Reflexões sobre o uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental

619 Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 RBEP ESTUDOS Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Resumo As discussões sobre o uso da modelagem matemática têm revelado que atividades desse tipo podem atender a interesses e necessidades da formação matemática dos estudantes na contemporaneidade no que diz respeito à avaliação da aprendizagem dos alunos mediante essas atividades entretanto ainda há inquietações Compartilhando destas apresentamos resultados decorrentes de uma pesquisa em que alunos que participaram do desenvolvimento de atividades de modelagem matemática foram submetidos um ano após esse desenvolvimento à resolução de questões em que os conteúdos que emergiram daquelas atividades estavam envolvidos A pesquisa está associada ao Programa Observatório da Educação e apresenta reflexões acerca do desempenho de estudantes do 5º ano do ensino fundamental ao realizarem questões vinculadas à Prova Brasil instrumento utilizado pelo Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira Inep como base de cálculo para obtenção do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica Ideb Os resultados apontam para o potencial da modelagem matemática em abordar conteúdos curriculares propostos pelos Parâmetros Curriculares Nacionais PCN e sinalizam a aprendizagem dos estudantes em particular nos anos iniciais do ensino fundamental Palavraschave educação matemática anos iniciais modelagem matemática Prova Brasil Ideb Observatório da Educação 620 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Abstract Reflections on the use of mathematical modeling in classes of the first years of elementary school Discussions about the use of mathematical modeling have revealed that some activities can meet the needs and interests of mathematical education of contemporary students However there are still concerns regarding the evaluation of students learning through these activities Thus we present results from a survey whose students participated in the development of mathematical modeling activities and one year later started the resolution of questions related to those previous activities The research is associated with the Observatory of Education Program and presents reflections on the performance of 5th grade students from elementary school when answering questions from Brazil Test an exam used by Anísio Teixeira National Institute for Educational Students and research Inep to calculate the Ideb The results point to the potential of mathematical modeling to approach curriculum contents proposed by the PCN and indicate student learning particularly in the early years of elementary school Keywords mathematics education early years mathematical modeling Brazil Test Ideb Observatory of Education Introdução As preocupações com relação à educação escolar têm orientado diferentes ações visando incrementar a formação dos estudantes tanto em disciplinas específicas quanto em cidadania A elaboração e distribuição de diversos documentos oficiais como os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN a organização do Sistema de Avaliação da Educação Básica Saeb e a realização da Prova Brasil são algumas dessas ações Além disso diversos programas têm sido desenvolvidos por instituições de ensino superior e programas de pósgraduação em prol da educação básica como o Programa Observatório da Educação gerenciado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Capes em parceria com o Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira Inep Este programa tem por objetivo proporcionar a articulação entre pósgraduação licenciaturas e escolas de educação básica e estimular a produção acadêmica e a formação de recursos para pósgraduação em nível de mestrado e doutorado Neste artigo olhamos para um projeto em desenvolvimento no âmbito do Programa Observatório da Educação com vigência de 2011 a 2014 que tem como foco o ensino e a aprendizagem de Matemática na esfera dos anos iniciais do ensino fundamental e mediante suas 621 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 ações vislumbra a elevação do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica Ideb da escola cujos professores e alunos constituem objeto de pesquisa Discutimos em particular as implicações para uma turma de estudantes de uma investigação que representa um dos braços desse projeto e constitui parte de uma pesquisa de mestrado realizada nos anos de 2011 e 2012 Seu desenvolvimento tem como cerne o uso da modelagem matemática em sala de aula e sua potencialidade para o estudo de conteúdos e apropriação de conceitos matemáticos Este texto é resultado de uma inquietação que nos surgiu diante dos objetivos relativos ao Ideb que se pretendem alcançar a partir das ações desenvolvidas com alunos e professores da escola No momento da investigação realizada em 2012 os estudantes estavam no 5º ano do ensino fundamental e ao participarem da pesquisa de mestrado em 2011 no 4º ano desenvolveram atividades de modelagem matemática Nesse contexto buscamos investigar como seria o desempenho desses alunos ao resolverem questões da Prova Brasil um dos instrumentos utilizados pelo Inep na avaliação da escola e no cálculo do Ideb Para isso propomos aos estudantes 15 questões disponibilizadas pelo Inep1 em seu portal como modelos da Prova Brasil As questões contemplam conteúdos abordados nas atividades de modelagem matemática desenvolvidas pelos estudantes A análise e a discussão dos resultados são apresentadas neste artigo A estrutura do texto envolve apresentação do Programa Observatório da Educação e do projeto desenvolvido abordagem a respeito do que é modelagem matemática na Educação Matemática e de como fazer modelagem em sala de aula descrição de algumas atividades desenvolvidas pelos estudantes incluindo os modelos matemáticos produzidos caracterização do Ideb da Prova Brasil e das questões propostas aos estudantes e discussão quanto ao desempenho dos estudantes nessas questões e em