Integral Derivar Indefinida

62 EXERCÍCIOS Nos exercícios de 1 a 10 calcular a integral e em seguida derivar as respostas para conferir os resultados Cálculo A Funções Limite Derivação Integração Introdução à integração 347 64 EXERCÍCIOS Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição 2x2 2x 3 10 2x 1 dx x3 2 17 x2 dx f 5 x dx 1X 5x 4 3x2 dx 1 1Ix2 2x4 dx f e2t 2 13 e2t dt et dt u et 4 1 eix 2 x2 dx tg x sec2 x dx 10 senil x cos x dx 11 sen x dx COS5 X 1 2 sen x 5 cos x dx cos x 15 1 ex cos 2 et dx 15 sen 50 7t de 2 sec2 0 de a b tg 0 cos X2 dx 3i arc sen y dy y2 18 dx 16 r2 19 dy y 4y 4 S g sen 0 cos O de 348 Cálculo A Funções Limite Derivação Integração ln x2 x dx 22 f N3 t4 t2 dt 24 3 dx 26 I x2 4x 1 3 28 dx x 1 f sen 4x cos 27c dx 30 f x e3x2 dx dt 32 34 t ln t f e2x 25 e2x dx f cos x 36 38 40 dx 3 sen x 5 x2 V1 x dx f t cos t2 dt 42 1 sen12 2 O cos 2 O dO 44 21 23 25 31 33 35 27 29 37 39 41 43 e earf dx 4 dx 4 xa 20x 34 est dx e2x 16 3 dx x lna 3x 2x2 1 x dx dt 2 8x I1 2x2 dx ef 4 t dt 4 t2 5 l dv i iv 1 Nfv5 f x4 e xsdx 5 8x2 16x3 5 dx 5 seca 5x 3 dx Introdução à integração 349 45 sen O dO 5 cos 03 46 cotg u du 47 f 1 eat32 eat dt a O 48 1 cos x dx 49 r Ft 4 dt 50 x2 sen 2x3 4x dx 65 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES Sejam fx e gx funções deriváveis no intervalo I Temos fx gx fx g x gx f x ou fx g x fx gx gx f x Integrando ambos os lados dessa equação obtemos f x g x dx f f x g xr dx g x f x dx ou ainda f x g x dx f x g x 1 g x f x dx 1 Observamos que na expressão 1 deixamos de escrever a constante de inte gração já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras Todas elas podem ser representadas por uma única constante c que introduziremos no final do processo Na prática costumamos fazer u fx du f x dx Resoluções dos Exercícios 62 EXERCÍCIOS Nos exercícios de 1 a 10 calcular a integral em seguida derivar as respostas para conferir 1 x 2 dx 2 9 x 3 dx 3 ax4 bx3 3c dx 4 1x xx3 dx 5 2x3 3 2 dx 6 sen2 x dx 7 3y 2y y dy 8 x2 3 3x2 3 dx 9 x2 x dx 10 x2 1 x2 1 dx Nos exercícios de 11 a 30 calcular as integrais indefinidas 11 1 x2 dx 12 1 2x 1 dx 14 1 x2 dx 16 8x4 9x2 6x2 2x 1 dx 18 cosθ tgθ dθ 19 x c n dx 20 1 rr r3 r4 5 r dr 21 x 12 5 x dt 22 x2 2 cosh t dt 23 sec2 x cos3 x 1 dx 24 ax dx a2 ϵ 0 constante 25 x2 1 x 1 dx 26 3 8 2 6 t 1 2 3 dt 27 e 4 16t 3 t dt 29 t2 cos2 x dt 31 x 12 x dx 28 ln x x ln x2 dx 30 x 1 2 x 1 2 dx 32 Encontrar uma primitiva F da função Fx x2p x que satisfaz F1 1 33 Determinar a função Fx tal que cos2 x x2 2 cos 2x c 34 Encontrar uma primitiva da função fx 