Lista de Exercícios Resolvidos - Mecânica Clássica - Órbitas, Pêndulo e Força Central

1 Uma partícula de massa m se move sob a ação de uma força central cujo potencial é Vr kr4 k 0 a Com auxílio do gráfico do potencial efetivo faça uma análise qualitativa dos possíveis movimentos indicando quando for o caso os pontos de retorno b Para quais valores de energia e de momento angular a órbita seria um círculo de raio a em torno da origem c Qual é o período do movimento circular 2 Considere um pêndulo simples em que uma partícula de massa m está presa a uma haste rígida de comprimento l assuma que a aceleração gravitacional é constante e dada por g a Faça decomposição de forças e escreva a equação diferencial correspondente ao problema b Escreva a energia mecânica do sistema e a partir de sua conservação esboce os possíveis movimentos no espaço de fase θ dθdt c Considere agora apenas pequenas oscilações reescreva e resolva a EDO correspondente Qual o período de oscilação neste caso d Inclua no item anterior uma força de amortecimento proporcional a velocidade do tipo F bv Qual a relação entre klbg e m para que o movimento seja subamortecido Neste caso qual seria a frequência angular de oscilação 3 Considere que de uma plataforma espacial que pode ser considerada fixa a uma distância d do centro do planeta é lançado um satélite com massa m a uma velocidade v0 a um ângulo α em relação a plataforma Sendo M a massa do planeta e G a constante de gravitação a Descreva a órbita elipse hipérbole parábola em função dos parâmetros dados no problema Figura 1 figura do exercício 3 b Calcule o ponto de maior aproximação do planeta em função dos parâmetros dados Dado um potencial do tipo kr com k 0 temos cosθ Lττ kmL2mE m2k2L2 Lembrando que uma cônica pode ser escrita como r p1 e cosθ 4 Considere uma partícula de massa m e carga q em um campo magnético constante B Calcule a trajetória desta partícula sabendo que a força de Lorentz no caso é dada por F qv B Questão 1 A O ponto 𝑟 0 é tomado como o centro do sistema de coordenadas polares O sistema de coordenadas polares é descrito pelos versores 𝑟 𝜃 𝑒 𝑘 O vetor posição é dador por 𝑟 𝑟 𝑟 Derivando o vetor posição 𝑣 𝑟 𝑡 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑟 𝑡 Usando as relações de Poisson para derivada de versores que giram 𝑟 𝑡 𝑤 𝑋 𝑟 𝑤 𝑤 𝑘 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 Logo 𝑣 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝑋 