Cálculo Diferencial e Integral I - Conteúdo e Sumário

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE CENTRO DE ENGENHARIAS DA MOBILIDADE Cálculo Diferencial e Integral I Vinícius Martins Freire MARÇO 2015 Cálculo Diferencial e Integral I 2 PET EMB Sumário 1 Introdução 5 2 Conjuntos 6 21 Conjuntos Numéricos 6 22 Eixos Coordenados 6 23 Desigualdades 7 24 Valor Absoluto 9 3 Função 11 31 Tipos de Funções 13 311 Função CONSTANTE 13 312 Função IDENTIDADE 13 313 Função do 1 GRAU 13 314 Função MÓDULO 14 315 Função QUADRÁTICA 14 316 Função POLINOMIAL 14 317 Função RACIONAL 14 318 Funções PARES E ÍMPARES 15 319 Funções PERIÓDICAS 15 3110 Função INVERSA 15 4 Funções Elementares do Calculo 15 41 Função EXPONENCIAL 16 42 Função LOGARÍTMICA 16 43 Função LOGARÍTMICA Logaritmos NATURAIS 16 44 Funções TRIGONOMÉTRICAS 16 441 Função SENO 16 442 Função COSSENO 17 443 Função TANGENTE COTANGENTE SECANTE e COSSECANTE 17 45 Funções TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 18 46 Funções HIPERBÓLICAS 18 5 Noções sobre limites 19 51 Limites Laterais 22 511 Expressões Indeterminadas 23 Cálculo Diferencial e Integral I 3 PET EMB 6 Limites no Infinito 23 61 Limites Infinitos 24 62 Assíntotas 24 63 Limites FUNDAMENTAIS 25 64 Continuidade 25 65 Teorema do valor intermediário 26 7 Derivada 27 71 Velocidade e Aceleração 28 72 A derivada de uma função 28 73 Taxas de Variação 29 74 Continuidade de Funções Deriváveis 30 75 Regras de Derivação 30 76 Tabela de Regras de Derivação 31 8 Derivada de Função Composta 33 81 Derivada de função inversa 34 82 Derivadas sucessivas 34 83 Derivação Implícita 35 84 Derivadas Funções trigonométricas inversas 35 85 Derivadas Funções hiperbólicas 36 86 Derivadas Funções hiperbólicas inversas 36 87 Diferencial 36 9 Regras de LHospital 38 91 Máximos e Mínimos 38 92 Teoremas sobre Derivadas 40 921 Teorema de Rolle 40 922 Teorema do Valor Médio 40 93 Funções Crescentes e Decrescentes 40 94 Critérios para determinar os Extremos de uma Função 41 95 Concavidade e Pontos de Inflexão 41 96 Taxa de variação 42 97 Construção de gráficos 43 98 Fórmula de Taylor 43 10 Integrais indefinidas 44 101 Função primitiva 44 102 Integral indefinida 45 Cálculo Diferencial e Integral I 4 PET EMB 11 Integrais Definidas 45 111 Área 45 112 Integral Definida 47 113 Teorema Fundamental do Cálculo 49 12 Método da Substituição 49 13 Método de integração por Partes 50 14 Exercícios de Revisão 52 15 Respostas Exercícios de Revisão 54 16 Sugestão de Estudo 55 17 Referências Bibliográficas 55 Cálculo Diferencial e Integral I 5 PET EMB 1 Introdução Esta apostila foi desenvolvida como um projeto de ensino do Programa de Educação Tutorial do Centro de Engenharias da Mobilidade PETCEM O presente trabalho apresenta um resumo da matéria contendo os principais conceitos fundamentais e exemplos de vários assuntos do calculo diferencial e integral Somente a leitura deste material não é suficiente para entendimento total da matéria É necessária a leitura de algum livro do assunto para analisar as demonstrações de fórmulas e resolver outros exemplos Cálculo Diferencial e Integral I 6 PET EMB 2 Conjuntos 21 Conjuntos Numéricos Números Naturais N N 1234 Números Inteiros Z Z 2 1 0 1 2 Números Racionais Q Q 1 12 0 ½ 1 Números Irracionais Q Q 2 1414 𝑒 271 𝜋 314159 Números Reais R R QQ O Conjunto dos Números Reais com as operações de adição e multiplicação satisfaz os axiomas abaixo 22 Eixos Coordenados Cálculo Diferencial e Integral I 7 PET EMB 23 Desigualdades Axioma de Ordem Nos reais existe um subconjunto de positivos tal que Definições Propriedades Intervalos Cálculo Diferencial e Integral I 8 PET EMB Resolução de