12x2 12 que se anula no ponto x 2 35 Sabendo que a função Fx satisfaz a igualdade x x cos x 1 x2 c determinar fx 36 Encontrar uma função f tal que fx sen x 0 e f0 2 Exercício 1 Calcule a integral 1 x3 dx Utilizando a regra da potência 1 2x2 C Derivando o resultado ddx 1 2x2 1 x3 Resposta Final 1 2x2 C Exercício 2 Calcule a integral 9t2 1 t3 dt Separando os termos 9t2 dt t 3 2 dt Calculando as integrais 3t3 2t 12 C Derivando o resultado ddt 3t3 2t 12 9t2 1 t3 Resposta Final 3t3 2t 12 C Exercício 3 Calcule a integral ax4 bx3 3c dx Integrando cada termo a 5 x5 b 4 x4 3cx C Derivando o resultado ddx a5 x5 b4 x4 3cx ax4 bx3 3c Resposta Final a5 x5 b4 x4 3cx C Exercício 4 Calcule a integral 1x xx3 dx Separando os termos x12 dx 13 x32 dx Calculando as integrais 2x 215 x52 C Derivando o resultado ddx 2x 215 x52 1x xx3 Resposta Final 2x 215 x52 C Exercício 5 Calcule a integral 2x2 32 dx Expansão 2x2 32 4x4 12x2 9 Integrando 4x4 12x2 9 dx 45 x5 4x3 9x C Derivando o resultado ddx 45 x5 4x3 9x 22x2 3 Resposta Final 45 x5 4x3 9x C Exercício 6 Calcule a integral 1sin2x dx Utilizando a identidade csc2x dx cotx C Derivando o resultado ddx cotx csc2x Resposta Final cotx C Exercício 7 Calcule a integral 2y 12y dy Separando os termos 2y12 dy 12 y12 dy Calculando as integrais 23 212 y32 212 2 y12 C Derivando o resultado ddy 23 212 y32 212 2 y12 2y 12y Resposta Final 23 212 y32 212 2 y12 C Exercício 8 Calcule a integral 23t2 3 dt Fatorando 23 1t2 1 dt 23 tan1t C Derivando o resultado ddt 23 tan1t 23 t2 1 Resposta Final 23 tan1t C Exercício 9 Calcule a integral x3 x dx x72 dx Calculando a integral 29 x92 C Derivando o resultado ddx 29 x92 x3 x Resposta Final 29 x92 C Exercício 10 Calcule a integral x5 2x2 1x4 dx Separando os termos x 2x2 1x4 dx Calculando as integrais x22 2x 13x3 C Derivando o resultado ddx x22 2x 13x3 x 2x2 1x4 Resposta Final x22 2x 13x3 C Exercício 11 Calcule a integral x2x2 1 dx Separando os termos 1 1x2 1 dx 1 dx 1x2 1 dx Calculando as integrais x tan1x C Resposta Final x tan1x C Exercício 12 Calcule a integral x21 x2 dx Separando os termos 1 1x2 dx 1 dx 1x2 dx Calculando as integrais x 1x C Resposta Final x 1x C Exercício 13 Calcule a integral sinx cos2x dx Reescrevendo tanx sec2x dx Usando a substituição u tanx u du 12 u2 C 12 tan2x C Resposta Final 12 tan2x C Exercício 14 Calcule a integral 9 1 x2 dx Reescrevendo 3 1 1 x2 dx Isso resulta em 3 sin1x C Resposta Final 3 sin1x C Exercício 15 Calcule a integral 4 x4 x2 dx Fatorando o denominador 2 x2x2 1 dx Utilizando a substituição x secθ 2 secθ dθ 2 ln secθ tanθ C Substituindo