A Modelagem Matemática nas Séries Iniciais: O Germêm da Criticidade

ALEXANDRIA Revista de Educação em Ciência e Tecnologia v2 n2 p135157 jul 2009 ISSN 19825153 A Modelagem Matemática nas Séries Iniciais o germém da criticidade ANA VIRGINIA DE ALMEIDA LUNA¹ ELIZABETH GOMES SOUZA² ANA RITA CERQUEIRA MELO SANTIAGO³ ¹ Departamento de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Feira de Santana Escola DespertarBa ² Núcleo de Pesquisas em Modelagem Matemática NUPEMMUEFS ³ Escola Menino Jesus de Praga Prefeitura Municipal de Conceição do Jacuípe Escola Despertar de Feira de Santana RESUMO O presente artigo visa compreender como os alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental podem analisar de forma crítica o papel dos modelos matemáticos em debates sociais por meio da Modelagem Matemática Os participantes da investigação foram uma professora e 17 dezessete alunos entre 9 nove e 11 onze anos de idade que cursavam o quinto ano do Ensino Fundamental em uma instituição de ensino em Feira de Santana no interior da Bahia Uma atividade de Modelagem sobre a construção de cisternas no semiárido baiano foi observada e analisada com enfoque qualitativo Os diálogos entre as crianças e a professora foram transcritos e quando analisados indicaram que a inserção da Modelagem nas séries iniciais possibilita que as crianças percebam a presença dos modelos matemáticos na sociedade e suas implicações sociais políticas e econômicas em diversos segmentos da Sociedade ABSTRACT The present paper aims to understand how the students of the elementary school classes can analyze critically the role of the mathematical models in social debates through the Mathematical Modelling The participants of the inquiry have been a teacher and 17 students between 9 and 11 years old who attended a course in the fifth grade of the elementary school at an institution of education in Feira de Santana town in the state of Bahia A Modelling activity on the construction of wells in Bahian semiarid has been observed and analyzed based on a qualitative approach The dialogues between the children and the teacher have been transcribed and once analyzed have indicated that the insertion of the Modeling in the elementary school classes makes it possible for the children to perceive the presence of the mathematical models in the society as well as its economic political and social implications in several segments of the society Palavraschave modelagem matemática séries iniciais educação matemática modelos matemáticos criticidade Keywords mathematical modelling elementary school Classes mathematical education mathematical models criticism INTRODUÇÃO Nos documentos curriculares orientadores da Educação Básica tais como as Orientações Curriculares Nacionais BRASIL 2006 e as Orientações Curriculares Estaduais BAHIA 2005 a Modelagem Matemática é apresentada respectivamente como estratégia de ensino e como metodologia interdisciplinar que propicia a aproximação dos estudantes com situaçõesproblema reais oriundas de assuntos dos mais diversos campos da sociedade De maneira geral na Educação Matemática a Modelagem1 pode ser compreendida como a abordagem de situações do diaadia ou de outras ciências por meio da matemática Algumas experiências com a utilização da Modelagem na Educação Básica apontam para as contribuições que esta pode gerar no processo de ensino e aprendizagem as quais 1 No decorrer do artigo utilizamos o termo Modelagem quando nos referimos à Modelagem Matemática a fim de evitarmos repetições ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO podem estenderse desde a motivação dos estudantes BIEMBENGUT e HEIN 2003 BURAK 2005 até o fortalecimento de uma postura crítica frente à presença da Matemática na sociedade BARBOSA 20032006 JACOBINI 2004 Ainda que pesquisas como as mencionadas acima apresentem a motivação e o interesse dos alunos quando vivenciam atividades de Modelagem estudos relatam uma postura de passividade de alguns alunos em relação ao encaminhamento de tais atividades a saber a apatia nas aulas BASSANEZI 2002 a busca de uma resposta imediata para a problemática em questão FRANCHI 1993 JACOBINI 2004 a dificuldade na elaboração de situações problema para o posterior desenvolvimento das atividades ARAÚJO e BARBOSA 2005 ou ainda a busca de respostas únicas e absolutas para as situaçõesproblema propostas pelo professor MAAß 2005 As causas das dificuldades dos alunos estão na ênfase em uma postura investigativa suscitada pelas atividades de Modelagem Esta postura difere do que se espera dos estudantes envolvidos em propostas baseadas no Paradigma do Exercício2 SKOVSMOSE 2008 Isso se deve ao fato de que em Modelagem diferentemente do Paradigma do Exercício os conteúdos disciplinares emergem a partir do tema proposto para a pesquisa BIEMBENGUT HEIN 2003 BURAK 2005 a abordagem é essencialmente interdisciplinar CALDEIRA 2005 a pesquisa e investigação orientam as atividades e possibilitam a reflexão sobre a presença da matemática na sociedade BARBOSA 2003 Diante disso a postura de passividade dos alunos oriunda do Paradigma do Exercício em que o aluno é visto como um agente passivo no ambiente escolar constituise como um dos desafios para a inserção da Modelagem na sala de aula Nesse sentido Maaß 2005 sugere que a Modelagem seja implementada logo nos primeiros anos de escolaridade dos alunos pois reconhece a sua potencialidade para possibilitar a modificação das crenças dos estudantes Para a autora essa postura de passividade dos estudantes é decorrente de suas crenças sobre a matemática ser uma ciência exata objetiva e formal As pesquisas desenvolvidas nas séries iniciais indicam que a Modelagem propicia o desenvolvimento das habilidades matemáticas dos alunos a argumentação matemática e a interpretação de problemas da realidade BURAK 2005 BIEMBENGUT 2007 LUNA ALVES 2007 LUNA SANTIAGO 2007 No entanto as potencialidades do uso da Modelagem não se limitam a desenvolver competências estritamente matemáticas mas 2 Paradigma do Exercício é uma concepção sobre o ensino e aprendizagem da Matemática que apresenta uma abordagem tradicional preconizando na seqüência de trabalho a aula expositiva em seguida os exercícios e por fim a correção com ênfase no livro didático SKOVSMOSE 2008 136 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE também podem favorecer a reflexão pelos alunos sobre o papel dos modelos matemáticos na sociedade Assim perguntas tais como Como os modelos matemáticos estão presentes na sociedade Por quê Para quê E para quem O que subsidia a sua presença São alguns questionamentos que podem ser abordados em atividades de Modelagem nos primeiros anos de escolarização Em Modelagem questionamentos dessa natureza são agendados por pesquisas que adotam uma perspectiva sóciocrítica BARBOSA 2003 a qual apresenta como objetivo principal do uso da Modelagem a reflexão sobre a análise da natureza e o papel dos modelos matemáticos na sociedade a exemplo da regulamentação das cotas percentuais elaborada pelo ministério da educação para o ingresso de estudantes negros e índios no ensino superior as variáveis que integram o cálculo para o valor da cesta básica brasileira elaboradas pelo DIEESE Departamento Intersindical de Estudos Socioeconômicos a demarcação de áreas contínuas no caso de terras indígenas do Estado de Roraima