Mecânica Clássica: Soluções de Deslocamentos, Oscilador Amortecido e Energia Polínica

Atividades de Mecânica Clássica Observações 1 Apresente as respostas com clareza e faça todas as passagens de todas as contas 2 Todas as discussões devem ser completas Parte 1 Parte 2 1 a O momento angular vecL é definido por meio do vetor posição vecr e do momento linear vecp m fracdvecrdt como vecL vecr imes vecp Mostre que em um referencial inercial temos fracdvecLdt vecr imes vecF b Mostre que o momento angular vecL vecr imes vecp para uma partícula sujeita a uma força central vecF vecFrhatr é conservado 2 Na figura abaixo temos molas idênticas conectadas a duas massas iguais As massas têm seu movimento limitado ao plano horizontal e sem fricção Mostre que a solução geral para os deslocamentos x1t e x2t com relação às suas posições de equilibrio são dadas por x1t A cos omega1 t varphi1 B cos omega2 t varphi2 x2t A cos omega1 t varphi1 B cos omega2 t varphi2 sendo omega1 sqrtkm e omega2 sqrt3km e A B varphi1 e varphi2 constante arbitrárias 3 Uma partícula de massa m está sujeita a uma força restauradora F kx sendo k uma constante positiva Atua também no sistema uma força de atrito proporcional a velocidade F alpha x sendo alpha uma constante positiva a Determine a posição xt em termos de m k alpha e das condições iniciais x0 e v0 b Aplique a transformação xt yt et au na equação de movimento obtida no item anterior e deduza que a Lagrangiana para o oscilador amortecido é dada por L leftfrac12 m dotx2 frac12 m omega02 x2 right e2t au e que sua Hamiltoniana é dada por H leftfrac12 m dotx2 frac12 m omega02 x2 right e2t au 1 Etfs to 1g a energia polincial do sistema e mgletalcoso 4 mom acosolt ps velocidacer wadial e a cinética e 1m at eta 0 2 velocidade tangencia U cor portanto a lagrangiana e h 22 001 uz x2 lta mg lta cost Kaz e pelas equates de Euler Lagrange 13 3 mid m lta 02 mycoso use Msi m 11 2702 mycoso Ka 13 0 Milenko mg Cta sino 2m lta ie Q m lta mg Ita sino 2 h my a if E mgt pelas equacies de Euler hagrange I 3 como por Off termos que f Pa portanto pa e una quantidade conservada 3 a U mgrcoso T mRzI entao a lagrangian do problemo e L T U h my mgrcoso b pelo equacko de Euler hagrange 170 38 MRO mgrsine MR MgRsino grind R c a resultante centripete e em modulo w F PCOSO N MRI iAE N mgcoso mfcomov RO NO 0 mycoso If Ñ100 mgcoso mroJP sendo F o Vernor radial pl for da herniestera 1 1a I Fxp If Exp If f it off Xp I I i pois p mi e doff b se I f r F Px É REX F NF r F r Pff portanto por a If e I se conserva 3 a equagat do monimento F mai Ka α I msit I RR 0 im x In it Ema equacao caracteristica r Inr em 0 D 4 3 cases r IT i 4m 0 is 2 4km o r Im naiz ampla alt A Bt e Ham 210 20 V10 V0 2101 Ae A no Vit Be 12mEm acts V0 V0 B Indo B V0 2mar a fro Yo 1m t e them ii D 0 r 2m fmx2 4kmxlt Ae Ett In 4mT Be In Enactment A GET The AE f in Ear Be an 210 20 A B V10 Vo ffm E A TIE B EmtEz no v A Em Ez Ext EDA AND m If no v0 A 5 E not A B 20 A portanto alt Ae En CITI in A est ee com A dado por x iii D o entao r 2 tiff waiter complemas act e M Acos Oft Bain Int Ct In alt e am f AFI an EI BIG cos 5 1 210 20 A V10 V0 Em 210 BED B LVO In 20 portal alt e no cost0 voter sin AI once D 221Mt b x t yet e t t al y e th y e th y a y e th y t y y e y 2 Como mi ie ex met y 2 α et y kyit home T 22h enlar m y 2g Im yEE α y Fm Ky y Tfm 24m Ky 9 14m 49 y 2244ha y portanto y satisfaz a Umc equagai de orcilador harmonico com w 2 4cg a Lagrangian de y e h y y tmy mfey2 come a e thy a é y e thy y a et aeth next et a portanto y e ᵗ 212 42 24 2 de Kieran Sistema de EDO mail Kait K R2 R1 mai Kaz K x 22 di Etc 21m x2 111 2122 x x 4m diagonalizando M 1 25 Kim Kim t d 2 o 21m As I km 2dm I km 3 on km anhovelous de M Mr Ar I 1 4 21m a km y In a E a y Imy 1 Ema Ey x y 9 in Mr v 4m a y Emea 4mn km y If y a y a y g E base on autovetous normalizades II III neno base a matriz Me diagonal D 9m sum como y1 fracx1 x2sqrt2 e y2 fracx1 x2sqrt2 lefty1 leftbeginarrayc1sqrt2 1sqrt2 endarrayright y2 leftbeginarrayc1sqrt2 1sqrt2 endarrayrightright então x1 fracy1 y2sqrt2 e x2 fracy1 y2sqrt2 portanto x1t A cos leftomega1 t varphi1right B cos leftomega2 t varphi2right e x2t A cos leftomega1 t varphi1right B cos leftomega2 t varphi2right sendo A B varphi1 varphi2 constantes mais arbitrárias e omega1 sqrtfrackm omega2 sqrtfrac3km