de volta 2 ln 2 1 x2 C Resposta Final 2 ln 2 1 x2 C Exercício 16 Calcule a integral 8x4 9x3 6x2 2x 1 x2 dx Separando os termos 8x2 9x 6 2x 1x2 dx Calculando as integrais 83x3 92x2 6x 2 ln x 1x C Resposta Final 83x3 92x2 6x 2 ln x 1x C Exercício 17 Calcule a integral et2 t 1t dt Separando os termos Calculando as integrais 12 et 23 t32 ln t C Resposta Final 12 et 23 t32 ln t C Exercício 18 Calcule a integral cosθ tanθ dθ Reescrevendo cos2θ cosθ dθ cosθ dθ sinθ C Resposta Final sinθ C Exercício 19 Calcule a integral ex ex dx Separando os termos ex dx ex dx Calculando as integrais ex ex C Resposta Final ex ex C Exercício 20 Calcule a integral t t 3t 4t 5t dt Separando os termos t dt t12 dt 3 t12 dt 2 t12 dt 5 t12 dt Calculando as integrais t22 23 t32 2sqrt33 t32 43 t32 2sqrt53 t32 C t22 2 2sqrt3 4 2sqrt53 t32 C Resposta Final t22 6 2sqrt3 2sqrt53 t32 C Exercício 21 x13 5x dx Passo 1 Simplificando a expressão x13 5x x43 5x1 Passo 2 Agora integramos termo a termo x43 5x1 dx x43 dx 5 x1 dx Passo 3 Calculando as integrais x43 dx x1313 3x13 x1 dx ln x Resultado 3x13 5 ln x C Exercício 22 2t sqrt2et cosht dt Passo 1 Integramos cada termo separadamente 2t dt sqrt2 et dt cosht dt Passo 2 As integrais são 2t dt 2t ln2 et dt et cosht dt sinht Resultado 2t ln2 sqrt2et sinht C Exercício 23 sec2xcos3x 1 dx Passo 1 Distribuindo a integral sec2x cos3x dx sec2x dx Passo 2 Usamos a identidade sec2x 1 tan2x sec2x dx tanx Passo 3 Para a integral de sec2x cos3x tan3x dx isso requer integração por partes ou outra técnica Resultado tanx C Exercício 24 1ax2 a2 dx Passo 1 Fatorando o denominador 1a2x2 1 dx 1a2 1x2 1 dx Passo 2 Sabemos que 1x2 1 dx tan1x Resultado 1a2 tan1xa C a 0 Exercício 25 x2 1x2 1 dx Passo 1 Separando a integral 1 dx 2x2 1 dx Passo 2 Calculando as integrais 1 dx x 2x2 1 dx 2 tan1x Resultado x 2 tan1x C Exercício 26 8sqrt3t 26 t 123 dt Passo 1 Usando a regra do produto 8sqrt3 t 26 t 123 dt Passo 2 Essa integral pode ser resolvida por expansão polinomial e depois integração 8sqrt3n 1 t 2n1 C para n 6 e outros termos Exercício 27 et sqrt416 t 3t3 dt Passo 1 Integrando cada termo et dt sqrt416 t dt 3 t3 dt Passo 2 Calculando as integrais et sqrt432 t2 32t2 C Exercício 28 lnx x lnx2 dx Passo 1 Simplificando lnx2x lnx dx 12 1x dx Resultado 12 ln x C Exercício 29 tan2x csc2x dx Passo 1 Usando a identidade csc2x 1 cot2x tan2x1 cot2x dx Passo 2 Simplificando e integrando cotx C Exercício 30 x 12 x 12 dx Passo 1 Expandindo x2 12 dx Passo 2 Integrando x4 2x2 1 dx x55 2x33 x C Exercício 31 1n 12 tn dt Passo 1 Integrando 1n 12 tn dt 1n 12n1 