𝑟 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝑘𝑋 𝑟 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝑘𝑋 𝑟 O produto vetorial vale 𝑘𝑋 𝑟 𝜃 Logo 𝑣 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝜃 Cálculo da energia cinética da partícula 𝐸𝑐 𝑚 2 𝑣 𝑣 𝑚 2 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝜃 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝜃 𝑚 2 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑟 𝑡 2𝑟 𝑟 𝑡 𝑟𝑤 𝜃 𝑟𝑤 𝜃 𝑟𝑤 𝜃 𝐸𝑐 𝑚 2 𝑟 𝑡 2 𝑟 𝑟 2 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝜃 𝑟 𝑟2 𝑤2 𝜃 𝜃 Os produtos escalares são 𝑟 𝑟 1 𝜃 𝑟 0 𝜃 𝜃 1 Logo 𝐸𝑐 𝑚 2 𝑟 𝑡 2 1 2 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 0 𝑟2 𝑤2 1 𝑚 2 𝑟 𝑡 2 𝑟2 𝑤2 Cálculo da energia mecânica do sistema 𝐸 𝐸𝑐 𝑉 𝐸 𝑚 2 𝑟 𝑡 2 𝑟2 𝑤2 𝑘 𝑟4 𝑚 2 𝑟 𝑡 2 𝑚𝑤2 2 𝑟2 𝑘 𝑟4 A expressão revela o potencial efetivo que só depende da posição 𝑉𝑒𝑓 𝑚𝑤2 2 𝑟2 𝑘 𝑟4 Valores de r que anulam o potencial efetivo 0 𝑚𝑤2 2 𝑟2 𝑘 𝑟4 0 𝑚𝑤2 2 𝑘 𝑟2 𝑟2 𝑟 0 𝑟 𝑚𝑤2 2𝑘 Derivada primeira nula do potencial 𝑑𝑉𝑒𝑓 𝑑𝑟 𝑚𝑤2 𝑟 4𝑘 𝑟3 0 𝑚𝑤2 4𝑘 𝑟2 𝑟 0 𝑟 0 𝑟 𝑚𝑤2 4𝑘 Derivada segunda nula do potencial 𝑑2𝑉𝑒𝑓 𝑑𝑟2 𝑚𝑤2 12𝑘 𝑟2 0 𝑟 𝑚𝑤2 12𝑘 Gráfico do potencial efetivo Análise qualitativa O potencial centrífugo tende a afastar a partícula do centro à medida que r aumenta O potencial real tende a aproximar a partícula do centro à medida que r aumenta Há um ponto de equilíbrio onde a força de atração e centrífuga se equilibram Para os valores 𝟎 𝒓 𝒎𝒘𝟐 𝟐𝒌 o movimento é orbital em torno do ponto central Para os valores 𝒓 𝒎𝒘𝟐 𝟐𝒌 o movimento não é orbital a partícula é desviada ao se aproximar do centro mas não fica presa O valor 𝒓 𝒎𝒘𝟐 𝟒𝒌 é o ponto de equilíbrio e um ponto de retorno a trajetória tende a obedecer essa relação entre raio e velocidade angular B Dada a energia total do sistema 𝐸 𝑚 2 𝑟 𝑡 2 𝑚𝑤2 2 𝑟2 𝑘 𝑟4 Para uma orbita circular o raio se mantém constante 𝐸 𝑚 2 02 𝑚𝑤2 2 𝑟2 𝑘 𝑟4 𝐸 𝑚𝑤2 2 𝑟2 𝑘 𝑟4 A orbita circular minimiza a energia 𝑑𝐸 𝑑𝑟 𝑚𝑤2𝑟 4 𝑘 𝑟3 0 𝑚𝑤2𝑟 4 𝑘 𝑟3 0 𝑚𝑤2 𝑎 4 𝑘 𝑎3 0 𝑚𝑤2 4 𝑘 𝑎2 𝑎 𝑚𝑤2 4𝑘 Cálculo da energia total 𝐸 𝑚𝑤2 2 𝑟2 𝑘 𝑟4 𝐸 𝑚𝑤2 2 𝑎2 𝑘 𝑎4 𝐸 𝑚𝑤2 2 𝑚𝑤2 4𝑘 𝑘 𝑚𝑤2 4𝑘 2 𝐸 𝑚2𝑤4 8𝑘 𝑚2𝑤4 16𝑘 𝐸 𝑚2𝑤4 16𝑘 Cálculo do momento angular 𝐿 𝑚𝑟2𝑤 𝑚𝑎2𝑤 𝐿 𝑚 𝑚𝑤2 4𝑘 𝑤 𝐿 𝑚2𝑤3 4𝑘 Portanto para a orbita circular 𝑬 𝒎𝟐𝒘𝟒 𝟏𝟔𝒌 𝑳 𝒎𝟐𝒘𝟑 𝟒𝒌 𝒂 𝒎𝒘𝟐 𝟒𝒌 C Cálculo do período do movimento circular 𝑇 2𝜋 𝑤 2𝜋 2𝑎𝑘𝑚 𝑻 𝝅 𝒂 𝒎 𝒌 Questão 2 A O sistema de coordenadas polares é descrito pelos versores 𝑟 𝜃 𝑒 𝑘 Diagrama