Introdução ao Cálculo Diferencial

Introdução ao cálculo dIferencIal Introdução ao cálculo diferencial2011indd 1 20022011 100322 UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS Reitor Clélio Campolina Diniz ViceReitora Rocksane de Carvalho Norton PróReitoria de Graduação PróReitora Antônia Vitória Soares Aranha PróReitor Adjunto André Luiz dos Santos Cabral Diretor do CAED Fernando Fidalgo Coordenador da UABUFMG Wagner José Corradi Barbosa Coordenador Adjunto UABUFMG Hormindo Pereira de Souza Júnior EDITORA UFMG Diretor Wander Melo Miranda ViceDiretor Roberto Alexandre do Carmo Said Conselho Editorial Wander Melo Miranda presidente Flavio de Lemos Carsalade Heloisa Maria Murgel Starling Márcio Gomes Soares Maria das Graças Santa Bárbara Maria Helena Damasceno e Silva Megale Paulo Sérgio Lacerda Beirão Roberto Alexandre do Carmo Said Introdução ao cálculo diferencial2011indd 2 20022011 100336 Márcia Maria Fusaro Pinto Grey ercole Introdução ao cálculo dIferencIal Belo Horizonte editora uFMG 2009 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 3 20022011 100336 COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO DE TEXTOS DE MATEMÁTICA Dan Avritzer ASSISTÊNCIA EDITORIAL Euclídia Macedo EDITORAÇÃO DE TEXTOS Maria do Carmo Leite Ribeiro REVISÃO E NORMALIZAÇÃO Lira Córdova REVISÃO DE PROVAS Beatriz Trindade Cláudia Campos Renata Passos e Renilde Silveira PROJETO GRÁFICO Eduardo Ferreira FORMATAÇÃO E CAPA Sérgio Luz PRODUÇÃO GRÁFICA Warren Marilac IMPRESSÃO Imprensa Universitária da UFMG Editora UFMG Av Antônio Carlos 6627 Ala direita da Biblioteca Central Térreo Campus Pampulha 31270901 Belo Horizonte MG Tel 55 31 34094650 Fax 55 31 34094768 wwweditoraufmgbr editoraufmgbr 2009 Os autores 2009 Editora UFMG 2011 reimpressão Este livro ou parte dele não pode ser reproduzido por qualquer meio sem autorização escrita do Editor Pinto Márcia Maria Fusaro Introdução ao cálculo diferencial Márcia Maria Fusaro Pinto Grey Ercole Belo Horizonte Editora UFMG 2009 205 p il Educação a Distância Inclui referências ISBN 9788570417602 1 Cálculo diferencial Estudo e ensino I Ercole Grey II Título III Série CDD 5153 CDU 5172 P659i Elaborada pela DITTI Setor de Tratamento da Informação Biblioteca Universitária da UFMG PrÓrEitoria dE GradUaÇÃo Av Antônio Carlos 6627 Reitoria 6º andar Campus Pampulha 31270901 Belo Horizonte MG Tel 55 31 34094054 Fax 55 31 34094060 wwwufmgbr infoprogradufmgbr educacaoadistanciaufmgbr Este livro recebeu o apoio financeiro da Secretaria de Educação a Distância do MEC Introdução ao cálculo diferencial2011indd 4 20022011 100336 Os Cursos de Graduação da UFMG modalidade a distância foram concebidos tendo em vista dois princípios fundamentais O primeiro se refere à democratização do acesso à educação superior o segundo consiste na formação de profissionais de alto nível comprometidos com o desenvolvimento do país A coletânea da qual este volume faz parte visa dar suporte aos estu dantes desses cursos Cada volume está relacionado com um tema eleito como estruturante na matriz curricular Ele apresenta os conhecimentos mínimos que são considerados essenciais no estudo do tema Isto não significa que o estudante deva se limitar somente ao estudo do volume Ao contrário ele é o ponto de partida na busca de um conhecimento mais amplo e aprofundado sobre o assunto Nessa direção cada volume apresenta uma bibliografia com indi cação de obras impressas e obras virtuais que deverão ser consul tadas à medida que se fizer necessário Cada volume da coletânea está dividido em aulas que consistem em unidades de estudo do tema tratado Os objetivos apresentados em cada início de aula indicam as competências e habilidades que o estudante deve adquirir ao término de seu estudo As aulas podem se constituir em apresentação reflexões e indagações teóricas em experimentos ou em orientações para atividades a serem realizadas pelos estudantes Para cada aula ou conjunto de aulas foi elaborada uma lista de exer cícios com o objetivo de levar o estudante a avaliar o seu progresso e a desenvolver estratégias de metacognição ao se conscientizar dos diversos aspectos envolvidos em seus processos cognitivos Essa lista auxiliará o estudante a tornarse mais autônomo responsável crítico capaz de desenvolver sua independência intelectual Caso ela mostre que as competências e habilidades indicadas nos objetivos não foram alcançadas o aluno deverá estudar com mais afinco e atenção o tema proposto reorientar seus estudos ou buscar ajuda dos tutores professores especialistas e colegas Agradecemos a todas as instituições que colaboraram na produção desta coletânea Em particular agradecemos às pessoas autores coordenador da produção gráfica coordenadores de redação dese nhistas diagramadores revisores que dedicaram seu tempo e esforço na preparação desta obra que temos certeza em muito contribuirá para a educação brasileira Maria do Carmo Vila Coordenadora do Centro de Apoio à Educação a Distância UFMG Introdução ao cálculo diferencial2011indd 5 20022011 100336 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 6 20022011 100336 Sumário Apresentação 11 Aula 1 Taxa de variação instantânea derivada e reta tangente a gráficos 13 1 Introdução 13 2 Exemplo a velocidade instantânea 13 3 Taxa de variação instantânea 16 4 A derivada de uma função 17 5 Interpretando geometricamente 19 6 Exercícios 21 7 Referência 21 Aula 2 A função derivada 23 1 Introdução 23 2 A função derivada 23 3 Calculando a função derivada 25 4 Derivada de multiplicação de uma função por constante 27 5 Calculando a derivada de soma de funções 28 6 Exemplo derivada de uma função polinomial qualquer 28 7 Exercícios 29 8 Referência 30 Aula 3 Limites 31 1 Introdução 31 2 Limites de funções 31 3 Propriedades de limites 34 4 Exemplos utilizando as propriedades de limites 34 5 Limites de funções polinomiais 35 6 Limites de funções racionais 35 7 Teorema do Confronto 37 8 Exercícios 39 9 Referências 39 Aula 4 Cálculo de limites 41 1 Introdução 41 2 Limites laterais 41 3 Assíntotas verticais 44 4 Oscilações 49 5 Exercícios 50 6 Referências 51 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 7 20022011 100336 Aula 5 Continuidade 53 1 Introdução 53 2 Continuidade 53 3 Determinando pontos onde f é contínua 55 4 Continuidade de somas produtos e quocientes de funções 56 5 Continuidade de funções compostas 57 6 Continuidade de funções que têm derivada 58 7 A propriedade do valor intermediário 58 8 Exercícios 60 9 Referências 60 Aula 6 Identificando assíntotas horizontais 61 1 Introdução 61 2 Identificando assíntotas 61 3 Limites de funções racionais 65 4 Síntese da discussão para funções racionais 67 5 Exercícios 68 6 Referências 68 Aula 7 Regras de derivação produto e quociente 69 1 Introdução 69 2 Regra de derivação produto de duas funções 70 3 Regra de derivação quociente de duas funções 74 4 Resumo das regras de derivação 76 5 Exercícios 76 6 Referência 77 Aula 8 Derivadas de funções trigonométricas e exponenciais 79 1 Introdução 79 2 Derivadas das funções trigonométricas 79 3 Derivada da função exponencial 84 4 Exercícios 86 Aula 9 A Regra da Cadeia 89 1 Introdução 89 2 Exemplo movimento harmônico 89 3 Exemplo consumo de combustível 90 4 Comparando taxas de variação 91 5 Enunciado da Regra da Cadeia 92 6 Utilizando a Regra da Cadeia 92 7 Exercícios 97 8 Referências 98 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 8 20022011 100336 Aula 10 Diferenciais e derivadas de funções implícitas 99 1 Introdução 99 2 Diferenciais 99 3 Derivadas de funções implícitas 104 4 Exercícios 108 5 Referências 108 Aula 11 Derivada da função inversa 109 1 Introdução 109 2 Exemplo a derivada das funções logarítmicas 110 3 Exemplo derivada das funções trigonométricas inversas 112 4 A derivada da função inversa 116 5 Exercícios 117 6 Referências 117 Aula 12 Taxas relacionadas 119 1 Introdução 119 2 Exemplos de problemas sobre taxas relacionadas 119 3 Exercícios 125 4 Referências 125 Aula 13 Máximos e mínimos 127 1 Introdução 127 2 Valores máximos e mínimos absolutos 127 3 Valores máximos e mínimos locais 129 4 Critérios para determinar máximos e mínimos locais 131 5 O teste da derivada primeira 134 6 Exercícios 138 7 Referências 138 Aula 14 Derivadas de ordem superior 139 1 Introdução 139 2 Exemplo derivando mais de uma vez 139 3 Derivadas de ordem superior 140 4 O significado da derivada segunda 142 5 Pontos de inflexão 145 6 O teste da derivada segunda 147 7 Exercícios 148 8 Referências 149 Aula 15 Traçando gráficos 151 1 Introdução 151 2 Roteiro para o traçado de gráficos 151 3 Exemplos 153 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 9 20022011 100337 4 Exercícios 159 5 Referências 159 Aula 16 Formas indeterminadas e Regra de LHôpital 161 1 Introdução 161 2 Regra de LHôpital 162 3 Exemplos 164 4 Outras formas indeterminadas 167 5 Exercícios 168 Aula 17 Ainda traçando gráficos 171 1 Introdução 171 2 Exemplos 171 3 Exercícios 178 4 Referências 179 Aula 18 Problemas de otimização 181 1 Introdução 181 2 Máximos e mínimos absolutos em intervalos fechados 182 3 Máximos e mínimos absolutos em intervalos não fechados 186 4 Exercícios 187 Aula 19 O Teorema do Valor Médio 191 1 Introdução 191 2 O Teorema de Rolle 191 3 O Teorema do Valor Médio 193 4 O Teorema do Valor Médio sob outro olhar 197 5 Exercício 198 6 Referências 198 Aula 20 Duas consequências do Teorema do Valor Médio 199 1 Introdução 199 2 Os testes da derivada primeira e da derivada segunda 199 3 Teorema da diferença constante 203 4 Exercícios 205 5 Referências 205 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 10 20022011 100337 apresentação Este livro dá continuidade ao conteúdo apresentado em Introdução ao Estudo das Funções No primeiro livro estudamos funções reais de variáveis reais relacionandoas a fenômenos que elas modelam Iniciamos uma discussão sobre variação e taxas de variação de tais funções Aqui vamos prosseguir o estudo das ideias e técnicas que compõem a área do conhecimento nomeada Cálculo Diferencial Essa área dá sustentação teórica ao estudo de funções do ponto de vista da Mate mática possibilitando aprofundar nosso entendimento sobre os fenô menos da realidade e ainda sobre a própria Matemática Escrevemos este livro especialmente para a disciplina de Cálculo do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal de Minas Gerais UFMG na modalidade a distância Sabemos que existem vários outros materiais e livros que abordam esse conteúdo inclusive para cursos a distância No entanto sentimos a necessidade de elaborar um material que estivesse em sintonia com o que acre ditamos ser essencial para um curso que se pretende ser oferecido a distância e que auxiliasse para o crescimento do aluno do curso de Licenciatura em Matemática em sua escolha e atuação profissional futura como professor de Matemática A nossa experiência se construiu como professores de cursos presen ciais e a distância e a partir da pesquisa no campo da Educação Mate mática em especial no uso de tecnologias na Educação Matemática Na Educação a Distância atuamos como professores e tivemos ainda contato com outros profissionais que atuam há mais tempo na área Retomamos a experiência anterior com a produção de materiais no Curso de Química a Distancia buscando melhorála Mantivemos a decisão que foi tomada naquele momento sobre o estilo e linguagem formato do texto e ordem de apresentação das principais ideias do conteúdo que vamos estudar Agradecemos em especial às autoras do texto Cálculo I do curso de Licenciatura em Química pela intensa participação em discussões das quais resultaram as linhas gerais para a construção deste texto Nossa opção é por não nos restringirmos à linguagem matemática formal estando contudo atentos ao rigor nas definições matemáticas e construção dos argumentos ao justificar proposições e teoremas Pelo fato de termos aberto mão do poder de síntese da linguagem matemá tica nosso texto ficou longo Mesmo assim optamos por esse estilo porque acreditamos que a introdução precoce de uma linguagem pura mente técnica pode resultar numa ênfase em manipulação simbólica em detrimento das discussões conceituais que achamos importantes e que queremos proporcionar aos alunos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 11 20022011 100337 Procuramos ainda desenvolver o texto a partir de exemplos seguidos da sistematização dos resultados num movimento de teorização a partir de experiências que esperamos ter proporcionado aos alunos Buscamos sempre que possível representar as noções por meios visuais propondo ao leitor explorar gráficos e figuras como oportuni dade para diversificar as representações dos conceitos Apresentamos também exemplos de situações do nosso dia a dia e em outras ciên cias modelandoos matematicamente para um dentre os possíveis entendimentos dos fenômenos ou proposição de soluções Partindo desses exemplos e de diferentes representações buscamos estabelecer relações e assim construir os conceitos matemáticos enfatizando no texto o estudo destes últimos Em síntese pensamos em elaborar este texto de modo a desvelar uma noção mais ampla de conhecimento matemático e atender aos leitores que não terão um professor ao seu lado para explicar a matéria Temos a expectativa de que estudando exemplos e diversas representações de um mesmo conceito o aluno compreenda melhor do que se trata o conteúdo e familiarizese com ele Sem descuidar dos momentos de síntese teórica buscamos estabelecer relações e generalizar situações contribuindo para que o entendimento do aluno não fique restrito a experiências com inúmeros exemplos e técnicas algébricas que ele não consegue relacionar Esse movimento a partir de experiências e de modelagem de fenô menos no sentido de uma maior teorização é o fio condutor da estru tura deste livro Nas duas aulas iniciais retomamos as noções de taxa de variação média e instantânea já estudadas e definimos a noção de derivada Os conceitos de limite e continuidade são explorados nas quatro aulas subsequentes como instrumentos para estabelecermos as regras de derivação Essas últimas são apresentadas em três aulas que incluem a Regra da Cadeia importante para a derivação de funções compostas A seguir ocupamonos com algumas aplicações do conceito de derivada contemplando a ideia de linearização de funções em inter valos contendo pontos de seu domínio traçado de gráficos de funções obtidas por meio das estudadas até então problemas de otimização e determinação de taxas de variação desconhecidas a partir de suas relações com taxas conhecidas Finalizamos o texto com o enunciado do Teorema do Valor Médio e duas consequências já anunciando o tema do próximo livro que é o estudo de Integrais Esperamos que ao longo deste nosso encontro discutindo os conceitos e aprendendo técnicas para resolução de problemas surjam novas ideias e propostas para melhorar ainda mais o diálogo que este livro busca proporcionar Os autores Introdução ao cálculo diferencial2011indd 12 20022011 100337 AULA 1 Esta aula se constrói a partir da apresentada no livro Cálculo I para o curso de Licenciatura em Química a Distância com o conhecimento e de acordo das autoras daquele texto 2 A velocidade média é apresentada no livro Introdução ao estudo das funções como caso clássico do conceito de taxa média de variação de P correspondente à variação de t em um dado intervalo a b Confira essa noção retomando a Aula 2 e o exemplo 23 daquele texto 1 taxa de variação instantânea derivada e reta tangente a gráficos1 ObjETIVOS Introduzir os conceitos de taxa de variação instantânea e de derivada Interpre tar geometricamente as noções introduzidas Definir reta tangente ao gráfico de 1 Introdução Nesta primeira aula abordamos o conceito de taxa média de variação e estudamos uma proposta para definir as noções de taxa de variação instantânea e de reta tangente ao gráfico de uma função Sistematizamos a discussão definindo derivada Essa última é um dos instrumentos matemáticos centrais na construção da teoria do cálculo Iniciamos com a discussão de um exemplo 2 eXeMPlo a VelocIdade InStantÂnea A noção de taxa média de variação já é nossa conhecida Vamos retomá la a partir de um problema que já estudamos em que calculamos a velocidade média de um objeto em movimento2 Nosso objetivo ao revisitar o exemplo é o de iniciar a discussão sobre velocidade em um instante estudando propostas para estimála 21 exemplo velocidade média e taxa média de variação Um objeto se move ao longo de uma linha reta de modo que sua posição em relação ao ponto de partida após t minutos é 6 2 2 t t s t p Introdução ao cálculo diferencial2011indd 13 20022011 100337 14 Introdução ao cálculo dIferencIal A taxa média de variação de p é calculada dividindo a variação p da distância pela variação de tempo t Por exemplo