entre outros Diante dessa constatação sobre a presença da matemática em diversos debates sociais e da necessidade de tematizar essa presença no contexto escolar apresentaremos neste artigo reflexões de um grupo de alunos das séries iniciais sobre as nuances sociais que envolvem o tema da construção de cisternas no semiárido baiano Nosso objetivo foi compreender como os alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental podem analisar de forma crítica o papel dos modelos matemáticos em debates sociais por meio da Modelagem Matemática Neste artigo a Modelagem Matemática é entendida como um ambiente de aprendizagem no qual os alunos são convidados a investigarem questões com referência na realidade por meio da matemática BARBOSA 2003 Para abordar a inserção da Modelagem nas séries iniciais e sua potencialidade de suscitar reflexões críticas sobre o papel dos modelos matemáticos na sociedade inicialmente organizamos a revisão da literatura em 3 três seções Na primeira localizamos na literatura da Educação Matemática estudos sobre Modelagem Matemática na segunda seção apresentamos experiências desenvolvidas nas séries iniciais do Ensino Fundamental e na terceira seção relações entre Modelagem e criticidade na Educação Matemática 1 Modelagem no campo da Educação Matemática O que são atividades de Modelagem na perspectiva da Educação Matemática O que a distingue de outras tendências no âmbito da Educação Matemática Essas são perguntas ainda 137 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO não definitivas no campo de pesquisa Barbosa 2003 p69 foi um dos pesquisadores que indicou a necessidade de delimitação da Modelagem no âmbito da Educação Matemática evidenciando a importância de uma concepção específica para esta área O autor apresenta a concepção de que Modelagem é um ambiente de aprendizagem em que os alunos são convidados a problematizar e investigar situações com referência em outras áreas da realidade Já em Biembengut e Hein 2003 p28 encontramos essa delimitação da Modelagem como sendo uma metodologia de ensinoaprendizagem que parte de uma situaçãotema e sobre ela desenvolve questões que tentarão ser respondidas mediante o uso de ferramental matemático e da pesquisa sobre o tema Nessa direção outros pesquisadores também conceituam Modelagem como sendo uma estratégia de ensino e aprendizagem como Bassanezi 2002 ou um conjunto de procedimentos como Burak 1992 Ainda assim para Burak e Klüber 2007 essas concepções embora busquem apresentar uma concepção de Modelagem estritamente relacionada ao campo da Educação Matemática falham por não explicitar as orientações filosóficas e ontológicas que as embasam Além da importância da construção de concepções de Modelagem que explicitem essas orientações é necessário considerarse a diferença entre a Modelagem na perspectiva da Educação Matemática e da Matemática Aplicada no que se refere à concepção de modelo matemático e à importância de sua construção Na perspectiva da Educação Matemática alguns autores afirmam que não há obrigatoriedade de encontrar um modelo matemático propriamente dito BURAK 1992 FRANCHI 1993 BARBOSA 2001 Já na perspectiva da Matemática Aplicada é justamente o modelo matemático um dos objetivos principais do processo de Modelagem Algumas pesquisas exemplificam essa especificidade da Modelagem no âmbito da educação matemática Burak 1992 Franchi 1993 Barbosa 2001 e Biembengut e Hein 2003 destacam vários momentos igualmente importantes durante o processo de Modelagem como por exemplo a investigação sobre a situaçãoproblema a interação entre os alunos e entre eles e o professor os conceitos matemáticos abordados a interpretação e análise dos alunos sobre a temática a reflexão sobre a presença da Matemática na sociedade entre outros Assim concordamos com os autores que consideram outros momentos como importantes no fazer Modelagem no contexto escolar Um deles em particular a análise sobre o papel dos modelos matemáticos na sociedade pode constituirse como um dos objetos para a inserção da Modelagem no contexto escolar 138 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE A seguir buscamos identificar o que as pesquisas têm evidenciado sobre estas questões e que objetivos têm fundamentado as pesquisas sobre Modelagem nas séries iniciais 2 Modelagem nas séries iniciais do Ensino Fundamental No contexto das pesquisas brasileiras é possível constatar o crescimento de publicações no nível da Educação Básica em particular nas séries finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio SANTOS BISOGNIN 2007 FERREIRA WODEWOTZKI 2007 No entanto em relação às séries iniciais tanto publicações nacionais como internacionais ainda são inexpressivas3 Burak 1992 apresenta as primeiras experiências divulgadas em relação ao uso da Modelagem nas series iniciais Estas experiências foram realizadas por professores participantes de um curso de especialização ministrado pelo pesquisador a partir de 1982 Os alunos das referidas professoras em formação continuada que cursavam entre a 2ª e a 4ª série do Ensino Fundamental escolheram as temáticas horta maquete da escola arborização paisagismo pintura da sala de aula e a visita a um bairro periférico adjacente à escola O autor destaca que os relatos e as ações dos estudantes participantes dessas atividades de Modelagem variaram desde a mobilização para a pintura efetiva da sala de aula até por exemplo a constatação das condições precárias de vida das pessoas moradoras do bairro visitado Nessa mesma direção Caldeira 2007 desenvolveu uma atividade de Modelagem com alunos pertencentes às séries iniciais As crianças de 3ª e 4ª séries escolheram como temática da atividade a construção de uma horta O pesquisador não apenas utilizou temas reais tal como Burak 1992 mas apontou outros aspectos relevantes nas atividades de Modelagem como o reconhecimento e a inclusão dos saberes e da linguagem matemática específicos do contexto cultural das crianças na dinâmica dessas atividades Já English e Watters 2005 bem como Biembengut 2007 destacam o quanto o desenvolvimento de atividades de Modelagem neste nível de ensino permitiu o desenvolvimento dos conceitos e procedimentos matemáticos melhorando o desempenho matemático das crianças Para os autores as crianças que vivenciam atividades de Modelagem possuirão melhores desempenhos matemáticos em atividades posteriores 3 Inferências realizadas a partir dos anais da Conferência Nacional sobre Modelagem Matemática na Educação Matemática 2007 do Seminário Internacional de Educação Matemática 2006 do Encontro Nacional de Estudantes de Educação Matemática 2007 e das International Conference on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications 10 11 e 12 e do livro do 14th ICMI Study 2007 139 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO Questões sobre as potencialidades de incluir atividades realísticas na formação da criança foram também indicadas na pesquisa de Verschaffel e De Corte 1997 Estes autores fizeram um estudo comparativo entre duas turmas de alunos das séries iniciais identificando que os estudantes que tiveram contato com atividades realísticas demonstraram uma maior predisposição para a aprendizagem matemática baseada em situações reais Semelhante aos estudos anteriores Lamon 2003 ao desenvolver atividades de Modelagem com crianças das séries