de corpo livre do pêndulo O vetor velocidade em coordenadas polares já foi obtido no exercício anterior Reproduzindo o resultado 𝑣 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝜃 𝑣 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝜃 𝜃 O comprimento do fio é constante 𝑟 𝑡 0 Logo 𝑣 𝑟 𝜃 𝜃 Derivando a velocidade 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝜃 𝜃 𝑑𝑡 𝑟 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑟 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Usando as relações de Poisson para derivada de versores que giram 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑤 𝑋 𝜃 𝑤 𝑤 𝑘 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 Logo 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑤 𝑘 𝑋 𝜃 O produto vetorial vale 𝑘 𝑋 𝜃 𝑟 Logo 𝑎 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝜃 𝜃 𝑑𝑡 𝑟 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑟 𝜃 𝑤 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 𝑎 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 Força resultante expressa na partícula em um sistema de coordenadas polar 𝐹𝑅 𝑚 𝑔 cos 𝜃 𝑇 𝑟 𝑚 𝑔 sin 𝜃 𝜃 Usando a segunda lei de Newton 𝐹𝑅 𝑚 𝑎 𝑚 𝑔 cos 𝜃 𝑇 𝑟 𝑚 𝑔 sin 𝜃 𝜃 𝑚 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 𝑔 cos 𝜃 𝑇 𝑟 𝑔 sin 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 Separando as componentes 𝑔 cos𝜃 𝑇 𝑟 𝜃 2 𝑔 sin𝜃 𝑟 𝜃 𝑇 𝑔 cos𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 𝜃 𝑔 sin𝜃 0 Equação diferencial do problema 𝒍 𝜽 𝒈 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝟎 B Cálculo da energia cinética do sistema 𝐸𝑐 𝑚 2 𝑣 𝑣 𝑚 2 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 𝜃 𝑚 2 𝑟2 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝑚 2 𝑟2 𝜃 2 1 𝑚 2 𝑟2 𝜃 2 𝐸𝑐 𝑚𝑟2 2 𝜃 2 Cálculo da energia potencial do sistema 𝐸𝑝 𝑚 𝑔 ℎ 𝑚 𝑔 𝑙 cos 𝜃 Cálculo da energia mecânica do sistema 𝐸 𝐸𝑐 𝐸𝑝 𝐸 𝑚𝑟2 2 𝜃 2 𝑚 𝑔 𝑙 cos 𝜃 Isolando o angulo 𝑚 𝑔 𝑙 cos 𝜃 𝑚𝑟2 2 𝜃 2 𝐸 cos 𝜃 𝑟2 2𝑔𝑙 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝐸 𝑚𝑔𝑙 𝜃 arccos 𝑟2 2𝑔𝑙 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝐸 𝑚𝑔𝑙 Para o arco pi2 𝑟2 2𝑔𝑙 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝐸 𝑚𝑔𝑙 0 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2𝐸 𝑚𝑟2 Para o arco nulo 𝑟2 2𝑔𝑙 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝐸 𝑚𝑔𝑙 1 𝑚𝑟2 2 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝑚𝑔𝑙 𝐸 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 