Gb Prática 05 - Álgebra Linear

APOL 5\nDisciplina(s):\nAlgebra Linear\n\nQuestão 1/10\nSobre a transformação linear T(x,y) = (2x,3y), avalie as afirmativas (FALSO OU VERDADEIRO) a seguir e marque a alternativa correta:\n ( ) T é um operador linear de R2.\n ( ) ( 2 3 ) é a matriz canônica de T.\n ( ) T(1,2) = (3,4).\n ( ) Nut(T) = {(0,0)} e Im(T) = R2.\n A V F V F\n B V F F V\n\nVocê acertou!\nResolução:\nItem i) Verdadeiro: T é uma transformação linear de R em R2, portanto, é um operador linear de R2.\n\nItem ii) Falso: matriz canônica de T é igual ( 2 0 3 0 ).\nItem iii) Falso: T(1,2) = (2,6).\nItem iv) Verdadeiro: Nut(T) = {(0,0)}, já que somente o vetor (0,0) tem por resultado da aplicação de T o vetor (0,0); e Im(T) = R2, pois todo vetor de R2 é imagem por T.\n\nQuestão 2/10\nSeja T a transformação linear de R2 em R2 tal que T(0,2) = (1,1,2) e T(2,5) = (1,0,1) e w o vetor tal que w = T(4,10). Neste caso, a soma das coordenadas de w é igual a:\n A 4\n B 5\n C 6\n D 7\n\nVocê acertou!\nResolução:\nInicialmente, pode-se verificar que o conjunto {(0,2), (2,5)} é uma base de R2 pelo cálculo do determinante a seguir, como estudado na aula anterior:\n\ndet( 2 5 ) = -4 ≠ 0\n\nAssim, como se conhece o efeito de T sobre uma base de R2, pode-se determinar seu efeito sobre qualquer vetor de R2. Para isso, escreve-se o vetor em questão (vetor (4,10)) como combinação linear dos vetores da base dada:\n\n(4,10) = a(0,2) + b(2,5)\n(4,10) = (0,2a) + (2b,5b)\n(4,10) = (2b,2a+5b)\n\nEm seguida, resolve-se o sistema de equações resultante:\n\n2b=4\n2a+5b=10 => a=0 b=2\n\nPortanto, tem-se:\n(4,10) = 0(0,2) + 2(2,5)\n\nE em assim, calcular T(4,10) é o mesmo que calcular T(0,(0,2)+(2,5)). Como T é uma combinação linear, pode-se fazer:\n\nT(0,(0,2)+(2,5)) = 0T(0,2)+2T(2,5)\nT(0,(0,2)+(2,5)) = 0(1,1,2)+2(1,0,1)\nT(0,(0,2)+(2,5)) = (0,0) + (2,0,2)\n\nPortanto, tem-se w = T(4,10) = (2,0,2) e então a soma de suas coordenadas é igual a\n2+0+2=4.\n\nQuestão 3/10\nSeja T o operador linear de R2 tal que T(1,0) = (1,1) e T(0,1) = (3,1). Sendo assim, T(12,13) é igual a:\n A (50,63)\n B (51,84)\n\nVocê acertou!\nComo {(1,0),(0,1)} é a base canônica de R2, se conhece o efeito de T sobre uma base de R2, portanto, pode-se determinar seu efeito sobre qualquer vetor de R2 e, em particular, sobre (12,13).\n\nPara isso, escreve-se o vetor em questão como combinação linear dos vetores da base dada:\n(12,13) = a(1,0)+b(0,1)\n(12,13) = (a,0)+(0,b)\n(12,13) = (a,b)\n\nDo que se pode concluir que: a=12 b=13\n\nPortanto, tem-se: (12,13) = 12(1,0) + 13(0,1)\nE assim, calcular T(12,13) é o mesmo que calcular T[12(1,0) + 13(0,1)].\nComo T é uma combinação linear, pode-se fazer:\n\nT(12,13) = T(12(1,0)+13(0,1))\nT(12,13) = 12T(1,0) + 13T(0,1)\nT(12,13) = 12(1,1) + 13(3,1)\nT(12,13) = (12,12) + (39,13)\nT(12,13) = (51,64)\n\nQuestão 4/10\nJulgue as afirmativas abaixo (FALSO OU VERDADEIRO) sobre as matrizes A = ( 1 4 ) 2 0 3 e B = ( 1 0 1 ) 0 2, em seguida marque a alternativa correta:\n ( ) A é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y) = {x+y, 2x+y,3y}.\n ( ) B é a matriz canônica da transformação linear dada por T(x,y,z) = {x+y,y+2z}.\n ( ) A é a matriz canônica de uma transformação linear de R2 em R2.\n ( ) B é a matriz canônica de uma transformação linear de R2 em R2.\n A V V V V\n B F V F V\n C F V V F\n D V F V V\n\nVocê acertou!\nTodas as afirmativas são verdadeiras. Pode-se obter a matriz de transição de C para B pelo procedimento a seguir:\n(2,10) = c1.(1,5) + c2.(3,0)\n(1,15) = c3.(1,5) + c4.(3,0)\nDo que se obtém os sistemas: c1 + 3c2 = 2 \n s3 + 3c4 = 1, cujas soluções são: c1 = 2 e c2 = 0\n sc3 = 10\n sc4 = 15\n(primeiro sistema) e c3 = 3 e c4 = -2/3 (segundo sistema). Sendo assim, pode-se escrever:\n(2,10) = 2.(1,5) + 0.(3,0)\ne\n(1,15) = 3.(15) - 2/3.(3,0)\nEntão, a matriz de transição de C para B é igual a:\n(2 3)\n(0 -2/3) Marque a alternativa que apresenta um autovetor de A = \n(10 0)\n(0 -8):\nA\nB\nC\nD\nVocê acertou! Ao autovalor λ = 10 estão associados os autovetores múltiplos de \n(1 0)\ne ao autovalor λ = -8 estão associados os autovetores múltiplos de \n(0 1). Assim, a única alternativa que apresenta um autovetor de A é a alternativa D. ii. M pode possuir autovalores reais e/ou autovalores imaginários.\n iii. Considerando-se o conjunto dos números complexos (reais e imaginários), M sempre terá autovalores.\n\n A V F F\n B F F V\n C V V F\n D F V V\n\n Você acertou!\n i. FALSO: os autovalores de M podem não ser distintos. Por exemplo, a matriz M a seguir possui três autovalores iguais (de valor 2):\n \n \n | 2 0 0 |\n | 0 2 0 |\n | 0 0 2 |\n\n ii. VERDADEIRO: os autovalores de M podem ser reais ou imaginários, dependendo da formulação de M.\n\n iii. VERDADEIRO: considerando-se o conjunto dos complexos, M sempre terá autovalores.\n\n Questão 10/10\n Dentro das alternativas abaixo, marque a única que representa uma matriz cujos autovalores são iguais a 1, 2 e 3:\n\n A\n ( 1 0 0 )\n ( 2 2 0 )\n ( 3 1 1 )\n\n B\n ( 1 2 3 )\n ( 0 0 1 )\n ( 0 1 0 )\n\n C\n ( 3 3 )\n ( 0 1 )\n ( 0 2 )\n\n Você acertou!\n A matriz apresentada na alternativa c é a única que possui autovalores iguais a 1, 2 e 3.\n\n D\n ( 0 2 3 )\n ( 2 0 3 )\n ( 2 3 0 )