desigualdades Exemplo 1 Determinar todos os intervalos de números que satisfazem a desigualdade abaixo e fazer a representação gráfica 37𝑥 8𝑥9 Exemplo 2 Determinar todos os intervalos de números que satisfazem a desigualdade abaixo e fazer a representação gráfica 7 5𝑥3 9 Cálculo Diferencial e Integral I 9 PET EMB Exemplo 3 Determinar todos os intervalos de números que satisfazem a desigualdade abaixo e fazer a representação gráfica 𝑥𝑥7 5 𝑥7 24 Valor Absoluto Propriedades Cálculo Diferencial e Integral I 10 PET EMB Desigualdades com valor absoluto Cálculo Diferencial e Integral I 11 PET EMB 3 Função Sejam A e B subconjuntos de IR Uma função f A B é uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um único elemento de B O conjunto A é chamado domínio de f e é denotado por Df B é chamado de contradomínio ou campo de valores de f f A B ou y fx x fx Definição de função Cálculo Diferencial e Integral I 12 PET EMB Definição de gráfico de função Operações com funções Cálculo Diferencial e Integral I 13 PET EMB 31 Tipos de Funções 311 Função CONSTANTE É toda função do tipo fx k que associa a qualquer número real x um mesmo número real k iO domínio da função fxk é DfIR iiO conjunto imagem é o conjunto unitário Imfk 312 Função IDENTIDADE É a função f IR IR definida por fx x iO domínio da função fx x é Df IR iiO conjunto imagem é Imf IR 313 Função do 1 GRAU É toda função que associa a cada número real x o número real ax b a 0 Os números reais a e b são chamados respectivamente de coeficiente angular e linear iO domínio da função fx ax b é Df IR iiO conjunto imagem é Imf IR Cálculo Diferencial e Integral I 14 PET EMB 314 Função MÓDULO A função definida por i O domínio é o conjunto Df IR ii O conjunto imagem é Imf 0 315 Função QUADRÁTICA É a função f IR IR definida por fx 𝑎𝑥2 bx c com a 0 O domínio da função é Df IR 316 Função POLINOMIAL É a função f IR IR definida por fx 𝑎0𝑥𝑛 𝑎1𝑥𝑛1 𝑎𝑛1𝑥 𝑎𝑛 onde 𝑎0 𝑎1 𝑎𝑛 𝑎0 0 são números reais chamados coeficientes e n inteiro não negativo determina o grau da função O domínio da função é Df IR 317 Função RACIONAL É a função definida como o quociente de duas funções polinomiais isto é fx px qx onde px e q x são polinômios e qx 0 O domínio da função é Df IR excluindo aqueles x tais que qx 0 Cálculo Diferencial e Integral I 15 PET EMB 318 Funções PARES E ÍMPARES Uma função fx é par se para todo x no domínio de f fx fx Uma função fx é ímpar se para todo x no domínio de f fx fx Exemplos 319 Funções PERIÓDICAS Uma função fx é periódica se existe um número real T 0 tal que fx T fx para todo x є Df 3110 Função INVERSA Definição Uma função f é chamada função injetora se ela nunca assume o mesmo valor duas vezes isto é f𝒙𝟏 f𝒙𝟐 se e somente se 𝒙𝟏 𝒙𝟐 Teste da reta horizontal Uma função é injetora se nenhuma reta horizontal intercepta seu gráfico em mais de um ponto Definição Seja f uma função injetora com domínio A e imagem B Então sua função inversa 𝒇𝟏 tem domínio B e imagem A sendo definida por 𝒇𝟏 y x fx y para todo y em B 4 Funções Elementares do Calculo Cálculo Diferencial e Integral I 16 PET EMB 41 Função EXPONENCIAL De base a a função f de IR em IR que associa a cada x real o número real 𝑎𝑥 sendo a um número real 0 a 1 Ou f IR IR x y 𝑎𝑥 Domínio Df IR Imagem Imf 0 42 Função LOGARÍTMICA Dado um número real a 0 a 1 chamamos função logarítmica de base a a função de 𝐼𝑅 em IR que se associa a cada x o número 𝑙𝑜𝑔𝑎x isto é f 𝐼𝑅 IR x y 𝑙𝑜𝑔𝑎x Domínio Df 𝐼𝑅 Imagem Imf IR 43 Função LOGARÍTMICA Logaritmos NATURAIS Uma escolha conveniente para a base do logaritmo é a base 𝑒 O logaritmo na base 𝑒 é chamado logaritmo natural e tem a seguinte notação 𝑙𝑜𝑔𝑒x ln x Definido por ln 𝑥𝑦 𝑒𝑦𝑥 44 