relação ao potencial da modelagem matemática na sala de aula nos anos iniciais do ensino fundamental O Programa Observatório da Educação O Programa Observatório da Educação Obeduc foi instituído pelo Decreto Presidencial nº 5803 de 8 de junho de 2006 em decorrência da parceria entre a Capes e o Inep na perspectiva de fortalecer o diálogo entre pósgraduação licenciaturas e escolas de educação básica e estimular o desenvolvimento de pesquisas que tenham o ensino como eixo de investigação O intuito do programa é estreitar a relação entre a comunidade acadêmica os gestores das políticas nacionais de educação e os diversos atores envolvidos no processo educacional por meio da disseminação de dados estatísticos educacionais produzidos pelo Inep por exemplo o Ideb como subsídio ao aprofundamento de estudos sobre a realidade educacional brasileira 1 O Inep disponibiliza na Área de documentos da Prova Brasil e Saeb em seu site modelos de questões e provas em formato pdf que podem ser visualizados no endereço httpprovabrasil inepgovbrdownloads 622 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Nesse sentido o programa visa envolver escolas como a que apresentamos a seguir em projetos de pesquisa e extensão numa atitude que almeja a melhoria na qualidade do ensino e da aprendizagem de modo a apresentar melhores resultados nas avaliações educacionais A escola A escola a que nos referimos está localizada no norte do Estado do Paraná Foi criada em 20 de outubro de 1997 por meio do Decreto nº 18997 Tratase de uma escola pública e municipal cujo sistema de ensino é integral sendo destinado apenas aos anos iniciais do ensino fundamental No ano de 2011 possuía 155 estudantes os quais estavam organizados em seis turmas duas de 2º ano duas de 3º ano uma de 4º ano e uma de 4ª série É uma escola relativamente nova e tem empreendido esforços para melhorias no ensino e na aprendizagem também na expectativa de obter melhores resultados no Ideb2 cujas avaliações e metas constam na Tabela 1 Tabela 1 Notas Observadas e Metas Projetadas para o Ideb da Escola Ideb Observado Metas Projetadas 2007 2009 2007 2009 2011 2013 2015 50 49 52 55 58 60 Fonte Inep A partir das informações da Tabela 1 disponibilizadas pelo Inep notamos que em 2009 o Ideb dessa escola diminuiu de 50 para 49 quando a nota esperada era de 52 Tal resultado indica uma lacuna na formação de modo particular no que se refere às disciplinas de Língua Portuguesa e de Matemática avaliadas na Prova Brasil No que tange à esfera da educação matemática um programa de pósgraduação de uma universidade estadual também do norte do Paraná na intenção de colaborar para o preenchimento dessa lacuna elaborou um projeto de pesquisa envolvendo professores e estudantes dessa escola bem como alunos de mestrado doutorado e da licenciatura em Matemática cujo tema visa contemplar a Educação Matemática de professores que ensinam Matemática o projeto foi submetido ao Programa Observatório da Educação e entrou em vigor no ano de 2011 Na sequência apresentamos algumas características desse projeto O projeto Observatório na Escola O projeto Educação Matemática de professores que ensinam Matemática centrase em dois eixos principais formação continuada 2 O Ideb das escolas pode ser consultado no seguinte endereço httpidebinepgovbr 623 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 e educação básica Tem por objetivo fomentar a produção acadêmica relativa à formação de professores que ensinam Matemática e à formação de recursos humanos em Educação Matemática na educação básica na graduação e na pósgraduação mestrado e doutorado Tratase de um projeto de intervenção que entre seus objetivos busca contribuir para a elevação do Ideb da escola Os encontros realizados semanalmente na escola têm duração de três horas e abarcam a participação de estudantes de mestrado doutorado e licenciatura em Matemática e de professoras da instituição de ensino Neste texto focamonos na investigação dirigida por um estudante de mestrado participante do projeto e que foi realizada na turma de 4º ano da escola cujos alunos desenvolveram atividades de modelagem matemática sendo esta utilizada como uma alternativa pedagógica para o ensino e aprendizagem de Matemática conforme sugere Almeida e Dias 2004 O observatório na sala de aula A turma de 4º ano cujos alunos desenvolveram as atividades de modelagem matemática possuía 36 estudantes com idades que variavam entre 8 e 9 anos Era uma turma numerosa mas com alunos participativos e comprometidos com as atividades que lhes eram propostas Foi a primeira vez que esses estudantes tiveram contato com a modelagem matemática O desenvolvimento de atividades de modelagem matemática em sala de aula tem sido amplamente difundido na literatura como aponta a pesquisa de Silveira 2007 e o trabalho de Blum e Borromeo Ferri 2009 contudo poucos são os trabalhos publicados que as contemplam nos anos iniciais do ensino fundamental conforme colocam Luna e Alves 2007 e Dias e Chaves 2009 Entre as muitas possibilidades este trabalho se configura como um exemplo do uso da modelagem nesse nível de escolaridade Entretanto fazse necessário esclarecer como esta investigação associada à modelagem matemática situase no projeto Educação Matemática de professores que ensinam Matemática Para isso discutimos a seguir os dois principais objetivos do projeto que esta investigação se propõe a cumprir 1 Fomentar disseminar e desenvolver metodologias de prática de ensino significativas para enfrentamento dos problemas na área de Matemática Em resposta a esse objetivo propomos a modelagem matemática como alternativa para as aulas dessa disciplina e que prima por uma abordagem mais integrada dos conteúdos permitindo que os estudantes na busca por um modelo adequado a uma determinada situação lidem com problemas que os aproximam da realidade buscando na Matemática subsídios para solucionálos e ao mesmo tempo promover a aprendizagem dessa disciplina 624 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 2 Investigar contextos em que os participantes