2𝑔𝑙 𝑟2 2𝐸 𝑚𝑟2 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2𝐸 𝑚𝑟2 2𝑔𝑙 𝑟2 Para o arco pi 𝑟2 2𝑔𝑙 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝐸 𝑚𝑔𝑙 1 𝑚𝑟2 2 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 𝑚𝑔𝑙 𝐸 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2 2𝑔𝑙 𝑟2 2𝐸 𝑚𝑟2 𝑑𝜃 𝑑𝑡 2𝐸 𝑚𝑟2 2𝑔𝑙 𝑟2 Gráfico do espaço de estados C Reescrevendo a equação de movimento 𝑙 𝜃 𝑔 sin𝜃 0 𝜃 𝑔 𝑙 sin 𝜃 0 Para pequenas oscilações sin𝜃 𝜃 Logo 𝜽 𝒈 𝒍 𝜽 𝟎 Comparando com a equação do oscilador harmônico 𝜃 𝑤2 𝜃 0 Portanto 𝑤2 𝑔 𝑙 𝑤 𝑔 𝑙 Cálculo do período 𝑇 2𝜋 𝑤 𝑻 𝟐𝝅 𝒍 𝒈 D Acrescentando a força amortecedora na força resultante 𝐹𝑅 𝑚 𝑔 cos 𝜃 𝑇 𝑟 𝑚 𝑔 sin 𝜃 𝑏 𝑣 𝜃 𝐹𝑅 𝑚 𝑔 cos 𝜃 𝑇 𝑟 𝑚 𝑔 sin 𝜃 𝑏 𝑟 𝜃 𝜃 Usando a segunda lei de Newton 𝐹𝑅 𝑚 𝑎 𝑚 𝑔 cos 𝜃 𝑇 𝑟 𝑚 𝑔 sin 𝜃 𝑏 𝑟 𝜃 𝜃 𝑚 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 𝑔 cos 𝜃 𝑇 𝑟 𝑔 sin 𝜃 𝑏 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 Separando as componentes do movimento 𝑔 cos𝜃 𝑇 𝑟 𝜃 2 𝑔 sin𝜃 𝑏 𝑟 𝜃 𝑟 𝜃 𝑇 𝑔 cos𝜃 𝑟 𝜃 2 𝑟 𝜃 𝑏 𝑟 𝜃 𝑔 sin 𝜃 0 Equação de movimento 𝑙 𝜃 𝑏 𝑙 𝜃 𝑔 sin𝜃 0 𝜃 𝑏 𝜃 𝑔 𝑙 sin 𝜃 0 Para pequenas oscilações 𝜃 𝑏 𝜃 𝑔 𝑙 𝜃 0 Fator de amortecimento 2 𝜉 𝑤 𝑏 2 𝜉 𝑔 𝑙 𝑏 𝜉 𝑏 2 𝑙 𝑔 Condição para movimento subamortecidos 𝜉 1 𝑏 2 𝑙 𝑔 1 𝒃 𝟐 𝒈 𝒍 Cálculo da frequência amortecida 𝑤𝑑 𝑤 1 𝜉2 𝒘𝒅 𝒈 𝒍 𝟏 𝒃𝟐𝒍 𝟒𝒈 Questão 3 A A velocidade em coordenadas polares já foi obtida Reproduzindo o resultado 𝑣 𝑟 𝑟 𝑡 𝑟 𝑤 𝜃 𝑣 𝑟 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 Cálculo da energia cinética 𝐸𝑐 𝑚 2 𝑣 𝑣 𝑚 2 𝑟 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 𝑟 𝑟 𝑟 𝜃 𝜃 𝑚 2 𝑟2 𝑟 𝑟 2 𝑟 𝜃 𝑟 𝜃 𝑟2 𝜃 2 𝜃 𝜃 𝐸𝑐 𝑚 2 𝑟2 1 2 𝑟 𝜃 0 𝑟2 𝜃 2 1 𝐸𝑐 𝑚 2 𝑟2 𝑟2 𝜃 2 Cálculo da energia potencial 𝐸𝑝 𝐺 𝑀 𝑚 𝑟 Cálculo da energia mecânica 𝐸 𝐸𝑐 𝐸𝑝 𝑚 2 𝑟2 𝑟2 𝜃 2 𝐺 𝑀 𝑚 𝑟 A energia mecânica se conserva Usando os parâmetros iniciais 𝑟2 𝑣0 2 sin2 𝛼 𝑟2 𝜃 2 𝑣0 2 cos2 𝛼 𝑟 𝑑 Logo 𝐸 𝑚 2 𝑣0 2 sin2 𝛼 𝑣0 2 cos2 𝛼 𝐺 𝑀 𝑚 𝑑 𝑚𝑣0 2 2 sin2 𝛼 cos2 𝛼 𝐺 𝑀 𝑚 𝑑 𝐸 𝑚𝑣0 2 2 𝐺 𝑀 𝑚 𝑑 Relação entre as órbitas possíveis e os parâmetros Para elipse 𝐸 0 𝑚𝑣0 2 2 𝐺 𝑀 𝑚 𝑑 0 𝒗𝟎 𝟐 𝑮 𝑴 𝒅 𝒐𝒓𝒃𝒊𝒕𝒂 𝒆𝒍í𝒑𝒕𝒊𝒄𝒂 Para parábola 𝐸 0 𝑚𝑣0 2 2 𝐺 𝑀 𝑚 𝑑 0 𝒗𝟎 𝟐 𝑮 𝑴 𝒅 𝒐𝒓𝒃𝒊𝒕𝒂 𝒆𝒍í𝒑𝒕𝒊𝒄𝒂 Para hipérbole 𝐸 0 𝑚𝑣0 2 2 𝐺 𝑀 𝑚 𝑑 0 𝒗𝟎 𝟐 𝑮 𝑴 𝒅 𝒐𝒓𝒃𝒊𝒕𝒂 𝒆𝒍í𝒑𝒕𝒊𝒄𝒂 B A energia mecânica e dada por 𝐸 𝑚𝑣0 2 2 𝑘 𝑚 𝑑 Igualando a energia no ponto mais próximo com a energia inicial 𝑚𝑣2 2 𝑘 𝑚 𝑟𝑚í𝑛 𝐸 No ponto de maior proximidade a velocidade é tangente Usando a conservação do momento angular 𝑚𝑣𝑟𝑚í𝑛 𝐿 𝑚𝑑𝑣0 cos 𝛼 𝑣 𝐿 𝑟𝑚í𝑛 