Integração Numérica: Regra dos Trapézios e Cálculo do Trabalho em Gás

EFB 108 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Aula 12 Integração Numérica Regra dos Trapézios Problema Um gás é comprimido a uma temperatura constante em um cilindro por meio da ação de um êmbolo segundo os dados da tabela Pressão atm 120 130 154 180 210 270 360 540 Volume mL 45 40 35 30 25 20 15 10 Sabese da termodinâmica que o trabalho exercido sobre um gás em uma compressão vale 𝑊 𝑣𝑖 𝑣𝑓 𝑃𝑣 𝑑𝑣 calcular o trabalho exercido 𝑾sobre o gás durante a compressão Exiba sua resposta com 3 casas decimais Integração 𝑦 𝑥 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 𝐼 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ȁ 𝐹 𝑥 𝑎𝑏 𝐹 𝑏 𝐹𝑎 com 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥 Do Cálculo Diferencial e Integral temse O valor da integral representa o balanço de áreas sob a curva 𝑓𝑥 no intervalo 𝑎 𝑏 Integração Numérica 𝐼 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ȁ 𝐹 𝑥 𝑎𝑏 𝐹 𝑏 𝐹𝑎 com 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑓𝑥 𝑎 𝑏 Balanço de áreas 𝐴 𝐼 𝑁 Integração Numérica 𝐼 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ȁ 𝐹 𝑥 𝑎𝑏 𝐹 𝑏 𝐹𝑎 com 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 1 1 𝑥3 𝐹 𝑥 න 1 1 𝑥3 𝑑𝑥 1 3 ln 1 𝑥 1 6 ln 𝑥2 𝑥 1 3 3 arctg 3 3 2𝑥 1 𝐶 Embora a obtenção da expressão analítica para 𝐹𝑥 seja uma tarefa um tanto complicada é possível determinála e a seguir calcular a integral de 𝑓 𝑥 no intervalo 𝑎 𝑏 Integração Numérica 𝐼 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ȁ 𝐹 𝑥 𝑎𝑏 𝐹 𝑏 𝐹𝑎 com 𝐹 𝑥 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑒𝑥2 𝐹 𝑥 න 𝑒𝑥2𝑑𝑥 Não há solução analítica Como calcular 𝐼 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Integração numérica Integração Numérica Integração Numérica Integração Numérica Integração Numérica Integração Numérica Integração Numérica Integração Numérica 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑓𝑥 Erro 𝐼𝑁 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥1 2 𝑥1 𝑥0 Integração Numérica Integração Numérica 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑓𝑥 𝑥2 ℎ1 ℎ2 𝐼𝑁 𝑓 𝑥0 𝑓 𝑥1 2 ℎ1 𝑓 𝑥1 𝑓𝑥2 2 ℎ2 Se ℎ1 ℎ2 ℎ 𝐼𝑁 ℎ 2 𝑓 𝑥0 2𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 Integração Numérica Integração Numérica Integração Numérica Método dos Trapézios Método simples para integrar numericamente uma função 𝑓𝑥 Não requer conhecimento da forma analítica da primitiva 𝐹𝑥 da função 𝑓𝑥 A função 𝑓𝑥 deve estar expressa na forma discreta Se 𝑓𝑥 estiver na forma analítica devese antes discretizála utilizandose subintervalos de largura ℎ ou seja devese subdividir o intervalo de integração em 𝑛 partes iguais Exemplo de Aplicação Calcule I ₀⁶x² 1dx empregando 5 subintervalos h xn x₀n 600 0005 120 IN h2fx₀ 2fx₁ 2fx₂ 2fx₃ 2fx₄ fx₅ 7944 Exercício 1 a Calcule 𝐼 2 4 1 𝑥 4𝑥3 2𝑥5 𝑑𝑥 analiticamente b Calcule 𝐼 2 4 1 𝑥 4𝑥3 2𝑥5 𝑑𝑥 empregando o Método dos Trapézios Use 𝑛 12 Exercício 2 Um gás é comprimido a uma temperatura constante em um cilindro por meio da ação de um êmbolo segundo os dados da tabela Pressão atm 120 130 154 180 210 270 360 540 Volume mL 45 40 35 30 25 20 15 10 Sabese da termodinâmica que o trabalho exercido sobre um gás em uma compressão vale 𝑊 𝑣𝑖 𝑣𝑓 𝑃𝑣 𝑑𝑣 calcular o trabalho exercido 𝑾sobre o gás durante a compressão Exiba sua resposta com 3 casas decimais Esta apresentação faz parte do material didático da disciplina EFB108 Matemática Computacional e é complementada por notas de aulas e literatura indicada no Plano de Ensino O estudo desta apresentação não exime o aluno do acompanhamento das aulas Professores Eduardo Nadaleto da Matta Lilian de Cássia Santos Victorino Ricardo Caranicola Caleffo