desenvolvam sua capacidade para analisar explicar seu raciocínio e comunicar suas ideias matemáticas enquanto propõem formulam resolvem e interpretam problemas em uma variedade de situações Nesse caso propomos aos participantes envolvidos os estudantes do 4º ano o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática os quais organizados em grupos tiveram a oportunidade de discutir suas ideias e explicar o raciocínio utilizado na produção dos modelos matemáticos em uma diversidade de situações contemplando temas como anéis área dos estudantes na sala de aula energia elétrica beleza de uma pessoa caixa dágua câmbio dólarreal e flúor Modelagem matemática na Educação Matemática A modelagem matemática configurase como uma possibilidade de atividades para as aulas a qual visando à aprendizagem dos alunos lhes proporciona conhecer aplicações da Matemática e contribui para a consolidação de uma imagem desta disciplina como ciência que faz parte da história e da cultura humana e possibilita a construção ou produção de conhecimento refletindo no desenvolvimento de outros aspectos como apontam Klüber e Burak 2009 p 3 quando afirmam que a relação estabelecida com o objeto matemático visa à aplicação ou à produção de conhecimento matemático Nessa perspectiva ocorrem aprendizagens interações e criatividade Em termos gerais a dinâmica das aulas com modelagem matemática pode fortalecer o desenvolvimento de múltiplos aspectos favoráveis à aprendizagem incluindose a autonomia na resolução de problemas matemáticos característicos da realidade e a apreciação crítica do uso da Matemática nessas situações o que se reflete na atuação do sujeito na sociedade Além disso a modelagem contribui para o desenvolvimento de competências matemáticas desencadeando a retenção de tópicos matemáticos e como consequência a construção do conhecimento na área O que é modelagem matemática e modelo matemático Para o desenvolvimento de atividades escolha dos temas e formulação dos problemas baseamonos essencialmente na concepção de Almeida e Brito 2005 que concebem a modelagem matemática como uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem por meio da matemática de uma situação não essencialmente matemática Com base em Almeida 2010 podemos descrever de modo geral o processo envolvido no desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática da seguinte forma um problema que constitui a situação inicial um modelo matemático que representa uma solução para o 625 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 problema e caracteriza a situação final e uma série de procedimentos necessários para que haja a passagem da situação inicial para a final Entre esses procedimentos podemos elencar a coleta de dados e informações a definição de variáveis a formulação de hipóteses a realização de simplificações as transições entre a linguagem natural do fenômeno e a linguagem matemática a obtenção e validação de um modelo matemático e a comunicação dos resultados obtidos na investigação De acordo com DAmbrósio 2009 p 91 tradução nossa a prática de criar modelos e operar com eles utiliza instrumentos materiais e intelectuais No caso da utilização de instrumentos matemáticos referimo nos a essa prática como modelagem matemática Segundo Lesh 2010 p 18 tradução nossa um modelo é um sistema para descrever ou projetar algum outro sistema com algum propósito específico Nessa perspectiva um modelo serve para representar ou tornar presente o objeto matemático podendo portanto assumir diversas representações por exemplo tabela gráfico figura expressão algébrica descrição em linguagem natural ou conjunto de contas e expressões numéricas entre outras Todavia o modelo matemático não tem um fim em si só mas a sua construção ao mesmo tempo que contribui para a resolução de um problema também viabiliza a sistematização do conteúdo matemático que emerge dessa construção Nesse sentido a obtenção de um modelo não é o objetivo último de uma atividade de modelagem matemática mais importante do que o modelo obtido é o processo utilizado a análise crítica e sua inserção no contexto sociocultural Bassanezi 2004 p 38 afirma que o fenômeno modelado deve servir de pano de fundo ou motivação para o aprendizado das técnicas e conteúdos da própria Matemática Como fazer modelagem matemática Por mais que possamos observar uma diversidade de trabalhos na literatura que apontam para resultados positivos no que se refere ao uso da modelagem matemática em sala de aula Almeida Dias 2004 Almeida Silva Vertuan 2012 Barbosa 2001 Blum 2011 Borromeo Ferri 2010 DAmbrósio 2009 Doerr Lesh 2011 Rosa Orey 2012 o fazer modelagem ainda incomoda de certo modo professores estudantes e pesquisadores pois exige desses atores uma mudança de atitude no cenário da sala de aula Nesse contexto remetemonos a um desses agentes o aluno abordando a seguinte questão Como fazer com que estudantes não habituados com ambientes de problematização e investigação característicos da modelagem matemática como pressupõe Barbosa 2004 se familiarizem com atividades desse caráter Referimonos portanto com base em Almeida Silva e Vertuan 2012 ao que denominamos familiarização dos alunos com a modelagem matemática indicando que esta pode se dar por meio de três momentos 626 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Em um primeiro momento o professor propõe aos alunos um tema para estudo Acerca desse tema ele aponta um problema o qual deve ser investigado pelos estudantes Os dados e informações necessários para solucionálo são fornecidos neste momento pelo professor cabendo aos alunos a análise dessas informações a realização de simplificações a definição de hipóteses e variáveis a transição da linguagem natural do fenômeno para uma linguagem matemática e a obtenção e validação de um modelo matemático que representa uma resposta para o problema proposto inicialmente Em um segundo momento o professor escolhe um tema e apresenta um problema a ser investigado pelos estudantes cabe a eles complementar ou realizar a coleta de dados e