Transformada Z - Método Funções Propriedades Z Inversa

Para encontrar a transformada z inversa de X(z), deve-se notar que X(z) é dada da seguinte forma, b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+...+b_1z+b_0 X(z) = -------------------------------------------------- , com m <= n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+...+a_1z+a_0 Ou ainda, b_nz^n+b_{n-1}z^{n-1}+...+b_1z+b_0 X(z) = --------------------------------------------------. 1+a_{-1}+a_{-2}+...+a_{-n} Colocando na forma de pólos e zeros, b_n(z-z_1)(z-z_2)...(z-z_l) X(z) = ----------------------------------------------- (z-p_1)(z-p_2)...(z-p_n) Supondo que todos os pólos são pólos não repetidos e tenha pelo menos 1 zero na origem, então, a melhor expansão será na forma, X(z) = c_1 c_2 c_n ----- + ----- + ... + ----- z - p_1 z - p_2 ... z - p_n Se houver pólos repetidos, supondo um pólo duplo e nenhum outro pólo, a expansão poderá ser na forma, X(z) = c_1 c_2 ----- + ----- z (z-p_1) Exemplo 2.4: Supondo que a transformada z seja na forma z^2+z+2 X(z) = ---------------------- z^2-2z-1 As raízes do denominador, que são os pólos, são dados por 1, 1/2(±√3), portanto, um pólo real e um par de pólos complexos conjugados, sendo assim, fazendo, z^2+z+2 a_2z+a_1 X(z) = ---------------- = ---------------- (z-1)(z^2-2z+1) z-1 z^2-2z+1 ... [(a_2+jb_k)(z-k...)] [(z-1)(z^2-2z+1)] Portanto, montando o sistema matricial para a solução, [ 1 0 0 ] [ a_3 ] [ 4 ] [-1 1 1 ] * [ a_4 ] = [ 2 ] [-1 -1 0 ] [ a_5 ] [ 2 ] Então, z^2+z+2 4 3z+2 4 -3z 2 X(z)=---------------= --------- + ------------ + -------- + ----------- (z-1)(z^2-2z+1) z-1 z-z+1 z-z+1 z^2-z+1 4z^2 3z^2 Para o primeiro termo, z^-1X(z)=Y(z)=y(kT)=4U(distribuição)=x(kT)=4(di[k-4])=[ 4 k=1,2,3,... 0 k<=0 Para o segundo termo, deve-se notar que, z[sin Ѳ T] = z^z sin Ѳ T --------------------------- 1-2z^-1 cos Ѳ T+z^-z Aplicando o teorema da translação complexa, z[e^-i Ѳ kT]=(-2e^-i Ѳ T cos Ѳ T+z-e^-i Ѳ T)/(1-2e^-i Ѳ T cos Ѳ T+z^-e^-i Ѳ T) Então, comparando o segundo membro de X(z) com a equação acima nota-se que se ωT=1, significando que cos Ѳ T=1/2, significando que ωT=π/3 e consequentemente, sin Ѳ T=√3/2. Então, A[i] sin i = z^z sin Ѳ T = √3/2 z^z ------------------ ------------------ -2e^-i Ѳ T cos Ѳ T +z^-e^-i Ѳ T 1-2z^-1+z-z Significando que, X(z)= 2[√3](j)[sin π/3]= 3z^-2 = 2[√3](j)[sin π/3]k k=1,2,3,... k<=0 Para a terceira parte, utilizando a resposta anterior, z^-1X(z)=Y(z)=y(kT)=2[√3/3] = 4z^-2 4z/3 4 [0] { x(kT)= 2[√3](j)k sin π/3(k-1)+2 k<=0 4 k=1,2,3,... Portanto, a solução final fica, X(k) { 4-2(√3/sin sin 3 3 k + 4(√3) k=0 Columns 1 through 12 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 Columns 13 through 24 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 Columns 25 through 31 73 76 79 82 85 88 91 Nesse caso, a sequência de valores é dada por x(k)=3k+1 k=0,1,2,... . Table of Contents Page 1. Scope Page 1. Normative References Page 1. Terms and Definitions Page 1. Determination of Objects Page 1. Sampling and Sample Handling Page 1. Analytical Methods Page 2. Data Processing Page 2. Test Report Page 3. Depth of Penetration Page 3. Symbols and Units Page 3. Method for Measuring Penetration Page 4. Factors Affecting Depth of Penetration Page 4. Precision and Bias Page 5. Quality Control of Test Results Page 6. References Page 7. Annex A (normative) Sampling Methodologies Page 8. Annex B (informative) Worked Examples