no intervalo de tempo de 3 a 5 min a velocidade média ou taxa média de variação do objeto em movimento é igual a Podemos propor esse valor da velocidade média como uma aproxi mação da velocidade do objeto no instante t 3 min Mas o que pode ríamos fazer para buscar uma estimativa melhor Uma primeira ideia pode ser considerar intervalos de tempo menores tendo 3 como seu extremo esquerdo obtendo aproximações melhores para a velocidade instantânea do objeto no instante 3min a partir do cálculo das velocidades médias É o que faremos a seguir 22 exemplo estimando a velocidade instantânea A proposta é então a de calcular as velocidades médias do objeto ou as taxas médias de variação da função s em intervalos de tempo cada vez menores3 Observe que usamos valores da velocidade média do objeto em inter valos que continham o instante t 3 min como aproximações para o valor da velocidade instantânea em t 3 min Na sequência de cálculos que desenvolvemos os valores das taxas médias de variação parecem se aproximar cada vez mais de 4 mmin Em outras palavras à medida que os tamanhos dos intervalos vão se 3 Escolhemos aleatoriamente alguns valores para o extremo direito do intervalo de tal forma que os tamanhos dos intervalos vão diminuindo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 14 20022011 100338 15 aproximando de zero os valores das velocidades médias calculadas nesses intervalos vão se estabilizando em torno de 4 mmin Essa sequência de cálculos corresponde a um processo denominado cálculo de limite4 que será o tema da Aula 4 Voltando ao nosso exemplo podemos propor que a velocidade instan tânea do objeto no instante t 3 vale 4 mmin Na verdade essa é a proposta aceita e adotada Retomando o mesmo processo usado no exemplo podemos definir a velocidade instantânea como a seguir 23 definição A velocidade instantânea de um objeto no instante t é o limite das velocidades médias do objeto calculadas em inter valos de tempo cada vez menores contendo t 24 exemplo cálculo da velocidade instantânea A velocidade instantânea do objeto no exemplo 22 foi calculada nume ricamente para t 3 Vamos retomar esses cálculos usando notação já estudada para generalizar o procedimento Assim seja a expressão do movimento 6 2 2 t t s t p Ao longo do percurso do objeto em um intervalo de t 3 até um tempo posterior h t 3 h 0 vamos escrever a variação de p como 3 3 p h p p e sua taxa média de variação como Veja que expressamos o intervalo em que calculamos a taxa média de variação como h 33 Obtivemos assim uma fórmula e não podemos utilizála no instante exato t 3 porque isso corresponderia a fazer h 0 em sua expressão Isso nos induziria a uma divisão por zero que não é permitida em nosso sistema numérico5 No entanto podemos estimar o que acontece para valores próximos de zero uma vez que para h 0 podemos escrever a igualdade t p h h h h 9 6 2 6 6 9 2 h h h 2 4 h 4 Para cada valor de h 0 a expressão acima t p h 4 corresponde aos valores das velocidades médias calculadas em intervalos h 33 4 Há uma definição em termos matemáticos do conceito de limite Por enquanto vamos trabalhar com esse conceito de forma intuitiva como no exemplo 22 5 Será que a situação será a mesma sempre que discutirmos taxas instantâneas de variação aula 1 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 15 20022011 100339 16 Introdução ao cálculo dIferencIal Tomar os comprimentos dos intervalos se aproximando de zero corres ponde a fazer h ficar muito pequeno e da análise da expressão à direita do sinal de igualdade h 4 percebemos que os valores das veloci dades médias vão se estabilizando em torno de 4mmin quando h se aproxima de zero Como já mencionado esse processo recebe o nome de limite e diremos o limite de t p h 4 quando h se aproxima de 0 é 4 As considerações que fizemos neste exemplo são idênticas para valores negativos de h 3 taXa de VarIação InStantÂnea Os procedimentos que desenvolvemos podem ser generalizados para qualquer função y f x e não apenas para a distância percorrida como função do tempo 31 definição Sejam y f x uma função com domínio D e a D A taxa de variação instantânea de f em a é o limite das taxas médias de variação de f em intervalos cada vez menores contendo a A unidade de medida da taxa instantânea é Para uma função y f x com domínio D e a D podemos trabalhar o conceito seguindo o mesmo roteiro do exemplo anterior escrevemos x a a com x 0 para representar o compri mento dos intervalos contendo a em sua extremidade inferior escrevemos as taxas médias de variação de y correspondente à variação de x no intervalo x a a para x 0 por meio da definição x y x f a x f a A taxa de variação instantânea de f em a é definida como o valor em torno do qual a expressão x y se estabiliza quando x fica muito pequeno Ou seja a taxa instantânea é o limite da expressão x f a x f a quando x fica muito pequeno Introdução ao cálculo diferencial2011indd 16 20022011 100340 17 32 exemplo cálculo da taxa instantânea de y 3t em 2 t De modo semelhante ao dos exemplos anteriores escrevemos o inter valo contendo o ponto t 2 como t 22 A expressão da taxa média de variação se escreve Assim que se estabiliza em 12 quando t fica muito pequeno Em outras palavras neste caso o limite de t y quando t fica próximo de zero é 12 33 observações sobre a notação e a linguagem Veja que no primeiro exemplo escrevemos o intervalo na forma h a a Adotamos x a a e t a a no desenvolvimento dos outros dois Todos esses modos de representar o intervalo são válidos Para o primeiro vamos considerar h ficando próximo de zero no segundo x ficando próximo de zero e no terceiro t ficando próximo de zero Importante é a ideia de que o tamanho do intervalo tende a zero e é claro cuidar em manter a coerência com a escrita adotada A mesma discussão que está sendo feita para valores de x 0 deve ser elaborada para valores de x 0 Como ela é semelhante não a discutiremos aqui Razões por que elas são importantes e devem ser consideradas serão abordadas mais tarde 4 a derIVada de uMa função A taxa de variação instantânea de uma função nos fornece informações a respeito da variação instantânea da função em um ponto Por um lado o valor fx nos dá um retrato da função no ponto x por outro a taxa de variação instantânea nos informa sobre a tendência da função a partir de fx como se fosse uma velocidade de sua variação É possível saber por exemplo se a função está crescendo ou decrescendo nas proximidades daquele ponto e mais que isso a magnitude desse crescimento ou decrescimento Por sua importância este conceito recebe um nome especial aula 1 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 17 20022011 100341 18 Introdução ao cálculo dIferencIal 41 definição Sejam y fx uma função com domínio D e a D A deri vada da função f no ponto a é definida como sendo a taxa instantânea de variação de f em a 42 notação e linguagem Sejam y fx uma função com domínio D e a D A deri vada de f no ponto a é denotada por f a e lemos f linha de a 43 exemplo calculando a f Para a função y x2 vamos calcular f 1 Para isso escrevemos o intervalo 11 x em que vamos considerar as taxas médias de variação da função a expressão da taxa média de variação x x x x f x f x y 2 1 1 1 1 2 f 1 2 porque x x y 2 estabiliza em 2 quando x fica muito pequeno 44 exemplo calculando a derivada de 3 1 x y Como calcular a derivada de 3 1 x f x y no ponto x 4 Consideramos o intervalo x 44 Escrevemos a expressão da taxa de variação média 3 3 1 43 1 3 4 4 4 x x x x x f x f x y Veja que nesse caso as taxas médias são constantes Ou seja estão esta bilizadas no valor 3 em todos os intervalos Dizemos que o limite de x y quando x fica pequeno é 3 Assim para 3 1 x f x y temos 4 3 f Veja que o valor da derivada coincide com a inclinação angular da reta 3 1 y x que é a 3 Esse fato não é uma coincidência e vai ocorrer em todos os pontos do domínio da função y ax b A interpretação geométrica a seguir será importante para entendermos essa questão Introdução ao cálculo diferencial2011indd 18 20022011 100341 19 5 InterPretando GeoMetrIcaMente Até aqui fizemos uma discussão primordialmente numérica e algébrica É importante também representarmos essas ideias geometricamente por nos mostrar outros aspectos relevantes do conceito que estamos estudando 51 Interpretação geométrica da taxa média de variação A B Figura 1 Interpretação geométrica da taxa média de variação A taxa média de variação de y f x no intervalo ab é Veja na Figura 1 que o quociente é o coeficiente angular ou a inclinação da reta que contém os pontos a f a A e b f b B Concluímos O valor da taxa média de variação de y f x quando x varia em ab é igual ao da inclinação da reta que contém os pontos a f a A e b f b B Podemos ainda escrever que O valor da taxa média de variação de y f x quando x varia em ab é igual à inclinação da reta secante6 que contém os pontos a f a A e b f b B 6 Uma reta que contém pelo menos dois pontos do gráfico de uma função é denominada reta secante ao gráfico da função aula 1 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 19 20022011 100342 20 Introdução ao cálculo dIferencIal 52 Interpretação geométrica da derivada ou taxa instantânea de variação Sejam y fx uma função e a um ponto de seu domínio Já sabemos que 1 a derivada de f em a é o limite das taxas médias de variação de f em intervalos contendo a cujos comprimentos tendem a zero e 2 a taxa média de variação de f é a inclinação de uma reta secante a seu gráfico passando por a f a A e b f b B Veja na Figura 2 a representação das secantes por a f a A e b f b B para valores de abscissas b do ponto B cada vez mais próximos de a Observe a sequência de retas secantes que parece se estabilizar numa posição que indicamos por r Sua inclinação que corresponde à taxa instantânea de variação foi definida como a derivada de y f x em x a Definimos a reta r como a reta tangente ao gráfico de f em x a 521 definição A reta r que tem como inclinação o limite das inclinações das retas secantes ao gráfico de f passando pelo ponto A deter minada como descrito acima é denominada reta tangente ao gráfico de f em x a B B B A r Figura 2 Interpretação geométrica da taxa instantânea de variação O valor da derivada da função y fx em x a é igual à inclinação da reta tangente ao gráfico de f em a Introdução ao cálculo diferencial2011indd 20 20022011 100343 21 6 eXercÍcIoS Para cada função abaixo calcule a derivada no ponto indicado desenhe o gráfico da função e a reta tangente ao gráfico da função no ponto indicado a x f x y 1 2 em x 2 b y x2 1 em x 1 c x3 f x y em x 1 d t y 2 em t 0 Ainda calcule as equações das retas tangentes em cada caso nos pontos indicados 7 referÊncIa PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância aula 1 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 21 20022011 100343 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 22 20022011 100343 AULA 1 Esta aula se constrói a partir da apresentada no livro Cálculo I para o curso de Licenciatura em Química a Distância com o conhecimento e de acordo com as autoras daquele texto 2 a função derIVada1 ObjETIVO Definir a função derivada Deduzir regras de derivação Calcular a derivada de uma função polinomial 1 Introdução Até aqui estivemos calculando a derivada de uma função em um ponto específico de seu domínio Nesta aula vamos desenvolver um processo para derivar a função em todos os pontos do domínio em que isto for possível obtendo uma nova função Finalizamos com a dedução intuitiva de regras que irão nos auxiliar a obter a função derivada com maior agilidade 2 a função derIVada 21 definição Seja y f x uma função com domínio D A função derivada de f é a taxa instantânea de variação de f em x para cada ponto x D em que é possível calcular essa taxa Vamos formalizar essa definição de função derivada para tornála operacional Com essa intenção observe a Figura 1 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 23 20022011 100343 24 Introdução ao cálculo dIferencIal fxh fx xh B y x x h A Figura 1 Taxa média de variação de f no intervalo h x x Nela marcamos um valor x arbitrário no eixo Ox e consideramos um pequeno acréscimo h adicionado a x Vamos expressar o cálculo da derivada de f em um ponto x arbitrário como este Para isso escre vemos a expressão da taxa média de variação de y em h x x Em seguida pensamos em como obter a taxa instantânea de variação de y fazemos h tender a zero 22 notações e linguagem O processo de calcular o limite de x y quando h tende a zero é denotado por x y h 0 lim Com a notação de 22 escrevemos 23 definição Seja y f x uma função com domínio D A função deri vada de f denotada por f é definida por f x 0 lim h h f x h f x desde que seja possível calcular o limite Por motivos históricos2 existe mais de uma maneira de denotar a função derivada A escolha entre notações vai depender de como vamos utilizála 2 O Cálculo Diferencial e Integral foi desenvolvido principalmente pelo inglês Isaac Newton e pelo alemão Gottfried Leibniz no século XVII Para obter informações a esse respeito consulte um livro de História da Matemática Introdução ao cálculo diferencial2011indd 24 20022011 100344 25 3 Um raciocínio análogo pode ser feito se considerarmos h negativo e isso deve ser levado em conta 24 notações e linguagem Para y f x uma função com domínio D existem duas maneiras mais adotadas para denotar sua função derivada de f 1 Notação de Newton f x 2 Notação de Leibniz dy d f x dx dx 3 calculando a função derIVada Você verá que embora o conceito de limite seja ainda pouco familiar vamos ser capazes de determinar a função derivada para um número bastante grande de funções discutindo intuitivamente 31 exemplo cálculo da derivada de x2 f x y Para calcular a derivada de x2 f x y escrevemos primeiro a taxa média de variação de f em um ponto x Agora devemos calcular o limite dessa expressão quando h fica bem pequeno Esse é um ponto delicado do cálculo já sabemos que não podemos fazer h 0 na expressão Será que podemos mesmo cancelar o h como fizemos em outros exemplos na aula anterior Aqui também o h é múltiplo do numerador e do denominador na taxa média Para responder a essa questão devemos nos certificar de que h 0 E para isso vamos nos lembrar de como o h surgiu nessa história ele foi um acréscimo dado a x de tal forma que o intervalo h x x fosse bem pequeno Nesse caso em que fazemos os cálculos para o intervalo h x x o que importa mesmo é perceber que nele h 0 Portanto ele pode ser mesmo cancelado no cálculo anterior3 Fazendo h0 na expressão acima obtemos f x f x 0 lim h x h x h f x h x f h 2 lim2 0 aula 2 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 25 20022011 100345 26 Introdução ao cálculo dIferencIal 4 Se você quer estudar um pouco mais sobre os binômios de Newton consulte algum livro do Ensino Médio 5 A lógica dessa expansão é a seguinte ela é uma soma de n 1 monômios do tipo constantepotência de x potência de h as potências de x decrescem de n até 0 a cada monômio as potências de h crescem de 0 até n a cada monômio as constantes são obtidas na n 1ésima linha do Triângulo de Pascal Para os cálculos que realizaremos aqui basta sabermos que a primeira constante é 1 e que a segunda é n Essa última passagem decorre do fato de que quanto mais próximo de 0 estiver o h mais próximo de x 2 estará o 2x h Assim se x2 f x então x x f 2 Em termos do estudo de variações isso significa que para qualquer valor de x a variação instantânea de y bem próximo de x é o dobro do valor de x 32 exemplo a derivada de xn f x y para qualquer valor de n inteiro e positivo Vamos calcular a derivada da função xn f x y para qualquer valor de n inteiro e positivo Como no exemplo anterior escrevemos h x h x h f x h x f x y n n No numerador desse quociente temos o binômio de Newton4 x h n Vamos expandilo a seguir5 x hn xn nxn1h an2xn2h2 a2x2hn2 a1xhn1 a0hn Continuando o cálculo da taxa média de variação Veja que é possível colocar h em evidência já que ele é fator de todos os termos do numerador Isso possibilita reescrever a expressão para simplificála Como h 0 podemos cancelálo no numerador e no denominador e após o cancelamento o único termo que não terá h como fator será o primeiro já que todos os outros tinham uma potência de h maior que 1 em princípio Portanto apenas o primeiro termo não tenderá a zero após o cálculo do limite Assim A resolução deste exemplo estabelece a seguinte proposição 321 Proposição Se xn f x y na qual n é um número inteiro e positivo então Introdução ao cálculo diferencial2011indd 26 20022011 100346 27 6 Você concorda com essa afirmação 33 exemplo derivada de uma função constante Seja y f x c uma função constante De novo vamos começar calculando a taxa média de variação 0 0 h h c c h f x h f x x y Nesse caso ela já resultou em um valor constante que é 0 Portanto 0 f x Esse resultado já