iniciais destacou que elas desenvolvem competências de Modelagem ou seja tornamse hábeis em construir modelos matemáticos representativos de problemas reais Já Luna e Alves 2007 ao desenvolverem o seu estudo utilizaram o modelo matemático que calcula o índice de massa corporal IMC e o percentual de gordura a partir de uma reportagem de um caso de anorexia vivenciado por uma jovem da cidade de Feira de SantanaBahia A atividade desenvolvida favoreceu o desenvolvimento das práticas discursivas e a ampliação do repertório matemático dos estudantes com a abordagem de conteúdos que originariamente não são contemplados nas séries iniciais como por exemplo a dízima periódica Para as autoras na interação dos alunos com situações reais propiciada pelo ambiente de Modelagem acontece a mobilização de variados conhecimentos por meio das discussões em sala de aula ampliando assim os vocabulários matemáticos os pensamentos e as ações matemáticas das crianças Os estudos apresentados nessa seção sobre a Modelagem nas séries iniciais apontam que quando os alunos das séries iniciais desenvolvem uma atividade de Modelagem eles ampliam as suas competências matemáticas tornandose hábeis na resolução de problemas e no processo de Modelagem além de serem mais propensos a desenvolverem outras atividades pautadas em situações reais com enfoque interdisciplinar No entanto estas pesquisas sobre Modelagem neste nível de ensino não destacam a potencialidade do uso da Modelagem no que se refere à crítica sobre o papel da matemática na sociedade Com o propósito de discutir sobre essa lacuna a presente pesquisa visa ampliar as análises sobre a inclusão da Modelagem nas séries iniciais Para tanto vamos abordar uma questão ainda não evidenciada nas pesquisas que é a criticidade dos alunos frente à presença da matemática na sociedade buscando compreender como os alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental podem analisar de forma crítica o papel dos modelos matemáticos em debates sociais por meio da Modelagem Neste artigo o 140 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE termo criticidade é empregado para a análise critica sobre o papel dos modelos matemáticos na sociedade A seguir apresentaremos como entendemos a partir de estudos na área da Educação Matemática a relação entre Modelagem e a sua potencialidade para o desenvolvimento da criticidade dos alunos 3 Modelagem e Criticidade na Educação Matemática A análise da natureza dos modelos matemáticos pode mais diretamente contribuir para desmistificar a ideologia da certeza dos argumentos matemáticos a qual se refere à crença de que a matemática é uma ciência objetiva pura no sentido de que uma declaração matemática não é influenciada por interesse social ideológico ou político BORBA SKOVSMOSE 2001 Segundo Skovsmose 2001 e Araújo 2007 a Modelagem possui a possibilidade de destituir a ideologia da certeza e consolidar ideias sobre a Matemática como uma ciência relacionada a diversos assuntos da sociedade Este objetivo do uso da Modelagem pode ser enquadrado em um movimento mais amplo denominado de Educação Matemática Crítica A Educação Matemática Crítica pode ser assumida como orientação ideológica das atividades de Modelagem a qual enfatiza a aprendizagem matemática como um meio para a crítica sobre o papel dos modelos nos debates sociais Essa possibilidade no uso da Modelagem é apresentada por Bueno 2007 a partir de um estudo desenvolvido com alunos das séries finais do Ensino Fundamental O autor aponta que a Modelagem Matemática contribuiu para a formação da cidadania e para o debate em torno de temas sóciopolíticoeconômicoculturais pois possibilitou a abordagem de outros assuntos de contextos não necessariamente matemáticos Temas como o preconceito o sistema político as classes sociais os valores humanos dentre outros provavelmente não seriam abordados ao se trabalhar de forma tradicional Dessa forma é possível observar que em estudos nos níveis mais avançados da Educação Básica já é considerada a contribuição da Modelagem no desenvolvimento de uma postura crítica pelos alunos em relação a questões em debate na sociedade Diante disso a presente pesquisa apóiase em uma perspectiva sóciocrítica de Modelagem BARBOSA 2003 no contexto escolar entendendoa como uma inserção possível nas primeiras séries do Ensino Fundamental Por isso visamos apresentar como os alunos das séries iniciais do Ensino Fundamental analisam criticamente o papel dos modelos matemáticos na sociedade e assim relacionam a matemática às diversas situações sociais 141 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO Para compreender a inserção da Modelagem nas séries iniciais com essa perspectiva foi desenvolvida uma atividade de Modelagem sobre o tema da construção de cisternas Em seguida apresentamos quais são as especificidades dos alunos da professora e do contexto escolar analisados 4 Opções metodológicas e o contexto da pesquisa A presente pesquisa foi desenvolvida a partir de uma abordagem qualitativa O estudo de natureza qualitativa conforme Bogdan e Biklen 1994 fundamentase nas seguintes características o contato direto e prolongado do pesquisador com o ambiente e a situação que está sendo investigada os dados coletados são predominantemente descritivos o processo é mais relevante do que o produto o significado que as pessoas dão às coisas e à sua vida são focos de atenção especial pelo pesquisador na análise dos dados os pesquisadores tendem a não se preocupar com a busca de evidências que comprovem hipóteses definidas antes do início dos estudos A escolha do contexto escolar foi intencional pois se buscou uma professora que já havia vivenciado um processo de formação continuada em Modelagem e desenvolvido atividades dessa natureza em sua prática escolar nas séries inicias do Ensino Fundamental A turma analisada era composta de 17 dezessete alunos do quinto ano do Ensino Fundamental Uma instituição particular de ensino em Feira de Santana cidade localizada no interior da Bahia foi o lócus da pesquisa A opção metodológica escolhida para a coleta de dados foi a observação Por meio da observação vídeogravações foram realizadas mas somente as falas dos alunos foram transcritas e tomadas para a análise neste artigo O período de desenvolvimento das atividades foi de 5 cinco aulas cada uma com duração de 2 duas horasaula semanais Conforme Adler e Adler1994 a observação é uma técnica integrada e independente é fundamentalmente naturalística ocorre no contexto natural entre os atores que participam da interação e seguem o fluxo natural da sua vida diária neste caso nas aulas no ambiente de Modelagem Matemática Nesse sentido a observação foi escolhida por ser um instrumento metodológico que nos permite compreender as relações que os alunos estabelecem entre Matemática e Sociedade em seu ambiente natural neste estudo a sala de aula por meio da análise crítica dos modelos matemáticos na sociedade em tempo real de sua ocorrência captando as suas nuances Essa é uma das funções do uso da observação em pesquisas qualitativas segundo 142 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE AlvezMazzotti e Gewandsznajder 1998 p164 pois permite identificar comportamentos intencionais e nãointencionais ou inconscientes permite o registro do comportamento em seu contexto temporalespacial A seguir a atividade