analisar as informações necessárias para a solução da questão Neste momento os alunos são mais responsáveis pela condução e produção do modelo matemático bem como de sua avaliação e interpretação sendo suas ações avaliadas pelo professor Em um terceiro momento o docente fornece aos estudantes um espaço para a condução das atividades de modelagem Organizados em grupos eles podem optar por um tema e identificar um problema a ser investigado Sob a orientação do professor os alunos são responsáveis por todas as ações requeridas para o desenvolvimento de uma atividade de modelagem matemática desde a coleta de dados e informações a definição de hipóteses e variáveis as simplificações e a transição entre linguagens até a produção de um modelo matemático capaz de representar uma resposta para a situaçãoproblema inicialmente proposta Cabe também a eles a comunicação dos resultados à comunidade escolar seja sob a forma de apresentações seminários ou de redação de textos e artigos estimulando a discussão acerca do estudo desenvolvido Na medida em que o aluno vai realizando as atividades nos diferentes momentos a sua compreensão acerca do processo de modelagem da resolução dos problemas em estudo e da reflexão sobre as soluções encontradas vai se consolidando Almeida Dias 2004 p 26 A modelagem na sala de aula Com base nos pressupostos teóricos apresentados optamos por propor aos estudantes do 4º ano o desenvolvimento de atividades de modelagem matemática segundo os três momentos a que nos referimos Assim foram desenvolvidas duas atividades do primeiro momento duas do segundo e três do terceiro totalizando sete atividades Para o desenvolvimento dessas atividades os estudantes estavam organizados em grupos com 3 a 6 componentes dependendo da atividade As aulas foram gravadas em áudio e em vídeo a fim de coletar dados para a pesquisa todavia as principais fontes de informações foram os registros produzidos pelos estudantes e as anotações feitas pelo pesquisador Com o objetivo de preservar a identidade dos alunos ao apresentar os resultados do desenvolvimento das atividades enumeramolos de 627 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 1 a 36 a partir de uma lista em que os nomes foram organizados em ordem alfabética As características das atividades desenvolvidas são apresentadas no Quadro 1 Quadro 1 Atividades de Modelagem Desenvolvidas pelos Estudantes do 4º Ano As atividades de modelagem matemática desenvolvidas resultaram na produção de diferentes modelos matemáticos e com eles diversos conteúdos matemáticos foram contemplados Entre essas atividades descrevemos sucintamente o desenvolvimento de três delas para ilustrar o processo de modelagem matemática Atividade do Primeiro Momento Área dos Estudantes na Sala de Aula Referese ao primeiro momento de inserção de atividades de modelagem matemática em sala de aula e para o seu desenvolvimento a turma foi organizada em grupos com 4 ou 5 estudantes cada um recebeu uma folha com informações a respeito do tema e com o problema a ser investigado como mostra a Figura 1 Momento Problemática Materiais disponíveis 1º momento Como se determina o tamanho de um anel Folha com informações régua fecho de arame revestido com plástico e papéis para anotação Quantos alunos cabem na sua sala de aula Folha com informações fita métrica trena e papéis para anotação 2º momento Quanto você gasta com energia elétrica para assistir o seu desenho favorito E para tomar banho Folha com informações fatura de energia elétrica calculadora e papéis para anotação Será que é possível medir a beleza de uma pessoa Folha com informações fita métrica calculadora e papéis para anotação 3º momento Como se determina o valor em reais de uma quantia em dólar Computador internet folhas para anotação e cartolina para a confecção de um cartaz com os resultados da investigação Qual caixa dágua comprar Computador internet folhas para anotação e cartolina para a confecção de um cartaz com os resultados da investigação Quanto é gasto com flúor na escola Computador internet folhas para anotação e cartolina para a confecção de um cartaz com os resultados da investigação 628 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Figura 1 Informações a respeito da Atividade Área dos Estudantes na Sala de Aula Para a solução do problema o professor explicou aos estudantes o que era metro quadrado exemplificando o seu espaço com um papelão na forma quadrangular Na sequência os alunos mediram a sala de aula com trenas e fitas métricas desconsiderando os espaços de armários e bebedouro e reservando uma área para o professor Figura 2 Figura 2 Representações do Espaço Destinado aos Estudantes na Sala de Aula Realizadas as medidas os estudantes calcularam a área destinada a eles e a partir da informação de que cada aluno tem direito a uma área de 1 metro quadrado facilmente obtiveram uma resposta para o problema Em algumas situações os estudantes tiveram que rever seus cálculos e medidas uma vez que o resultado foi inferior ao número de alunos da sala ou mesmo porque desconsideraram a parte decimal das medidas O professor auxiliou na revisão dos cálculos e das medidas de modo que um novo resultado mais condizente com a situaçãoproblema fosse encontrado Figura 3 Entre os conteúdos abordados nessa atividade está o cálculo de áreas retangulares e por conseguinte a multiplicação Além disso os estudantes se depararam com algumas medidas que não eram números inteiros conduzindo à realização de operações de adição subtração e multiplicação com números decimais Seu espaço na sala de aula Uma sala de aula é ocupada por estudantes pelo professor e por objetos que fazem parte do ambiente escolar como cadeiras carteiras e armários Para que você permaneça em um ambiente mais agradável existe uma lei que determina que em uma sala de aula cada estudante tem direito a uma área de 1 metro quadrado m² VAMOS ESTUDAR Quantos alunos cabem na sua sala de aula Estudante 4 Estudante 11 Estudante 29 629 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Figura 3 Revisão dos Cálculos