era esperado já que variação de uma função constante é mesmo nula não é Demonstramos com este exemplo a seguinte proposição 34 Proposição Se f x c constante então 0 f x 4 derIVada de MultIPlIcação de uMa função Por conStante Para uma função y f x qualquer vamos calcular a derivada da função na qual c é uma constante real A expressão da taxa média de variação é h f x h c f x h f x h f x c h c f x h f x c h g x h x g x y O próximo passo para o cálculo de g x é calcular o limite do quociente anterior quando h 0 Observe que a constante c está multiplicando a taxa média de variação da função f Apesar de não termos demonstrado essa propriedade formalmente é bastante razoável considerarmos que c não influenciará no cálculo do limite dessa última expressão e que o resultado será o produto de c pelo limite do quociente6 0 lim h h f x h f x c h f x h f x c h lim 0 Temos portanto a seguinte proposição 41 Proposição Se c é uma constante e f x é uma função então para todo x no qual f tem derivada aula 2 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 27 20022011 100346 28 Introdução ao cálculo dIferencIal 5 calculando a derIVada de SoMa de funçÕeS Sejam f x e g x duas funções quaisquer Vamos calcular a derivada da soma de f e g isto é vamos derivar a função g x f x S x y Como sempre escrevemos a taxa média de variação Em seguida hora de reorganização podemos reorganizar o numerador do último quociente desta forma O próximo passo para o cálculo de S x é calcularmos o limite quando h 0 Observe que a última expressão obtida é a soma entre as taxas médias de variação de f e de g Apesar de não demonstrarmos essa propriedade formalmente é razoável considerarmos que o limite da soma de duas funções seja igual à soma dos limites de cada uma das funções7 De modo semelhante para a função g x f x D x chegamos a seguinte proposição 51 Proposição Se f x e g x são duas funções então para todo x no qual f e g têm derivada Com as proposições demonstradas aqui você verá que temos condições de calcular a derivada de qualquer função polinomial 6 eXeMPlo derIVada de uMa função PolInoMIal Seja a função polinomial px an xn an1 xn1 a2 x2 a1 x a0 Utilizando a Proposição 51 temos 7 Você concorda com essa afirmação Introdução ao cálculo diferencial2011indd 28 20022011 100348 29 Com a Proposição 41 temos Por fim utilizando as proposições 31 e 21 demonstramos 61 Proposição Se px an xn an1 xn1 a2 x2 a1 x a0 é uma função polinomial então sua derivada é px n an xn1 n1an1 xn2 2a2 x a1 62 exemplo a derivada de Seja 3 2 3 2 p x 34x 3x 42x10 12x 3x 8x10 63 exemplo a derivada de no ponto x 1 No exemplo anterior vimos que Então 7 eXercÍcIoS 1 Utilizando as proposições desta aula calcule as derivadas das seguintes funções polinomiais aula 2 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 29 20022011 100348 30 Introdução ao cálculo dIferencIal 2 Considere uma função quadrática genérica a Calcule q x b Calcule o valor de x para o qual q x 0 c Analise o crescimento e o decrescimento de q supondo que a0 e buscando relacionálo com o sinal da derivada da função 3 Para calcule f x e interprete o resultado geome tricamente Relacione o sinal da derivada com o crescimento e decres cimento da função 8 referÊncIa PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C 2008 Cálculo I Belo Hori zonte Editora UFMG Educação a Distância Introdução ao cálculo diferencial2011indd 30 20022011 100348 AULA 3 limites ObjETIVOS Introduzir o conceito de limite para reescrever e operacionalizar os conceitos de taxa de variação instantânea e derivada Calcular limites 1 Introdução Nas aulas 1 e 2 definimos os conceitos de taxa instantânea de variação de reta tangente e de derivada Encontramos a expressão da derivada da função y xn onde Permeando todo o trabalho um processo foi abordado de forma inteiramente intuitiva o cálculo de limites Para trabalharmos as noções definidas com maior segurança vamos examinar mais atentamente o processo pelo qual determinamos as deri vadas Esse é o tema desta aula 2 lIMIteS de funçÕeS 21 exemplo o processo que uma função representa próximo a um ponto Como descrever o processo representado pela função f x 2 4 4 2 x x x próximo de x 2 Em primeiro lugar verifique que x 2 não pertence ao domínio da função que estamos estudando Fatorando o numerador na expressão de f x podemos escrever f x 2 4 4 2 x x x 2 2 2 x x x 2 para x 2 Então o gráfico da função f x 2 4 4 2 x x x é uma reta excluindo o ponto 02 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 31 20022011 100349 32 Introdução ao cálculo dIferencIal Mesmo que 02 não esteja no gráfico da função os valores f x para valores de x muito próximos de 2 estarão muito próximos de zero Confira nas figuras 1 e 2 o que estamos dizendo Em linguagem matemática escrevemos 0 lim 2 x f x ou seja 0 2 4 4 lim 2 2 x x x x Figura 1 Gráfico de x 2 y Figura 2 Gráfico de 2 4 4 2 x x x f x y 22 exemplo valor do limite e valor da função no ponto Explore os exemplos na Figura 3 Para todas as funções representadas o valor de x f x 2 lim é o mesmo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 32 20022011 100349 33 Figura 3 O limite de f quando x a não depende de a f Isso porque ao nos aproximarmos do ponto x 2 valores da função estabilizamse em torno de um mesmo valor que não necessariamente será f 2 Isso quer dizer que o que vamos denominar valor do limite quando x tende para a não corresponde ao valor f a ou seja ao valor da função no ponto x a Em resumo ao conceituar o limite de uma função f x quando x tende para a interessanos retratar o processo ou a ação que a função representa seu comportamento em pontos de seu domínio próximos de a exceto no ponto x a Essas observações serão sintetizadas na definição a seguir que ainda é intuitiva Ela faz uso de palavras tais como arbitrariamente próximo ou suficientemente próximo que são imprecisas e podem significar coisas diferentes em contextos distintos 23 definição informal de limites Uma função f tem limite L quando x tende para a quando f x fica arbitrariamente próximo de L para x suficiente mente próximo de a 24 notação e linguagem No caso de uma função f ter limite L quando x tende para a escrevemos L x f x a lim aula 3 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 33 20022011 100350 34 Introdução ao cálculo dIferencIal 1 A definição formal de limite e a demonstração das suas propriedades podem ser encontradas em Leithold 3 ProPrIedadeS de lIMIteS De novo vamos explorar o aspecto intuitivo do conceito de limites ao enunciar as regras básicas para seu cálculo1 Após enunciálas nossa intenção é a de utilizálas para calcular limites em exemplos especí ficos 31 Se f é a função identidade f x x então x xa lim a 32 Se c é uma constante então c xa lim c Se L x f x a lim e M g x x a lim então 33 M L g x x f x a lim 34 M L g x x f x a lim 35 LM x g x f x a lim 36 M L g x x f x a lim se 0 M Em linguagem informal se os limites de f e g existem os limites da soma diferença produto e quociente também existem e são respecti vamente iguais a soma diferença produto e quociente dos limites de f e g 4 eXeMPloS utIlIZando aS ProPrIedadeS de lIMIteS Introdução ao cálculo diferencial2011indd 34 20022011 100351 35 5 lIMIteS de funçÕeS PolInoMIaIS Ao examinar os exemplos da seção 4 você poderá se convencer de que os limites de qualquer função polinomial 0 1 2 2 1 1 a a x a x x a a x p x n n n n podem ser obtidos por substituição Essa afirmativa se justifica numa lógica de aplicação de propriedades da seção 3 e se formaliza como a seguir 51 Proposição Se 0 1 2 2 1 1 a a x a x x a a x p x n n n n então p x xc lim 0 1 2 2 1 1 a a c a c c a a c n n n n 52 exemplo cálculo do limite de uma função polinomial 1 lim 3 3 4 2 x x x 1 2 3 2 3 4 41 6 lIMIteS de funçÕeS racIonaIS Já mencionamos as funções racionais que são quocientes de funções polinomiais p x e q x No domínio de sua expressão q x y p x devemos ter q x 0 Pela Propriedade 36 e pela Proposição 51 é possível escrever q x x p xc lim q c p c desde que q c 0 Em casos nos quais q c 0 a situação se complica Nesta aula vamos examinar uma das duas situações possíveis e que corresponde a 0 q c p c Observe que situações de cálculo de limites em que 0 q c c p foram recorrentes no cálculo de derivadas de polinômios Por isso é muito importante nos organizarmos e desenvolvermos estratégias para resolvêlas Nos dois exemplos a seguir estudamos situações que ocorrem muito no cálculo de limites de quociente de funções aula 3 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 35 20022011 100352 36 Introdução ao cálculo dIferencIal 2 Lembrese de que se é raiz de um polinômio então podemos fatorar obtendo como um de seus fatores em que n é a multiplicidade da raiz Isto é 61 exemplo cancelando fatores comuns Considere o limite x x x x x 2 2 1 1 2 lim Não podemos substituir x 1 na expressão da função racional x x x x 2 2 1 2 porque o denominador se anula Nessa expressão o nume rador também se anula em x 1 Por isso é possível decompormos ambos os polinômios e escrever2 x x x x 2 2 1 2 1 1 2 x x x x x 1 se 1 x Por meio desta forma simplificada de escrever a função obtemos o valor de seu limite por substituição x x x x x 2 2 1 1 2 lim x x x 1 lim 1 1 1 1 1 0 0 Veja como foi construída a estratégia para o cálculo do limite deste exemplo No caso específico que estamos abordando 0 q c p c significa que o número real c é raiz ou zero de ambos os polinô mios p x e q x Isso quer dizer que ambos os polinômios são divisí veis por x c Relembrando que não nos interessa o valor da função em x c no cálculo do valor do limite podemos cancelar esse fator comum Reescrevendo a função inicial desse modo podemos calcular o limite por substituição 62 exemplo racionalizando e cancelando fatores comuns em quocientes de funções Veja como resolver o limite h h h 2 2 lim 0 De novo não podemos utilizar a Propriedade 36 porque o limite no denominador h h 0 lim 0 No entanto podemos reescrever a expressão usando a racionalização para criar um fator comum h h 2 2 2 2 2 2 2 2 h h h h 2 2 2 2 2 2 h h h 2 2 2 2 h h h 2 2 h h h 2 2 1 h Introdução ao cálculo diferencial2011indd 36 20022011 100353 37 Desse modo h h h 2 2 lim 0 2 2 1 lim 0 h h 2 0 2 1 2 2 1 4 2 Observe na Figura 4 que resolvendo esse limite nós calculamos a incli nação da reta tangente a x y em x 2 Aqui ficou a questão sobre utilizar a estratégia de substituição do valor h 0 ao calcularmos h h 2 lim 0 Por enquanto vamos deixála sem discussão Figura 4 reta secante a x y Muitas outras questões ficam também sem respostas Por exemplo como resolver q x x p xc lim nos casos em que q c 0 e p c 0 Essas e outras questões serão abordadas nas duas próximas aulas Finalizamos com um teorema importante no cálculo de limites e prin cipalmente na dedução das expressões das derivadas das funções trigo nométricas 7 teoreMa do confronto Vamos enunciar um teorema que para demonstrálo é necessário defi nirmos limite formalmente o que não é nossa intenção nesta disci plina No entanto esse teorema é bastante intuitivo e vamos nos convencer de seu enunciado explorando uma representação gráfica Nossa intenção principal é a de utilizálo aula 3 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 37 20022011 100353 38 Introdução ao cálculo dIferencIal 71 Proposição Sejam f x g x e h x três funções reais satisfazendo h x f x g x em um intervalo aberto contendo o ponto x c exceto talvez nesse ponto específico Suponha ainda que L h x g x c x x c lim lim Então existe o limite x f xc lim e L h x g x x f c x c x x c lim lim lim O gráfico na Figura 5 sugere a situação expressa no teorema em termos algébricos Veja que a função f fica espremida entre os gráficos de g e de h próximo ao ponto x c forçando a função f a se estabilizar também em y L Figura 5 Teorema do Confronto 72 exemplo cálculo de x x sen x 1 2 0 lim Ao calcularmos x x sen x 1 2 0 lim não podemos utilizar as regras e proprie dades de limites estudadas porque como veremos na próxima aula o limite de não existe quando x 0 No entanto podemos utilizar o Teorema do Confronto para resolvêlo Primeiro buscamos escrever a função entre duas funções g e h que se estabilizam em um mesmo valor quando x 0 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 38 20022011 100355 39 Veja que podemos escrever 1 1 1 x sen Uma vez que x2 0 podemos escrever 2 1 2 2 x x sen x x Uma vez que então pelo Teorema do Confronto 8 eXercÍcIoS Calcule os seguintes limites 9 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 HUGHESHALLETT D et al Cálculo e aplicações Tradução de E F Gomide São Paulo Edgard Blücher 1999 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill aula 3 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 39 20022011 100356 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 40 20022011 100356 AULA 4 cálculo de limites ObjETIVOS Ampliar estratégias para o cálculo de limites discutindo casos em que ele não existe Definir a noção de assíntota vertical 1 Introdução Um bom modo de entender um conceito em matemática é o de examinar exemplos que satisfazem sua definição e ao mesmo tempo comparálos com outros que não a atendem Em aulas anteriores utilizamos a noção intuitiva de limite de uma função para estudar o comportamento de funções próximo a um ponto onde esse limite existia calculandoo Não nos detivemos no entanto nos casos em que seu cálculo não era possível Pode acontecer de não existir o limite x f xa lim Nesta aula vamos examinar três casos exemplares ou prototípicos dessa situação representados pelas funções p x função preço da corrida de táxi x y 1 x 0 sen x y 1 x 0 Iniciamos com o estudo da primeira dentre as três 2 lIMIteS lateraIS Explore o gráfico da função preço da corrida de táxi reproduzido na Figura 1 Quando os valores de x se aproximam por exemplo de x 1 não há um único valor para o qual P x se aproxima Isso porque se Introdução ao cálculo diferencial2011indd 41 20022011 100356 42 Introdução ao cálculo dIferencIal x está próximo desse valor da abscissa por valores menores do que 1 o preço da corrida de táxi está estabilizado em R 330 Se x está próximo de x 1 por valores maiores a função está estabilizada em R 497 Situação similar a essa acontece em todos os outros pontos de coorde nadas inteiras Figura 1 Preço da corrida de táxi Intuitivamente para as funções que modelam exemplos como este costumamos dizer que a função salta e esse é um dos casos de não existência de limites de uma função Vamos definir uma noção que nos ajuda a identificar algebricamente os saltos que mencionamos Da definição de limite da aula anterior o critério adotado para iden tificar se uma função f tem limite L quando x aproxima o valor a corresponde a examinar se f estabiliza em y L à esquerda e à direita de x a Essa noção está definida a seguir 21 definição Seja f uma função definida em ab onde a b Dizemos que a função f tem limite lateral à direita L em a se f estabiliza em L quando x fica próximo de x a no inter valo ab Seja f uma função definida em ca onde c a Dizemos que a função f tem limite lateral à esquerda L em a se f estabiliza em L quando x fica próximo de x a no inter valo ca Introdução ao cálculo diferencial2011indd 42 20022011 100358 43 1 Ver nosso livro Introdução ao estudo das funções 22 notação e linguagem Se f tem limite lateral à direita L escrevemos L x f x a lim Se f tem limite lateral à esquerda L escrevemos L x f x a lim Os sinais e na notação dos limites laterais significam respectiva mente que x se aproxima de a por valores maiores do que ele ou que x se aproxima de a por valores menores 23 exemplo cálculo de limites laterais a Podemos escrever observando o gráfico da função preço da corrida de táxi que e que b A função valor absoluto foi definida1 como Aqui vamos estudar a função x x f x se x 0 Podemos definila por partes pelas expressões Os limites à esquerda e à direita de x 0 são 1 lim 0 x x x e 1 lim 0 x x x Como no exemplo anterior o salto que a função dá em seu gráfico é retratado algebricamente por seus limites laterais que são diferentes Tente esboçar esse gráfico 24 Proposição Uma função f terá um limite quando x se aproximar de c se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais Em linguagem matemática escrevemos L x f x c lim L x f x c lim e L x f x c lim aula 4 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 43 20022011 100359 44 Introdução ao cálculo dIferencIal 25 exemplo cálculo de limites laterais a Examine o gráfico da função y f x na Figura 2 e confirme os seguintes cálculos Em x 0 x f x 0 lim 1 lim 3 0 x x 1 x f x 0 lim 1 lim 0 x x 1 Como os dois limites laterais existem e são iguais escreveremos 1 lim 0 x f x Em x 51 x f x 51 lim 1 lim 51 x x 52 x f x 51 lim 2 51 lim x x 2 51 Os dois limites laterais existem mas são diferentes Nesse caso não existe x f x 51 lim Figura 2 