Substituindo 𝑚𝑣2 2 𝑘 𝑚 𝑟𝑚í𝑛 𝐸 𝑚 2 𝐿2 𝑟𝑚í𝑛 2 𝑘 𝑚 𝑟𝑚í𝑛 𝐸 𝑚𝐿2 2 𝑟𝑚í𝑛 𝑘 𝑚 2 𝐸 𝑟𝑚í𝑛 2 2 𝐸 𝑟𝑚í𝑛 2 2 𝑟𝑚í𝑛 𝑘 𝑚 𝑚 𝐿2 0 𝑟𝑚í𝑛 2 𝑘 𝑚 4 𝑘2 𝑚2 42 𝐸 𝑚 𝐿2 22 𝐸 𝑟𝑚í𝑛 𝑘2 𝑚2 2 𝐸 𝑚 𝐿2 𝑘 𝑚 2 𝐸 Cálculo da posição angular cos 𝜃 𝐿 𝑟 𝑘𝑚 𝐿 2𝑚𝐸 𝑚2𝑘2 𝐿2 cos 𝜃 𝐿 𝑘2 𝑚2 2 𝐸 𝑚 𝐿2 𝑘 𝑚 2 𝐸 𝑘𝑚 𝐿 2𝑚𝐸 𝑚2𝑘2 𝐿2 cos 𝜃 2 𝐸 𝐿 𝑘2 𝑚2 2 𝐸 𝑚 𝐿2 𝑘 𝑚 𝑘𝑚 𝐿 2𝑚𝐸 𝑚2𝑘2 𝐿2 cos 𝜃 2 𝐸 2𝑚𝐸 𝑚2𝑘2 𝐿2 𝑘𝑚 𝐿 𝑘𝑚 𝐿 2𝑚𝐸 𝑚2𝑘2 𝐿2 𝜽 𝐚𝐫𝐜𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝑬 𝟐𝒎𝑬 𝒎𝟐𝒌𝟐 𝑳𝟐 𝒌𝒎 𝑳 𝒌𝒎 𝑳 𝟐𝒎𝑬 𝒎𝟐𝒌𝟐 𝑳𝟐 𝑬 𝒎𝒗𝟎 𝟐 𝟐 𝒌 𝒎 𝒅 𝑳 𝒎𝒅𝒗𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝜶 𝒌 𝑮𝑴 Questão 4 Supondo o campo magnético na direção do eixo z 𝐵 𝐵 𝑘 Vetor velocidade 𝑣 𝑣𝑥 𝑖 𝑣𝑦 𝑗 𝑣𝑧 𝑘 Cálculo da força 𝐹 𝑞 𝑣 𝑋 𝐵 𝐹 𝑞 𝑣𝑥 𝑖 𝑣𝑦 𝑗 𝑣𝑧 𝑘 𝑋 𝐵 𝑘 𝐹 𝑞 𝐵 𝑣𝑥 𝑖 𝑋 𝑘 𝑣𝑦 𝑗 𝑋 𝑘 𝑣𝑧 𝑘 𝑋 𝑘 𝐹 𝑞 𝐵 𝑣𝑥 𝑗 𝑣𝑦 𝑖 𝑣𝑧 0 𝐹 𝑞 𝐵 𝑣𝑦 𝑖 𝑣𝑥 𝑗 Equação de movimento 𝑞 𝐵 𝑣𝑦 𝑖 𝑣𝑥 𝑗 𝑚 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑗 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡 𝑘 𝑞𝐵 𝑚 𝑣𝑦 𝑖 𝑣𝑥 𝑗 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑖 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑗 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡 𝑘 Separando as componentes 𝑑𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑞𝐵 𝑚 𝑣𝑦 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑞𝐵 𝑚 𝑣𝑥 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡 0 Integrando a terceira equação 𝑑𝑣𝑧 𝑑𝑡 0 𝑣𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑧𝑡 𝑧0 𝑣𝑧 𝑡 Combinando as outras duas equações 𝑑2𝑣𝑥 𝑑𝑡2 𝑞𝐵 𝑚 𝑑𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑑2𝑣𝑥 𝑑𝑡2 𝑞𝐵 𝑚 𝑞𝐵 𝑚 𝑣𝑥 𝑑2𝑣𝑥 𝑑𝑡2 𝑞𝐵 𝑚 2 𝑣𝑥 0 Resolvendo a EDO linear do segundo grau 𝑣𝑥𝑡 𝐴 cos 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 𝐶 sin 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 𝑥𝑡 𝐴𝑚 𝑞𝐵 sin 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 𝑐𝑚 𝑞𝐵 cos 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 Condições iniciais 𝑣𝑥0 𝐴 cos0 𝐶 sin0 𝑥0 𝐴𝑚 𝑞𝐵 sin0 𝐶𝑚 𝑞𝐵 cos0 𝐴 𝑣𝑥0 𝐶 𝑥0𝑞𝐵 𝑚 Logo a solução para x 𝑥𝑡 𝑣𝑥0 𝑚 𝑞𝐵 sin 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 𝑥0 cos 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 Pela simetria a solução para y é obtida da mesma forma 𝑦𝑡 𝑣𝑦0 𝑚 𝑞𝐵 sin 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 𝑦0 cos 𝑞𝐵 𝑚 𝑡 Solução da trajetória 𝒙𝒕 𝒗𝒙𝟎 𝒎 𝒒𝑩 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝑩 𝒎 𝒕 𝒙𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝑩 𝒎 𝒕 𝒚𝒕 𝒗𝒚𝟎 𝒎 𝒒𝑩 𝐬𝐢𝐧 𝒒𝑩 𝒎 𝒕 𝒚𝟎 𝐜𝐨𝐬 𝒒𝑩 𝒎 𝒕 𝒛𝒕 