tn1 C n Z Resultado final para o Exercício 31 1n 12n1 tn1 C Exercício 32 Calcule uma primitiva F da função fx x23 x que satisfaz F1 1 Passo 1 Vamos encontrar a primitiva Fx Fx x23 x dx Passo 2 Calculando as integrais x23 dx x53 53 35 x53 x dx x22 Fx 35 x53 x22 C Passo 3 Usando a condição F1 1 F1 35 153 122 C 1 35 12 C 1 Calculando C C 1 35 12 1 610 510 1 1110 110 Resultado Fx 35 x53 x22 110 Exercício 33 Determinar fx tal que fx dx x2 12 cos2x C Passo 1 Derivando ambos os lados fx ddx x2 12 cos2x Passo 2 Calculando a derivada ddx x2 2x ddx 12 cos2x 12 2 sin2x sin2x fx 2x sin2x Resultado fx 2x sin2x Exercício 34 Encontrar uma primitiva da função fx 1x2 1 que se anule no ponto x 2 Passo 1 A primitiva de fx Fx 1x2 1 dx tan1x C Passo 2 Usando a condição F2 0 F2 tan12 C 0 C tan12 Resultado Fx tan1x tan12 Exercício 35 Sabendo que a função fx satisfaz a igualdade fx dx sinx x cosx 12 x2 C Determinar fπ4 Passo 1 Derivando ambos os lados fx ddx sinx x cosx 12 x2 Passo 2 Calculando a derivada ddx sinx cosx ddx x cosx cosx x sinx ddx 12 x2 x fx cosx cosx x sinx x x sinx x Passo 3 Calculando fπ4 fπ4 π4 sinπ4 π4 π4 22 π4 π28 π4 π28 2π8 π2 28 Resultado fπ4 π2 28 Exercício 36 Encontrar uma função tal que ddx fx sinx 0 e f0 2 Passo 1 Rearranjando ddx fx sinx Passo 2 Integrando ambos os lados fx sinx dx C Passo 3 Calculando a integral sinx dx cosx C Passo 4 Usando a condição f0 2 f0 cos0 C 2 1 C 2 C 1 Resultado fx cosx 1 Resolucao de Exercıcios de Integrais Indefinidas 1 Introdução à integração 347 64 EXERCÍCIOS Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição 2x2 2x 3 10 2x 1 dx x3 2 17 x2 dx f 5 x dx 1X 5x 4 3x2 dx 1 1Ix2 2x4 dx f e2t 2 13 e2t dt et dt u et 4 1 eix 2 x2 dx tg x sec2 x dx 10 senil x cos x dx 11 sen x dx COS5 X 1 2 sen x 5 cos x dx cos x 15 1 ex cos 2 et dx 15 sen 50 7t de 2 sec2 0 de a b tg 0 cos X2 dx 3i arc sen y dy y2 18 dx 16 r2 19 dy y 4y 4 S g sen 0 cos O de 348 Cálculo A Funções Limite Derivação Integração ln x2 x dx 22 f N3 t4 t2 dt 24 3 dx 26 I x2 4x 1 3 28 dx x 1 f sen 4x cos 27c dx 30 f x e3x2 dx dt 32 34 t ln t f e2x 25 e2x dx f cos x 36 38 40 dx 3 sen x 5 x2 V1 x dx f t cos t2 dt 42 1 sen12 2 O cos 2 O dO 44 21 23 25 31 33 35 27 29 37 39 41 43 e earf dx 4 dx 4 xa 20x 34 est dx e2x 16 3 dx x lna 3x 2x2 1 x dx dt 2 8x I1 2x2 dx ef 4 t dt 4 t2 5 l dv i iv 1 Nfv5 f x4 e xsdx 5 8x2 16x3 5 dx 5 seca 5x 3 dx Introdução à integração 349 45 sen O dO 5 cos 03 46 cotg u du 47 f 1 eat32 eat dt a O 48 1 cos x dx 49 r Ft 4 dt 50 x2 sen 2x3 4x dx 65 MÉTODO DE INTEGRAÇÃO POR PARTES Sejam fx e gx funções deriváveis no