Funções TRIGONOMÉTRICAS 441 Função SENO Função seno é a função f de IR em IR que a cada x є IR faz corresponder o número real y sen x isto é f IR IR x y sen x Domínio Df IR Imagem Imf 1 1 A função seno é periódica e seu período é 2π Cálculo Diferencial e Integral I 17 PET EMB 442 Função COSSENO Função cosseno é a função f de IR em IR que a cada x є IR faz corresponder o número real y cos x isto é f IR IR x y cos x Domínio Df IR Imagem Imf 1 1 A função cosseno é periódica e seu período é 2π 443 Função TANGENTE COTANGENTE SECANTE e COSSECANTE Cálculo Diferencial e Integral I 18 PET EMB 45 Funções TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 46 Funções HIPERBÓLICAS Cálculo Diferencial e Integral I 19 PET EMB 5 Noções sobre limites Noção intuitiva Cálculo Diferencial e Integral I 20 PET EMB Definição Uma função fx tem limite L quando x tende para a se é possível tornar fx arbitrariamente próximo de L desde que tomemos valores de x x a suficientemente próximos de a por ambos os lados de a Formalmente Exemplo Usando a definição de limite provar que Cálculo Diferencial e Integral I 21 PET EMB Propriedades dos Limites Teorema do Sanduíche Se 𝑓𝑥 ℎ𝑥 𝑔𝑥 para todo 𝑥 em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente em 𝑥 𝑎 e se Exemplo Encontrar Cálculo Diferencial e Integral I 22 PET EMB 51 Limites Laterais Seja f uma função definida em um intervalo aberto a c Dizemos que um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a e escrevemos Seja f uma função definida em um intervalo aberto d a Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a e escrevemos TEOREMA Se f é definida em um intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a então Exemplo Cálculo Diferencial e Integral I 23 PET EMB 511 Expressões Indeterminadas Exemplo 6 Limites no Infinito Cálculo Diferencial e Integral I 24 PET EMB 61 Limites Infinitos 62 Assíntotas Cálculo Diferencial e Integral I 25 PET EMB 63 Limites FUNDAMENTAIS Exemplo 64 Continuidade Proposições Cálculo Diferencial e Integral I 26 PET EMB Se as funções f e g são contínuas em um ponto a então f g é continua em a f g é continua em a f g é continua em a f g é continua em a desde que ga0 Uma função polinomial é contínua para todo número real Uma função racional é contínua em todos os pontos do seu domínio As funções fx senx e fx cosx são contínuas para todo número real A função exponencial fx 𝑒𝑥 é contínua para todo número real x 65 Teorema do valor intermediário Cálculo Diferencial e Integral I 27 PET EMB 7 Derivada Encontrar a eq da reta tangente à curva y f x Seja curva definida no intervalo a b Sejam os dois pontos distintos Px1y1 e Qx2y2 Seja s a reta secante que passa por P e Q Considerando o triângulo retângulo PMQ temos Considere que P está fixo Considere que Q movese da direita para a esquerda sobre a curva Definição Dada uma curva y fx seja P𝑥1 𝑦1 um ponto sobre ela A inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por ou Se a função fx é contínua em 𝑥1 então a reta tangente à curva y fx em P𝑥1 f𝑥1 é Cálculo Diferencial e Integral I 28 PET EMB 71 Velocidade e Aceleração Exemplo 72 A derivada de uma função Cálculo Diferencial e Integral I 29 PET EMB Exemplo Dada fx encontre f2 fx 5x2 6x 1 73 Taxas de Variação Cálculo Diferencial e Integral I 30 PET EMB 74 Continuidade de Funções Deriváveis Importante Uma função é derivável em um ponto quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais Se forem diferentes dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função 75 Regras de Derivação Cálculo Diferencial e Integral I 31 PET EMB 76 Tabela de Regras de Derivação Cálculo Diferencial e Integral I 32 PET EMB Cálculo