Limites laterais existem mas são diferentes 3 aSSÍntotaS VertIcaIS A função x y 1 x 0 possui limite em todos os pontos de seu domínio Pelas Propriedades 31 e 36 apresentadas na Aula 3 podemos calcular seu limite por substituição e escrever c x c x 1 lim 1 desde que c 0 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 44 20022011 100400 45 Quando x se aproximar do ponto c 0 as regras utilizadas em outros valores de x não são válidas e o comportamento da função tornase diferente e portanto importante de ser estudado Quando x se apro xima de zero seu valor absoluto fica muito pequeno de modo que seu inverso fica muito grande não se estabilizando em nenhum valor real Em outras palavras o limite não existe Explore o gráfico da função x y 1 na Figura 3 e veja que não há como cercálo dentro de uma faixa M y M no plano como no caso das funções seno e cosseno Queremos dizer que para qualquer número de valor absoluto M muito grande que pudermos imaginar é possível escolhermos x próximo de zero de modo que x 1 em valor absoluto ultrapassa o valor absoluto de M Em linguagem matemática escrevemos x M 1 para x suficientemente próximo de zero Observe o sinal de x que é positivo para valores à direita de zero e negativo à esquerda de zero Quando x se aproxima de zero por valores maiores que zero seu inverso fica muito grande positivo Quando x se aproxima de zero por valores menores que zero seu inverso fica muito grande em valor absoluto mas negativo Figura 3 Gráfico de x y 1 Vale a pena distinguir essa variação de sinal e para isso fazemos uso do conceito de limite à esquerda e à direita aula 4 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 45 20022011 100400 46 Introdução ao cálculo dIferencIal 31 notação e linguagem Para expressar o comportamento de x y 1 próximo de x 0 vamos escrever e Há alguns autores que escrevem x x 1 lim 0 não fazendo a distinção entre a variação de sinal existente ressaltando apenas a não existência do limite pela magnitude dos valores da função Toda esta discussão está sistematizada com o uso adequado de símbolos matemáticos na definição a seguir 32 definição Diremos que limite de f x é quando x tende para c à direita e escrevemos quando para qualquer faixa no plano determinada por y M M 0 houver um intervalo cc ε de valores suficientemente próximos de x c de modo que M f x para ε c c x Diremos que limite de f x é quando x tende para c à esquerda e escrevemos quando para qual quer faixa no plano determinada por y M M 0 houver um intervalo c c ε de valores suficientemente próximos de x c de modo que M f x para c c x ε Da mesma forma podemos definir os limites e 33 exemplo limites infinitos de funções a Encontrar 2 1 lim x xo caso exista Observe em primeiro lugar que a função não muda de sinal em torno do ponto x 0 O denominador da expressão 2 1 x tornase muito pequeno de modo que a expressão da função fica muito grande sempre positiva Por isso o limite não existe e escrevemos 2 1 lim x xo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 46 20022011 100402 47 Esboce o gráfico dessa função e veja como é impossível encerrálo em uma faixa M y M do plano b Calcular 2 1 1 1 lim x x caso exista Como no exemplo anterior a função 2 1 1 x f x não muda de sinal no entorno do ponto x 1 O denominador da expressão 2 1 1 x tornase muito pequeno próximo de x 1 de modo que a expressão fica muito grande sempre positiva e seu limite quando x 1 não existe Escrevemos 2 1 1 1 lim x x c Calcular 3 1 lim 3 x x caso exista A discussão deste exemplo é semelhante à da função x y 1 quando x 0 porque como naquele caso a função muda de sinal em inter valo aberto contendo o ponto x 3 Temos porque o denominador é negativo para x 3 Já o 3 1 lim 3 x x porque o denominador x 3 0 para x 3 De qualquer modo o limite não existe Retome os exemplos de x y 1 e de 2 1 x y e veja que o gráfico de ambas as funções tem ramos que se aproximam e quase se confundem com a reta x 0 A característica dessa reta especial em relação ao gráfico da função em termos algébricos está expressa na definição a seguir 34 definição Uma reta x a é uma assíntota vertical ao gráfico da função y f x caso ou 35 exemplo procurando assíntotas verticais Pela definição de assíntotas verticais de uma função devemos procurá las dentre os pontos fora do domínio da função Por exemplo seja 3 2 2 x x x f x Analisando o denominador dessa aula 4 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 47 20022011 100402 48 Introdução ao cálculo dIferencIal função identificamos 3 x e x 3 como possíveis assíntotas Para confirmar calculamos os limites 3 2 lim 2 3 x x x x e 3 2 lim 2 3 x x x x Vamos resolver o primeiro deixando o segundo como exercício Na expressão 3 2 lim 2 3 x x x x o numerador estabiliza em 2 3 3 que é um número negativo2 Já o denominador aproximase de zero quando 3 x mas variando o sinal em 3 x 3 Assim escre vemos e 36 exemplo resumindo os casos possíveis para os limites de funções racionais Na aula anterior calculamos limites de funções racionais x q p x f x em duas situações especiais No primeiro resolvemos o limite por subs tituição x q x p xc lim c q p c desde que q c 0 Em seguida encon tramos x q x p xc lim quando 0 q c p c Aqui analisamos uma terceira situação em que q c 0 mas p c 0 Vamos resolver dois exemplos a Calcular 2 2 1 1 2 lim x x x x se existir O cálculo desse limite será feito por meio de uma análise intuitiva do quociente que representa a função O numerador dessa fração racional se estabiliza em 3 1 2 1 2 O denominador fica muito pequeno e sempre positivo Um número real como o 3 dividido por um número muito pequeno fica muito grande maior do que qualquer número M que escolhermos Desse modo escrevemos que 2 2 1 1 2 lim x x x x e que o limite não existe b Encontrar 1 2 lim 2 1 x x x x se existir O cálculo desse limite é semelhante ao anterior exceto pelo fato de que seu denominador muda de sinal em qualquer intervalo ab em que b a 1 Para valores menores do que 1 o sinal de x 1 é 2 Em consequência 3 Analise o sinal do binômio de segundo grau x2 3 Construa o quadro de sinais escrevendo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 48 20022011 100404 49 negativo Para valores maiores do que 1 o sinal de x 1 é posi tivo Assim devemos calcular os dois limites laterais 1 2 lim 2 1 x x x x e 1 2 lim 2 1 x x x x Faça esses cálculos 4 oScIlaçÕeS A função sen x y 1 x 0 representa um caso importante de não existência de limites que no entanto é mais difícil de discutir Vamos fazêlo aqui intuitivamente Retome o gráfico de x y 1 Figura 3 Veja que a imagem dessa função para x no intervalo 10 é o intervalo A função sen x y 1 em seu domínio de definição é a composta de duas funções senx g x y x f x y 1 Como discutimos anteriormente a composta g f pode ser vista como uma coordenação de ações destas duas funções g f x f x x No caso que estamos estudando sen x x x 1 1 Observe que a imagem de 10 na primeira ação coordenada será o intervalo Desse modo a ação de x sen 1 vai comprimir para x 10 as imagens da função seno correspondentes a x Como todos os ciclos possíveis da função seno para x vão acontecer para x 10 todo o gráfico da função em será comprimido como uma mola para caber em 10 O resultado é uma oscilação completa da função para intervalos cada vez menores no eixo x o que faz com que a função oscile tanto que não se estabilize próxima de nenhum valor quando x está próximo de x 0 Veja o gráfico da função sen x y 1 para x 0 na Figura 5 a seguir aula 4 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 49 20022011 100405 50 Introdução ao cálculo dIferencIal Figura 5 Gráfico da função sen x y 1 para 0 x 5 eXercÍcIoS 1 Calcule os limites laterais 1 1 lim 3 1 x x e 1 1 lim 3 1 x x caso existam O que você pode dizer sobre 1 1 lim 1 3 x x A reta x 1 é uma assíntota vertical da função 2 Determine os limites das seguintes funções racionais caso existam a 1 1 lim 3 1 x x x b 1 lim 3 1 x x x c 1 1 lim 3 1 x x 3 Determine os limites 2 4 lim 2 3 x x x x e 2 4 lim 2 3 x x x x O que você pode dizer sobre 2 4 lim 3 2 x x x x 4 Encontre as assíntotas verticais da função 2 2 2 x x x f x Introdução ao cálculo diferencial2011indd 50 20022011 100406 51 6 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 FINNEY R WEIR M GIORDANO F Cálculo George B Thomas São Paulo Addison Wesley HUGHESHALLETT D et al Cálculo e aplicações Tradução de E F Gomide São Paulo Edgard Blücher 1999 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 aula 4 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 51 20022011 100406 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 52 20022011 100406 AULA 5 continuidade ObjETIVO Definir a noção de continuidade utilizandoa para calcular limites de funções e zeros de equações polinomiais 1 Introdução Funções devem reproduzir as características dos fenômenos que elas modelam Nesse sentido a noção de continuidade e de funções contí nuas na matemática representa uma proposta para modelar processos físicos que parecem acontecer de maneira ininterrupta sem mudanças repentinas Por exemplo veja o percurso de um objeto em queda livre se deixamos cair uma pedra de uma altura de 20m ela não pula valores da altura em seu percurso assumindo todos os valores das alturas entre 0 e 20m até atingir o solo Funções que modelam processos e fenômenos como esses são chamadas funções contínuas Vamos estudálas bem como utilizar algumas conse quências de sua definição no cálculo de limites 2 contInuIdade As funções contínuas são funções para as quais mudanças pequenas em x acarretam mudanças também pequenas em f x Se tal propriedade acontece em todo ponto de um intervalo de IR ela se reflete no gráfico da função f que pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel sem saltos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 53 20022011 100406 54 Introdução ao cálculo dIferencIal Para expressar algebricamente uma propriedade como essa vamos descrever a condição a ser estabelecida em cada um dos pontos do domínio de f que impede que saltos aconteçam Essa condição está expressa na definição a seguir 21 definição Sejam y f x uma função real e x a um ponto no inte rior de seu domínio Dizemos que f é contínua em x a se f a x f x a lim Caso o ponto x a seja na extremidade do domínio da função a função f pode ser denominada contínua à esquerda ou contínua à direita Caso a condição expressa na definição 21 não se verifique no ponto x a a função é denominada descontínua em x a 22 exemplo funções contínuas e limites laterais 0 0 1 1 2 1 yfx 2f1 0f0 0 0 1 1 2 1 yfx 0 0 1 1 2 1 yfx 0 0 1 1 2 1 yfx Figura 1 Apenas a primeira função é contínua em 0 x Observe os gráficos na Figura 1 e a classificação das funções que eles representam em termos da noção de continuidade Algebricamente operacionalizamos essa classificação por meio de um teste1 1 Casos em que x a é um ponto da extremidade do intervalo em análise O teste se refere ao cálculo de limites à esquerda ou de limites à direita Introdução ao cálculo diferencial2011indd 54 20022011 100407 55 23 teste de continuidade Dizemos que f é contínua em x a se e somente se 1 f a existe 2 x f xa lim existe 3 x f xa lim f a 3 deterMInando PontoS onde f É contÍnua 31 exemplo a função x y A função x y denominada maior inteiro que não supera x tem sua definição e seu gráfico parecido como o da função preço da corrida de táxi Veja a Figura 2 Figura 2 A função maior inteiro que não supera x Os valores da função são encontrados identificando o maior número inteiro contido na expansão decimal do número dado Por exemplo e Quando x a é um número inteiro observe que x a x lim x a x lim Portanto não existe neste caso Pelo teste de continuidade a função não será contínua nesses pontos Nos demais casos a função é contínua2 2 Você sabe dizer por quê aula 5 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 55 20022011 100408 56 Introdução ao cálculo dIferencIal 32 Definição Uma função se diz contínua num intervalo I se e somente se ela for contínua em cada ponto de I 33 exemplo continuidade em um intervalo a As funções potência e suas inversas polinomiais exponenciais logarítmicas trigonométricas e suas inversas são contínuas em seu domínio e portanto em qualquer intervalo I contido em seu domínio A demonstração formal desse resultado é elaborada e não é essencial em um curso de Cálculo Aqui vamos justificar essa afirmação recor rendo à imagem que temos do esboço do seu gráfico que não dá saltos Vamos ter essa informação como um ponto de partida para construções teóricas das próximas aulas b A função x y 1 é contínua em todos os pontos de seu domínio O mesmo acontece com as funções racionais que são quocientes de duas funções contínuas as funções polinomiais 4 contInuIdade de SoMaS ProdutoS e QuocIenteS de funçÕeS Utilizando as propriedades de limites3 enunciadas na Aula 3 podemos deduzir que somas produtos e quocientes de funções contínuas em x a são contínuas neste ponto Veja a proposição a seguir 41 Proposição Sejam y f x e y g x duas funções contínuas em x a Então a soma f g a diferença f g o produto g f e o quociente g f desde que g a 0 são contínuas em x a 42 exemplos utilizando a Proposição 41 A Proposição 41 possibilita o cálculo de limites por substituição Por exemplo porque a função é contínua em todos os pontos de seu domínio4 3 Ver seção 3 Aula 3 4 Você sabe construir um argumento para justificar a afirmação é contínua Procure construílo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 56 20022011 100409 57 5 contInuIdade de funçÕeS coMPoStaS Além das operações de soma diferença produto e quociente de funções abordadas na proposição 41 a composição de duas funções contínuas f e g resulta também em uma função contínua f g De fato se x está próximo de c a continuidade de g permite afirmar que g x se estabiliza em g c Se f for contínua em g c então f g x se estabiliza em f g c Esse resultado será enunciado na proposição a seguir 51 Proposição Se y g x é contínua em x c e y f x é contínua em g c então f g é contínua em c 52 exemplo utilizando a proposição 51 a Calcular A função é a composta de duas funções contínua e 5 Ambas as funções são contínuas em seu domínio que é IR Ainda 1 lim 2 3 x x 1 32 10 e cos10 Assim b Calcular h h h h 5 5 4 lim 2 0 Temos que porque a função x y é contínua Desse modo o limite a ser calculado resulta em uma expressão da forma 0 0 que como já vimos é inde terminada no sentido de que ela poderá ou não se estabilizar em um valor Ou seja pode ou não ter limite6 Em nosso caso multiplicando o numerador e o denominador da expressão h h h 5 5 4 2 por 5 5 4 2 h h que é diferente de zero chegamos a 5 5 4 2 h h h h E então 5 E importante aprendermos a identificar as componentes numa função composta de outras Para treinar retome o livro Introdução ao Estudo das Funções Imagine que você tenha que calcular o valor da função num ponto utilizando uma calculadora e identifique os comandos que você deveria executar para conseguilo No exemplo em questão devemos primeiro fazer a conta para depois calcular o cosseno do resultado 6 Lembrese de que todas as expressões que representam uma taxa de variação instantânea ou derivada são da forma aula 5 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 57 20022011 100410 58 Introdução ao cálculo dIferencIal 6 contInuIdade de funçÕeS Que tÊM derIVada Sejam y f x e a um ponto de seu domínio Vamos discutir aqui a afirmativa 61 Proposição f derivável em x a f contínua em x a Demonstração Se f é derivável em x a existe o limite h f a h f a x f h h 0 0 lim lim f a Devemos provar que Mas isso decorre do fato de que f é deri vável em x pois Assim f a h a f h 0 lim Isso significa que f satisfaz a definição de continuidade7 em x a 7 a ProPrIedade do Valor InterMedIárIo Para finalizar esta aula vamos enunciar um teorema que confirma o conceito de continuidade e funções contínuas como um bom modelo para representar movimento ou processos sem interrupções Embora seu enunciado seja simples e intuitivo sua prova matemática é complexa8 O teorema captura em linguagem matemática a percepção que ressal tamos no exemplo na introdução desta aula se deixamos cair uma pedra de certa altura ela vai assumir todas as alturas entre a altura inicial e a altura zero quando atinge o solo 71 teorema do Valor Intermediário Seja y f x uma função contínua definida num intervalo fechado ab Então a função f assume todos os valores entre f a e f b 7 Um ponto x bem perto de x a podese escrever como x a h Reescrevendo a expressão do limite nesta notação 8 Na verdade enunciados matemáticos simples requerem com frequência construções sofisticadas em sua demonstração Introdução ao cálculo diferencial2011indd 58 20022011 100411 59 Figura 3 A propriedade do Valor Intermediário A Figura 3 representa a propriedade do Valor Intermediário em um gráfico