Transformada Z - Método Funções Propriedades Z Inversa

Para encontrar a transformada z inversa de X(z), deve-se notar que X(z) é da seguinte forma, b_m z^m + b_{m-1} z^{m-1} + ... + b_1 z + b_0 X(z) = -----------------------------------------------------, com m ≤ n a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + ... + a_1 z + a_0 Ou ainda, b_n z^{-n} + b_{n-1} z^{-(n-1)} + ... + b_2 z^{-2} X(z) = -----------------------------------------------------, 1 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2} + ... Colocando na forma de pólos e zeros, b_n (z - X_1) (z - X_2) ... (z - X_r) X(z) = ------------------------------------------------, (z - p_1) (z - p_2) ... (z - p_n) Supondo que todos os pólos são pólos não repetidos e tenha pelo menos 1 zero na origem, b_n = 0, então, a melhor expansão seria na forma, b_ń X(z) = ------------- + ..... z z - p_1 z - p_2 z - p_n z Se houver pólos repetidos, supondo um pólo duplo e nenhum outro pólo, a expansão poderá ser na forma, c_1 c_2 X(z) = ----------- + -------- z (z - p_1) Exemplo 2.4: Supondo que a transformada z seja na forma z^2 + z + 2 X(z) = ----------------------------------------------------- z^2 - 2z -1 As raízes do denominador, que são os pólos, são dados por, 1, 1/2 (± j_√3), portanto, um pólo real e um par de pólos complexos conjugados; sendo assim, fazendo, 4 3z + 2 4 - 3z 2 X(z) = (z^-1)k(z^-2)+1 = --------------------------- + -------- + --------------------------- + ------------------------- + .... z - 1 z^2 + z + 1 (a_n + a_k) + (c_k + ... , b_n - a_1) (a_n - a_m) (z^-1)k(z^-2)+1 Portanto, montando o sistema material para a solução, | 1 0 | | a_1 | | b_1 | | 0 | | 1 -1 -1 | * | a_2 | + | b_2 | | 4 | | -1 0 | | a_3 | Então, z^2 + z + 2 4 - 3z + 2 2 X(z) = --------------------------- + --------------------------- + ---------------- (z - 1)(z^2 + z - 1) z - 1(z^-1) z - 1(z^-2) + z + 1 4 z^2 3z^2 - + --------------------------- + --------------------------- 1 - z^-2 1 - z^-2 1 - z^-2 Para o primeiro termo, z X(z) = Y(z) = 4(1) => y(kT) = x(kT) => 4(1) z(kT) = => 4(k) 4 k = 1, 2, 3,... | Para o segundo termo, deve-se notar que, Z[sin ωT] = -------------------------------------------------- e sin ωT Aplicando o teorema da translação complexa, -------------------------------------------------- = sin ωT 1 Então, comparando o segundo membro de X(z) com a equação acima, nota-se que se ω = 1, significando que ω^1 = e cos ωT = √, significando que ωT = π/3 e consequently, sin ωT = √3/2. Então, -------------------------------------------------- = e sin ωT Z[ ] = √ sin ó ωT Significando que, Z[ e sin ωT ] = X(z) = 2 [ √3 /sin π 3 3z 1 - e Para terceira parte, utilizando a resposta anterior, z [X(z)] = Y(z) = --------- sin [ (k - 1) ( = 18 ω 4 Portanto, a solução final fica, -------------------------------------------------- = para Hoje 5 | -> (k) = 4 - 2√3 / sin π /res (k = 1, 2, 3... k ≤0 1 | 4 2.2.2 Método computacional - Matlab O método apresentado aqui pode ser implementado em qualquer software, ele consite em calcular a resposta do sistema ao delta de Kronecker, neste caso, a resposta será numérica, e em alguns casos a reconstrução pode ser retirada facilmente. Exemplo 2.5: Calcular a transformada Z inversa de, 2(z + 2) 2z + 2 X(z) = ----------------------- = -------------- (z - 1)^2 z^2 - 2z + 1 No Matlab digitar: dem=[1 -2 1]; % us= filter(num,dem,u); % escrita x=[ us=ls 1]=ones(1,10); retval=filter(n [num=[2 2 ]=z^3=math.sin=leanty= init]:=le[-) d %ada(sndo Solução encontrada. ANXIETY I was scared, not because I thought my mom would come back and t’row me’ hout but because for days she hadn’t called me a muthafuckin’ bastid! It means she thinking of rewards, she planning to give me gifts like big thumps, nice batty rubs—it means that half of my life was being tidied and prepared to be bleeding tomorrow. Nalias, 1996