𝒛𝟎 𝒗𝒛 𝒕 É uma espiral cujo eixo é paralelo ao à direção do campo magnético com raio 𝑹 𝒎𝒗𝟎𝒙 𝟐 𝒗𝟎𝒚 𝟐 𝒒𝑩 Questão 1 A O ponto r0 é tomado como o centro do sistema de coordenadas polares O sistema de coordenadas polares é descrito pelos versores r θe k O vetor posição é dador por rr r Derivando o vetor posição v r t r r t r r t r r t Usando as relações de Poisson para derivada de versores que giram r t w X r ww kvelocidadeangular Logo vr r t r w X rr r t r w k X rr r t rw k X r O produto vetorial vale k X rθ Logo vr r t r w θ Cálculo da energia cinética da partícula Ecm 2 v vm 2 r r t r w θ r r t r w θm 2 r r t r r t 2 r r t rw θrw θrw θ Ecm 2 r t 2 r r2 r t r w θ rr 2w 2θ θ Os produtos escalares são r r1 θ r0 θ θ1 Logo Ecm 2 r t 2 12 r t r w0r 2w 21m 2 r t 2 r 2w 2 Cálculo da energia mecânica do sistema EEcV Em 2 r t 2 r 2w 2k r 4m 2 r t 2 m w 2 2 r 2k r 4 A expressão revela o potencial efetivo que só depende da posição V efm w 2 2 r 2k r 4 Valores de r que anulam o potencial efetivo 0mw 2 2 r 2k r 4 0 m w 2 2 k r 2r 2 r0 r m w 2 2k Derivada primeira nula do potencial dV ef dr m w 2r4 k r 30 m w 24k r 2r0 r0 r m w 2 4k Derivada segunda nula do potencial d 2V ef dr 2 m w 212k r 20 r m w 2 12k Gráfico do potencial efetivo Análise qualitativa O potencial centrífugo tende a afastar a partícula do centro à medida que r aumenta O potencial real tende a aproximar a partícula do centro à medida que r aumenta Há um ponto de equilíbrio onde a força de atração e centrífuga se equilibram Para os valores 0r m w 2 2k o movimento é orbital em torno do ponto central Para os valores r m w 2 2k o movimento não é orbital a partícula é desviada ao se aproximar do centro mas não fica presa O valor r m w 2 4k é o ponto de equilíbrio e um ponto de retorno a trajetória tende a obedecer essa relação entre raio e velocidade angular B Dada a energia total do sistema Em 2 r t 2 m w 2 2 r 2k r 4 Para uma orbita circular o raio se mantém constante Em 2 0 2 m w 2 2 r 2k r 4 Em w 2 2 r 2k r 4 A orbita circular minimiza a energia dE dr m w 2r4k r 3 0m w 2r4kr 3 0m w 2a4ka 3 0m w 24k a 2 a m w 2 4 k Cálculo da energia total Em w 2 2 r 2k r 4 Em w 2 2 a 2k a 4 Em w 2 2 m w 2 4 k k mw 2 4 k 2 Em 2w 4 8k m 2w 4 16k Em 2w 4 16k Cálculo do momento angular Lmr 2wma 2w Lm m w 2 4 k w Lm 2w 3 4 k Portanto para a orbita circular Em 2w 4 16k Lm 2w 3 4 k a m w 2 4 k C Cálculo do período do movimento circular T2π w 2 π 2akm