Observe que se 0y y for um valor ou ordenada entre f a e f b existe uma abscissa x b no intervalo ab tal que 0y f b Em síntese a função f definida em I não pula valores no eixo y entre f a e f b O Teorema do Valor Intermediário TVI é importante na construção da teoria do cálculo e tem uma aplicação interessante na determinação de raízes de equações 72 exemplo encontrando raízes de equações Funções polinomiais y p x são funções contínuas em IR São portanto contínuas em todo intervalo I ab contido em IR Se mostrarmos que os sinais de p a e p b são contrários então pelo TVI deve haver uma raiz de p x 0 em ab Vamos explorar como exemplo a equação 0 1 3 3 x x Para 1 3 3 x x p x temos 1 0 p e p 2 1 Sabendo que as funções polinomiais são contínuas essa verificação é suficiente para afirmarmos pelo TVI que 0 1 3 3 x x admite pelo menos uma raiz no intervalo 20 aula 5 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 59 20022011 100412 60 Introdução ao cálculo dIferencIal 73 Uma consequência do Teorema do Valor Intermediário Sejam 2 1 x x duas raízes consecutivas de uma função contínua f Se c x1 x2 é um ponto qualquer então o sinal de f c é o mesmo sinal de f x para todo x x1 x2 Demonstração Realmente se existissem a b tais que 2 1 x b a x e então existirá a b c tal que f c 0 9 Isso seria uma contradição com o fato de 1x e 2x serem raízes consecutivas de f observe que 2 1 x b c a x e portanto c seria uma raiz entre 1x e 2x 8 eXercÍcIoS 1 Calcule e usando o fato de que as funções envolvidas são contínuas Procure justificar porque cada uma delas é contínua a partir das propriedades estudadas 2 Mostre que a equação 0 1 2 4 3 4 5 x x x x tem pelo menos uma solução no intervalo 10 9 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 FINNEY R WEIR M GIORDANO F Cálculo George B Thomas São Paulo Addison Wesley PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG Educação a Distância SHENK A Cálculo e geometria analítica Rio de Janeiro Campus SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 9 Uma vez que zero é um valor intermediário entre os valores fa e f b Introdução ao cálculo diferencial2011indd 60 20022011 100413 AULA 6 Identificando assíntotas horizontais ObjETIVO Definir limites quando x tende para e e a noção de assíntota horizontal 1 Introdução Esta aula encerra a discussão sobre o conceito de limites Finalizamos com uma análise sobre o que acontece com os valores de uma função y f x quando x se afasta muito da origem do sistema de coor denadas Essa análise é importante em previsões de cenários futuros Por exemplo em estimativas sobre a absorção a longo prazo de uma droga num organismo ou em descrições das consequências de desastres ambientais como os de Chernobil ou o do aquecimento do planeta Os procedimentos e conceitos discutidos aqui serão retomados nas próximas aulas principalmente ao traçarmos gráficos de funções 2 IdentIfIcando aSSÍntotaS Examine o gráfico da função x y 1 na Figura 1 Você concorda que a reta y 0 quase se confunde com o gráfico da função de forma pare cida com a descrita para a reta x 0 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 61 20022011 100413 62 Introdução ao cálculo dIferencIal Figura 1 Gráfico da função x y 1 0 x Podemos dar também a y 0 o nome de assíntota ao gráfico de x y 1 neste caso assíntota horizontal e ainda dizer que os valores da função correspondentes a valores muito grandes de x se estabilizam em zero Por outro lado quando estudamos a função x y 1 na Aula 4 discutimos a proximidade entre o ramo do gráfico e o da reta que acon tece quando x está muito próximo da origem No caso da reta y 0 a proximidade entre os ramos acontece quando x se afasta muito da origem à esquerda e à direita desta Tais diferenças devem ser levadas em conta e isso será feito definindo em primeiro lugar um conceito que expressa matematicamente a nossa percepção da estabilidade dos valores de funções quando x se afasta da origem 21 Definição Dizemos que y f x possui limite L quando x tende ao infinito quando os valores f x se estabilizam em L à medida que x se distancia da origem ou seja à medida que x assume valores muito grandes Em casos como esse escrevemos Dizemos que y f x possui limite L quando x tende a menos infinito quando os valores f x se estabilizam em L à medida que x se distancia da origem à sua esquerda ou seja quando x assume valores negativos com valor absoluto muito grande Para esses escrevemos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 62 20022011 100414 63 22 Definição Dizemos que y L é uma assíntota horizontal da função y f x quando ou 23 exemplo limites no infinito A Lei de Gravitação Universal de Newton propõe Toda partícula no universo atrai uma outra partícula com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado de sua distância O que acontece com essa força de atração entre as partículas à medida que a distância entre as partículas aumenta muito Respondendo formalmente a essa questão expressamos a Lei de Gravi tação em linguagem matemática escrevendo 2 1 2 r F G m m onde F é a força de atração entre as partículas G é uma constante a constante gravitacional 1 m e 2 m são as massas das partículas e r é a distância entre elas Em seguida calculamos O resultado se explica porque G 1 m e 2 m são constantes e para valores muito grandes de r a expressão da fórmula se estabiliza em zero De fato dividir um número constante mesmo que muito grande por números cada vez maiores maiores do que qualquer número real M que escolhermos resulta em valores que se estabilizam em zero Em outras palavras esse resultado nos diz que à medida que a distância entre as partículas aumenta indefinidamente a força de atração tende para zero Vale comentar que uma vez que a noção de infinito é uma idealização matemática que não se concretiza na prática a distância r será na verdade sempre finita e sempre haverá força de atração embora esta já não possa ser medida em equipamentos de laboratório Tais valores não perceptíveis pelos instrumentos existentes de medição correspondem ao que chamamos de zero nesta discussão Observe que F 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico da função num sistema de coordenadas cartesianas Antes de nos dedicarmos a outros exemplos vamos sistematizar as regras usualmente utilizadas como suporte para resolvêlos na propo sição a seguir aula 6 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 63 20022011 100415 64 Introdução ao cálculo dIferencIal 24 Proposição Sejam y f x e y g x duas funções tais que Propriedades idênticas valem para o caso de quando x tende a menos infinito Essas propriedades estão descritas na tabela a seguir 25 Proposição Sejam y f x e y g x duas funções tais que 26 exemplo usando as regras das proposições 24 e 25 Estude o cálculo dos seguintes limites a Neste caso pela Proposição 23 vale limite da soma é a soma dos limites Introdução ao cálculo diferencial2011indd 64 20022011 100417 65 b e neste caso pela Proposição 23 o limite do quociente é o quociente dos limites c d 3 lIMIteS de funçÕeS racIonaIS Os exemplos em 26 são úteis no desenvolvimento de uma proposta para calcular limites de funções racionais x q p x f x quando e também quando Nós vamos resolver três casos exem plares como orientação 31 exemplo p x e q x são polinômios de mesmo grau Para calcular escrevemos Essa reescrita da expressão original é possível porque no processo de limite que estamos considerando os valores de x estão distantes da origem Desse modo aula 6 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 65 20022011 100417 66 Introdução ao cálculo dIferencIal 32 exemplo o grau de p x é menor do que o grau de x q Ao calcularmos podemos como no exercício anterior escrever Aqui não podemos mais usar a regra do quociente de funções em 24 Observe que não existe uma vez que esse produto cresce inde finidamente quando x se afasta da origem1 Escrevemos Já a função no numerador se estabiliza em y 3 Desse modo o quociente se estabiliza em zero e escrevemos 33 exemplo o grau de p x é maior do que o grau de x q E o que acontece com o limite do inverso do quociente que representa a função no exemplo anterior Temos aí que se rees creve como A função no numerador se estabiliza em y 3 e uma vez que os valores da função no numerador ficam muito grandes escre vemos 1 Veja que mas os valores do outro fator que é x ficam muito grandes Introdução ao cálculo diferencial2011indd 66 20022011 100420 67 Observe que quem efetivamente interfere no valor do limite de x q p x f x quando e também quando são os termos de maior grau dos polinômios p x e q x Queremos dizer 1 porque podemos cancelar o 3 x no numerador com o 3 x no denominador Do mesmo modo 2 porque comparamos o 2 x do numerador com o 3 x do denominador Observe que fica um x sobrando no denominador que faz tudo ir para zero E assim por diante Essa discussão pode ser feita com os outros exemplos e também com aqueles que consideramos o limite quando Vamos sintetizar essa última discussão a seguir 4 SÍnteSe da dIScuSSão Para funçÕeS racIonaIS Para calcular limites de funções racionais x q p x f x quando e também quando podemos considerar apenas o limite do quociente do termo de maior grau do polinômio p x no numerador sobre o termo de maior grau do polinômio q x do denominador Por exemplo se O mesmo procedimento vale para o caso aula 6 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 67 20022011 100421 68 Introdução ao cálculo dIferencIal Sabe por que nós não dissemos isso antes Por acreditarmos que devemos entender o porquê das regras e estratégias que utilizamos em matemática para tornar mais fácil o trabalho com elas a longo prazo 5 eXercÍcIoS 1 Calcular os seguintes limites se existirem 2 Encontre as assíntotas horizontais de 4 3 2 3 3 x x x y e 1 2 2 x x x y caso existam 3 Calcule se existirem 4 Esboce o gráfico de uma função que possua a reta 2 y 3 como assín tota horizontal 5 Em cada item esboce o gráfico de uma função que satisfaça 6 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG Educação a Distância SHENK A Cálculo e geometria analítica Rio de Janeiro Campus SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 cos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 68 20022011 100422 AULA 7 regras de derivação produto e quociente ObjETIVO Deduzir e utilizar fórmulas para o cálculo da derivada de um produto ou de um quociente de duas funções deriváveis 1 Introdução Vamos retomar aqui o estudo de derivadas introduzido em nossas duas primeiras aulas Lá exploramos o conceito bem como algumas de suas interpretações inclinação da reta tangente ao gráfico velocidade instan tânea Entretanto não nos voltamos para o seu cálculo operacional isto é não desenvolvemos ferramentas técnicas estratégias que nos permitissem calcular derivadas de funções mais gerais construídas a partir de funções cujas derivadas são conhecidas A discussão iniciada foi interrompida pelo estudo de limites motivado especialmente pela necessidade de desenvolver esses procedimentos para o cálculo de deri vadas É bem verdade que já sabemos calcular a derivada de uma função polinomial Isso foi feito utilizando duas regras simples de derivação justificadas intuitivamente a do produto de uma função por uma cons tante e a da soma ou diferença de duas funções Porém mesmo sabendo como calcular a derivada de uma função poli nomial não desenvolvemos uma regra por exemplo para o cálculo da derivada de uma função racional quociente de funções polinomiais ou mesmo da derivada de um produto de duas funções polinomiais Nesse último caso poderíamos efetuar o produto e então derivaríamos a função polinomial resultante Mas se escolhêssemos esse caminho teríamos um trabalho enorme dependendo do número de fatores em cada polinômio Introdução ao cálculo diferencial2011indd 69 20022011 100422 70 Introdução ao cálculo dIferencIal Nesta aula vamos utilizar a caracterização da derivada como o limite de taxas médias de variação apresentada na primeira aula para obtermos duas regras de derivação que nos ajudam a calcular derivadas de funções mais gerais Por exemplo vamos aprender a derivar funções que se escrevem como produtos e quocientes das funções já estudadas e mesmo algumas funções trigonométricas que se escrevem como quocientes de outras funções trigonométricas 2 reGra de derIVação Produto de duaS funçÕeS Suponha que f e g sejam duas funções deriváveis no ponto x isto é tais que as derivadas f x e g x existam Uma questão natural que se coloca é a seguinte se a função produto f g possuir derivada no ponto x seria possível calcularmos essa derivada a partir de f x e de g x que são conhecidas Possivelmente uma primeira resposta inteiramente motivada pela simples intuição a partir da regra de derivada da soma de duas funções e por um hábito natural de busca por generalizar procedimentos poderia ser na forma de outra pergunta a derivada do produto não seria o produto das derivadas Veremos que não De fato vamos concluir que a derivada do produto de duas funções se calcula por outra fórmula não tão simples como a que pode nos parecer tão natural sugerida por um impulso imediato como explicitamos anteriormente Por outro lado ela não deixa de ser de fácil memorização Comecemos pela tentativa natural na matemática que é a de retomar a definição vamos desenvolver a taxa média de variação da função produto procurando escrevêla em termos das taxas médias de variação das funções f e g Se y f x g x sua taxa média de variação é Para que possamos escrever essa expressão em termos das taxas médias de f e de g vamos somar e subtrair no denominador acima o termo Dessa forma obtemos Observe que os termos entre colchetes são as taxas médias de variação das funções f e g respectivamente matemágica Como sabemos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 70 20022011 100425 71 que as derivadas de f e de g existem podemos usar as propriedades do limite de somas e produtos de funções e escrever Nesta última expressão sabemos que e 1 Mas é exatamente a taxa de variação instantânea da função produto fxgx ou seja a derivada Das expressões ante riores acabamos de concluir que tal derivada existe e que seu valor pode ser calculado por fxg x f xgx Esta conclusão está forma lizada na Proposição 21 a seguir denotando a derivada do produto f g por 21 Proposição regra de derivação do Produto Se f e g possuem derivadas no ponto x então a função produto fx gx y também possui derivada no ponto x e essa derivada pode ser calculada pela fórmula 22 exemplo derivada de um produto de funções polinomiais Vamos ilustrar a Regra de Derivação do Produto calculando a derivada da função no ponto 1 x Por essa Regra temos para um x qualquer Assim 1 Já sabemos que uma função que tem derivada em x tem que ser contínua nesse ponto aula 7 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 71 20022011 100426 72 Introdução ao cálculo dIferencIal Se optarmos por não utilizar a Regra de Derivação do Produto podemos expandir o produto dos polinômios e então derivar o polinômio de grau 8 resultante Encontramos após efetuarmos 15 multiplicações e agruparmos os termos de mesmo grau Em seguida encontramos e finalmente p1 246 Observe que o trabalho é muito grande e a utilização da regra do produto é econômica em termos de manipulações algébricas para obtermos a derivada do produto 23 exemplo a derivada de n inteiro positivo Podemos aplicar a Regra de Derivação do Produto para deduzir uma fórmula para a derivada de uma função da forma em que n é um inteiro positivo e u é uma função que possui derivada em x Comecemos com n 2 Assim desejamos derivar a função Pela regra da derivação do produto observe que temos Agora uma vez que aplicamos novamente a regra da derivação do produto e com o auxílio da expressão que dedu zimos para a derivada de encontramos Você pode se convencer de que se aplicarmos indutivamente os argu mentos acima e o fato de que então chega remos à seguinte fórmula de derivação Assim por exemplo a derivada da função é Introdução ao cálculo diferencial2011indd 72 20022011 100429 73 24 exemplo a derivada de n inteiro positivo e Agora vamos aplicar novamente a Regra de Derivação do Produto para desenvolver uma fórmula para a derivada de uma função da forma admitindo que exista a derivada x u e que Assim como antes comecemos com n 2 isto é vamos encontrar a deri vada de u x Como temos Utilizando a regra de derivação que deduzimos na seção anterior encon tramos Podemos então concluir que de onde obtemos Por exemplo no caso em que x u x se admitirmos que a função x possui derivada em concluímos que esta derivada deve ser dada por Agora calculemos a derivada de aplicando nova mente a fórmula de derivação de uma potência deduzida na seção anterior pois Assim encontramos de onde segue que Continuando um processo indutivo não