de Modelagem observada será apresentada 5 A atividade de Modelagem Matemática nas séries iniciais O tema escolhido para o desenvolvimento de atividades de Modelagem foi a construção de cisternas no semiárido Baiano Este tema foi escolhido pela professora da turma tendo a função de suscitar o interesse dos alunos por um tema vinculado à realidade nordestina e presente em debates sociais e políticos Iniciamos pelo momento da descrição do convite da professora aos alunos para a pesquisa sobre a construção de cisternas A fim de preservar as identidades das crianças optamos por não utilizar seus nomes próprios atribuindo apenas uma numeração para diferenciálas ATIVIDADE DE MODELAGEM A proposta foi iniciada com a professora questionando o grupo sobre o que sabiam em relação à construção de cisternas na região do semiárido 1Profª Os noticiários de atualmente trazem reportagens sobre a construção de cisternas na região do semiárido Estas estão sendo construídas pelo governo federal Vocês já ouviram falar sobre esse assunto 2Cça1 Eu sei que cisterna é armazenamento de água 3Cça 2 Pegam água da chuva para armazenar porque aqui no Brasil tem o problema de água 4Cça 3 É que no interior não tem luz nem água 5Profª Vocês acham que a construção de cisternas vai melhorar a vida das pessoas da região do semiárido A partir de agora a 4ª série irá pesquisar sobre isso Por que o governo quer construir cisternas Por que a população da região do semiárido precisa construir cisternas Gostaria que vocês questionassem os pais de vocês sobre o tema investigassem na internet em jornais Tragam material para discutirmos em nossa roda de notícias tudo bem Os questionamentos iniciais tiveram como objetivo fazer com que as próprias crianças investigassem a problemática sobre a construção de cisternas A pergunta principal da 143 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO professora Vocês acham que a construção de cisternas vai melhorar a vida das pessoas da região do semiárido fez com que os alunos emitissem ao final da atividade de Modelagem opiniões pessoais pautadas nas informações matemáticas referentes ao tema Na aula seguinte as informações coletadas pelos alunos foram compartilhadas 6Profª Como ficou combinado entre nós vocês ficaram responsáveis por trazer para a Escola hoje notícias referentes à construção de cisternas na região do semiárido Me digam aí o que conseguiram descobrir 7Cça1 Pró a construção de cisternas é para os moradores terem água potável 8Cça 2 Li que o governo investiu 1000000 de reais 9Cça 3 220000 cisternas serão construídas até 2010 10Cça 4 A água da chuva pode vir de qualquer jeito 11Cça5 Os filtros de água que ficam no telhado para captar água são muito pequenos 13Cça6 Lá no sul eles recolhem a neve e à medida que for derretendo eles recolhem água e lá não é a mesma coisa daqui 14Cça10 O governo investiu 10 milhões de reais para construir cisternas também a notícia fala do tratamento da água diminui o risco de doenças 15Cça 2Tratar a água também evita a dengue e o armazenamento de água ajuda as pessoas não caminharem tanto para buscar água 16Cça 5 Pró como armazenar água se lá no sertão não chove 17Cça 4 É que quando chove no sertão chove muito e depois essa água vai embora de vez então com as cisternas vai ter onde armazenar a água entende E as pessoas vão poder realizar as atividades de casa como lavar roupa prato e limpar a casa e também principalmente beber As falas das crianças sobre a temática proposta pela professora indicou uma preliminar contextualização da situaçãoproblema em questão ou seja inicialmente houve a identificação da especificidade da situação da Seca em relação ao Nordeste 12 bem como a descrição de como ocorre a captação da água nas cisternas e ainda informações pautadas em matemática sobre a quantidade de cisternas a serem construídas Essas informações trazidas pelas crianças se constituem como momentos iniciais de reflexões sobre a presença dos modelos matemáticos nos debates sociais pois os alunos puderam identificar qual a especificidade de construção de cisternas no Nordeste em relação a outros estados por que construir cisternas nessa região brasileira é importante e quais os impactos sociais e econômicos que essa construção pode gerar para a população beneficiada O estímulo e a ocorrência de reflexões dessa natureza ainda nos primeiros anos de escolarização são importantes para que os alunos percebam a existência de vínculos entre a 144 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE Matemática e situações sociais e que tais vínculos são contextuais ou seja variam em virtude de questões sociais geográficas históricas e econômicas Assim a análise dos alunos sobre a natureza enviesada dos modelos matemáticos quando desenvolvem atividades de Modelagem pode iniciarse ainda no momento de interação e investigação dos alunos sobre a temática proposta e expandirse ao longo de seu desenvolvimento Nesse artigo as reflexões dos alunos iniciamse na conscientização das relações entre a Matemática e a sociedade e posteriormente enfocam a análise das variáveis que compõem o modelo matemático Para desenvolver a análise crítica das crianças sobre o modelo matemático a professora utilizou a capacidade de água em média que uma cisterna pode reservar como objeto de análise Dessa forma tendo como referência os seus próprios gastos de água na família os alunos puderam analisar criticamente a capacidade de água armazenada pela cisterna e assim argumentar se a construção de cisternas melhorará ou não a vida das pessoas que dela precisam Para isso inicialmente a professora solicitou que um geógrafo abordasse informações mais específicas sobre a construção de cisternas com as crianças O trecho a seguir apresenta as informações dadas pelo geógrafo e alguns questionamentos formulados 18Geógrafo Nas regiões do semiárido em alguns lugares passa 3 meses chovendo e 9 meses sem chover o período de chuva chamase período verde O que ocorria é que a água que aparece no período verde não era armazenada de nenhuma forma então não ficava preparada para o consumo humano Assim o governo federal com parceria com o estadual e municipal pensou como solução do problema a construção de cisternas que reservariam água no telhado das casas aproximadamente 15000 litros de água Para construir as cisternas o governo calcula a renda familiar daquela casa a equivalência é de R10000 por pessoa da família pra ter direito à cisterna A parte seca da região Nordeste equivale a aproximadamente 9000000 km2 A zona rural enfrenta o maior problema pois não há água para todos já que uma parte deve ser destinada a irrigação de plantas etc 19Cça2 Tem alguma região que já tá acabando a construção de cisternas 20Geógrafo Em Pintadas só falta construir 150 cisternas Mas no total de cisternas do Nordeste só foram construídas 20 das cisternas 21Cça3 Quantas horas gastam para fazer uma cisterna 22Geógrafo Em torno de 2 horas 23Cça4 Quantas pessoas são necessárias para a construção de cisternas 24Geógrafo São construídas por equipes de 2 a 3 pessoas Mas na 145 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO verdade os próprios moradores da casa auxiliam para cavar pois assim economizam mão de obra para o governo e agilizam o trabalho Estes moradores cavam os buracos muito satisfeitos pois sabem da riqueza que terão a água