Tπ a m k Questão 2 A O sistema de coordenadas polares é descrito pelos versores r θe k Diagrama de corpo livre do pêndulo O vetor velocidade em coordenadas polares já foi obtido no exercício anterior Reproduzindo o resultado vr r t r w θ vr r t r θ θ O comprimento do fio é constante r t 0 Logo vr θ θ Derivando a velocidade ad v dt d r θ θ dt r θ d θ dt r θ d θ dt Usando as relações de Poisson para derivada de versores que giram d θ dt w X θ ww kvelocidadeangular Logo d θ dt w k X θ O produto vetorial vale k X θr Logo ad v dt d r θ θ dt r θ d θ dt r θw r r θ θr θ 2 r ar θθr θ 2 r Força resultante expressa na partícula em um sistema de coordenadas polar FRm gcosθT rm gsinθ θ Usando a segunda lei de Newton FRm a m gcosθT rmg sinθ θm r θ θr θ 2 r gcosθT rgsinθθr θ θr θ 2 r Separando as componentes gcosθTr θ 2 gsinθr θ Tgcosθr θ 2 r θgsinθ0 Equação diferencial do problema l θgsinθ0 B Cálculo da energia cinética do sistema Ecm 2 v vm 2 r θ θ r θ θ m 2 r 2 θ 2 θ θm 2 r 2 θ 21m 2 r 2 θ 2 Ecm r 2 2 θ 2 Cálculo da energia potencial do sistema Epm ghmg l cosθ Cálculo da energia mecânica do sistema EEcEp Em r 2 2 θ 2mgl cos θ Isolando o angulo m glcosθmr 2 2 θ 2E cosθ r 2 2gl dθ dt 2 E mgl θarccos r 2 2 gl dθ dt 2 E mgl Para o arco pi2 r 2 2gl dθ dt 2 E mgl0 dθ dt 2E mr 2 Para o arco nulo r 2 2gl dθ dt 2 E mgl1 mr 2 2 dθ dt 2 mglE dθ dt 2 2 gl r 2 2 E m r 2 dθ dt 2E mr 2 2 gl r 2 Para o arco pi r 2 2gl dθ dt 2 E mgl1 mr 2 2 dθ dt 2 mglE dθ dt 2 2gl r 2 2 E m r 2 dθ dt 2E mr 22gl r 2 Gráfico do espaço de estados C Reescrevendo a equação de movimento l θgsinθ0 θ g l sinθ0 Para pequenas oscilações sinθθ Logo θ g l θ0 Comparando com a equação do oscilador harmônico θw 2θ0 Portanto w 2g l w g l Cálculo do período T2π w T2π l g D Acrescentando a força amortecedora na força resultante FRm gcosθT rm gsinθbv θ FRm gcosθT rm gsinθbr θ θ Usando a segunda lei de Newton FRm a m gcosθT rm gsinθbr θ θm r θ θr θ 2 r gcosθT rg sinθbr θ θr θ θr θ 2 r Separando as componentes do movimento gcosθTr θ 2 gsinθbr θr θ Tgcosθr θ 2 r θbr θgsinθ0 Equação de movimento l θbl θgsinθ0 θb θ g l sinθ0 Para pequenas oscilações θb θ g l θ0 Fator de amortecimento 2ξwb 2ξ g l b ξb 2 l g Condição para movimento subamortecidos ξ1 b 2 l g 1 b 2 g l Cálculo da frequência amortecida wdw1ξ 2 wd g l 1b 2l 4 g Questão 3 A A velocidade em coordenadas polares já foi obtida Reproduzindo o resultado vr r t r w θ vr rr θ θ Cálculo da