Cholesky

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ - PUCPR ESCOLA POLITÉCNICA CÁLCULO NUMÉRICO / MÉTODOS NUMÉRICOS COMPUTACIONAIS Atividade sobre Decomposições matriciais e Solução de Sistemas de Equações Lineares Nome: Érica Luísa Corrêa 1) Utilize alguma ferramenta computacional para verificar se a matriz A a seguir satisfaz as condições do corolário de Cholesky (ou seja, não precisa calcular os determinantes dos menores principais na mão). Caso se verifique, obtenha a decomposição de Cholesky para a matriz A a seguir: A = [4 -2 0 0 0 -2 10 6 0 0 0 6 20 16 0 0 0 16 52 -6 0 0 0 -6 5] mat A = A^T det A1 = |4| = 4 det A2 = 36 > 0 det A3 = 528 > 0 det A4 = 20376 > 0 det A5 = 823544 > 0 A matriz A é simétrica e positiva definida, ou seja, é possível aplicar o método de Cholesky. Algoritmo de Cholesky: g11 = √a11 = √4 = 2, 3ª coluna de G g13 = a13 / g33 = a13 / 0 = 2 / 2 = 1 g31 = a31 / g11 = 0 / 2 = 0 g41 = a41 / g11 = 0 / 2 = 0 g51 = a51 / g11 = 0 / 2 = 0 A cara de G: [G: (g55 0 0 0 0) (g25 g22 0 0 0) (g31 g32 g33 0 0) (g41 g42 g43 g44 0) (g51 g52 g53 g54 g55)] 2ª Coluna de G g22, o elemento diagonal g22 = √(a22 - Σ g2K^2) = √(10 - (-1)^2) = √9 = 3 g32, g42, g52 os elementos não diago: g32 = a32 - Σ g31·g3K = 6 - (0·(-1))/3 = 2 g42 = a42 - Σ g41·g4K = 0 - (0·(-1))/3 = 0 g52 = a52 - Σ g51·g5K = 0 - (0·(-1))/3 = 0 3ª Coluna de G g33, o elemento diagonal g33 = √(a33 - Σ g3K^2) = √36 = 4 G43, e g33 os elementos não-diagonais: g43 = a43 / g33 = (Σ g31·g(K) + g32·g(K2))/4 = 16 - (0·0)^0 + (0·2)^2) = 4 g43 = 4 g53 = a53 / g53 = √16 - 0^0 + 2^2 = 0 g53 = 0 4ª Coluna de G g44, o elemento diagonal g44 = √(a44 - Σ g4K^2 + g41^2 + g42^2 + g43^2) = √(52 - (0^2) + 0^2 + 4^2) = √36 = 6 g54, o elemento não-diagonal g54 = a44 - Σ g41·g4K = a51 - Σ g51·g43 + g42g41 + g43g42 + g44g43 = -6 - ((6·0) + (0·0)^0 + (0·4)^2) = 1 5ª coluna de G g55, o elemento diagonal g55 = √(a55 - Σ g4K^2 + g53^2 + g42^2 + g43^2 + g44^2) = √5 - (0^2 + 0^2 + 4^2 + (-1)^2)^2 = √4 = 2 G = [2 0 0 0 0 -1 3 0 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 1 2] G^T = [2 -1 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 6 0 0 0 0 0 2] = A