Estudante 22 Os modelos matemáticos obtidos para essa situação consistem em representações numéricas e figurais além da representação em linguagem natural Na Figura 4 podemos observar alguns exemplos de modelos construídos pelos alunos Figura 4 Modelos Matemáticos para a Situação Área dos estudantes na Sala de Aula Atividade do Segundo Momento Quanto é Gasto com Energia Elétrica Referese ao segundo momento de inserção de atividades de modelagem matemática em sala de aula Para o seu desenvolvimento os estudantes foram organizados em oito grupos O problema proposto e as informações disponibilizadas aos alunos podem ser visualizados na Figura 5 Além das informações apresentadas na Figura 5 os estudantes puderam consultar a fatura de energia elétrica de suas casas a fim de verificar o valor da tarifa por kWh que é cobrado em sua residência Também disponibilizamos calculadoras aos estudantes devido à complexidade dos números que apresentavam vários algarismos após a vírgula Todavia o professor auxiliou a turma na realização dos cálculos Nesse caso para obter a solução do problema os estudantes necessitavam apenas multiplicar o tempo de uso do aparelho seja da televisão ou do chuveiro em minutos pelo consumo de energia elétrica do aparelho por minuto em kWh também disponibilizado aos estudantes com base no site da Companhia Paranaense de Energia Copel e por fim pela tarifa da residência Esse cálculo pode ser observado nas Figuras 6 e 7 Estudante 21 Estudante 30 Estudante 33 630 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Figura 5 Informações a respeito da Atividade Quanto é Gasto com Energia Elétrica Figura 6 Cálculo do Valor a Ser Pago de acordo com o Consumo da Televisão Figura 7 Cálculo do Valor a Ser Pago de acordo com o Consumo do Chuveiro 631 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Nesta atividade o modelo matemático para a situação consiste na representação dos alunos para especificar os gastos de cada eletrodoméstico O modelo é procedimental e faz uso de uma linguagem essencialmente numérica Entre os conteúdos abordados a multiplicação de números decimais fica evidente Além disso esta atividade contribuiu para o desenvolvimento do senso crítico e exploratório nos estudantes mostrando a importância de conhecer e analisar a fatura de energia elétrica que eles recebem mensalmente em suas casas Atividade do Terceiro Momento Qual Caixa dÁgua comprar Esta situaçãoproblema é resultado do terceiro momento de inserção de atividades de modelagem matemática em sala de aula o que significa que seu desenvolvimento foi conduzido pelo grupo de oito estudantes que optou pelo estudo desse problema O tema surgiu a partir do interesse do grupo em pesquisar a respeito da água mas ao depararse com algumas informações acerca de caixas dágua os estudantes se interessaram pela investigação de como a capacidade de uma caixa dágua pode ser determinada As informações foram pesquisadas na internet no laboratório de informática da escola Diante da situação exposta pelo estudante 25 de que sua família estava prestes a comprar uma caixa dágua para sua residência o grupo formulou o seguinte problema Como determinar a capacidade da caixa dágua necessária para a sua casa Ou nas palavras do estudante 3 Figura 8 Figura 8 Problema Investigado pelo Grupo na Atividade Qual Caixa dÁgua Comprar Estudante 3 Para a resolução do problema eles buscaram identificar quais as capacidades de caixas dágua disponíveis para compra no mercado e informações que auxiliassem nesse cálculo Os principais dados utilizados para a solução do problema podem ser visualizados na Figura 9 Figura 9 Informações Encontradas pelos Alunos Estudante 25 632 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Com essas informações os estudantes conseguiram determinar uma estratégia para responder ao problema resultando no modelo matemático para a situação Figura 10 Este apresentado basicamente por uma linguagem numérica quase sempre vinha acompanhado de uma análise crítica em relação à resposta do problema sob a forma de linguagem natural Figura 10 Modelos Matemáticos para a Situação Qual Caixa dÁgua Comprar Os modelos obtidos para essa situação também são procedimentais pois indicam o que os estudantes precisam fazer para chegar ao resultado Esses modelos além de envolver os conceitos de adição multiplicação e comparação contribuíram para o desenvolvimento da ideia de função linear Nesse contexto os modelos matemáticos foram constituídos a partir do uso de linguagem natural e numérica O Ideb a Prova Brasil e um episódio com os estudantes O Índice de Desenvolvimento da Educação Básica Ideb foi calculado pela primeira vez em 2007 como resultado de um esforço em medir a qualidade do ensino nas escolas do País É calculado com base no desempenho do estudante em avaliações do Inep3 como a Prova Brasil e o Saeb e em taxas de aprovação Nesse sentido a avaliação repousa sobre três aspectos é preciso que o estudante aprenda não repita o ano escolar e frequente a sala de aula O Ideb é medido a cada dois anos e seu resultado é apresentado em uma escala de 0 a 10 Tem como meta que as escolas municipais e estaduais obtenham até o ano de 2022 a nota 6 que segundo o Inep corresponde à qualidade do ensino em países desenvolvidos A Prova Brasil assim como o Saeb são avaliações para diagnóstico em larga escala desenvolvidas pelo Inep em parceria com o Ministério da Educação MEC De acordo com esses órgãos governamentais elas têm o objetivo de avaliar a qualidade do ensino oferecido pelo sistema educacional brasileiro a partir de testes padronizados e questionários socioeconômicos Com base nos resultados e nas informações obtidas Estudante 30 3 Os dados utilizados na produção deste texto estão disponíveis no portal do Inep httpportal inepgovbr 633 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 por meio desses sistemas de avaliações os órgãos responsáveis pela educação podem definir ações voltadas para o aprimoramento da qualidade da educação no País contribuindo para a redução das debilidades identificadas