Imaginem aí quem precisa andar kilômetros para alcançar água potável Dessa forma a água é muito valorizada por conta da escassez 25Cça5 Quantos sacos de cimento são usados E quanto de areia por cisterna 26Geógrafo 10 sacos de cimento e 2 m3 de areia algumas precisam de tijolo cal ou barro 27Cça5 Qual a profundidade das cisternas 28Geógrafo 2 m em média 29Cça4 Quais os tipos de cisternas 30Geógrafo De tijolo as de cal e as em formato de tanque 31Cça3 A forma geométrica é diferente da outra comum que tem na casa de J 32Geógrafo Pois é a forma geométrica vai variar de acordo com a necessidade da população Nesse momento de perguntas sobre a temática as crianças começaram a se familiarizar com novos conteúdos matemáticos tais como porcentagem formas geométricas unidades de medidas m3 média aritmética e medidas de capacidades profundidade O desenvolvimento de habilidades matemáticas dos alunos é apontado pela literatura como um dos principais argumentos para a inclusão da Modelagem nas séries iniciais ENGLISH WATTERS 2005 BIEMBENGUT 2007 Porém é possível suscitar nos alunos não apenas as habilidades matemáticas mas também a percepção de que os conteúdos matemáticos são tomados como critério de decisões sociais como por exemplo a quantidade de materiais gastos para a construção de cisternas as suas dimensões geométricas a quantidade de dias necessários para as suas construções dentre outros Estes fatores influenciam na tomada de decisão governamental sobre a quantidade de cisternas a serem construídas em virtude dos gastos econômicos a quantidade de empregos disponibilizados a quantidade de água a ser armazenada etc Assim os conteúdos matemáticos não são objetivos e neutros Eles são escolhidos utilizados e construídos pelos indivíduos com propósitos específicos e com conseqüências para os diversos setores da sociedade BORBA SKOVSMOSE 2001 Essa visão integrada da matemática é considerada como um dos objetivos de uma Educação Matemática Crítica ARAÚJO 2007 SKOVSMOSE 2008 Nas séries iniciais é importante oportunizar às crianças essa concepção integrada de 146 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE Matemática pois em anos posteriores de sua vida escolar as crianças podem não apenas ser mais propensas à realização de atividades realísticas conforme sugerem Verschaffel e De Corte 1997 e nem somente mais hábeis em construir modelos matemáticos como aponta Biembengut 2007 mas sobretudo poderão compreender que a Matemática está relacionada a questões sociais políticas e econômicas A seguir a professora visou comparar a capacidade de água das cisternas construídas pelo Governo Federal para o consumo de uma família da zona rural composta em média por 7sete integrantes4 com o consumo de água familiar dos próprios alunos Foi então solicitado às crianças que trouxessem para a aula uma conta relativa ao consumo de água da sua família durante um mês A seguir apresentamos o diálogo entre a professora e as crianças sobre como fariam essa comparação 33Profª Ontem solicitei que vocês trouxessem hoje para a escola as duas últimas contas de água da casa de vocês Na opinião do grupo por que eu pedi estas contas 34Cça Para comparar o consumo de água gasto pelo família da gente e os das famílias que receberam cisternas pelo governo 35Profª Tudo bem Então como podemos fazer essa comparação O que devo considerar 36Cça Pró referindose a professora acho que tem que saber a quantidade de pessoas na família e vê o que gasta por mês 37Profª Só esses dados me possibilitam fazer essas comparações 38Cça Acho que sim É só ver o que nossa família gasta e pronto 39Profª E com a conta como posso fazer isso 40Cça Vê o tanto de dias que utilizou a água 41Profª E o que mais 42Cça Vê o tamanho da cisterna e o tanto de pessoas 43Profª E qual é o tamanho das cisternas 44Cça 15000 mil litros aproximadamente 45Profª Então vamos ver se com esses dados podemos chegar à comparação Peguem as contas de vocês e verifiquem o consumo mensal de água 46Cça Onde fica 47Cça É logo onde tem consumo de água 48Cça Achei 49Cça O resultado é em ême três 50Cça Na minha casa é de 8 M três 51Profª E o que significa m³ 52Cça Meu pai já me explicou em casa acho que é metros cúbicos 53Profª Mas a quantidade de água das cisternas construídas no semiárido está em metros cúbicos de acordo com a informação do professor Marialvo 54Cça Não está em litros 55Profª Então o que fazer para comparar 56Cça Sei não fala aí 4 BRASIL Construção de cisternas avança no semiárido Ministério de Desenvolvimento Social 2008 Disponível em http wwwmdsgov brascomrevistasmdscisternashtm Último acesso em 07 abr 2008 147 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO 57Profª Vamos pensar juntos É possível comparar medidas diferentes 58Cça Não fica complicado 59Profª Vamos fazer o seguinte digam aí quanto cada família consumiu em casa O consumo mensal de cada família variou entre 8 e 30 m³ 60Cça Tem que ter uma forma de comparar 61Profª Como Não seria legal pensarmos numa forma de compararmos medidas iguais 62Cça Acho que sim mistura metros cúbicos com litros 63Profª Prontovamos ver então quantos litros tem em um metro cúbico 64Cça Diz aí pró 65Cça Vamos procurar 66Profª Ótimo Peguem as contas de vocês e vamos para o laboratório de informática Nesse momento a professora pediu que os alunos construíssem comparações entre o consumo de água de uma família da zona rural e da zona urbana no caso as famílias dos próprios alunos Nestas o consumo variou entre 8 m3 e 30 m3 em uma família com a média de 4 quatro integrantes enquanto que os lares das famílias de zona rural são compostas em média por 7sete pessoas e a capacidade da cisterna é de aproximadamente 15000 litros Diante das informações trazidas pelas crianças a comparação entre o consumo de água das duas famílias necessitava apenas de transformações entre unidades de medidas m3 e litro Como as crianças ainda não conheciam como executar essa transformação a professora sugeriu que também essa informação fosse pesquisada por eles Essa pesquisa foi realizada no próprio laboratório de informática da escola por meio de um site de buscas As falas abaixo mostram o momento em que as crianças compreendem como essa transformação pode ser realizada 67Cça Digita a pergunta entre aspas que aparece a resposta 68Profª Digita aqui por favor R 69Cça Já sei que na minha casa gastou 8000 mil litros de água nesse mês Aliás não Na casa do meu avô porque a conta é de lá 70Cça Na minha foi 25000 mil litros 71Profª Como sabem a quantidade de litros 72Cça É só colocar três zeros 73Profª Por que três zeros 74Cça Porque multiplica por 3 75Cça Pró em minha casa gasta 30000 litros de água por mês e só tem 3 pessoas É exatamente 10000 litros de água por pessoa É meu pai que desperdiça muito Esse trecho apresenta as transformações matemáticas dos alunos sobre a quantidade de água consumida pelas famílias agora em litros para que a partir dessa informação possam comparar com os 15000 litros em média que uma cisterna pode acumular A partir disso a 148 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE conclusão das crianças sobre a utilidade da construção de cisternas para as famílias do semi árido foi então elaborada O trecho a seguir apresenta as discussões das crianças realizadas em grupos 76Profª Vocês chegaram a algumas conclusões compararam a quantidade de água