intervalo I Temos fx gx fx g x gx f x ou fx g x fx gx gx f x Integrando ambos os lados dessa equação obtemos f x g x dx f f x g xr dx g x f x dx ou ainda f x g x dx f x g x 1 g x f x dx 1 Observamos que na expressão 1 deixamos de escrever a constante de inte gração já que no decorrer do desenvolvimento aparecerão outras Todas elas podem ser representadas por uma única constante c que introduziremos no final do processo Na prática costumamos fazer u fx du f x dx 1 Exercício 1 2x² 2x 3¹⁰2x 1 dx Passo 1 Substituição u 2x² 2x 3 então du 4x 2 dx Passo 2 Reescreva 2x 1 dx em termos de du 2x 1 dx 12 du Passo 3 Substitua na integral u¹⁰ 12 du 12 u¹¹11 C Passo 4 Revertendo para x 122 2x² 2x 3¹¹ C Resultado Final 122 2x² 2x 3¹¹ C 2 Exercício 2 x³ 2¹⁷x² dx Passo 1 Substituição u x³ 2 então du 3x² dx Passo 2 Substitua u¹⁷ du3 13 u⁸⁷⁸⁷ C 724 u⁸⁷ C Passo 3 Revertendo 724 x³ 2⁸⁷ C Resultado Final 724 x³ 2⁸⁷ C 3 Exercício 3 x dx5x² 1 Passo 1 Substituição u 5x² 1 então du 10x dx Passo 2 Reescreva xu du10x 110 u¹² du Passo 3 Resolva a integral 110 2u¹² C 15 u C Passo 4 Revertendo 15 5x² 1 C Resultado Final 15 5x² 1 C 4 Exercício 4 5x 4 3x² dx Passo 1 Substituição u 4 3x² então du 6x dx Passo 2 Reescreva a integral 5xu du6x 56 u du Passo 3 Resolva 56 23 u³² C 59 u³² C Passo 4 Revertendo 59 4 3x²³² C Resultado Final 59 4 3x²³² C 5 Exercício 5 x² 2x⁴ dx Passo 1 Fatorando x²1 2x² x 1 2x² Passo 2 Integral x 1 2x² dx Passo 3 Substituição u 1 2x² então du 4x dx Passo 4 Substitua na integral u du4 14 23 u³² C 16 1 2x²³² C Resultado Final 16 1 2x²³² C 6 Exercício 6 e²t 2¹³ e²t dt Passo 1 Substituição u e²t 2 então du 2e²t dt ou dt du2e²t Passo 2 Reescreva a integral 12 u¹³ duu 2 Resultado Final resolver completamente 7 Exercício 7 eᵗeᵗ 4 dt Passo 1 Substituição u eᵗ 4 então du eᵗ dt Resultado Final lneᵗ 4 C 8 Exercício 8 e¹ˣ 2x² dx Passo 1 Substituição u 1x então du 1x² dx Resultado Final e¹ˣ 2x C 9 Exercício 9 tanx sec²x dx Passo 1 Substituição u tanx então du sec²x dx Resultado Final tan²x2 C 10 Exercício 10 sin⁴x cosx dx Passo 1 Substituição u sinx então du cosx dx Resultado Final sin⁵x5 C 11 Exercício 11 sin x cos⁵x dx Passo 1 Substituição u cosx então du sinx dx Passo 2 A integral se torna u⁵ du u⁴4 C 14 cos⁴ x C Resultado Final 1 4 cos⁴x C 12 Exercício 12 2sinx 5 cosx 1cosx dx Passo 1 Reescreva a integral 2 secx 5 dx Passo 2 Integre 2 ln secx tanx 5x C Resultado Final 2 ln secx tanx 5x C 13 Exercício 13 eˣ cos2eˣ dx Passo 1 Substituição u eˣ então du eˣ dx ou dx du u Passo 2 A integral se torna cos2u du 12 sin2u C 12 sin2eˣ C Resultado Final 