Transformada Z - Método Funções Propriedades Z Inversa

Capítulo 2 2 Transformada Z Neste capítulo, será abordada a transformada e a transformada inversa de Z. 2.1 Método da Transformada Z O método da Transformada Z, transforma equações diferenciais temporais em equações algébricas no domínio discreto. Aqui, serão tratados sinais e sistemas lineares com parâmetros invariantes no tempo, e será assumido que o tempo de amostragem T será escolhido tal que será possível a reconstrução do sinal temporal original, significando que não será levado em conta erros de processamento de sinais. Para inserir, deve-se considerar que a discretização de um sinal temporal contínuo é dada por, x(kT) = x(t) ∑ δ(t - kT) k=0,1,2... 2.1.1 Transformada Z A transformada Z de uma função temporal contínua x(t), onde t representa apenas o eixo positivo de tempo, para um tempo de amostragem T será definida por, X(z) = Z{x(t)} = Z{x(kT)} = ∑ x(kT)z^k 2.1.2 Transformada Z de funções elementares Função Degrau Unitário definido como x(t) = {1 0 ≤ t, 0 t < 0} Solução: Aplicando a definição, X(z) = Z{x(t)} = Z{1} = 1+z^(-1) + z^(-2) + z^(-3) + ... Fazendo, G = 1+z^(-1) + z^(-2) + z^(-3) + ... G = z^(-1) + z^(-2) + z^(-3) + ... Portanto, G = G - zG = z e (zG - 1)z = G - 1 Então, G = 10 X(z) = Z{x(t)} = Z{1} - ∑ z^(-1) = 1 + z^(-1) + z^(-2) + ... = 1 - z Note que esta série convergirá se |z| > 1. Função Rampa Unitária definida por: x(t) = {t 0 ≤ t, 0 t < 0} Solução: Aplicando a definição, X(z) = Z{1} = Z{kT} - ∑ kTz^n = T(1 + 2z^(-1) + 3z^(-2) + ...) Fazendo, G = z^(-1) + 2z^(-2) + 3z^(-3) + ... = z^(-1)z^(-2) + z^(-3) +... = z^(-1) (1 - z^(-1))G = z^(-1) + 2z^(-2) + 3z^(-3) + ... - 2z^(-2) - 3z^(-3) = ... Comparando com o exemplo do degrau unitário, então, G = z Portanto, X(z) = Z{1} + ∑ kTz^n = 1 + T(1z^(-1) + 2z^(-2) + 3z^(-3) + ...) Função Polinomial na forma x(t) = {a^0 0 ≤ t, 0 t < 0} com a constante. Solução: Aplicando a definição, X(z) = Z{a^k} + ∑ a^k x^n = 1 + a^2z^(-1) + a^3z^(-2) + ... Utilizando o mesmo princípio do exemplo anterior, G = 1 + a^2z^(-1) + a^3z^(-2) + ... Portanto, (1 - a^2z^(-1))G = 1 + G = 1 e (1 - a^2z^(-1))G = z Então, 1 Finalmente, X(z) = Z{a^k} + ∑ a^nx^n = 1 + a^2z^(-1) + a^3z^(-2) + ... = 1 Função Exponencial na forma: x(t) = {e^α^T 0 ≤ t, 0 t < 0} Solução: Aplicando a definição, X(z) = Z{e^t} = Z{e^{αT}}∑ e^at^z = 1 + e^αt^(-1) + e^(-αt) 11 Comparando com a solução do exemplo anterior, é fácil notar que a = e^αT, então, X(z) = Z{e^αt} = Z{e^{αT}} = ∑ e^αt/z = 1 - e^αt * Função Senoidal definida como: x(t) = {sinωt 0 ≤ t, 0 t < 0} Solução: Sabendo-se que, sinωt = 1/2j(e^(ωt) - e^(-ωt)) Aplicando a definição, X(z) = Z{sinωt} = z JX{e^(ωt) - zJX{e^(-ωt)}} Observe que aqui se aplicou duas propriedades da transformada Z, que foi a multiplicação por uma constante e a propriedade da soma. Então, pela transformada Z da exponencial, Z{x(t)} = Z{sinωt} = 1/2j[(e^(ωt) - cosTz) - 1] = 2z - 2 cosTz + 1 2 - 2 cosωt 2.1.3 Propriedades da Transformada Z Multiplicação por uma constante: Z{ax(t)} = aZ{x(t)} = aX(z) Linearidade: x(kT) = αf(kT) + βg(kT) então X(z) = αF(z) + βG(z) Multiplicação por a^k: Z{a^k x(kT)} = X(a z) Prova: Z{a^k x(kT)} = ∑ a^k x(kT)z^k = ∑ x(kT)a^k z^k = X(a z) Translação no tempo ou translação real, Z{x(t − nT)} = z^n X(z) Prova: Z{x(t − nT)} = ∑ x(kT − nT)z^k = ∑ x(kT)z^k-n = definindo m = k-n, então, Z{x(t − nT)} = z^n ∑ x(mT)z^k Como x(mT) para m < 0 por definição é igual a zero. 12 Z[x(t - nT)] = z^n \sum_{m=-\infty}^{\infty}x(mT)z^{-m} = z^{-n}X(z) Além disso, Z[x(t + nT)] = z^{-n} \left[X(z) - \sum_{k=0}^{n-1}x(kT)z^{-k}\right] Prova Z[x(t + nT)] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x(kT + nT)z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty}x(kT + nT)z^{-k} = \sum_{m=0}^{\infty}x(mT)z^{-m} = \sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k} = \sum_{m=0}^{\infty}x(mT)z^{-m} = z^{-n}[X(z) - \sum_{k=0}^{n-1}x(kT)z^{-k}] = z^{-n}X(z) - z^{-n} \sum_{k=0}^{n-1}x(kT)z^{-k} = z^{-n}[X(z) - \sum_{k=0}^{n-1}x(kT)z^{-k}] Exemplo 2.1: Achar a transformada Z do degrau unitário quando o degrau é aplicado 4 períodos de amostragem, isto é, para k = 4. Solução: como a transformada Z do degrau unitário começando em k = 0 é dada por, x(a) = ZX(u) = Z[1] = \frac{z}{z-1} O problema pede, x(a) = Z[x(t - 4T)] Utilizando o teorema da translação no tempo, Z[(t - 4T)] = z^{-4} \sum_{m=0}^{\infty}x(mT)z^{-m} = z^{-4}X(z) = \frac{z^{-4}}{z-1} Neste caso, deve ser notado que z^{-4} significa um atraso de tempo de 4 sem considerar qual foi o atraso de tempo utilizado. Translação complexa, Z[x(t) = x(kT)c^{-k}z^{-k} = \sum_{k=0}^{\infty}x(kT)c^{-k}z^{-k} = X(ze^{-j\omega}) Exemplo 2.2: Encontrar a transformada Z de t^{a} Solução: como a transformada de e_rampa unitária é dada por, X(z) = Z[\frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{Tz}{(1-z^{-1})^{2}} = X(z) Então, pelo teorema da translação complexa, X(z) = Z[t] e^{-j\omega} = \frac{T(ze^{-j\omega})^{-1}}{(1-ze^{-j\omega})^{2}} (ze^{-j\omega} - 1) Teorema do valor inicial: Se x(t) possui uma transformada Z(x) e se \lim X(z) existe, então o valor inicial x(0) é dado por, x(0) = \lim X(z) Prova: Como a transformada z de uma sequência de números é dada por, X(z) = Z[x(t)] = \sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k} = x(0) + x(T)z^{-1} + x(2T)z^{-2} + x(3T)z^{-3} + \ldots Fazendo z tender ao infinito, sobra apenas x(0). Teorema do valor final: Supondo que x(kT) onde x(0) = 0 para todo k<0, tenha a transformada Z(x) e todos os polos\ de X(z) estejam dentro do círculo de raio unitário com exceção de um polo simples em z = 1, isto é a condição de estabilidade que será apresentada mais à frente. Então, o valor final de x(kT) pode ser expresso por, \lim_{k\rightarrow\infty}x(kT) = \lim_{z\rightarrow1^-}(1-z^{-1})X(z) Prova: Sabendo-se que pela definição da transformada Z, Z[x(kT) - x(kT-T)] = \sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k-1} Então, Z[x(kT - T)] = z^{-1}X(z) = Z[x(kT-T)z^{-1}] Subtraindo um do outro, \sum_{k=0}^{\infty}x(kT)z^{-k} - \sum_{k=0}^{\infty}x(kT-T)z^{-k} = X(z)-z^{-1}X(z) Aplicando o limite quando z tende a unidade, \sum_{k=0}^{\infty}x(kT)- \sum_{k=0}^{\infty}x(kT - T) =[\sum_{k=0}^{\infty}x(kT)\right. - \sum_{k=0}^{\infty}x(kT-T)] = \sum_{k=0}^{\infty}[x(kT) - x(kT-T)] = \sum_{k=0}^{\infty}[x(kT) - x(kT-T)] Expandindo o somatório, \sum_{k=0}^{\infty}[x(kT)-x(kT-T)] = [x(0)-x(-1)]+[x(1)-x(0)]+[x(2)-x(1)]+\ldots= = x(\infty) = \lim x(k) Então, \lim x(k) = \lim_{z\rightarrow1^-}\lim_{n\rightarrow\infty}[1-z^{-1}]X(z) 2.2 Transformada Z inversa Como apresentado anteriormente, quando sinais contínuos são amostrados, a sua reconstrução não é única, isto é, parte do sinal pode ter sido perdida devido ao teorema da amostragem. Por exemplo, o sinal apresentado na Figura 2.1, como o sinal amostrado gera apenas os pontos discretos, qual o sinal real? 2.2.1 Método de expansão em frações parciais Alguns métodos podem ser utilizados para encontrar a transformada z inversa, nesta parte será abordado o método de expansão em frações parciais que consiste em expandir X(z) em frações na forma mais simples possível e utilizar a tabela de transformada Z para encontrar a sua representação em tempo contínuo. Exemplo 2.3: Encontrar a transformada z inversa de X(z) = \frac{z^{-1}}{1-az^{-1}} Solução: Nas