de custo total fornece o custo marginal que é a mudança no custo total pela produção adicional de uma unidade Análise de Elasticidade Integrais são aplicadas na análise de elasticidade da demanda e da oferta permitindo entender como as quantidades demandadas ou ofertadas respondem a mudanças nos preços Determinação de Áreas de Produção e Consumo Na teoria do consumidor integrais podem ser usadas para representar curvas de indiferença e calcular a área sob essas curvas ajudando a determinar o consumo ideal sujeito a restrições de orçamento Modelagem de Crescimento Econômico Integrais são fundamentais para modelar e analisar o crescimento econômico em modelos macroeconômicos como no cálculo da acumulação de capital ao longo do tempo Avaliação de Investimentos e Ativos Financeiros Na avaliação de investimentos integrais são empregadas para calcular o valor presente líquido VPL e o valor atual de fluxos de caixa futuros auxiliando na tomada de decisões de investimento 222 Engenharia As integrais definidas desempenham um papel significativo na economia fornecendo ferramentas matemáticas essenciais para modelar e resolver uma variedade de problemas Algumas das aplicações das integrais definidas na economia incluem Cálculo de Lucros e Receitas As integrais podem ser usadas para determinar os lucros totais ao integrar a função de receita em relação ao tempo ou quantidade de produtos vendidos Custo Total e Marginal Ao integrar a função de custo total é possível calcular o custo total de produção A derivada da função de custo total fornece o custo marginal que é a mudança no custo total pela produção adicional de uma unidade Análise de Elasticidade Integrais são aplicadas na análise de elasticidade da demanda e da oferta permitindo entender como as quantidades demandadas ou ofertadas respondem a mudanças nos preços Determinação de Áreas de Produção e Consumo Na teoria do consumidor integrais podem ser usadas para representar curvas de indiferença e calcular a área sob essas curvas ajudando a determinar o consumo ideal sujeito a restrições de orçamento Modelagem de Crescimento Econômico Integrais são fundamentais para modelar e analisar o crescimento econômico em modelos macroeconômicos como no cálculo da acumulação de capital ao longo do tempo Avaliação de Investimentos e Ativos Financeiros Na avaliação de investimentos integrais são empregadas para calcular o valor presente líquido VPL e o valor atual de fluxos de caixa futuros auxiliando na tomada de decisões de investimento 223 Matemática As integrais definidas desempenham um papel fundamental na matemática particularmente no cálculo de áreas de regiões limitadas por curvas Elas fornecem uma maneira precisa de determinar a área sob uma curva ou entre curvas em um intervalo específico No contexto do cálculo de áreas as integrais definidas são utilizadas principalmente para encontrar a área de regiões não retangulares e irregulares A integral definida de uma função fx entre dois limites a e b denotada por a b fx dx fornece a área exata da região delimitada pelo gráfico da função fx pelo eixo x e pelos limites a e b Seja uma função fx 0 no intervalo a b a área entre a curva e o eixo x pode ser calculada usando a integral definida A a b f x dx Essa fórmula é particularmente útil para calcular áreas de regiões não simples como regiões delimitadas por curvas complicadas ou formas irregulares Por exemplo para encontrar a área sob uma curva simples como y fx pode se integrar a função entre os limites a e b A a b f x dx As aplicações das integrais definidas no cálculo de áreas são vastas e encontram uso em várias áreas da matemática e em campos relacionados como física engenharia economia e ciências naturais A capacidade de calcular áreas de regiões irregulares usando integrais definidas torna essa ferramenta matemática uma base crucial para resolver uma variedade de problemas quantitativos e qualitativos em diferentes disciplinas 2231 Exemplo de cálculo de área Encontre a área delimitada pelas funções y 5x x2 e y x e descreva todo o processo A imagem da área está representada na figura abaixo RESOLUÇÃO Para encontrarmos a área entre duas curvas usamos o conceito fundamental de integral definida o qual é mostrado abaixo a b f x g x dx Na equação mostrada acima a e b representam o intervalo de integração enquanto f x e gx correspondem às funções as quais a área está limitada Para continuarmos a resolução vamos encontrar os limites de integração a e b Para tal vamos igualar as duas funções y y e encontrar suas raízes 5 xx 2x 5 xx 2x0 x 24 x0 Encontrando as raízes da equação acima teremos x 24 x0 x x4 0 Desse modo teremos que x0e x4 Logo teremos que a integração será no intervalo de 0 até 4 Determinado o intervalo de integração vamos montar e resolver a integral a b f x g x dx 0 4 5xx 2xdx Simplificando a expressão do módulo teremos I 0 4 x 24 xdx Ix 3 3 4 x 2 2 Ix 3 3 2 x 2 Aplicando os limites de integração teremos Ix 3 3 2 x 2 I 4 3 3 24 2 0 3 3 2 0 2 I 64 3 320 I 32 3 ua Ou seja verificamos que a área delimitada pelas curvas dadas é igual a 323 unidades de área 3 CONCLUSÃO Por meio da realização dessa pesquisa podese concluir que os objetivos do trabalho foram atingidos com sucesso haja vista que com a presente pesquisa tornou se possível a difusão de informações relacionadas as principais aplicações das integrais definidas no mundo real Além disso este trabalho contribuiu de forma significativa para a formação de conhecimento sobre a temática de cálculo diferencial bem como serviu de direcionamento para o treinamento de escrita científica o que é de grande relevância para o discente Como sugestão para trabalhos futuros pode ser realizado um aperfeiçoamento desta pesquisa citando mais fontes ou ainda podem ser realizados estudos de caso que contemplem mais aplicações das integrais em estudos de caso variados REFERÊNCIAS STEWART James Cálculo Volume 1 6ª Ed Harba São Paulo SP 2002 VALLE et al APLICAÇÃO DA INTEGRAL DEFINIDA NA ECONOMIA UMA VISÃO DO FUTURO PROFESSOR disponível em httpswwwufsmbrcursosposgraduacaosantamariappgemefwpcontentuploads sites534202003CCValleJaquelinepdf 2019