que usam em casa com a água que é disponibilizada nas cisternas não foi isso Hoje eu vou lançar uma pergunta que vocês irão discutir por grupos É o seguinte É vantajoso o governo disponibilizar as cisternas ou não e por quê Vão levar em consideração todos os conhecimentos envolvidos que tamanho é a cisterna quanto é que cabe de água quantas pessoas têm na família e vão me responder se é vantajoso ou não Em cada grupo a equipe irá registrar este relatório de discussão Grupo 1 77Cça 1 Eu acho que é porque tem lugares que não chove quase nunca e a cisterna pode ser um jeito de ter água durante o ano enquanto não está chovendo 78Cça 3 Para receber a cisterna a pessoa tem que receber um salário mínimo ou menos 79Cça 4 Eu acho que não é vantajoso muito não 80Cça 5 Ter uma água potável vai melhorar 81Cça 6 Eu acho que para uma família grande deveria construir uma cisterna maior porque eles não vão poder se manter com mais ou menos um litro de água por dia para cada pessoa da casa porque é muita gente Agora para uma família de duas pessoas fica legal porque eles não utilizam muito 82Cça 7 São muitas pessoas aí eu acho que deveria construir mais de uma cisterna 83Profª E o governo vai dar mais de uma cisterna por família 84Cça 1 Não 85Profª E o que vai se fazer com as famílias que são grandes demais Grupo 2 86Cça 3 A gente descobriu que é um pouco vantajoso mas também não é porque a água quando jorra ela enche a cisterna e se parar de chover e gastarem a água a cisterna não vai ter a funcionalidade mas também é vantajoso porque as pessoas pobres que não têm dinheiro para ter uma vida que nem a da gente vão ter a água que eles precisarem e levam uma vida melhor 87Profª Agora me respondam A gente sabe que as famílias do semiárido são pequenas ou grandes 88Cça 5 Grandes Profª A quantidade de água que vai ser disponibilizada será suficiente O outro grupo disse que poderia ser mais de uma cisterna mas o governo vai fazer isso Aumentar o tamanho da cisterna 89Profª A cisterna deveria ser mais profunda 90Profª E vai ser assim 91Cça 7 Não 92Profª Então vai ser vantagem para quem 93Cça 1 Pro governo 94Profª Vai ser vantajoso para o governo Para que tipo de família vai ser 149 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO vantagem 95Cça 3 Vai ter que economizar bastante ou então viver como estava vivendo antes 96Profª Como é que estava vivendo antes 97Cça 4 Sem cisternas ou então andando quilômetros para achar água 98Cça 5 Ô Pró referindose a à professora Podia economizar para dar 99Cça 6 Se as pessoas evitassem dar descarga na cisterna economizariam essa água aí vai dar para a pessoa gastar um pouco mais de água com ela própria 100Profª Para vocês é vantagem não é 101Cça Estão dizendo que não é vantajoso se forem 8 pessoas pra 16000 litros e ainda economizando 20 litros referindose à caixa de descarga de água utilizada em banheiros 102Profª Com a descarga vai economizar 103Cça Olha Pró também é vantajoso porque algumas pessoas economizam na hora de tomar banho a água pra poder sobrar na cisterna 104Profª Como é que economiza essa água Vocês fazem isso em casa 105Cça E um balde de água dá para tomar banho tranquilamente e gasta pouca água 106Profª Então vai estabelecer o critério de quantidade de água Nas falas acima as crianças concluíram que a capacidade de armazenamento da cisterna não supre a necessidade de consumo das famílias do semiárido que são compostas de 7 sete integrantes Isso porque o consumo mensal das famílias das crianças foi de no mínimo 8000 mil litros para 4 quatro membros e a capacidade de água em média que uma cisterna pode armazenar foi planejada para o consumo nos períodos de seca nordestina ou seja mais de 1 um mês Por outro lado as crianças também identificaram benefícios como a obtenção de água potável e mais saudável bem como o fim de grandes esforços físicos para a busca de água em açudes e rios freqüentemente muito distantes da residência das pessoas que vivem na região do semiárido e de qualidade questionável Diante das vantagens sobre a construção de cisternas as crianças fizeram sugestões para sanar os pontos que consideraram negativos como a insuficiência da capacidade de água armazenada pelas cisternas Algumas sugeriram a construção de cisternas maiores 99 outras apontaram para a necessidade de construção de 2duas e não apenas uma cisterna 100 enquanto que a economia de água pelas famílias que receberem as cisternas foi apontada como uma outra solução para a pouca capacidade de armazenamento de água 112 As respostas finais dos estudantes ao questionamento inicial da professora demonstram que os mesmos analisaram o número de pessoas de uma família do semiárido como uma variável que compõem o modelo matemático que representa a capacidade total de água que pode ser armazenada na cisterna 150 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE Também concluíram que esse número de pessoas ao ter como comparação os gastos de uma família da zona urbana que possui em média 4 quatro integrantes fez com que a capacidade total de água a ser armazenada pela cisterna seja insuficiente para o consumo das famílias da zona rural Esta conclusão das crianças destoa da apresentada pelos dados governamentais oficiais sobre a construção de cisternas5 os quais afirmam que a capacidade total é suficiente para as necessidades básicas das famílias durante o período de seca que dura em média 9 nove meses ao ano Mas que padrão de consumo de água os órgãos governamentais utilizaram para a estipulação da capacidade de armazenamento das cisternas construídas para sanar a dificuldade de água da população nordeste durante o período de seca Naturalmente os órgãos governamentais utilizaram padrões de comparações diferentes dos padrões utilizados pelas crianças Mais ainda caso a associação de moradores das comunidades beneficiadas tivesse a oportunidade de também construir um modelo matemático que representasse a capacidade de água das cisternas talvez uma outra capacidade total seria encontrada e solicitada aos órgãos governamentais pela associação Assim qual destes modelos matemáticos indicaria a capacidade de água que supriria verdadeiramente as necessidades das famílias a serem beneficiadas Para essa resposta cada um dos elaboradores do modelo matemático argumentaria que o seu modelo é aquele que melhor se adequaria às necessidades das famílias Isso corrobora a afirmação de que o modelo matemático é uma construção subjetiva pois quem o constrói possui valores e interesses pessoais econômicos políticos sociais BORBA SKOVSMOSE 2001 Nesse sentido as crianças foram capazes de analisar criticamente a presença dos modelos matemáticos na sociedade compreendendo os seus múltiplos vieses A capacidade de água da cisterna por exemplo não foi analisada apenas em termos matemáticos mas de forma relacionada às questões sociais que envolvem os cálculos dessa capacidade como a quantidade de pessoas nas famílias a serem beneficiadas o tempo médio de duração do período de Seca a finalidade do uso da água pelas famílias doméstico eou plantação a garantia de hábitos de higiene e outros A tematização destas questões na sala de aula pela professora permitiu que as crianças construíssem relações entre a Matemática e a Sociedade por meio da análise do papel dos modelos matemáticos nos debates sociais ainda que o modelo matemático nesse