é difícil encontrarmos a seguinte fórmula para a derivada da função se admitindo que u x 0 e que a derivada x u exista Você está convidado a demonstrar essa fórmula bem como a verificar que ela retrata os casos que desenvolvemos acima e aula 7 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 73 20022011 100429 74 Introdução ao cálculo dIferencIal Podemos chegar ainda mais longe2 e deduzir que esta fórmula também é válida para qualquer número racional m r n com n e m inteiros posi tivos3 Por exemplo para x u x e um número racional r qualquer podemos provar que se a derivada de rx existir em ela será dada por Você pode observar que essa fórmula conhecida como a Regra da Potência é a mesma que foi deduzida na Aula 2 para a derivada do monômio n x 3 reGra de derIVação QuocIente de duaS funçÕeS Agora vamos deduzir uma regra para a derivada do quociente de duas funções isto é para uma função da forma gx y fx 4 A taxa média de variação da função y é Reduzindo ao mesmo denominador a expressão entre colchetes encon tramos Para escrever a expressão em termos das taxas média de variação das funções f e g vamos subtrair e somar gxfx mais matemágica no numerador da expressão entre colchetes acima e separar a expressão resultante em uma soma de duas parcelas Veja que como pretendíamos apareceram as taxas de variação de f e de g na expressão da variação média da função gx y fx Para concluir e obter a expressão para a derivada ou taxa de variação instantânea do quociente das duas funções devemos tomar o limite quando h 0 da última expressão5 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 74 20022011 100433 75 Uma vez que deduzimos a regra de derivação para o quociente de funções que enunciamos a seguir denotando a derivada gx fx do quociente g f por 31 Proposição regra de derivação do Quociente Se f e g possuem derivadas no ponto x e se gx 0 então a função quociente gx y fx também possui derivada no ponto x e essa derivada pode ser calculada pela fórmula 32 exemplo a derivada de uma função racional Vamos calcular a derivada da função racional no ponto x 0 utilizando a regra de derivação do quociente Da fórmula que deduzimos na Proposição 31 temos de onde obtemos aula 7 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 75 20022011 100434 76 Introdução ao cálculo dIferencIal 4 reSuMo daS reGraS de derIVação Para futuras consultas vamos resumir na tabela seguinte as regras de derivação que estudamos até agora Na tabela a e b denotam cons tantes u e v denotam funções de x 5 eXercÍcIoS 1 Calcule para a b c d e f 2 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função x y no ponto 11 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 76 20022011 100436 77 3 Utilize as fórmulas e deduzidas nesta aula para mostrar que se e x u existe então Sugestão observe que e faça 4 Encontre a derivada da função e seu valor em x 0 6 referÊncIa PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância aula 7 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 77 20022011 100436 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 78 20022011 100437 AULA 1 Nesse desenvolvimento utilizamos a identidade senab sena cosb senb cosa 8 derivadas de funções trigonométricas e exponenciais ObjETIVO Apresentar as derivadas das funções trigonométricas e das funções exponenciais 1 Introdução Nesta aula vamos calcular as derivadas das funções trigonométricas sen x cos x e tan x bem como a derivada da função exponen cial geral x a com destaque para a exponencial de base e As derivadas das demais funções trigonométricas são apresentadas no texto e seus cálculos deixados como exercício 2 derIVadaS daS funçÕeS trIGonoMÉtrIcaS senx cosx e tanx Comecemos escrevendo a taxa média de variação da função y sen x Nosso objetivo é calcular a taxa de variação instantânea da função y sen x ou seja a sua derivada que é calculada como Observando a expressão que desenvolvemos anteriormente para x y notamos a dependência de x somente em 1 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 79 20022011 100437 80 Introdução ao cálculo dIferencIal 2 Você se lembra que a área de um setor circular de raio r definida por um x x sen e em Os fatores cos x e sen x não serão afetados pelo limite quando x tender a zero Assim onde as constantes lim 0 x sen A x e Esses dois últimos limites são denominados limites trigonométricos funda mentais pelo seu papel central no cálculo das derivadas das funções trigonométricas Antes de prosseguirmos vale registrar esse fato interessante que acabamos de verificar para todo x Você vai deduzir no Exercício 5 a taxa de variação instantânea do cosseno encontrando para todo x em que A e B são os mesmos limites trigonométricos fundamentais Vamos calculálos com o auxílio da representação na Figura 1 Figura 1 O setor do círculo unitário definido pelo ângulo h e os segmentos OC BC e DA cujos comprimentos são respectivamente cos h sen h e h tan Podemos ver na Figura 1 que a área do triângulo COB é menor do que a área do setor AOB e que esta por sua vez é menor do que a área do triângulo AOD Essas três áreas2 são respectivamente e Portanto uma vez que as desigualdades envolvendo as três áreas em questão se expressam por ângulo de é Introdução ao cálculo diferencial2011indd 80 20022011 100440 81 Observe que estamos supondo h positivo e próximo do valor zero o que nos garante que os valores cos h sen h e tan h são todos posi tivos Assim sendo ao multiplicarmos as duas desigualdades acima por encontramos e invertendo cada uma dessas últimas desigualdades isoladamente chegamos à seguinte estimativa para h sen h válida até agora para h 0 e próximo de zero Para valores negativos de h mas ainda próximos de zero temos h 0 e daí Mas como cos h cos h e h sen h h sen h h sen h podemos estender a validade dessa desigualdade também para valores negativos de h mas ainda próximos de zero Isso significa que Agora da continuidade da função cosseno segue que e que Portanto o Teorema do Confronto nos garante que pois Acabamos de concluir que a constante A anterior vale 1 Para calcular o limite trigonométrico fundamental B racionalizamos a expressão e utilizamos a identidade trigonométrica para escrever aula 8 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 81 20022011 100440 82 Introdução ao cálculo dIferencIal 3 Ver Aula 7 última regra em Resumo das Regras de Derivação Por fim a continuidade das funções seno e cosseno nos dá Agora substituindo os valores A 1 e B 0 nas expressões das derivadas de sen x e de cos x encontramos A derivada da função tangente é facilmente obtida da regra do quociente e das derivadas das funções seno e cosseno A seguinte proposição é a formalização do que demonstramos 21 Proposição As derivadas das funções trigonométricas y senx e são respectivamente Lembrese de que e Suas derivadas deixadas como exercício ao final desta aula estão enunciadas na Proposição a seguir Podem ser calculadas usando regras3 propostas na Aula 7 reescrevendo as funções como e Introdução ao cálculo diferencial2011indd 82 20022011 100445 83 22 Proposição As derivadas das funções trigonométricas y sec x y csc x e y cot x são respectivamente 23 exemplo A derivada da função é 24 exercício resolvido Encontre os valores de x para os quais a reta tangente ao gráfico da função y sen2x no ponto de abscissa x é horizontal Resolução Lembrando que temos Utilizamos a propriedade sen a senb cos a cosb b cos a a qual com a b se reduz a Os pontos pedidos são aqueles em que Portanto devemos resolver a equação Como sabemos a função cosseno se anula somente nos múltiplos inteiros ímpares de Portanto os valores de x procurados são aqueles que satisfazem sendo n um inteiro ímpar qualquer A solução é portanto aula 8 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 83 20022011 100446 84 Introdução ao cálculo dIferencIal 4 Com 15 casas decimais e 2718281828459045 5 Pois e 3 derIVada da função eXPonencIal No livro Introdução ao estudo das funções a função exponencial foi apresentada e um destaque especial foi dado à função y ex a expo nencial de base e Lá você foi informado de que o número e é irracional e que seu valor é aproximadamente 271824 Além disso você pôde perceber que a exponencial de base e é de certa forma universal pois praticamente todas as calculadoras possuem uma tecla para avaliação dessa função Uma razão para tal fato é que qual quer outra exponencial da forma y ax pode ser escrita na base e uma vez que ax e kx para k ln a Entretanto uma caracterização geométrica do número e existem várias outras caracterizações equivalentes é a seguinte o número positivo e é tal que a reta tangente ao gráfico da função exponencial y ex no ponto 01 é m 1 Veja a representação na Figura 2 Figura 2 A função exponencial ex f x e a propriedade característica de sua base e a incli nação da reta tangente ao gráfico de y ex no ponto 10 é 1 isto é 1 0 f Mas a inclinação da reta tangente à função y ex no ponto 01 é a derivada dessa função em x 0 Daí segue outra caracterização do número e aquele tal que5 Essa caracterização do número e que não é simples de ser deduzida faz com que a derivada da exponencial de base e coincida com a própria função isto é De fato ao desenvolvermos a taxa de variação média da função y ex encontramos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 84 20022011 100449 85 x e e x e e e x e e x y x x x x x x x x 1 e como encontramos Como ax ekx para k ln a essa propriedade da função exponen cial de base e qual seja nos permite calcular a derivada da função exponencial de base a y ax Realmente utilizando a regra de derivação de potência de uma função isto é para ex u x encontramos em que k ln a Os resultados de nossos cálculos estão formalizados na próxima Propo sição você deve se lembrar que 31 Proposição A função y ax tem derivada e em particular Exercícios resolvidos a Calcule a derivada da função e cos x y x Resolução b Calcule a derivada da função Resolução aula 8 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 85 20022011 100449 86 Introdução ao cálculo dIferencIal Aqui utilizamos a seguinte propriedade da função ln c Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função y xex no ponto de abscissa x 2 Resolução Primeiro devemos calcular a função derivada e depois avaliála em x 2 Dessa forma encontraremos o valor m da inclinação ou coeficiente angular da reta pedida De posse de m como sabemos que a reta deve passar pelo ponto 22e2 chegaremos à equação da reta tangente na forma Temos e daí Assim a equação da reta tangente é 2 3 2 2 2 x e e y ou seja 2 2 4 3 e e x y 4 eXercÍcIoS 1 Calcule para Sugestões use as identidades trigonométricas e 2 Encontre um ponto a b do gráfico da função y sen x cuja reta tangente tenha inclinação Existe algum ponto do gráfico cuja reta tangente tenha inclinação maior do que 1 E menor do que 1 Justifique 3 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y tan x no ponto de abscissa 3 x π 4 Lembrando que encontre as derivadas dessas funções isto é verifique a Propo sição 22 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 86 20022011 100452 87 5 Utilize o conceito de taxa de variação instantânea para verificar que para todo x onde A e B são os limites trigonométricos fundamentais isto é e h cos h B h 1 lim 0 6 Encontre os valores de x para os quais se a x ex y 2 b 7 Calcule a derivada da função y dada a b c d aula 8 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 87 20022011 100452 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 88 20022011 100453 AULA 1 Vibrações oscilações ondas e movimentos periódicos em geral constituem uma parte importante do conhecimento científico Aparecem em contextos diversos desde o estudo do som ao estudo da estrutura atômica de cristais Muitos desses processos são modelados por funções do tipo onde a b e c são números reais constantes Recebem o nome de movimento harmônico simples 2 Tais diferenças são expressas por noções denominadas período e frequência O período T é dado por e corresponde ao tempo exigido para a realização de um ciclo completo da função identificando o ângulo em radianos com medida de tempo t Se t é medido em segundo o número f de ciclos por segundo denominado frequência satisfaz fT 1 Observe que ambas as medidas são diferentes nos exemplos estudados o que significa que as taxas de variação das funções são distintas 9 a regra da cadeia ObjETIVOS Introduzir a Regra da Cadeia explorando exemplos para sugerir seu enunciado Aplicar a regra enunciada em exemplos diversos garantindo a familiarização com seu uso Estender a Regra da Cadeia para a composição de um número qualquer de funções 1 Introdução Já estudamos funções que se expressam por meio da composição de expressões de funções já conhecidas Aqui vamos aprender a deriválas Muitas vezes podemos obter sua derivada reescrevendoas mas o esforço devido a manipulações algébricas que serão necessá rias justifica o desenvolvimento de um método mais direto conhecido como Regra da Cadeia Esta aula é dedicada ao estudo dessa regra e estruturase em três momentos Primeiro exploramos exemplos para percebermos a neces sidade de estender as regras de derivação conhecidas até aqui Em seguida enunciamos o resultado central finalizando com a análise de exemplos Vocês verão que na Aula 7 já deduzimos alguns resultados que envolvem a Regra da Cadeia 2 eXeMPlo MoVIMento HarMÔnIco1 Iniciamos esta aula com o exame do movimento harmônico descrito por y sen x comparandoo com outro descrito por x sen y 2 Um ciclo da função no primeiro caso estaria completo para uma variação de x em No segundo caso um ciclo se completa em um intervalo com exatamente a metade do comprimento do primeiro2 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 89 20022011 100453 90 Introdução ao cálculo dIferencIal Isso quer dizer que uma mesma variação x em um ponto 0x corres ponde a valores diferentes de y em cada uma das funções Em outras palavras a taxa de variação média x y de cada uma das funções em um mesmo intervalo é diferente Portanto não há como afirmar que os valores da taxa de variação instantânea ou derivada x y x 0 lim são iguais em ambos os casos Na verdade tudo indica que eles são mesmo distintos Essa discussão se confirma escrevendo Então Resolvendo a derivada na expressão à esquerda do sinal de igualdade pela regra do produto e utilizando uma identidade trigonométrica adequada chegamos a Confirme esse resultado Compare o resultado com identificando semelhanças e diferenças Antes de explicarmos por completo o que está acontecendo em casos como esses vamos estudar outros dois exemplos 3 eXeMPlo conSuMo de coMBuStÍVel Em uma de suas viagens frequentes a São Paulo Jussara percebeu que o marcador de gasolina não funcionava Cuidadosa com o consumo de combustível por causa das distâncias aos postos de abastecimento nas estradas fez estimativas assumindo que o consumo C de gasolina depende da distância percorrida s medida em quilômetros que por sua vez depende da variável tempo t medida em horas Ela tinha conhe cimento do desempenho de seu carro que faz uma média de 10 km por litro de gasolina de modo que uma estimativa aceitável para a derivada da função consumo C em relação à variação da distância percorrida seria Atenta ao velocímetro procurava dirigir a uma velocidade média de 80 kmh para tornar mais precisas as suas estimativas Você sabe como Jussara fez para saber qual é a taxa de consumo de gasolina em cada hora Refletindo sobre a situação veja que se multiplicarmos consumo por quilômetro número de quilômetros percorridos por hora avaliamos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 90 20022011 100455 91 o consumo de gasolina por hora uma taxa que podemos denominar Numericamente Em linguagem matemática algébrica representamos C C s e s s t e escrevemos a expressão 4 coMParando taXaS de VarIação Seja a função Podemos desenvolver o binômio e escrevêla como Sua derivada é fácil de encontrar e se escreve Essa última pode ser reescrita como Há outros modos de reescrever a expressão mas essa foi a escolhida porque a expressão entre parênteses é idêntica à expressão entre parênteses da função Para estabelecer as relações que têm importância nesta aula vamos pensar a função como composta de duas funções reais Há modos de escrevêla como composta de mais de duas funções mas identificar sua expressão como composição de duas funções será sufi ciente para nosso propósito aqui Para isso pense na última ação ou comando que vamos executar para calcular em um valor de x específico utilizando uma calculadora Por exemplo em x 3 Você concorda que o último comando será elevar ao quadrado o valor resultante de 4 32 3 Escrevendo em linguagem matemática repre sentamos tal última ação por y u2 onde 4 2 3 x u Agora calcule e Veja que Relacionando a derivada com o produto