Diferencial e Integral I 33 PET EMB 8 Derivada de Função Composta Cálculo Diferencial e Integral I 34 PET EMB 81 Derivada de função inversa Exemplo 82 Derivadas sucessivas Definição Seja f uma função derivável Se f também for derivável então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por Se f é derivável então a sua derivada é chamada derivada terceira Derivada nésima Exemplo Cálculo Diferencial e Integral I 35 PET EMB 83 Derivação Implícita Consideremos a equação Dizemos que a função y fx é definida implicitamente pela equação acima se ao substituirmos y por fx esta equação se transforma numa identidade Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida implicitamente O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função assim definida sem a necessidade de explicitála 84 Derivadas Funções trigonométricas inversas Cálculo Diferencial e Integral I 36 PET EMB 85 Derivadas Funções hiperbólicas 86 Derivadas Funções hiperbólicas inversas 87 Diferencial Sejam y fx uma função derivável e x um acréscimo de x Definimos a A diferencial da variável independente b A diferencial da variável dependente Cálculo Diferencial e Integral I 37 PET EMB Exemplo Se 𝑦 6𝑥2 4 calcule Δ𝑦 e 𝑑𝑦 para 𝑥 2 e Δ𝑥 0001 Resolução Usando a definição de Δ𝑦 temos Δ𝑦 𝑓 𝑥 1 Δ𝑥 𝑓 𝑥 1 Δy f 2 0001 f 2 Δ𝑦 6 2001 2 4 6 22 4 Δ𝑦 20024006 20 0024006 Usando a definição de d𝑦 temos 𝑑𝑦 𝑓𝑥 Δ𝑥 𝑑𝑦 12𝑥 Δ𝑥 12 2 0001 𝑑𝑦 0024 Observe que Δ𝑦 𝑑𝑦 0000006 Cálculo Diferencial e Integral I 38 PET EMB 9 Regras de LHospital Proposição Fórmula de Cauchy Se f e g são duas funções contínuas em a b deriváveis em a b e se g x 0 para todo x ϵ a b então existe um número z ϵ a b tal que Proposição Regras de LHospital Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I exceto possivelmente em um ponto a ϵ I Suponhamos que g x 0 para todo x a em I Exemplo 91 Máximos e Mínimos Pontos de abscissas 𝑥1𝑥2𝑥3 𝑒 𝑥4 Pontos extremos da função Os valores fx1 e fx3 máximos relativos Os valores fx2 e fx4 mínimos relativos Cálculo Diferencial e Integral I 39 PET EMB Definição Uma função f tem um máximo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x ϵ I Df Definição Uma função f tem um mínimo relativo em c se existir um intervalo aberto I contendo c tal que fc fx para todo x ϵ I Df Proposição Suponhamos que fx existe para todos os valores x ϵ a b e que f tem um extremo relativo em c onde a c b Se f c existe então f c 0 Se f c existe então f c 0 é condição necessária mas não suficiente p existência de extremo relativo O ponto c ϵ Df tal que f c 0 ou f c não existe é chamado ponto crítico de f Proposição Seja f ab IR uma função contínua definida em um intervalo fechado a b Então f assume máximo e mínimo absoluto em a b Definições Dizemos que fc é o máximo absoluto da função f se c ϵ Df e fc fx para todos os valores de x no domínio de f Dizemos que fc é o mínimo absoluto da função f se c ϵ Df e fc fx para todos os valores de x no domínio de f Exemplo Cálculo Diferencial e Integral I 40 PET EMB 92 Teoremas sobre Derivadas 921 Teorema de Rolle Seja f uma função definida e contínua em a b e derivável em a b Se fa fb 0 então existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que f c 0 O teorema pode ser estendido para funções tais que fa fb 0 922 Teorema do Valor Médio Seja f uma função contínua em a b e derivável em a b Então existe um número c no intervalo a b tal que Interpretação Geométrica 93 Funções Crescentes e Decrescentes Definição Dizemos que uma função f definida num intervalo I é crescente neste intervalo se para quaisquer x1 x2 ϵ I x1 x2 temos fx1 fx2 Cálculo Diferencial e Integral I 41 PET EMB Definição Dizemos que uma função f definida