no que se refere aos recursos técnicos e financeiros O último resultado do Ideb correspondente a 2011 foi divulgado pelo Inep em 14 de agosto de 2012 e indica que a escola a que nos referimos neste texto aumentou seu índice de 49 para 59 superando as metas de 2009 2011 e 2013 O bom desempenho da escola nos levou a investigar como seria o desempenho na Prova Brasil dos estudantes que participaram das atividades de modelagem matemática desenvolvidas durante o ano de 2011 Nessa perspectiva propomos 15 questões associadas à Prova Brasil aos estudantes agora no 5º ano do ensino fundamental com o intuito de verificar o seu desempenho ao serem avaliados com questões elaboradas por órgãos governamentais como o Inep e o MEC As questões As questões selecionadas fazem parte das amostras fornecidas pelo Inep em seu portal e o critério para escolha foi a coincidência de conteúdos entre a questão e algumas das atividades de modelagem desenvolvidas durante o ano de 2011 As questões propostas aos estudantes são apresentadas no Quadro 2 Quadro 2 Questões Associadas à Prova Brasil Propostas aos Estudantes 1 A turma de Joana resolveu fazer uma pesquisa sobre o tipo de filme que as crianças mais gostavam Cada criança podia votar em um só tipo de filme A tabela abaixo mostra o resultado da pesquisa com as meninas e com os meninos Tipo de filme Número de votos Meninas Meninos Aventura 8 10 Comédia 7 2 Desenho animado 5 5 Terror 2 4 Qual o tipo de filme preferido pelos MENINOS A Aventura B Comédia C Desenho animado D Terror 634 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 2 Um fazendeiro tinha 285 bois Comprou mais 176 bois e depois vendeu 85 deles Quantos bois esse fazendeiro tem agora A 266 B 376 C 476 D 486 3 Uma merendeira preparou 558 pães que foram distribuídos igualmente em 18 cestas Quantos pães foram colocados em cada cesta A 31 B 310 C 554 D 783 4 Gilda comprou copos descartáveis de 200 mililitros para servir refrigerantes em sua festa de aniversário Quantos copos ela encherá com 1 litro de refrigerante A 3 B 5 C 7 D 9 5 Faltam 31 dias para o aniversário de João Quantas semanas completas faltam para o aniversário dele A 3 B 4 C 5 D 6 6 O número decimal correspondente ao ponto assinalado na reta numérica é A 03 B 023 C 23 D 203 7 Vamos medir o parafuso O parafuso mede A 21 B 22 C 23 D 25 8 João participou de um campeonato de judô na categoria juvenil pesando 45350kg Cinco meses depois estava 3150kg mais pesado e precisou mudar de categoria Quanto ele estava pesando nesse período A 14250 kg B 40850 kg C 48500 kg D 76450 kg 635 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 9 Uma professora da 4ª série pediu que uma aluna marcasse numa linha do tempo o ano de 1940 Que ponto a aluna deve marcar para acertar a tarefa pedida A A B B C C D D 10 Em Belo Horizonte ontem a temperatura máxima foi de 283 graus e hoje é de 267 graus De quantos graus é a diferença entre as duas temperaturas A 14 grau B 16 grau C 24 graus D 26 graus 11 Fernando tem no seu cofrinho cinco moedas de R 005 oito moedas de R 010 e três moedas de R 025 Que quantia Fernando tem no cofrinho A R 155 B R 180 C R 205 D R 405 12 Ao usar uma régua de 20 cm para medir uma mesa Henrique observou que ela cabia 27 vezes no comprimento da mesa Ele multiplicou esses valores e encontrou 540 cm Em metros o comprimento da mesa é de A 054 m B 54 m C 54 m D 540 m 13 O carro de João consome 1 litro de gasolina a cada 10 quilômetros percorridos Para ir da sua casa ao sítio que fica distante 63 quilômetros o carro consome A 53 l B 6 l C 63 l D 7 l 14 Ricardo anda de bicicleta na praça perto de sua casa Representada pela figura Se ele der a volta completa na praça andará A 160 m B 100 m C 80 m D 60 m 15 O piso de uma sala está sendo coberto por cerâmica quadrada Já foram colocadas 7 cerâmicas como mostra a figura Quantas cerâmicas faltam para cobrir o piso A 6 B 7 C 8 D 15 636 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 De modo geral podemos observar aproximações entre as questões propostas aos estudantes e as atividades de modelagem matemática desenvolvidas por eles Assim como Almeida 2010 propõe para as atividades de modelagem as questões selecionadas apresentam como ponto de partida uma problemática advinda de situações que em certa medida podem ser associadas à realidade a partir dessa problemática os estudantes deveriam encontrar por meio de uma série de procedimentos uma resposta que fosse adequada para a pergunta enunciada Contudo enquanto nas questões associadas à Prova Brasil o foco está na resposta isto é na aplicação de conteúdos matemáticos nas práticas de modelagem matemática o foco está na produção e análise de um modelo matemático que permita a obtenção dessa resposta a partir de instrumentos matemáticos Nesse sentido ainda que se vislumbrem semelhanças entre os conteúdos matemáticos abordados por meio das atividades de modelagem e aqueles associados às questões cuja resolução propusemos aos alunos a natureza das atividades é diferente O desempenho dos estudantes na resolução das questões Dos 36 estudantes que participaram do desenvolvimento das atividades de modelagem matemática no ano anterior 26 estavam presentes e realizaram a prova com as questões que selecionamos A correção da prova indica que os alunos apresentaram um bom desempenho ao resolverem as questões que lhes foram propostas como pode ser observado na Tabela 2 na qual apresentamos o número de acertos e erros em cada questão Além disso apresentamos os conteúdos englobados em suas resoluções e que correspondem aos utilizados no desenvolvimento das atividades de modelagem matemática Ao observar a Tabela 2 constatamos que em apenas 3 das 15 questões o número de erros superou o de acertos Na questão 7 que envolve números decimais associados à ideia de fração notamos que muitos estudantes erraram essa questão ou marcaram 21 ou 23 como medida do parafuso acreditamos que essa confusão foi gerada devido à falta dos demais traços dos milímetros na régua por isso o 21 ou devido à medida do parafuso estar entre 2 e 