tabelas de transformada Z não se encontra a função acima, porém, fazendo, X(z) = z^{-1}Y(z) = \frac{1}{1-az^{-1}} Utilizando a tabela de transformada z, tem-se que: Z[Y(z)] = \frac{1}{1-az^{-1}} = a^{k} Porém, o desejado é, Z^{-1}[X(z)] = Z^{-1}[z] = y(kT-T) = a^{k-1} Assim, y(kT) = \begin{cases} y(kT-T)=a^{k-1}, & k= 1, 2, 3, \ldots \\ 0, & k\leq0 \end{cases} Para encontrar a transformada z inversa de X(z), deve-se notar que X(z) é dada da seguinte forma, X(z) = \frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_0}{z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_0}, com\,m \leq n\, Ou ainda, X(z) = \frac{b_mz^{n-m+1} + b_{m+1}z^{n-m} + \cdots + b_0}{1+a_{n-1}z^{-1}+\cdots+a_0z^{-n}} Colocando na forma de pólos e zeros, X(z) = \frac{b_m(z - z_{m-1})(z - z_{m-2})...(z - z_0)}{(z - p_1)(z - p_2)...(z - p_n)} Supondo que todos os pólos são pólos não repetidos e tenha pelo menos 1 zero na origem, bm = 0, então, a melhor expansão seria na forma, X(z) = \frac{c_1}{z-p_1}+\frac{c_2}{z-p_2}+...+\frac{c_n}{z-p_n}. Se houver pólos repetidos, supondo um pólo duplo e nenhum outro pólo, a expansão poderá ser na forma, X(z) = \frac{c_1}{z} + \frac{c_2}{(z-p_1)^2} + \frac{c_3}{z-p_1} Exemplo 2.4: Supondo que a transformada z seja na forma X(z) = \frac{z^2+z+2}{z^3-2z^2-2} As raízes do denominador, que são os pólos, são dados por, \frac{1}{2}(1\pm j\sqrt{3}), portanto, um pólo real e um par de pólos complexos conjugados, sendo assim, fazendo, X(z) = \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{a_1}{z-1} + \frac{b_1^{jkcT}+b_2^{jkcT}jz+1}{z^2-z+1} Portanto, montando o sistema matricial para a solução, \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ a_4 \\ a_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\ 2\\ 2 \end{pmatrix} Então, X(z) = \frac{z^2+z+2}{(z-1)(z^2-z+1)} = \frac{4}{(z-1)^2(z^2-z+1)} - \frac{3z}{z^2-z+1} + \frac{2}{z^2-z+1} Para o primeiro termo, zkX(z) = Y(z) = 4/(1-z&hat;2) => y(kT) = 4(k)=x(kT)-4(1)-4 \begin{bmatrix} 4\ 0 \end{bmatrix}, k=1,2,3,\ldots Para o segundo termo, deve-se notar que, Z[sinωt] = \frac{z^d sinωT}{1- z^2cosωT + z^d} Aplicando o teorema da translação complexa, Z[e^jωT sinωTkT] = \frac{1-2e^jωTcosωT + e^j2ωT}{1-2e^jωTcosωT + e^j2ωT} Então, comparando o segundo membro de X(z) com a equação acima, nota-se que se e^jωT=1, significando que wT=1 e cosθT=1/2, significando que ωT=π/3 e consequentemente, sinωT=√3/2. Então, λ[j]sinjkT= \frac{z^j sinωT}{1-2cosωTcosωt + z^d} Significando que, X(z) = Z[2√(3)sin(π/3k)] = \frac{3z/1-2z^2sin(π/3k)}=X(kT)-Z[√(3)j(k)/T^j sinπ/3] Para a terceira parte, utilizando a resposta anterior, zkX(z) = Y(z) = \frac{4√3}{3}(sin(jTk-1)) = \frac{4√3}{1-t^2+z^2} x(kT) = 4√3[s][j]sinπ(3-1, k-1), k≤0 Portanto, a solução final fica, x(kT) = \frac{4-2√3sinπ3k+4√3}{z^3(k-1)} -3 \frac{k-1}{2/3k} = k=1,2,3,...,k≤0 2.2.2 Método computacional - Matlab O método apresentado aqui pode ser implementado em qualquer software, e/o consiste em calcular a resposta do sistema ao delta de Kronecker, neste caso, a resposta será numérica, e em alguns casos a reconstrução pode ser retirada facilmente. Exemplo 2.5: Calcular a transformada Z inversa de, X(z) = \frac{z(z+2)}{(z-1)^2}\frac{2+2z}{z^2-2z+1} No Matlab digitar: num=[2 3 7]; \den=[1 -2 1]; \u=[1 0 0 0 2]; u = [1 2 zeros(1, 29)];; \yz=zeros(size(t)); u;&\ solver=num,den,0 \[y,t]=unicstep(tap,.0)\.solver(num,den,0) Solução encontrada. Columns 1 through 12 3 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 Columns 13 through 24 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 Columns 25 through 31 73 76 79 82 85 88 91 Neste caso, a sequência de valores é dada por x(k) = 3k+1 k=0, 1, 2, ....