12 sin2eˣ C 14 Exercício 14 x2 cosx² dx Passo 1 Substituição u x² então du 2x dx ou dx du2x Passo 2 A integral se torna 14 cosu du 14 sinu C 14 sinx² C Resultado Final 14 sinx² C 15 Exercício 15 sin5θ π dθ Passo 1 Use a propriedade de seno sina π sina sin5θ dθ 15 cos5θ C 15 cos5θ C Resultado Final 15 cos5θ C 16 Exercício 16 arcsiny 21 y² dy Passo 1 Substituição u arcsiny então y sinu e dy cosu du Passo 2 A integral se transforma em u2 du u²4 C arcsiny²4 C Resultado Final arcsiny²4 C 17 Exercício 17 2 sec²θ a b tanθ dθ Passo 1 Substituição u a b tanθ então du b sec²θ dθ Passo 2 A integral se transforma em 2b 1u du 2b ln u C 2b ln a b tanθ C Resultado Final 2b ln a b tanθ C 18 Exercício 18 1 16 x² dx Passo 1 Reconheça a forma de uma integral trigonométrica 1 a² x² dx 1a tan¹ xa C Passo 2 Aqui a 4 14 tan¹ x4 C Resultado Final 14 tan¹ x4 C 19 Exercício 19 1 y² 4y 4 dy Passo 1 Fatorando o denominador y² 4y 4 y 2² 1 y 2² dy Passo 2 Integre 1 y 2 C Resultado Final 1 y 2 C 20 Exercício 20 3 sinθ cosθ dθ Passo 1 Usando a identidade sin2θ 2 sinθ cosθ 32 sin2θ dθ Passo 2 Integre 34 cos2θ C Resultado Final 34 cos2θ C 21 Exercício 21 lnx2x dx Passo 1 Simplifique a integral lnx2 2 lnx 2 lnxx dx Passo 2 Substituição u lnx então du 1x dx Passo 3 A integral se torna 2 u du u2 C lnx2 C Resultado Final lnx2 C 22 Exercício 22 eax eax2 dx Passo 1 Expanda a integral e2ax 2 e2ax dx Passo 2 Integre cada termo separadamente e2ax dx 2x e2ax dx 12a e2ax 2x 12a e2ax C Resultado Final 12a e2ax e2ax 2x C 23 Exercício 23 3t4 t2 dt Passo 1 Fatorando a expressão dentro da raiz t2 3t2 1 t 3t2 1 Passo 2 A integral se torna t 3t2 1 dt Passo 3 Substituição u 3t2 1 então du 6 t dt 16 u du 16 23 u32 C 19 3t2 132 C Resultado Final 19 3t2 132 C 24 Exercício 24 44x2 20x 34 dx Passo 1 Complete o quadrado 4x2 20x 34 4 x 522 14 Passo 2 A integral se torna 1x 522 14 dx Passo 3 Use a fórmula 1a2 x2 dx 1a tan1 xa C onde a 12 8 tan1 2x 52 C Resultado Final 8 tan1 2x 52 C 25 Exercício 25 3x2 4x 1 dx Passo 1 Complete o quadrado x2 4x 1 x 22 3 Passo 2 A integral se torna 3x 22 3 dx Passo 3 Usando a fórmula 1a2 x2 dx 12a ln a xa x C onde a 3 3 tan1 x 23 C Resultado Final 3 tan1 x 23 C Exercício 34 8x 1 2x2 dx Passo 1 Substituição u 1 2x2 então du 4x dx ou dx du4x Passo 2 A integral se torna 2 u du 43 u32 C 43 1 2x232 C Resultado Final 43 1 2x232 C Exercício 35 e2x 25 e2x dx Passo 1 Substituição u e2x 2 então du 2e2x dx ou dx du2e2x Passo 2 A integral se torna 12 u5 du 112 u6 C 112 e2x 26 C Resultado Final 112 e2x 26 C Exercício 36 4t 4t2 5 dt Passo 1 Substituição u 4t2 5 então