3 por isso o 23 Na questão 9 em que os estudantes necessitavam conciliar a ideia de divisão com a de medida e na questão 12 que envolve a conversão entre unidades de comprimento especificamente de centímetro para metro Para as questões 6 e 10 o número de erros e o de acertos são próximos Essas questões envolvem a identificação de um número decimal a partir da régua e a subtração entre números também desse conjunto As questões que mais apresentaram acertos foram a questão 1 que foi resolvida corretamente por todos os alunos envolve o conteúdo estruturante Tratamento da Informação abrangendo a interpretação de dados em linguagem tabular a questão 2 com 23 acertos considerada relativamente simples é solucionada a partir da realização de duas 637 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 operações uma de adição e outra de subtração ambas envolvendo números naturais a questão 3 com 22 acertos contempla uma situação que é resolvida a partir de uma divisão exata entre números naturais e as questões 8 e 11 ambas com 20 acertos envolvem a adição de números decimais além disso a questão 11 também requer uma multiplicação entre esses números Tabela 2 Desempenho dos Estudantes nas Questões com seus Respectivos Conteúdos Nas demais questões 4 5 13 14 e 15 o número de acertos também foi maior que o de erros algumas com uma diferença maior como as questões 13 e 15 envolvendo uma divisão com resultado decimal e o cálculo de área respectivamente e outras com uma diferença menor questões 4 5 e 14 nas quais o conteúdo envolvido era divisão conversão entre unidades de volume e perímetro No que concerne às atividades de modelagem esses conceitos foram abordados durante várias delas Vejamos alguns exemplos O primeiro contato dos estudantes com situações que envolvem o uso de números decimais foi com a primeira atividade de modelagem matemática desenvolvida por eles com o tema Tamanho de Anéis Esse conceito emergiu também nas demais atividades contemplando essa classe de números em suas várias dimensões seja como medida anéis área dos estudantes na sala de aula beleza flúor resultado de uma operação área dos estudantes na sala de aula energia elétrica beleza flúor valor de uma constante energia elétrica beleza dólar quantia do sistema monetário energia elétrica dólar caixa dágua flúor etc Como consequência as operações com números decimais foram abordadas em todas as atividades Questão Nº de Acertos Nº de Erros Conteúdos 1 26 0 Interpretação de tabela 2 23 3 Adição e subtração de números naturais 3 22 4 Divisão exata de números naturais 4 14 12 Divisão exata de números naturais e conversão de unidades de volume 5 15 11 Divisão de números naturais com resto 6 13 13 Números decimais na régua 7 10 16 Números decimais como fração 8 20 6 Adição de números decimais 9 12 14 Divisão como medida 10 13 13 Subtração de números decimais 11 20 6 Adição e multiplicação de números decimais 12 11 15 Conversão de unidades de comprimento 13 18 8 Divisão com resultado decimal 14 14 12 Perímetro 15 16 10 Área 638 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 As medidas também foram utilizadas nas atividades seja com régua fita métrica ou trena os estudantes mediram o comprimento da circunferência de seus dedos e dos moldes de anéis e o comprimento e a largura da sala de aula o perímetro de forma implícita com o intuito de descobrir a área e as suas alturas bem como as dos colegas a fim de encontrar a proporção áurea As conversões foram úteis na atividade dos anéis ao transformarem as medidas em milímetros para centímetros na atividade da área em centímetros para metros e na atividade do flúor em mililitros para litros Em linhas gerais podemos inferir que o desempenho dos estudantes na avaliação foi satisfatório sendo que a maioria 19 entre os 26 que a realizaram acertou mais do que a metade das questões conforme mostra a Tabela 3 Tabela 3 Desempenho dos Estudantes na Avaliação Nº de Acertos Quantidade 0 0 1 0 2 0 3 1 4 2 5 0 6 1 7 3 8 3 9 1 10 1 11 6 12 4 13 3 14 1 15 0 Em termos de aprendizagem tomamos como base o fato de que os estudantes foram capazes de utilizar o conhecimento construído em relação aos conteúdos abordados nas atividades de modelagem matemática em outras situações como as propostas nas questões associadas à Prova Brasil o que segundo DAmore 2007 sinaliza a aprendizagem Esses resultados nos chamam a atenção para o fato de que todos esses conteúdos identificados nas questões da prova que elaboramos foram suscitados nos estudos realizados pelos estudantes no desenvolvimento das atividades de modelagem matemática no ano anterior Além disso tratase de conteúdos curriculares indicados pelos PCN para esse nível de escolaridade o que contribui para firmar a possibilidade de utilizar 639 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 a modelagem matemática no âmbito do ensino e aprendizagem de Matemática nos anos iniciais do ensino fundamental Discussões finais As formas de avaliar a aprendizagem dos alunos quando envolvidos em atividades de modelagem matemática são ainda pouco discutidas na literatura De modo geral as pesquisas por meio de alguns critérios fazem inferências sobre a aprendizagem dos alunos a partir de ações e ou manifestações apresentadas por eles Ter indicativos de que o aluno aprendeu e aprendeu aquela Matemática que emergiu das atividades de modelagem corresponde sem dúvida à expectativa que se tem quando da introdução dessas atividades nas aulas de Matemática Atividades de modelagem matemática em geral não estão focadas na abordagem de um conteúdo específico como se costuma observar em exercícios de fixação frequentemente utilizados nas aulas de Matemática mas na obtenção de um modelo matemático que seja capaz de responder ao problema proposto para investigação E é este caminhar que suscita a abordagem de diferentes conteúdos matemáticos conforme a situação e os sujeitos envolvidos Como consequência observamos uma diversidade de representações usadas pelos estudantes para os modelos matemáticos cuja linguagem utilizada é