num intervalo I é decrescente neste intervalo se para quaisquer x1 x2 ϵ I x1 x2temos fx1 fx2 Proposição Seja f uma função contínua no intervalo a b e derivável no intervalo a b i Se f x 0 para todo x ϵ a b então f é crescente em a b ii Se f x 0 para todo x ϵ a b então f é decrescente em a b 94 Critérios para determinar os Extremos de uma Função Teorema Critério da derivada primeira para determinação de extremos Seja f uma função contínua no intervalo fechado a b que possui derivada em todo o ponto do intervalo a b exceto possivelmente num ponto c i Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c então f tem um máximo relativo em c ii Se f x 0 para todo x c e f x 0 para todo x c então f tem um mínimo relativo em c Teorema Critério da derivada segunda para determinação de extremos Seja f uma função derivável num intervalo a b e c um ponto crítico de f neste intervalo isto é f c 0 com a c b Se f admite a derivada f em a b temos i Se f c 0 f tem um valor máximo relativo em c ii Se f c 0 f tem um valor mínimo relativo em c 95 Concavidade e Pontos de Inflexão Cálculo Diferencial e Integral I 42 PET EMB Definição Uma função f é dita côncava para cima no intervalo a b se f x é crescente neste intervalo Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo a b se f x for decrescente neste intervalo Proposição Seja f uma função contínua no intervalo a b e derivável até segunda ordem no intervalo a b i Se f x 0 para todo x ϵ a b então f é côncava para cima em a b ii Se f x 0 para todo x ϵ a b então f é côncava para baixo em a b Definição Um ponto Pc fc do gráfico de uma função contínua f é chamado um ponto de inflexão se existe um intervalo a b contendo c tal que uma das seguintes situações ocorra i f é côncava para cima em a c e côncava para baixo em c b ii f é côncava para baixo em a c e côncava para cima em c b 96 Taxa de variação Dada uma função y fx o quociente Representa a taxa média de variação de y em relação a x A derivada É a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x Exemplo Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio Se água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2m3min Com que velocidade o nível da água está se elevando quando sua profundidade for de 5m Cálculo Diferencial e Integral I 43 PET EMB 97 Construção de gráficos 98 Fórmula de Taylor Definição Seja f I IR uma função que admite derivadas até ordem n num ponto c do intervalo I O polinômio de Taylor de ordem n de f no ponto c que denotamos por Pnx é dado por Cálculo Diferencial e Integral I 44 PET EMB Exemplo Determinar o polinômio de Taylor de ordem 4 da função fx ex no ponto c 0 10 Integrais indefinidas 101 Função primitiva Definição Uma função Fx é chamada uma primitiva da função fx em um intervalo I se para todo x ϵ I temos Proposição Seja Fx uma função primitiva da função fx Então se c é uma constante qualquer a função também é primitiva de fx Proposição Se f x se anula em todos os pontos no intervalo I então f é constante em I Proposição Se Fx e Gx são funções primitivas de fx no intervalo I então existe uma constante c tal que Gx Fx c para todo x ϵ I Cálculo Diferencial e Integral I 45 PET EMB 102 Integral indefinida Definição Se Fx é uma primitiva de fx a expressão Fx c é chamada integral indefinida da função fx e é denotada por Propriedades Sejam f g I ϵ IR e K uma constante Então 11 Integrais Definidas 111 Área Matemática da antiguidade Método da Exaustão Aproximar a figura dada por meio de outras cujas áreas são conhecidas Encontre a área do círculo acima Cálculo Diferencial e Integral I 46 PET EMB Região plana S Soma de Riemann Aproximamos a figura por polígonos cujas áreas