Transformada Z - Método Funções Propriedades Z Inversa

Z[x(t-nT)] = z-n∑x(mT)zn = z-nX(z) Além disso, Z[x(t+nT)] = z-n[X(z) - ∑k(T)z-n] 0 Prova Z[x(t+nT)]=∑ x(kT+nT)z-k= z-n∑x(kT+nT)z-k+n= z-n∑x(mT)z-n+∑ x(mT)z-n=x∑x(mT)z-n= = z-n[X(z) - ∑ x(kT)zn = 0 = z-n[X(z) -∑ x(kT)zn = 0 Exemplo 2.1: Achar a transformada Z do degrau unitário quando o degrau é aplicado 4 períodos de amostragem, isto é, para k= 4. Solução: como a transformada Z do degrau unitário começando em k= 0 é dada por, x(z) = Z{x(l)} = zl = z z-1 O problema pede, x(z) = Z{x(t-4T)} Utilizando o teorema da translação no tempo, Z[x(t-4T)] = z-4∑ x(mT)z-m =z-4X(z)= z-1 Neste caso, deve ser notado que z-4 significa um atraso de tempo de 4 sem considerar qual foi o atraso de tempo utilizado. Translação complexa, Zk{x(t)}=∑ x(kT)z−jkxz =∑ x(kT)e(jaκ) z-k =X(zxe-) Exemplo 2.2: Encontrar a transformada Z de tna Solução: como a transformada de t, rampa unitária é dada por, X(z) = Z{t} = Tz = (1-z) Então, pelo teorema da transição complexa, X(z) = Z{t-lz–1} =T{xze}-T{[xze 2] + (1 -z)(ze-1) {ze-1) (z.- T} Teorema do valor inicial: Se x(t) possui uma transformada X(z) e se lim X(z) fy. 8 3 9 8 fth 8 cite. existe, então o valor inicial x(0) é dado por, x(0) = lim X(z) Prova: Como a transformada Z de uma sequência de números é dada por, X(z)= Z{x(kT)}= Σ x(kT)z-k= x(0)+ x(T)z-1 + x(2T)z-2 + x(3T)z-3 + ... Fazendo z tender ao infinito, sobra apenas x(0). Teorema do valor final: Supondo que x(kT) onde x(0) = 0 para todo k < 0, tenha a transformada X(z) e todos os polos de X(z) estejam dentro do círculo de raio unitário com exceção de um polo simples em z= 1, isto é a condição de estabilidade que será apresentada mais à frente. Então, o valor final de x(kT) pode ser expresso por. Hall. lim x(kT)= lim(z-1 x/kz) Prova: Sabendo-se que pela definição da transformada Z, Z{k(kT)}=Σ x(kT)z-1 = φ *\ 7h。 Ee urangi ÷ re fh h Ε 7x8. 1 gh Zhi 8 Z{x(kT-T)}=z x(kT)z =∑ x(kT-T)z Subtraindo um do outro, z x(kT)z- z x(kT)z- z-(X(z)-xΣ(nT)z- =z x(mT)z- í x(mT)z- Ε:xキ ミ9 fh rh h r ω 15 Aplicando o limite quando z tende à unidade, "...x(kT)z-x(kT- T)z- =li L-*(Az) Como foi assumido que x(k) = 0 para k < 0 então, o lado esquerdo da equação acima torna-se, lim Σ x(kT)z-x(kT-T)z - Σ lh ife/ Σ 'łim[ Σ x(kT)z-x(kT-T )z - f = Σ 1 (kTV-x(kT-T)/ Expandindo o somatório, A L Σ [kx(kT)x(kT-T)] = [x(0)--x(-1)] + [x(0)-x(0)]= [x(2)-x(1)]+::: Σg(850)|m x(kT) = x(∞)= lim x(k) Então, lim x(k) = lim [x-1 x(kT) )'Σ f Σ te re 2.2 Transformada Z inversa Como apresentado anteriormente, quando sinais contínuos são amostrados, a sua reconstrução não é única, isto é, parte do sinal pode ter sido perdida devido ao teorema. da amostragem. Por exemplo, o sinal apresentado na Figura 2.1, como o sinal amostrado gera apenas os pontos discretos, qual o sinal real? 2 1.5 1 8 -0.5 Σ tl 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 05 0.6 07 08 09 1 Σ (pro ti Σ Σ Figura 2.1: Sinal amostrado e suas possíveis reconstruções Assim, a transformada Z de x(kT) ou x(t) gera um único X(z), desde que especificando o tempo de amostragem T. Por sua vez, a transformada inversa de X(z) gere um único x(kT), mas resta saber se este x(kT) representa a resposta esperada para x(t), assim pode-se dizer que a transformada inversa de X(z) pode não gerar um único xt). 2.2.1 Método de expansão em frações parciais Alguns métodos podem ser utilizados para encontrar a transformada z inversa. nesta parte será abordado o método de expansão em frações parciais que consiste em expandir X(z) em frações na forma mais simples possível e utilizar a tabela de transformada Z para encontrar a sua representação em tempo contínuo. Exemplo 2.3: Encontrar a transformada Z inversa de X(z)=z=1 ax) 7 Solução: Nas tabelas de transformada Z não se encontra a função acima, porém, X(z)=Z Y(z)=l= Utilizando a tabela de transformada z, tem-se que: -1 1 1-γ# Porém, o desejado é, Y ((-a) (-a)" Zx(Z/)=Z/#/#/=/Y(z)=yr(xT-7))*ar:n±1 Assim, k=1,2,3,... y(kT)= y(kT-T). = 0 k≤0 st) wo ish ighr Σ pr Σ. C Σ ηγ if?