vemos que são idênticas após reordenarmos os fatores e fazermos 4 2 3 x u Em outras palavras aula 9 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 91 20022011 100455 92 Introdução ao cálculo dIferencIal Estamos prontos para enunciar a Regra da Cadeia 5 enuncIado da reGra da cadeIa 51 regra da cadeia Sejam f e g funções deriváveis cuja composta y f g x está definida Sua derivada se expressa em termos das derivadas de f e g como Traduzindo em palavras informalmente a derivada da composta de duas funções é a derivada da função ou comando ação externa vezes a derivada da função interna 52 notação e linguagem Em notação devida a Leibniz escrevemos y f u e u g x e com calculada em u g x Essa foi a linguagem que utilizamos nos três exemplos que introduziram esta aula Embora a Regra da Cadeia tenha sido enunciada utilizando outra notação os exemplos nesta aula sinalizam a preferência pela notação de Leibniz 6 utIlIZando a reGra da cadeIa Procure resolver os exemplos seguintes pela Regra da Cadeia antes de estudar a solução proposta Um dos obstáculos para utilizarmos a regra parece ser o de expressar adequadamente a função que queremos derivar como composta de outras duas Por isso inicie sempre analisando como escrever a função a ser derivada em dois comandos ou funções que você já sabe derivar pelas regras de derivação estabelecidas 61 exemplo Calcule a derivada da função 2 1 sen x y Solução Como sugerimos ensaie a simulação identifique o último comando Introdução ao cálculo diferencial2011indd 92 20022011 100458 93 para calcular o valor y dessa função num ponto x específico utili zando uma calculadora Você concorda que o comando seria digitar a tecla seno do valor resultante de x2 1 para um ponto específico Então escreva3 y senu onde u x2 1 A resposta final deve ser expressa em termos de x e então 62 exemplo Encontre a derivada de em seu domínio Solução Primeiro lembrese que Depois simule o cálculo do valor da função em um ponto utilizando uma calculadora e escreva y u 14 com4 ex x u 5 3 Agora derive a função utilizando a regra Expressando a resposta em termos de x e usando propriedade de potên cias escrevemos 63 exemplo Determinar y para senx x y 2 1 5 x 0 π Solução Veja que aqui temos que utilizar a regra do produto e a Regra da Cadeia 1 2 1 2 5 5 senx x senx x y Então a 2 1 5 x y se escreve como y u5 onde 2 1 x u Desse modo aula 9 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 93 20022011 100459 94 Introdução ao cálculo dIferencIal b senx 12 senx y se escreve como y u 12 com u senx Assim pela regra do produto a resposta é Após aplicarmos a Regra da Cadeia bem como outras regras de deri vação é importante simplificarmos as expressões obtidas Vamos fazer esse treino desde já embora sua importância fique mais clara nas próximas aulas 64 exemplo Calcular a derivada de Solução Podemos resolver este exemplo pela regra do quociente mas aqui vamos reescrever a função como e considerar y u1 onde Da Regra da Cadeia escrevemos Veja como fica o resultado da derivada se o reescrevemos utilizando as identidades trigonométricas Observe que deduzimos a regra de derivação da função x y cot uma vez que 65 exemplo Determine a inclinação da tangente à curva do gráfico de e 2 x2 y no ponto x 0 Solução Para isso devemos primeiro calcular a derivada y da função Escre vendo a função para utilizar a Regra da Cadeia colocamos y ue Introdução ao cálculo diferencial2011indd 94 20022011 100501 95 onde 2 2 x u Calculando a derivada no ponto x 0 temos 2 0 0 2 0 e y 0 Lembrese que isso significa que a tangente ao gráfico da função no ponto 0 e2 é horizontal 66 exemplo Mostre que o coeficiente angular da tangente ao gráfico de é sempre positivo para todo ponto x em seu domínio Solução O coeficiente angular da tangente corresponde em cada ponto ao valor da derivada da função A derivada da função pode ser obtida pela Regra da Cadeia escrevendo 3 3 1 u u y onde Assim Veja que numerador e denominador dessa função são positivos a função y ex é sempre positiva e a expressão no denominador sendo uma potência par será sempre positiva Segue que o quociente de funções que representa é sempre positivo 67 exemplo Um balão esférico está sendo inflado nesse caso seu raio r é função do tempo t Solução A Regra da Cadeia nos dá condições de escrever a taxa de variação de seu volume se conhecermos a taxa de variação de seu raio r Veja como isso é feito 3 3 4 r V π e r r t Desse modo pela Regra da Cadeia sabemos que e então aula 9 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 95 20022011 100502 96 Introdução ao cálculo dIferencIal 68 exemplo Calcular a derivada de Solução Essa função apresenta uma dificuldade adicional que pode ser facil mente contornada Simulando calcular a função num ponto utilizando uma calculadora o último comando será elevar ao quadrado Ou seja y u2 onde Se analisarmos atentamente essa última expressão u x vemos que ela por sua vez é a composta de outras duas funções u tant onde x t 5 Para prosseguirmos aplicando a Regra da Cadeia para derivar vamos deixar indicada a derivada de Feito isso vamos nos ocupar com o cálculo de que será realizado identificando t u tan onde x t 5 e aplicando novamente a mesma Regra da Cadeia Substituindo na expressão final e escrevendo em termos de x obtemos 69 exemplo Vamos retomar o exemplo anterior buscando uma síntese de seu desen volvimento A função se decompõe nos seguintes comandos e a Regra da Cadeia neste caso se escreveu Vários comentários interessantes podem ser feitos Dentre eles observe como Leibniz concebeu sua notação projetando um modo de operar com ela como operamos com as frações Veja como podemos cancelar numeradores e denominadores intermediários em Introdução ao cálculo diferencial2011indd 96 20022011 100504 97 obtendo Isso sugere uma generalização da Regra da Cadeia que por mais incrível que pareça é mesmo possível Veja a seguir Sejam por exemplo y u t t s v v m x todas deriváveis em um intervalo I Então Cancele nume rador e denominador intermediários em e veja que você obtém exatamente Na verdade o que fizemos para induzir a expressão do exemplo anterior a partir da Regra da Cadeia é uma estratégia recorrente na construção do conhecimento matemático nós temos estabelecida a Regra da Cadeia para a composição de duas funções f g se nos propusermos a derivar a composta de três funções h g f reescrevemos a expressão como a seguir h g f h g f Nessa reescrita h g f f H onde h g H Visto assim fazemos recair a composição de três funções em duas expressões que envolvem a composição de duas funções para as quais a regra conhe cida se aplica 7 eXercÍcIoS 1 Encontrar pela Regra da Cadeia 2 Encontrar a equação da reta tangente à curva do gráfico da função no ponto indicado a 1 3 2 x sen x y no ponto 0 sen 1 P b 4 1 x y no ponto c no ponto 00 P aula 9 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 97 20022011 100505 98 Introdução ao cálculo dIferencIal 3 Encontre os pontos no gráfico de sen x senx x f 2 2 nos quais a reta tangente é horizontal 4 Calcular a derivada de x x y 8 referÊncIaS FINNEY R WEIR M GIORDANO F Cálculo George B Thomas São Paulo Addison Wesley HUGHESHALLETT D et al Cálculo e aplicações Tradução de E F Gomide São Paulo Edgard Blücher PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 SWOKOVSKI E W Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1991 v 1 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 98 20022011 100505 AULA 1 Até este momento as funções que estudamos são descritas por expressões nas quais uma das variáveis está explícita em termos da outra na forma y f x 10 diferenciais e derivadas de funções implícitas ObjETIVOS Apresentar a noção de diferencial e trabalhar a ideia de linearização de fun ções Definir funções implícitas e derivação implícita Usar a noção de diferen cial para linearizar funções implícitas 1 Introdução Nesta aula vamos desenvolver duas noções importantes a de lineari zação de funções e a de derivada de funções cuja lei explícita não é conhecida Para a primeira ideia retomamos o fato de que se uma função y f x admite derivada em um ponto 0x x a reta tangente ao gráfico naquele ponto quase coincide com o gráfico da função localmente Vamos interpretar essa representação em termos das expressões algébricas de y f x e da reta tangente Quanto à segunda ideia vamos passar a trabalhar com relações entre variáveis que representam funções expressas implicitamente1 isto é escondidas em uma equação na forma 0 F x y Vamos aprender a derivar funções sem conhecer a expressão explícita da relação entre suas variáveis Retomando a primeira ideia desta aula vamos também discutir a importância desse procedimento e a razão pela qual derivar possibilita linearizar a função 2 dIferencIaIS A Figura 1 sugere que para pontos muito próximos de 0x x a equação da reta pode substituir a equação da função em termos de cálculo de seus valores Introdução ao cálculo diferencial2011indd 99 20022011 100505 100 Introdução ao cálculo dIferencIal 4 Ainda na Figura 2 observe na representação do comprimento calculado o erro que com certeza foi cometido na estimativa por excesso que foi feita Figura 1 Gráfico de y f x e reta tangente ao gráfico em um ponto A O exemplo a seguir é um caso específico do procedimento sugerido por essa observação 21 exemplo estimativas para a raiz quadrada Podemos estimar valores para a raiz quadrada de um número próximo ao ponto x 1 determinando a equação de sua reta tangente nesse ponto e utilizandoa para calculálos2 ao invés de utilizarmos a expressão x y A equação da reta tangente3 a x f x y em 11 é 1 2 1 1 x y ou seja 1 2 1 1 x y Observe o aspecto visual dos gráficos de x y e de 1 2 1 1 x y na Figura 2 Ele sugere que o valor da raiz quadrada de um número real próximo de x 1 por exemplo de pode ser estimado substituindo a equação da função x y por 1 2 1 1 x y Ou seja escrevendo 1 2 1 1 x x Assim4 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 100 20022011 100508 101 Figura 2 Gráfico de x y e reta tangente ao gráfico no ponto 11 22 estimativas para valores de f x y Imitando a estratégia desenvolvida em 21 mas agora para uma função qualquer y f x que admite derivada 0x f escrevemos 0 0 0 x x x f f x f x e utilizamos a expressão linear para calcular valores de y f x próximos de 0x x Explore na Figura 3 o que estamos propondo fazer Figura 3 Diferenciais e linearização de funções aula 10 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 101 20022011 100508 102 Introdução ao cálculo dIferencIal A Figura 3 representa uma ideia importante a de linearizar uma função localmente ou seja próximo a um ponto onde ela admite derivada A proposta é substituir a expressão de uma função y f x que pode ser complicada ou desconhecida por uma expressão algébrica linear que é fácil de trabalhar Observe os comprimentos dy e y e dx x dx Eles serão importantes nesta discussão pois vamos falar sobre eles mais adiante Como no exemplo 21 o exemplo 23 a seguir também faz uso da ideia de linearização para estimar valores futuros de uma função cuja fórmula não é conhecida 23 exemplo estimativa para a pressão atmosférica A pressão atmosférica P decresce à medida que a altura h aumenta A uma temperatura de 15ºC a pressão é de 1013 quilopascals kPa ao nível do mar 871kPa 87 1 a h 1km e 749kPa 74 9 a h 2km Use uma aproximação linear para estimar a pressão atmosférica a uma altitude de 3km5 Solução A expressão da função P h não é conhecida mas é uma boa hipótese supor pela característica do fenômeno que a função que a modela tem derivada6 Vamos escolher o ponto h 2 para desenvolver a questão porque esse é o ponto mais próximo de h 3 A derivada de P h em h 2 pode ser estimada7 por A equação da reta8 que passa por 2 P 2 e tem inclinação 122 será Vamos utilizála para determinar P 3 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 102 20022011 100512 103 9 Vale observar que escolhemos o ponto x 27 para desenvolver nossa estimativa por ser um ponto em que calculamos o valor da função apenas com nosso conhecimento de potências cúbicas e por ser próximo do ponto 269 24 notação e linguagem Retomando a expressão em 22 0 0 0 x x x f f x f x podemos reescrevêla como 0 0 0 x x x f f x f x Observe que 0x f f x é a variação em y correspon dente à variação x 0x em x Vamos utilizar notação estabelecida em aulas anteriores e escrever y f x f x 0 ou f f x f x 0 e x x x 0 Ou seja escrito nessa notação temos assumido que x x f y 0 A definição a seguir estabelece a noção que estamos discutindo 25 definição Seja y f x uma função que tem derivada em 0x x Chamamos diferencial de f em 0x a expressão x x f 0 simbolizandoa por Usando essa definição não escrevemos por extenso a equação da reta tangente a y f x no ponto 0x x ao desenvolver o processo de estimar valores para 1x f Uma vez conhecido o valor 0x f escre vemos simplesmente 26 exemplo uso de diferenciais Usando diferenciais vamos calcular escrevendo9 3 2 3 1 3 x y x y e então Portanto 00 37 Assim e Usando uma calculadora calcule 2 963 3 e verifique nossa estima tiva aula 10 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 103 20022011 100513 104 Introdução ao cálculo dIferencIal 10 Tente especificar valores para x e determine valores correspondentes a y se existirem 11 Basta resolvermos a equação como uma equação do segundo grau em x pense num valor especifico para x e resolva a equação 3 derIVadaS de funçÕeS IMPlÍcItaS Iniciamos a discussão sobre essas funções com alguns exemplos 31 exemplo y f x definida por 1 2 2 y x Na equação 1 2 2 x y ou 0 1 2 2 x y variações convenientes em x fazem corresponder variações em y No caso dessa equação cada valor numérico atribuído a x em 11 corresponde exatamente a dois valores de y10 Isso quer dizer que essa equação não define uma única y f x Nesse caso ela define pelo menos duas 2 1 x y ou 2 1 x y Explore nas figuras a seguir o gráfico da equação 1 2 2 x y e de algumas funções implícitas de x que podem ser definidas Figura 4 A equação 1 2 2 y x e representações de algumas de suas funções implícitas 32 exemplo y f x definida por Para a equação também é possível expressarmos a variável y como função de x explicitamente11 Assim obteremos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 104 20022011 100514 105 12 Quantas funções y f x você consegue perceber a partir do gráfico da equação neste caso 13 Em outras palavras é difícil isolar y de um lado da igualdade e uma expansão envolvendo somente x do outro lado 14 O motivo deste trabalho pode ser justificado pelo que discutimos na seção 2 conhecendo a derivada de uma função num ponto conhecemos a expressão de sua reta tangente e podemos linearizar a expressão da função em estudo 2 2 4 2 2 2 x x x y 2 2 2 x2 x 2 2 2 x x e 2 2 4 2 2 2 x x x y 2 2 2 x2 x 2 2 2 x x 33 exemplo y f x definida por Veja a equação representada na Figura 5 Aqui também é possível definirmos recortes ou janelas tais que a equação dada deixe explícita12 a função y f x Figura 5 Gráfico da equação Apesar de ser visualmente simples exibirmos gráficos de funções recor tando adequadamente o gráfico da equação dada é trabalhoso neste exemplo e em muitos outros casos exibirmos a lei algébrica explícita13 da função y f x Em situações como essa tornase interessante a ideia de aproximarmos a lei da função pela lei da reta tangente ao gráfico de y f x em 0x x como fizemos no início desta aula Para isso necessitamos da derivada em 0x x da função que está implícita A proposta é deter minála a partir da equação F x y 0 ou seja sem conhecer a lei explícita da função y f x Em síntese vamos desenvolver uma técnica para derivar a função y f x definida implicitamente pela equação F x y 0 A Regra da Cadeia será útil nesse caso14 Vamos explorar a estratégia de calcular as derivadas das funções do exemplo 31 sem obtermos a função na forma explícita aula 10 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 105 20022011 100515 106 Introdução ao cálculo dIferencIal 34 exemplo derivando y f x definida implicitamente por 0 1 2 2 y x A derivada de y f x definida implicitamente por 0 1 2 2 x y pode ser encontrada derivando em relação a x ambos os membros da igualdade ou seja Uma vez que y f x a Regra da Cadeia deve ser utilizada para calcularmos Assim15 35 exemplo derivando y f x definida implicitamente por Derivando em relação a x ambos os membros da equação como no exemplo anterior escrevemos Observando y f x e as regras de derivação encontramos e Portanto16 36 exemplo derivando y f x definida implicitamente por x3 y3 2xy Ao derivar implicitamente obtemos Introdução ao cálculo diferencial2011indd 106 20022011 100518 107 17 Observe que 3y2 6x deve ser diferente de zero para que a derivada da função definida implicitamente por x3 y3 6xy exista 18 Você sabe verificar que o ponto 11 está sobre a curva Assim 17 37 exemplo