possam ser calculadas pelos métodos de geometria elementar A soma das áreas dos n retângulos é ou Tal fórmula é conhecida como Soma de Riemann Cálculo Diferencial e Integral I 47 PET EMB Definição Seja y fx uma função contínua não negativa em a b A área sob a curva y fx de a até b é definida por onde para cada i 1 n ci é um ponto arbitrário do intervalo xi1 xi 112 Integral Definida Definição Seja f uma função definida no intervalo a b e seja P uma partição qualquer de a b A integral definida de f de a até b denotada por É dada por Cálculo Diferencial e Integral I 48 PET EMB Definição a Se a b então b Se a b e fa existe então Teorema Se f é contínua sobre a b então f é integrável em a b Propriedades Proposição Se f é integrável em a b e k é um número real arbitrário então k f é integrável em a b e Proposição Se f e g são funções integráveis em a b então f g é integrável em a b e Proposição Se a c b e f é integrável em a c e em c b então f é integrável em a b e Proposição Se f é integrável e se fx 0 para todo x em a b então Proposição Se f e g são integráveis em a b e fx gx para todo x em a b então Proposição Se f é uma função contínua em a b então Cálculo Diferencial e Integral I 49 PET EMB Proposição Se f é uma função contínua em a b existe um ponto c entre a e b tal que 113 Teorema Fundamental do Cálculo Proposição Seja f uma função contínua num intervalo fechado a b Então a função G a b IR definida por Tem derivada em todos os pontos x ϵ a b que é dada por Teorema Se f é contínua sobre a b e se F é uma primitiva de f neste intervalo então Ou simplesmente 12 Método da Substituição Sejam fx e Fx duas funções tais que F x fx Suponhamos que g seja outra função derivável tal que a imagem de g esteja contida no domínio de F Podemos considerar a função composta F0g Pela regra da cadeia temos Isto é Fgx é uma primitiva de fgxgx Então Cálculo Diferencial e Integral I 50 PET EMB Fazendo u gx du gxdx teremos Exemplo Calcular a integral Calculando a integral 13 Método de integração por Partes Sejam u fx e v gx funções deriváveis no intervalo I Temos Cálculo Diferencial e Integral I 51 PET EMB Reescrevendo a derivada do produto de fx e gx temos Integrando ambos os lados dessa equação obtemos Observe que a integral da derivada é igual a função Logo Na prática Logo Exemplo Calcular a integral Cálculo Diferencial e Integral I 52 PET EMB 14 Exercícios de Revisão Cálculo Diferencial e Integral I 53 PET EMB Cálculo Diferencial e Integral I 54 PET EMB 15 Respostas Exercícios de Revisão Cálculo Diferencial e Integral I 55 PET EMB 16 Sugestão de Estudo Para melhor entendimento da matéria primeiramente deve se ler os capítulos do livro que são estudados em sala assim que lhe são apresentados Após o término da leitura do capítulo é sugerido tentar resolver os exemplos do livro sem olhar a resolução e em seguida resolver os exercícios sugeridos pelo professor Para fixar e revisar o assunto essa apostila deve ser estudada 17 Referências Bibliográficas GUIDORIZZI H L Um Curso de Cálculo Vol 1 5ª edição Livros Técnicos e Científicos Editora SA Rio de Janeiro 2002 STEWART J Cálculo Vol 1 6ª edição Cengage Learning São Paulo 2009 FLEMING D M GONÇALVES M B Cálculo A Vol 1 6ª edição Pearson Prentice Hall São Paulo 2007 SWOKOWSKI E W Um Curso de Cálculo com Geometria Analítica Vol 1 2ª edição McGrawHill Ltda São Paulo 1994 BOYER C B História da Matemática 3ª edição Edgar Blucher São Paulo 2010 ÁVILA G Análise Matemática para Licenciatura 3ª edição revista e ampliada Edgar Blucher São Paulo 2006 GRANVILLE W A SMITH P F LONGLEY W R Elementos de Cálculo Diferencial e Integral Âmbito Cultural Edições Ltda Rio de Janeiro 1961