Geometria Analítica - Avaliação Final discursiva - Individual Flex

1. Analise a questão a seguir:\nSeja a elipse de equação \\( \\frac{x^2}{36} - \\frac{y^2}{100} = 1 \\), determina as questões abaixo, descrevendo todo o processo de cálculo da equação.\na) Identifique o centro da equação.\nb) As coordenadas dos focos da elipse.\n\nResposta Esperada:\na) Através da equação da elipse tem-se o centro em (0,0)\nb) Para determinar as coordenadas dos focos da elipse, temos:\n\\( \\frac{x^2}{36} - \\frac{y^2}{100} = 1 \\)\nComparando-a com:\\n\\( \\frac{x^2}{a^2} - \\frac{y^2}{b^2} = 1 \\), temos:\n\\( b^2 = 36 \\) e \\( a^2 = 100 \\)\n\nResposta esperada:\n\\( a^2 = b^2 + c^2 \\)\n\\( 100 = 36 + c^2 \\)\n\\( c^2 = 100 - 36 = 64 \\)\n\\( c = \\sqrt{64} \\)\n\\( c = 8 \\)\nPortanto, as coordenadas dos focos da elipse são: F(0,8) e F(0,-8).\n\nAnexos: 2. A Geometria Analítica realiza uma análise acerca do estudo de funções e suas relações com o estudo de retas, figuras planas, polígonos e cônicas. Ao falarmos das retas, determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto médio do segmento de extremos A(1, 2) e B(6, 1) e que é perpendicular à reta r: y = x - 4. Apresente todos os cálculos para justificar sua resposta.\nResposta Esperada:\n\\( x_1 = 1 \\) e \\( y_1 = 2 \\)\n\\( x_2 = 6 \\) e \\( y_2 = 1 \\)\nPortanto o ponto médio é\n\\( M \\left( \\frac{1 + 6}{2}, \\frac{2 + 1}{2} \\right) = M \\left( \\frac{7}{2}, \\frac{3}{2} \\right) \\)\n\nAgora vamos encontrar a inclinação da reta perpendicular à reta r. Como a inclinação da reta r é \\( m = 1 \\), temos que a inclinação da reta (r) é\n\\( m = -\\frac{1}{1} = -1 \\)\n\nAssim a reta é dada por\n\\( y - \\frac{3}{2} = -1 \\left( x - \\frac{7}{2} \\right)\\n\\)\n\\( y = -x + 4 \\)