característica dos anos iniciais do ensino fundamental Nesse sentido foi possível a abordagem de uma diversidade de conteúdos matemáticos cuja aprendizagem pode ser inferida a partir do desempenho dos estudantes nas questões associadas à Prova Brasil que lhes foram propostas Não podemos entretanto assegurar que o desempenho dos alunos na resolução das questões é decorrência imediata de seu envolvimento com as atividades de modelagem Outros fatores também influenciaram nesse resultado cada um à sua maneira e com sua intensidade como as aulas com as professoras da turma o convívio com outras pessoas e situações cotidianas entre outros Contudo ao escolher questões que contemplam conteúdos abordados no desenvolvimento das atividades de modelagem matemática não podemos negar a existência de uma relação entre o desenvolvimento das atividades de modelagem e o desempenho dos alunos na prova Nesse sentido parece se configurar uma situação que sinaliza certa estabilidade na aprendizagem dos alunos em relação aos conteúdos abordados mediante atividades de modelagem matemática Essa já representa uma justificativa para a inclusão de atividades desse tipo nas aulas de Matemática Assim se o programa do Observatório da Educação tem como meta contribuir para a configuração de situações para a sala de aula envolvendo alunos e professores que possam trazer melhorias educacionais e cujo reflexo também se evidencie no desempenho dos alunos em avaliações de larga escala a pesquisa que desenvolvemos se alinha com essa expectativa 640 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Referências bibliográficas ALMEIDA L M W Um olhar semiótico sobre modelos e modelagem metáforas como foco de análise Zetetiké Campinas v 18 número temático 2010 ALMEIDA L M W BRITO Dirceu dos Santos Atividades de modelagem matemática que sentido os alunos podem lhe atribuir Ciência Educação Bauru v 11 n 3 p 483498 2005 ALMEIDA L M W DIAS Michele Regiane Um estudo sobre o uso da modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem Bolema Boletim de Educação Matemática Rio Claro n 22 p 1935 2004 ALMEIDA L M W de SILVA Karina Pessôa da VERTUAN Rodolfo Eduardo Modelagem Matemática na educação básica São Paulo Contexto 2012 157 p BARBOSA J C Modelagem matemática concepções e experiências de futuros professores 2001 253 f Tese Doutorado em Educação Matemática Instituto de Geociências e Ciências Exatas Universidade Estadual Paulista Rio Claro 2001 BARBOSA Jonei Cerqueira Modelagem matemática O que é Por quê Como Veritati Salvador n 4 p 7380 2004 BASSANEZI Rodney Carlos Ensinoaprendizagem com modelagem matemática uma nova estratégia 2 ed São Paulo Contexto 2004 389 p BLUM W Mathematical Modelling in Mathematics education and instruction In BREITEIG Trygve HUNTLEY Ian KAISER Gabriele Messmer Ed Teaching and learning Mathematics in context London Ellis Horwood 1993 p 314 BLUM W Can Modelling be taught and learnt Some answers from empirical research In KAISER Gabriele et al Ed Trends in teaching and learning of Mathematical Modelling ICTMA 14 New York Springer 2011 p 1530 BLUM W BORROMEO FERRI Rita Mathematical Modelling can it be taught and learnt Journal of Mathematical Modelling and Aplication Blumenau v 1 n 12 p 4558 2009 BORROMEO FERRI Rita Estabelecendo conexões com a vida real na prática da aula de Matemática Educação e Matemática Lisboa n 110 p 1925 novdez 2010 641 Reflexões a respeito do uso da modelagem matemática em aulas nos anos iniciais do ensino fundamental Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 DAMBRÓSIO Ubiratan Mathematical Modelling cognitive pedagogical historical and political dimensions Journal of Mathematical Modelling and Application Blumenau v 1 n 1 p 89 98 2009 DAMORE Bruno Epistemologia didática da Matemática e práticas de ensino Bolema Boletim de Educação Matemática Rio Claro n 28 p 179205 2007 DIAS Josete Leal CHAVES Maria Isaura de Albuquerque Diálogos comna Modelagem Matemática nas séries iniciais In CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 6 2009 Londrina Anais Londrina UEL 2009 DOERR Helen M LESH Richard Models and modelling perspectives on teaching and learning Mathematics in the twentyfirst century In KAISER Gabriele et al Ed Trends in teaching and learning of Mathematical Modelling ICTMA 14 New York Springer 2011 p 247 268 KLÜBER Tiago Emanuel BURAK Dionísio Bases epistemológicas e implicações para práticas de Modelagem matemática em sala de aula In SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 4 Brasília Anais Brasília Sociedade Brasileira de Educação Matemática 2009 LESH Richard Tools researchable issues conjectures for investigating what it means to understanding statistics or other topics meaningfully Journal of Mathematical Modelling and Application Blumenau v 1 n 2 p 1648 2010 LUNA Ana Virginia de Almeida ALVES Josélia Modelagem matemática as interações discursivas de crianças da 4ª série a partir de um estudo sobre anorexia In CONFERÊNCIA NACIONAL SOBRE MODELAGEM NA EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 5 2007 Ouro Preto Anais Ouro Preto UFOP 2007 p 855876 ROSA Milton OREY Daniel Clark A modelagem como um ambiente de aprendizagem para a conversão do conhecimento matemático Bolema Boletim de Educação Matemática Rio Claro v 26 n 42A p 261290 abr 2012 SILVEIRA Everaldo Modelagem matemática em Educação no Brasil entendendo o universo de teses e dissertações 2007 197 f Dissertação Mestrado em Educação Universidade Federal do Paraná Curitiba 2007 642 Emerson Tortola Lourdes Maria Werle de Almeida Rev bras Estud pedagog online Brasília v 94 n 237 p 619642 maioago 2013 Emerson Tortola é mestrando no Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina UEL Londrina Paraná Brasil emersontortolahotmailcom Lourdes Maria Werle de Almeida doutora em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC é professora do Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade Estadual de Londrina UEL Londrina Paraná Brasil lourdesmariasercomtelcombr Recebido em 31 de agosto de 2012 Aprovado em 5 de março de 2013