Prática 4 Algebra Linear

Resolução:\nO conjunto dado possui três vetores de R4, portanto, pode ser uma base de R3. Para se verificar se, de fato, o conjunto é uma base de R3, isto é, se o conjunto é linearmente independente e gera R3, pode-se verificar que é diferente de zero o determinante da matriz cujas colunas correspondem aos vetores do conjunto:\n\n\n \n \n \n \n \n 0 2 1\n 1 2 3\n 1 3 4\n \n \n \n \n \n \n \n \n det(A) = -1 -> ≠ 0\n\nPortanto, o conjunto dado é uma base de R3.\n\n\nResolução:\nO conjunto S possui dois vetores de R2, portanto, pode ser uma base de R2. Para se verificar que, de fato, S é uma base de R2, isto é, que S é linearmente independente e gera R2, pode-se verificar que é diferente de zero a determinante da matriz cujas colunas correspondem aos vetores de S:\n\n\n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n \n det(S) = 1 -> ≠ 0\n\nPara determinar as coordenadas de v em relação a esta base, deve-se determinar os coeficientes da combinação linear dos vetores de S que gera v, como a seguir:\n\n\n\n x = 23\n 2x - b = 1 => 2*23 - b = 1 => b = 45\n|\n|\nv = [23-28] Resolução:\nO conjunto dado é linearmente dependente já que a equação\nS = c1(1,2) + c2(0,1) + c3(2,3) = (0,0)\nPossui infinitas soluções - observe que o sistema gerado pela equação (abaixo), quando reduzido por linha à forma escada, terá no máximo dois pivôs, e, então, será certamente:\n\n{ c1 - 2c2 = 0\n 2c2 + 0c3 = 0\n}\n\nUma interpretação possível é que todo vetor que puder ser escrito como combinação linear dos vetores do conjunto poderá ser obtido por combinações lineares diferentes (e não por apenas uma combinação linear, como aconteceria se o conjunto fosse linearmente independente). Resolução:\nComo a matriz canônica de T é do tipo 3x2, T é uma transformação de R² em R³. Pode-se ainda escrever:\nT(x,y) = (x-2y, 3y)\nFazendo-se T(1,4), tem-se:\nT(1,4) = \n{\n 1\n 2\n 3\n}\nT(1,4) = (1-2*4, 3*4)\nT(1,4) = (1-8, 12-4)\nT(1,4) = (-7, 10, 8) Remark:\n\nPara determinar as coordenadas de v em relação a esta base, deve-se determinar os coeficientes da combinação linear dos vetores de B que gera v, como a seguir:\n\n(10,20) = a(15,2) + b(2,8) \n(10,20) = a(4,-2) + b(5,-8) \n\nE então:\n\n[4a - 2b = 10]\n[5b - 8a = 20]\n\nPortanto, a soma das coordenadas é igual a zero