du 8t dt ou dt du8t Passo 2 A integral se torna 4t u du8t 12 u12 du u12 C 4t2 5 C Resultado Final 4t2 5 C 38 Exercício 38 1v1 v5 dv Passo 1 Substituição u v então dv 2u du Passo 2 A integral se torna 2u1 u5 du Passo 3 Use frações parciais para resolver a integral Au B1u C1u2 du Isto pode resultar em termos logarítmicos e potenciais Resultado Final 39 Exercício 39 x2 1 x dx Passo 1 Substituição u 1 x então du dx e x u 1 u 12 u du u2 2u 1 u12 du Passo 2 Expanda e integre u52 2u32 u12 du 27 u72 45 u52 23 u32 C Passo 3 Volte à variável original 271 x72 451 x52 231 x32 C Resultado Final 271 x72 451 x52 231 x32 C 40 Exercício 40 x4 ex5 dx Passo 1 Substituição u x5 então du 5x4 dx ou dx du5x4 Passo 2 A integral se torna 15 eu du 15 eu C 15 ex5 C Resultado Final 15 ex5 C 41 Exercício 41 t cost2 dt Passo 1 Substituição u t2 então du 2t dt ou dt du2t Passo 2 A integral se torna 12 cosu du 12 sinu C 12 sint2 C Resultado Final 12 sint2 C 42 Exercício 42 8x2 6x3 5 dx Passo 1 Substituição u 6x3 5 então du 18x2 dx ou dx du18x2 Passo 2 A integral se torna 8x2 u du18x2 49 u12 du 49 23 u32 C 827 6x3 532 C Resultado Final 827 6x3 532 C 43 Exercício 43 sin122θ cos2θ dθ Passo 1 Substituição u sin2θ então du 2 cos2θ dθ Passo 2 A integral se torna 12 u12 du 12 23 u32 C 13 sin322θ C Resultado Final 13 sin322θ C 44 Exercício 44 sec25x 3 dx Passo 1 Substituição u 5x 3 então du 5 dx ou dx du5 Passo 2 A integral se torna 15 sec2u du 15 tanu C 15 tan5x 3 C Resultado Final 15 tan5x 3 C 45 Exercício 45 sinθ 5 cosθ3 dθ Passo 1 Substituição u 5 cosθ então du sinθ dθ Passo 2 A integral se torna 1u3 du 12u2 C 125 cosθ2 C Resultado Final 125 cosθ2 C 46 Exercício 46 cotu du Resultado A integral é cotu du ln sinu C Resultado Final ln sinu C 47 Exercício 47 1 eat³²eat dt a 0 Passo 1 Substituição u 1 eat então du aeat dt ou dt du aeat Passo 2 A integral se torna 1 a u³² du 1 a 2 52 u52 C 2 5a 1 eat52 C Resultado Final 2 5a 1 eat52 C 48 Exercício 48 cosx x dx Passo 1 Substituição u x então x u² e dx 2u du Passo 2 A integral se torna 2 cosu du 2 sinu C 2 sinx C Resultado Final 2 sinx C 49 Exercício 49 tt 4 dt Passo 1 Substituição u t 4 então t u 4 e dt du Passo 2 A integral se torna u 4u du u³² 4u¹² du 2 5 u52 8 3 u32 C Passo 3 Volte à variável original 2 5 t 452 8 3 t 432 C Resultado Final 2 5 t 452 8 3 t 432 C 50 Exercício 50 x²sin2x³ 4x dx Passo 1 A integral se divide em duas partes x² sin2x³ dx 4x³ dx Parte 1 Para x² sin2x³ dx use a substituição u 2x³ du 6x² dx 1 6 sinu du 1 6 cosu C 1 6 cos2x³ C Parte 2 Para 4x³ dx 4x³ dx x4 C Resultado Final 1 6 cos2x³ x4 C