caso a capacidade de água da cisterna não tenha sido explicitamente nominado para as crianças pela 5 BRASIL Construção de cisternas avança no semiárido Ministério de Desenvolvimento Social 2008 Disponível em http wwwmdsgov brascomrevistasmdscisternashtm Último acesso em 07 abr 2008 151 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO professora Na sociedade os modelos matemáticos presentes nos argumentos e nas tomadas de decisões também nem sempre são explicitamente demonstrados como por exemplo nos trechos das notícias o projeto que estabelece o sistema de cotas nas universidades voltou a ser discutido FALCÃO 2009 o preço médio da cesta básica diminuiu em março na comparação com fevereiro em 15 das 17 capitais pesquisadas pelo Departamento Intersindical de Estatísticas e Estudos Socioeconômicos AGÊNCIA ESTADO 2009 Portanto incluir reflexões sobre a presença e o papel dos modelos matemáticos na sociedade é uma importante ação a ser realizada na escola pois assim os alunos têm a oportunidade de destituir a ideologia da certeza BORBA SKOVSMOSE 2001 dos argumentos matemáticos para a qual não há nem explicitação do modelo matemático e tampouco a subjetividade que compõe a sua elaboração No caso das séries iniciais o debate sobre a presença dos modelos matemáticos na sociedade não visa destituir a ideologia da certeza e apresentar outra concepção de Matemática conforme sugerem os autores acima IDEM 2001 Nesse nível de ensino as crianças terão a oportunidade de já formar uma concepção de Matemática como uma Ciência não neutra e imbricada por fatores sociais econômicos políticos e pessoais Estudos apontam que é justamente nos primeiros anos de escolaridade que as crenças sobre a Matemática são freqüentemente consolidadas MAAß 2005 HANNULA 2006 Além disso a ação de mudar crenças tem sido relatado pela literatura como uma ação difícil e complexa pois tratase de um afeto estável HANNULA 2006 Portanto incluir a Modelagem nas séries iniciais possibilita que as crianças consolidem suas crenças sobre a Matemática em perspectiva sóciocrítica ainda nos primeiros de escolaridade Isso permite que se formem ideologias sóciocríticas sobre a Matemática ou seja que compreendam que a Matemática tem relações com diversos setores e decisões na sociedade Por fim podemos afirmar que para a consolidação dessas crenças o professor tem um importante papel Nos diálogos apresentados acima observamos que a professora buscou freqüentemente manter a aula pautada na investigação estimulando as opiniões e idéias dos alunos sobre a temática em debate MODELAGEM NAS SÉRIES INICIAIS REFLEXÕES CONCLUSIVAS Este artigo teve como propósito compreender como os alunos das séries iniciais do 152 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE Ensino Fundamental podem analisar de forma crítica o papel dos modelos matemáticos em debates sociais por meio da Modelagem Matemática Justificamos essa pesquisa pelo relato da literatura em relação à postura de passividade dos alunos no ambiente de Modelagem buscando respostas matemáticas exatas e únicas apresentando resistência a uma postura investigativa e a se tornarem o centro do processo de ensino Deste modo alguns pesquisadores como Maaß 2005 sugerem que a Modelagem seja implementada nos primeiros anos de escolaridade dos alunos a fim de que os alunos modifiquem as suas crenças anteriores sobre a Matemática ser uma ciência objetiva e inquestionável Porém as poucas pesquisas existentes que foram realizadas com Modelagem neste nível de ensino limitamse a abordar apenas as competências matemáticas e habilidades para desenvolver as etapas do processo de modelagem interpretação e validação por exemplo que a inserção da Modelagem neste nível pode proporcionar Assim este artigo abordou a inclusão da Modelagem nas séries iniciais com outro propósito o de favorecer com que os alunos estabeleçam relações entre a Matemática e a Sociedade em particular analisando o papel dos modelos matemáticos na sociedade Este enfoque sugere que as crenças das crianças sobre a Matemática podem ser consolidadas sob outro prisma a de que a Matemática não é uma ciência neutra conforme transparece freqüentemente nos argumentos e debates sociais pautados em matemática Ao contrário a Matemática é influenciada por questões sociais políticas e econômicas como também as influencia Neste artigo esse olhar sobre a Matemática foi realizado por meio da observação de um estudo com a temática a construção de cisternas no semiárido baiano no qual as crianças puderam analisar os aspectos sociais econômicos higiênicos entre outros que devem ser considerados para estipular matematicamente a capacidade de água que uma cisterna deve acumular para suprir as necessidades das famílias a serem beneficiadas Para o alcance desses objetivos a prática educativa da professora foi decisiva pois a mesma estimulou e suscitou debates e questionamentos entre os alunos mantendo um ambiente de aprendizagem pautado na investigação e na problematização Assim se objetivamos criar condições para a formação de indivíduos com a percepção da Matemática como construção humana e portanto subjetiva contextual e situada a inserção de temáticas como a apresentada acima deve ser estimulada no contexto escolar logo nos 153 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO primeiros anos de escolaridade Dessa forma entendemos que é na escola que os alunos podem analisar criticamente a presença da matemática nos argumentos e debates sociais discutir e perceber que conteúdos matemáticos estão presentes nestes argumentos que variáveis sociais estão em pauta e assim propor soluções matemáticas relacionadas a partir de então às mais diversas questões que envolvem a situaçãoproblema Diante dessas questões a presente pesquisa sugere o agendamento de novos estudos sobre a inserção da Modelagem nas séries inicias como Qual o impacto da Modelagem nas crenças dos alunos das séries iniciais Quais as especificidades do desenvolvimento da Modelagem neste nível de ensino Face ao exposto como agirão no futuro essas crianças cientes a respeito das relações entre a Matemática e sociedade nas tomadas de decisões pautadas em argumentos matemáticos Não podemos precisar Mas certamente estas decisões podem não mais ser obscurecidas pela crença da Matemática da certeza e da objetividade REFERÊNCIAS ADLER P A ADLER P Observational techniques In DENZIN N K LINCOLN Y S Handbook of qualitative research Thousand Oaks Sage 1994 p377392 AGENCIA ESTADO Dieese cesta básica cai em 15 de 17 capitais em março Jornal Atarde online Salvador 01 abr 2009 Disponível em httpwwwatardecombr economianoticiajsfid1118300Último acesso em 29 abr 2009 ALVES MAZZOTTI AJ O método nas Ciências Sociais In ALVESMAZZOTTI AJGEWANDSZNAJDER F O método nas Ciências Naturais e Sociais pesquisa quantitativa e qualitativa SP Pioneira 1998 p107188 ARAÚJO JL BARBOSA JC Face a face com a modelagem matemática como os alunos interpretam essa atividade Bolema v18 n 23p 7995 2005 ARAÚJO J L Educação matemática crítica Belo Horizonte Argvmentvm 2007 BAHIA Orientações Curriculares Estaduais para o Ensino Médio Secretaria da Educação Salvador 2005 BARBOSA J C Modelagem Matemática concepções e experiências de futuros professores 253 f Tese Doutorado em Educação Matemática Instituto de Geociências e Ciências Exatas Universidade Estadual Paulista