energia cinética Ecm 2 v vm 2 r rr θ θ r rr θ θm 2 r 2 r r2 r θ r θr 2 θ 2 θ θ Ecm 2 r 212 r θ0r 2 θ 21 Ecm 2 r 2r 2 θ 2 Cálculo da energia potencial EpG M m r Cálculo da energia mecânica EEcEpm 2 r 2r 2 θ 2G M m r A energia mecânica se conserva Usando os parâmetros iniciais r 2v0 2sin 2α r 2 θ 2v 0 2cos 2α rd Logo Em 2 v0 2sin 2α v0 2cos 2α G M m d m v0 2 2 sin 2αcos 2α G M m d Em v0 2 2 G M m d Relação entre as órbitas possíveis e os parâmetros Para elipse E0 m v0 2 2 G M m d 0 v0 2G M d orbita elíptica Para parábola E0 m v0 2 2 G M m d 0 v0 2G M d orbitaelíptica Para hipérbole E0 m v0 2 2 G M m d 0 v0 2G M d orbita elíptica B A energia mecânica e dada por Em v0 2 2 k m d Igualando a energia no ponto mais próximo com a energia inicial m v 2 2 k m rmín E No ponto de maior proximidade a velocidade é tangente Usando a conservação do momento angular mvr mínLm dv0cos α v L rmín Substituindo m v 2 2 k m rmín E m 2 L 2 rmín 2 k m r mín E m L 22r mínk m2Ermín 2 2 Ermín 2 2rmínk mm L 20 rmín2k m4k 2m 242Em L 2 22E rmínk 2m 22 Em L 2k m 2 E Cálculo da posição angular cosθ L r km L 2mE m 2k 2 L 2 cosθ L k 2m 22 Em L 2k m 2 E km L 2mE m 2k 2 L 2 cosθ 2 EL k 2m 22 Em L 2k m km L 2mEm 2k 2 L 2 cosθ 2 E 2mE m 2k 2 L 2 km L km L 2mE m 2k 2 L 2 θarccos 2 E 2mE m 2k 2 L 2 km L km L 2mE m 2k 2 L 2 Em v0 2 2 k m d Lmd v0cos α kGM Questão 4 Supondo o campo magnético na direção do eixo z BB k Vetor velocidade vv x iv y jv z k Cálculo da força Fq v X B Fqvx iv y jvz k X B k Fq Bvx i X kv y j X kv zk X k Fq Bvx jv y iv z0 Fq Bv y ivx j Equação de movimento q Bv y ivx jm dvx dt i d v y dt j dvz dt k qB m v y ivx jdvx dt i d v y dt j dvz dt k Separando as componentes dvx dt qB m v y d v y dt qB m v x d vz dt 0 Integrando a terceira equação d vz dt 0 vzconstante z t z0vzt Combinando as outras duas equações d 2vx dt 2 qB m d v y dt d 2vx dt 2 qB m qB m v x d 2vx dt 2 qB m 2 v x0 Resolvendo a EDO linear do segundo grau vx t Acos qB m tC sin qB m t x t Am qB sin qB m tcm qB cos qB m t Condições iniciais vx 0Acos0 C sin 0 x 0 Am qB sin 0Cm qB cos0 Av x 0 Cx 0 qB m Logo a solução para x x t vx 0m qB sin qB m tx0cos qB m t Pela simetria a solução para y é obtida da mesma forma y tv y 0m qB sin qB m t y0cos qB m t Solução da trajetória x t vx 0m qB sin qB m tx0cos qB m t y tv y 0m qB sin qB m t y0cos qB m t z t z0vzt É uma espiral cujo eixo é paralelo ao à direção do campo magnético com raio Rmv0x 2 v0 y 2 qB