Solução de Equações Diferenciais Ordinárias: Problema do Tanque

EFB 108 MATEMÁTICA COMPUTACIONAL Aula 14 Solução de Equações Diferenciais Ordinárias MÉTODO DE EULER quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m O Problema do Tanque Considere um tanque cilíndrico vertical contendo água com uma válvula de abertura instalada em sua base Quando essa válvula é acionada a água escoará rapidamente quando o tanque estiver cheio e mais lentamente conforme continua a ser drenado A taxa pela qual o nível de água diminui no tanque é expressa por 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑘 𝑦 em que 𝑘 é uma constante dependente da forma e da área do orifício de saída e também da área da seção transversal do tanque O nível da água no tanque 𝑦 é medido em metros e o tempo 𝑡 em minutos quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m O Problema do Tanque Obtenha a expressão 𝑦𝑡 solução da equação diferencial 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑘 𝑦 que descreve a evolução do nível de água no tanque Quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Considere 𝑘 006 Equação Diferencial Caracterização Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função desconhecida 𝑦 e algumas de suas derivadas A 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 de uma equação diferencial de ordem 𝑛 é 𝑦 𝑛 𝐹𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑛1 A solução de uma equação diferencial é uma função 𝑦 𝑓𝑥 Equação Diferencial Caracterização A Solução Geral de uma equação diferencial é a função 𝑦 𝑓𝑥 que satisfaz à equação diferencial 𝑦𝑛e contém constantes de integração arbitrárias A Solução Particular de uma equação diferencial é a função 𝑦 𝑓𝑥 que satisfaz à equação diferencial 𝑦𝑛 cujas constantes de integração presentes na solução geral são determinadas a partir de condições iniciais ou condições de contorno impostas pelo problema Equação Diferencial Classificação As equações diferenciais são classificadas em dois tipos Se a equação diferencial possuir uma única variável independente recebe o nome de Equação Diferencial Ordinária ou EDO Se a equação diferencial possuir mais de uma variável independente recebe o nome de Equação Diferencial de Derivadas Parciais ou EDDP Equação Diferencial Classificação São exemplos de EDOs x2 y y 2 3 x y 1 7 2 x xy y ex 0 17 3 y y y São exemplos de EDDPs 2𝑦 𝑡2 4 2𝑦 𝑥2 0 𝑦 𝑡 3 𝜋 2𝑦 𝑥2 0 2𝑦 𝑥2 2𝑦 𝑡2 0 Classificação quanto à linearidade Uma EDO de ordem 𝑛 com incógnita 𝑦 e variável independente 𝑥 é linear se tem a forma 𝑏𝑛 𝑥 𝑑𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 𝑏𝑛1 𝑥 𝑑𝑛1𝑦 𝑑𝑥𝑛1 𝑏1 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑏0 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 em que 𝑏𝑗 𝑗 0 1 2 𝑛 e 𝑔𝑥são conhecidas e dependem apenas da variável 𝑥 Exemplo de EDO h Modelos 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑡 𝑦 𝑦0 𝑣0𝑡 𝑔𝑡2 2 𝑚 𝑑2𝑦 𝑑𝑡2 𝑘 𝑑𝑦 𝑑𝑡 2 𝑚𝑔 0 Exemplo de EDO 4 2 𝑦 𝑥 1 1 2 3 4 c x x y x y 3 3 2 2 𝑐 0 𝑐 1 𝑐 2 Para 𝑥 0 𝑦 2 Condições Problema de Valor Inicial PVI Problema de Valor de Contorno PVC Para determinar as constantes da função que representa a solução da EDO é necessário impor algumas