Rio Claro 2001 Modelagem Matemática na sala de aula Perspectiva Erechim RS v 27 n 98 p 6574 jun 2003 154 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE Teacherstudent interations in mathematical modelling In HAINES C GALBRAITH P BLUM W KHAN S Org Mathematical Modelling education engineering and economics 1 ed Chichester Horwood Publishing v único p 232240 2006 BASSANEZI R C Ensinoaprendizagem com Modelagem Matemática São Paulo Contexto 2002 BIEMBENGUT M S HEIN N Modelagem Matemática no ensino São Paulo Contexto 2003 BIEMBEMGUT S M Modelling and applications in primary education In BLUM et al ICMI Study 14 applications and modelling in mathematics education discussion document 2007 p 451456 BOGDAN R BIKLEN S Investigação qualitativa em educação Porto Porto Editora 1994 BORBA MC SKOVSMOSE O In SKOVSMOSE O Educação Matemática Crítica a questão da democracia São Paulo Papirus 2001 p127148 BRASIL Orientações Curriculares para o Ensino Médio Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias MECSEB Brasília 2006 BUENO VC Modelagem Matemática e ensino de funções uma experiência com alunos da 8ª série do ensino fundamental In CONFERÊNCIA NACIONAL DE MODELAGEM MATEMÁTICA 5 2007 Belo Horizonte Anais Ouro preto 2007 1 CDROM BURAK D Modelagem Matemática ações e interações no processo de ensinoaprendizagem Campinas Tese Doutorado UNICAMPFE 1992 Modelagem matemática experiências vividas In CONFERÊNCIA NACIONAL DE MODELAGEM MATEMÁTICA 4 2005 Feira de Santana Anais Feira de Santana 2005 1 CDROM BURAK D KLÜBER TE Modelagem Matemática no contexto da Educação Matemática aspectos filosóficos e epistemológicos152 f Dissertação Mestrado em Educação Programa de PósGraduação em Educação da Universidade Estadual de Ponta Grossa Ponta Grossa 2007 CALDEIRA A D A Modelagem Matemática e suas relações com o currículo In CONFERÊNCIA NACIONAL DE MODELAGEM MATEMÁTICA 4 2005 Feira de Santana Anais Feira de Santana 2005 1 CDROM CALDEIRA AD Etnomatemática e suas relações com a educação matemática na infância In BARBOSA J C CALDEIRA A D ARAÚJO J L Org Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira pesquisas e práticas educacionais Recife SBEM 2007 p81 98 155 ANA VIRGINIA DE A LUNA ELIZABETH G SOUZA ANA RITA CERQUEIRA M SANTIAGO ENGLISH LD e WATTERS J Mathematical Moddelling with 9yearsolds CHICK HL E VICENT JL In Proceeding of the 29th Conference of the Internacional Group for the psychology of Mathematics Education vol2 p 297304 Melbourne PME 2005 FALCÃO M Em audiência pública ministro defende cotas em universidades e descarta conflito racial Jornal Folha Online Brasília 01 abr 2009 Disponível em httpwww1folhauolcombrfolhaeducacaoult305u544044shtml Último acesso em 29 abr 2009 FERREIRA DHL WODEWOTZKI MLL Questões ambientais e Modelagem Matemática uma experiência com alunos do ensino fundamental In BARBOSA J C CALDEIRA A D ARAÚJO J L Org Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira pesquisas e práticas educacionais Recife SBEM 2007 p115132 FRANCHI R H de O L A Modelagem Matemática como Estratégia de Aprendizagem no Cálculo Diferencial e Integral nos Cursos de Engenharia Rio Claro148 f DissertaçãomestradoUniversidade Estadual Paulista 1993 JACOBINIOR A modelagem matemática como instrumento de ação política na sala de aula Rio Claro 225 f TeseDoutorado Instituto de Geociências e Ciências Exatas Universidade Estadual Paulista2004 HANNULA M S Affect in mathematical thinking and learning towards integration of emotion motivation and cognition In MAASZ J SCHLOEGLMAN W Eds New mathematics education research and practice Rotterdam Sense 2006 p 209234 LAMON SJ Modelling in Elementar School Helping Young Students to See the World mathematically In LAMON SJ PARKER WILLARD AP HOSTON KEN Org Mathematical Modelling a way of life ICTMA 11 Horwood Publising Chichester 2003 p 19 33 LUNA AVA ALVES J Modelagem Matemática as interações discursivas de crianças da 4ª série a partir de um estudo sobre anorexia InCONFERÊNCIA NACIONAL DE MODELAGEM MATEMÁTICA 5 2007 Belo Horizonte Anais Ouro preto 2007 1 CD ROM LUNA AVA SANTIAGO ARCM Modelagem Matemática um estudo sobre a mudança dos planos de telefonia In ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9 2007 Belo Horizonte AnaisBelo Horizonte Sociedade Brasileira de Educação Matemática 2007 1 CDROM MAABK Barriers and opportunities for the integration of modelling in mathematics classes results of an empirical study Teaching Mathematics and Its Application v24 n 23 p 6174 2005 SANTOS LMM BISOGNIN V Experiências de ensino por meio da Modelagem Matemática na educação fundamental In BARBOSA J C CALDEIRA A D ARAÚJO J L Org Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira pesquisas e práticas educacionais Recife SBEM 2007p 99114 156 A MODELAGEM MATEMÁTICA NAS SÉRIES INICIAIS O GÉRMEN DA CRITICIDADE SKOVSMOSE O Educação Matemática Crítica a questão da democracia São Paulo Papirus 2001 Desafios e reflexão em Educação Matemática Crítica São Paulo Papirus 2008 VERSCHAFFEL L DE CORTE ERIK Teaching realistic mathematical modelling in the elementary school a teaching experiment with fifth graders Journal for Research in Mathematics Education v 24 n 5 p 577 601 1997 Ana Virginia de Almeida LunaGraduada em Pedagogia pela Universidade Estadual de Feira de Santana e Matemática pela Faculdade de Tecnologia e Ciências Ba Mestre em Educação Especial área de concentração Matemática pela Universidade Estadual de Feira de Santana UEFS CELAEE CUBA Especialista em Educação Matemática UCSAL Doutoranda do Programa de PósGraduação em Ensino Filosofia e História das Ciências da Universidade Federal da Bahia UFBA e da Universidade Estadual de Feira de Santana UEFS Atualmente membro do Núcleo de Pesquisas em Modelagem Matemática NUPEMM da UEFS Coordenadora do Núcleo de Educação Matemática de Feira de Santana NEEMFS da Sociedade Brasileira de Educação Matemática Bahia SBEMBA Professora do Departamento de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Feira de Santana e Diretora Pedagógica da Escola DespertarBa Tem experiência na área de Educação Matemática com ênfase em Modelagem Matemática e Formação Docente Elizabeth Gomes SouzaDoutoranda 2008 do Programa de PósGraduação em Ensino Filosofia e História das Ciências da Universidade Federal da Bahia e Universidade Estadual de Feira de Santana É Mestre em Educação Matemática Abril2007 pela Universidade Federal do Pará onde graduouse em Licenciatura Plena em Matemática 2004 É atualmente integrante do Núcleo de Pesquisas em Modelagem Matemática NUPEMMUEFS sendo anteriormente integrante do grupo de pesquisa em Modelagem Matemática no Ensino UFPA NPADC Nesse momento desenvolve pesquisas sobre as discussões matemáticas geradas em um ambiente de Modelagem Matemática e também estudos sobre as implicações da organização escolar em Ciclos para a materialização da Modelagem Matemática na perspectiva da Educação Matemática Ana Rita Cerqueira Melo SantiagoGraduada em Pedagogia pela Universidade Estadual de Feira de Santana Pósgraduada em Psicopedagogia Clínica Hospitalar e Institucional pela Faculdade Católica de Ciências Econômicas da Bahia Coordenadora pedagógica do Ensino Fundamental na Escola Menino Jesus de Praga Assessora Pedagógica da Prefeitura Municipal de Conceição do Jacuípe e Professora do Ensino Fundamental da Escola Despertar em Feira de Santana 157