Algebra Linear 2

10) Seja V o conjunto dos vetores da geometria analítica. Sendo u um vetor fixo desse espaço, mostre que W = {u|α ∈ ℝ} é um sub-espaço vetorial de V.\n\n11) Mostre que é sub-espaço de M2(R) o seguinte sub-conjunto:\nW = {( x y ) ∈ M2(R)|y = -x}.\n ( z t )\n\n12) Seja I um intervalo real e consideremos o espaço vetorial C(I) das funções reais contínuas definidas em I. Mostre que o subconjunto W de C(I) constituído das funções que são deriváveis em todos os pontos de I é um sub-espaço vetorial de C(I).\n\n13) Mostre que W = [A ∈ Mn(R)|AT = TA], onde T é uma matriz dada fixa de Mn(R), é um sub-espaço vetorial de M_n(R).\n\n14) Encontre um conjunto de geradores (sistema de geradores) dos seguintes sub-espaços:\n :\n y, z, t) ∈ ℝ4|x - y - z + t = 0};\n(b) W = {(x, y, z, t) ∈ ℝ4|x - y - z = 0}. \n\n15) Consideremos no os seguintes sub-espaços vetoriais:\n (1,0,0), (1,1,1) ∈ V = [(0\n\nDetermine um sistema de geradores de .\n\n16) Dados os sub-espaços x, y, z) ∈ 3|x + y = 0} e V = {(x, y, z)|x = 0} do ℝ3,\ndeterminar o sub-espaço U ∩ V.\n\n17) São sub-espaços vetoriais de C(I) os seguintes subconjuntos:\nU = {f ∈ C(I)| t) = f(-t), ∀t ∈ ℝ} e\nV = {f ∈ C(I)|f(t) = -f(-t), ∀t ∈ ℝ}\n(conjunto das funções contínuas pares e ímpares, respectivamente, definidas no intervalo I).\nMostre que C(I) = U ∪ V.\n\n18) Quais dos seguintes conjuntos W abaixo são sub-espaços do ℝ3?\na) W = { (x) ∈ ℝ3|x1 = 0} \nb) W = {(x,y,z) ∈ ℝ3|x ∈ Z}\nc) W = {(x,y,z) ∈ ℝ3|x - 2z = 0} 19) Quais dos conjuntos abaixo são sub-espaços do espaço P(ℝ) de todos os polinômios reais?\na) W = {f(t) ∈ P(ℝ)|f(t) tem grau maior que 2}\nb) W = {f(t) \n \n<R]|f(0) = 2f(1)}\nc) W = {f(t) ∈ P}\n\n20) Verificar que não são sub-espaços vetoriais do :\nz) ∈ ℝ3|x + y ∈ Q}\nEm cada caso, quais axiomas não se verificam?\n\n21) Seja I = [0, 1]. Verifique se são sub-espaços vetoriais de C(I):\na) {f ∈ C(I)|f(0) = 0}\nb) \n em todos os pontos de menos um número finito deles.\n\n22) Sejam e os seguintes sub-espaços do :\n z)|x = y = 0}\nW = {(x,y,z)|x + y + z = 0}\nVerifique que U + V = ℝ3, U + W = ℝ3 e V . Em algum dos casos, esta soma é direta? Justifique. 23) Mostre que os polinômios t, (1 - t)2, (1 - t)3 e 1 geram P3(ℝ).\n\n24) Sejam U e V sub-espaços vetoriais do espaço W . Provar que:\n(I) U ∪ V ⇒ U + V = V\nU 23) Verificar se as seguintes matrizes geram o espaço vetorial M2(R):\n( 1 0 )\n( 0 1 )\n( 1 1 )\n( 0 0 )\n( 1 0 )\n( 0 1 )\n( 1 1 )\n( 1 2 )\n\n24) Mostre que é sub-espaço de Mn(R) o subconjunto formado pelas matrizes anti-simétricas. Mostre também que Mn(R) é soma direta dos sub-espaços das matrizes simétricas e das anti-simétricas.\n\n25) Mostre com um exemplo que a união de dois sub-espaços vetoriais de um mesmo espaço vetorial não precisa ser um sub-espaço vetorial desse espaço.\n\n26) Mostrar que a união de sub-espaços vetoriais do mesmo espaço é também um sub-espaço se, e somente se, um dos sub-espaços dados está contido no outro.\n\n27) Determine um sub-espaço vetorial de R3 suplementar para {x, y, z} 0 e um sub-espaço vetorial de suplementar para .