condições O número de condições necessárias para determinar unicamente a solução da EDO depende de sua ordem Dois tipos de problemas Condições Problema de Valor Inicial Todas as condições são dadas para o mesmo valor da variável independente 3 y y ex 3 1 y 0 1 y 1 1 y Condições Iniciais Condições Problema de Valor de Contorno As condições são expressas para valores distintos da variável independente 0 0 y 1 1 y 0 xy y Condições de contorno Método de Euler Seja uma EDO de 1a ordem escrita na forma 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 Desejase calcular o valor de 𝑦 para um dado valor de 𝑥 Será necessário determinar a solução analítica da EDO e então substituir o valor de 𝑥 OU utilizar um método numérico Método de Euler 𝑥𝑛 𝑦 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑥0 𝑥1 ℎ 𝑦0 Condições Iniciais Método de Euler 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑥1 ℎ 𝑦0 ത𝑦1 tg𝜃 ത𝑦1 𝑦0 ℎ 𝑦𝑥0 𝑦0 ത𝑦1 𝑦0 ℎ Método de Euler 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑥1 ℎ 𝑦0 ത𝑦1 ℎ𝑦 𝑥0 𝑦0 ത𝑦1 𝑦0 ℎ𝑦 𝑥0 𝑦0 𝑦0 ത𝑦1 Forma geral 𝑦𝑖1 𝑦𝑖 ℎ𝑦𝑥𝑖 𝑦𝑖 ത𝑦1 𝑦0 ℎ 𝑦𝑥0 𝑦0 Método de Euler ℎ ℎ 𝑥𝑛 𝑦 𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 ℎ ℎ 𝑦0 𝑦 𝑓𝑥 1y 2y 3y Exercício 1 Resolver a EDO 𝑦 1 2𝑥𝑦 para 𝑥 01 Utilize 10 subintervalos Condições iniciais 𝑥0 0 e 𝑦 𝑥0 1 Determinação do passo ℎ com 𝑛 10 ℎ 𝑥𝑛 𝑥0 𝑛 01 0 10 001 Exercício 1 Cálculo de 𝑦1 a partir de 𝑖 0 Forma geral 𝑦𝑖1 𝑦𝑖 ℎ𝑦𝑥𝑖 𝑦𝑖 𝑦1 𝑦0 ℎ 1 2𝑥0𝑦0 Repetição do processo até 𝑖 10 𝑦2 𝑦1 ℎ 1 2𝑥1𝑦1 𝑦3 𝑦2 ℎ 1 2𝑥2𝑦2 𝑦4 𝑦3 ℎ 1 2𝑥3𝑦3 Exercício 2 Resolver a EDO 𝑦 𝑦 com as condições iniciais 𝑦0 𝑓 0 1 no ponto de abcissa 𝑥𝑛 01 e utilizando 10 subintervalos 𝑛 10 Comparar o resultado obtido com a solução exata da equação quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m Exercício 3 O Problema do Tanque Considere um tanque cilíndrico vertical contendo água com uma válvula de abertura instalada em sua base Quando essa válvula é acionada a água escoará rapidamente quando o tanque estiver cheio e mais lentamente conforme continua a ser drenado A taxa pela qual o nível de água diminui no tanque é expressa por 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑘 𝑦 em que 𝑘 é uma constante dependente da forma e da área do orifício de saída e também da área da seção transversal do tanque O nível da água no tanque 𝑦 é medido em metros e o tempo 𝑡 em minutos Exercício 3 O Problema do Tanque a Admita que 𝑘 006 e empregue o Método de Euler com passo de 05 minuto para determinar quanto tempo levará para que o tanque fique vazio se o nível de água no de abertura da válvula for de 3 m b Obtenha a expressão 𝑦𝑡 que descreve a evolução do nível água no tanque usando um dos métodos analíticos estudados c Construa o gráfico da evolução do nível de água no tanque a partir das duas soluções obtidas analítica e numérica Esta apresentação faz parte do material didático da disciplina EFB108 Matemática Computacional e é complementada por notas de aulas e literatura indicada no Plano de Ensino O estudo desta apresentação não exime o aluno do acompanhamento das aulas Professores Eduardo Nadaleto da Matta Lilian de Cássia Santos Victorino Ricardo Caranicola Caleffo