linearizando y f x definida implicitamente por Não é fácil explicitarmos y f x na equação porque não é fácil resolvermos a equação do terceiro grau que resulta da espe cificação de valores de x Utilizando diferencial e o conceito de lineari zação podemos encontrar valores que satisfaçam a equação próximos de valores conhecidos sobre a curva Veja que o ponto 11 satisfaz a equação da curva e está no domínio da expressão da derivada calculada implicitamente18 Assim a função y f x definida implicitamente pela equação pode ser aproximada pela equação 1 1 1 x y para valores de x y próximos do ponto 11 Essa última equação linear é a equação da reta tangente ao gráfico de y f x em 11 Então escrevemos que 2 1 1 1 x x f x y para y f x próximo do ponto 11 definida implicitamente por Veja na Figura 6 a representação do gráfico das funções mencionadas Figura 6 A função definida implicitamente por aula 10 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 107 20022011 100518 108 Introdução ao cálculo dIferencIal Se quisermos encontrar por exemplo o ponto sobre a curva de abscissa 0009 e ordenada próxima de 1 escrevemos 1991 0 009 2 0 009 y 4 eXercÍcIoS 1 Escreva a expressão da diferencial de y 3 x no ponto 11 2 Use diferenciais para estimar 3 Para a função derivável y f x definida implicitamente encontre 4 Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de y f x definida implicitamente por xy 8 0 no ponto 42 P 5 Mesmo enunciado de 4 para no ponto 5 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 FINNEY R WEIR M GIORDANO F Cálculo George B Thomas São Paulo Addison Wesley PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 STEWART J Cálculo v 1 São Paulo Pioneirav 1 SWOKOWSKI E Cálculo com geometria analítica São Paulo Makron Books 1991 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 108 20022011 100519 AULA 1 A dedução das regras de derivação foi feita por meio do cálculo do limite do quociente que representa as taxas de variação média das funções em um ponto 2 Chamamos aqui a sua atenção para a importância da Regra da Cadeia neste desenvolvimento Estudea com bastante carinho 11 derivada da função inversa ObjETIVOS Deduzir a expressão da derivada da função inversa utilizando a derivação im plícita Deduzir as regras de derivação das inversas da função exponencial e das funções trigonométricas 1 Introdução Nesta aula vamos deduzir as regras de derivação para a função loga rítmica e as três funções trigonométricas inversas a arco seno a arco cosseno e a arco tangente O processo de dedução das regras de derivação aqui é diferente dos que foram desenvolvidos para as demais funções elementares Até agora nosso ponto de partida foi sempre a definição de derivada1 Nesta aula vamos utilizar a teoria já construída a partir das definições para demons trar os resultados que anunciamos A teoria matemática se constrói desse modo Assim sem perda de rigor na construção do conhecimento podemos lançar mão da derivação implícita e consequentemente da Regra da Cadeia estudadas em aulas anteriores para estabelecer os resultados que anunciamos2 A dedução da regra de derivação para as funções que vamos estudar reproduz a que será utilizada para escrever a derivada de funções inversas f 1 em termos da derivada de f Dessa forma as primeiras deduções são exemplos para definir ao final desta aula uma propo sição estabelecendo a derivada da função inversa Introdução ao cálculo diferencial2011indd 109 20022011 100519 110 Introdução ao cálculo dIferencIal 3 A regra de derivação de funções exponenciais foi deduzida na Aula 8 4 Lembrese da Regra da Cadeia porque implicitamente y é uma função de x 2 eXeMPlo a derIVada de funçÕeS loGarÍtMIcaS A função logarítmica foi definida como inversa da função exponen cial x y loga x a y Utilizando a regra de derivação de funções exponenciais3 e a estratégia da derivação implícita desenvolvida na aula anterior encontramos derivando a equação a y x Para isso seguimos o mesmo procedimento dos exemplos e exercícios propostos na Aula 10 escrevendo e 14 Segue que Para escrever a expressão da derivada em termos de x retomamos a definição x y loga x a y e estabelecemos a regra enunciada a seguir 21 Proposição A derivada de x y loga é dada por A função logaritmo natural y ln x com base a e tem a expressão da sua derivada simplificada Podemos reescrevêla e estabelecer a regra 22 Proposição A derivada de Agora é só praticar Nos exemplos a seguir vamos utilizar a nova regra de derivação deduzida Introdução ao cálculo diferencial2011indd 110 20022011 100521 111 5 Esse procedimento deve ser observado antes de iniciarmos manipulações algébricas e aplicações de regras Muitas vezes é possível preparar o desenvolvimento reescrevendo as expressões e poupar muito trabalho algébrico 23 exemplos utilizando a nova regra de derivação 1 Derivar a função Pela regra do produto escrevemos 2 Derivar Escrevendo u e x u usamos a Regra da Cadeia para escrever 3 Utilizar a Regra da Cadeia e derivar para x 1 Lembrese de que se decompõe como onde Segue que Escrevendo em termos da variável x obtemos 4 Derivar Escrevendo onde encontramos 5 Encontrar a derivada de Antes de derivar observe que Escrever a expressão desse modo nos auxilia porque vamos evitar a aplicação da regra do quociente5 em x x u 2 1 1 Assim reescrita aula 11 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 111 20022011 100522 112 Introdução ao cálculo dIferencIal 6 Esse procedimento é chamado Derivação Logarítmica 24 exemplo a derivada de y xa onde a é um número real Para estendermos a regra de derivação de potências naturais de x a expoentes reais vamos reescrever a expressão y xa em que a 0 é um número real de modo a utilizarmos procedimentos já conhecidos Iniciamos tomando o logaritmo em ambos os membros da igualdade6 A relação entre as variáveis não é alterada uma vez que as funções logarítmicas são injetivas Derivando essa última igualdade sem nos esquecermos de que y é uma função de x chegamos a Então como gostaríamos que fosse válido A partir de agora temos suporte teórico para derivar qualquer potência de x Vamos enunciar o resultado na proposição a seguir 25 Proposição A derivada de y xa onde a é um número real se escreve como onde for definida 26 exemplo a derivada de xπ y Pela proposição 25 1 πxπ y 3 eXeMPlo derIVadaS daS funçÕeS trIGonoMÉtrIcaS InVerSaS Nós já definimos y arcsenx se e somente se x seny com 2 2 π π y se e somente se para 0 y π Introdução ao cálculo diferencial2011indd 112 20022011 100523 113 para 2 2 π π y Nesta aula vamos aprender a derivar essas funções A estratégia será semelhante à utilizada para derivar as funções logarítmicas 31 a derivada de arcsen x y Retomando a relação y arcsenx x seny a derivação implí cita nos permite escrever Ou seja Isto quer dizer que Uma vez que construímos a inversa para 2 2 π π y observe que os valores de cosy serão positivos Sendo x seny o domínio de y arcsenx será o intervalo 11 Para reescrevermos a expressão em termos de x devemos escrever cosy em termos de seny Utilizamos identidades trigonomé tricas no caso a identidade A partir dela podemos escrever A escolha pela raiz quadrada positiva se deve ao fato de que para 2 2 π π y Assim podemos afirmar Veja que essa derivada só existe no intervalo aberto 11 Com essa conclusão deduzimos a proposição a seguir 311 Proposição A função y arcsen x definida no intervalo fundamental em que 2 2 π π y e com domínio 1 1 x tem deri vada para 11 x aula 11 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 113 20022011 100524 114 Introdução ao cálculo dIferencIal 312 exemplo utilizando a nova regra para derivar 2 3 arcsen x y Para derivar 2 3 arcsen x y utilizamos a regra deduzida na propo sição 311 e naturalmente a Regra da Cadeia Então Reescrevendo em termos da variável x temos 32 a derivada de Para obtermos a derivada de trabalhamos do mesmo modo que em 31 Primeiro observamos que se e somente se para 0 y π Seu domínio será como na discussão da função arco seno em 31 restrito ao intervalo 11 Derivando implicitamente a expressão chegamos a Da mesma identidade trigonométrica que utilizamos em 31 concluímos 321 Proposição A função definida no intervalo fundamental em que 0 y π e com domínio 1 1 x tem derivada para 11 x 322 exemplo utilizando a nova regra para derivar Para derivar a função vamos expressála como a composta de onde sen x u 4 Observe que por sua vez sen x u 4 se escreve u senv onde x v 4 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 114 20022011 100526 115 7 Essa forma com que estamos desenvolvendo a Regra da Cadeia não precisa ser tão detalhada quando você já estiver seguro de sua utilização Assim pela Regra da Cadeia7 Escrevendo em termos de x e reordenando os termos obtemos 33 a derivada de Da definição para o intervalo fundamental 2 2 π π y Derivando implicitamente e então Segue que Uma vez que x tan y para reescrever a expressão em termos de x retomamos a identidade 1 tan2 y sec2 y obtendo Esses cálculos deduzem a proposição a seguir 331 Proposição A derivada da função definida em é dada por 332 exemplo utilizando a nova regra para resolver problemas Um balão é solto ao nível da visão de um observador que está a 30 m de distância da base de lançamento O observador acompanha a subida do balão movendo seu olhar Você sabe relacionar a velocidade com que o ângulo de visão θ está se modificando com a velocidade com que o balão sobe se afastando do solo aula 11 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 115 20022011 100526 116 Introdução ao cálculo dIferencIal Faça um desenho identificamos que Assim Para derivar a expressão em relação a t usamos a Regra da Cadeia Assim Ou seja Veja que nessa questão a variação não foi informada Por isto a resposta à questão está expressa em função dessa variável 4 a derIVada da função InVerSa Do mesmo modo que as funções estudadas nos exemplos a função f 1 inversa de f quando existe é definida por x f y 1 x f y Em pontos onde f for derivável podemos derivar implicitamente a equação x f y e escrever Assim Para que exista essa derivada será necessário que f y 0 Sistema tizamos esse resultado na proposição a seguir 41 Proposição Sejam f e f 1 funções inversas e f derivável em um ponto a de seu domínio com f a 0 Então x f y 1 é derivável no ponto b f a e Introdução ao cálculo diferencial2011indd 116 20022011 100528 117 42 notação e linguagem Observe que a notação utilizada no enunciado da proposição não foi uniforme junto com a notação de Leibniz fizemos uso da notação f para tornar mais concisa a expressão da derivada da função inversa Por outro lado uma vez que x f y ao escrevermos ao invés de f a equação que buscamos tornase com a derivada no denominador calculada em y y x Novamente observe como as notações de Leibniz parecem satisfazer regras válidas para operar com frações 5 eXercÍcIoS 1 Encontre as derivadas das seguintes funções a 3 arcsen x y b c d 6 referÊncIaS PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com Geometria Analítica São Paulo McGraw Hill 1987 STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira v 1 aula 11 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 117 20022011 100528 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 118 20022011 100528 AULA 12 taxas relacionadas ObjETIVO Mostrar através de exemplos como determinar uma taxa de variação de modo indireto a partir de outras taxas que lhe são relacionadas utilizando a Regra da Cadeia 1 Introdução Em alguns modelos matemáticos de situações ou fenômenos diversos vinculamos grandezas por meio de equações e a partir desse vínculo desejamos saber como uma dessas grandezas varia em relação às outras Muitas vezes porém essa informação não é acessível explícita ou dire tamente a partir do modelo matemático ou das informações disponíveis que envolvem o modelo Nesta aula vamos ilustrar em algumas dessas situações como podemos relacionar variáveis e lançar mão da Regra da Cadeia para obtermos de modo indireto as taxas de variação que desejamos 2 eXeMPloS de ProBleMaS SoBre taXaS relacIonadaS Problema 1 O lado de um quadrado aumenta à taxa constante de 5 ms Determine a taxa de variação da área desse quadrado no instante em que a medida de seu lado é 10 m Resolução Se denotarmos o lado do quadrado por L e a sua área por A então teremos A L2 De acordo com as informações que temos o lado do quadrado e portanto também a sua área dependem também do Introdução ao cálculo diferencial2011indd 119 20022011 100529 120 Introdução ao cálculo dIferencIal tempo t Além disso a taxa velocidade com que o lado está variando com o tempo é constante e em metros por segundo dada pelo valor 5 A tradução dessa informação é observe que ela indica que o lado do quadrado está aumentando com o tempo pois a derivada de L em relação ao tempo é positiva Desejamos saber a taxa de variação velocidade instantânea da área do quadrado no exato instante em que o seu lado mede 10 m Isto é se t é tal que então queremos encontrar o valor A t ou em outra notação o valor Poderíamos pensar em resolver esse problema da seguinte forma encontramos a expressão L t e o instante t Em seguida elevando L t ao quadrado encon tramos A t e logo após por derivação encontramos tA Final mente calculamos o valor pedido A t Mas pensando melhor como poderíamos encontrar L t se não sabemos a medida do lado do quadrado no instante inicial t 0 isto é o valor L0 É natural imaginarmos que t5 L L t 0 uma função do primeiro grau pois a taxa de crescimento de L com relação a t é constante 5 ms Entretanto em princípio precisaríamos saber o valor de L0 L0 para resolvermos a equação a qual nos daria o valor de Mesmo sem sabermos o valor de 0 L se prosseguíssemos com a nossa primeira ideia encontraríamos e por fim Assim encontraríamos 100m s 2 para a taxa de variação da área com relação ao tempo no instante em que o lado mede 10 m Agora vejamos outra forma de resolvermos o problema utilizando a Regra da Cadeia sem precisarmos encontrar o valor t mas sabendo o que esse valor significa Sabemos que A é função de L e que L por sua vez é função de t Dessa forma como vimos acima A também é função composta de t e pela Regra da Cadeia podemos derivar A em relação a t da seguinte forma em que é a derivada de A em relação a L avaliada em L L t Assim sabendo que existe um valor t tal que1 podemos calcular 1 Estamos utilizando uma notação alternativa para L t Introdução ao cálculo diferencial2011indd 120 20022011 100531 121 Não é mais rápido e menos trabalhoso Você percebeu que essa reso lução não exigiu que calculássemos t Veja no próximo problema uma situação parecida em que uma estratégia de solução como a primeira anterior não seria viável pelo simples fato de não ser disponível uma informação que permita calcular t explicitamente Problema 2 A hipotenusa de um triângulo retângulo tem comprimento constante de 6 m O comprimento do cateto B varia com o tempo de modo que num dado instante seu valor é 3 m e sua taxa de variação é 8m h Determine a taxa de variação do outro cateto nesse instante Figura 1 Triângulo retângulo de hipotenusa 6 e catetos Bt e Ct Resolução Denotemos por C o outro cateto Então segue do Teorema de Pitágoras que B2 C2 36 Desejamos encontrar C t em que t denota o instante em que Bt 3 De acordo com o enunciado acima Bt 8 assim B está decrescendo nesse instante Entre tanto o enunciado não nos permite encontrar uma expressão para B t da qual obteríamos t Observe que não podemos concluir que a taxa de variação tB é constante e igual a 8 Na verdade só temos a infor mação sobre essa taxa no instante t Assim nossa única alternativa é utilizar a Regra da Cadeia para obtermos a taxa de variação C t Temos derivando a equação B2 C2 36 em relação a t Agora dividindo essa última equação por 2 e avaliandoa em t t considerando ainda que Bt 3 e que encontramos Mas lembrando que 32 Ct2 36 obtemos e substituindo esse valor na equação acima encontramos Portanto a taxa de variação pedida é aula 12 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 121 20022011 100531 122 Introdução ao cálculo dIferencIal O valor positivo indica que C está crescendo no instante t Problema 3 Um trem A deixa uma estação num certo instante e viaja sempre na direção norte a uma velocidade de 80 kmh Um segundo trem B deixa a mesma estação 2 horas depois e viaja sempre na direção leste a uma velocidade de 96 kmh Determine a taxa de variação da distância entre os trens 1h e 30min depois de o trem A ter deixado a estação Figura 2 Posição relativa dos trens A e B Resolução Consideremos como instante inicial t 0 aquele em que o trem B saiu da estação Denotemos por x a distância entre o trem B e a estação por y a distância entre o trem A e a estação e por d a distância entre os dois trens Assim após t horas da partida do trem B essas distâncias se relacionam da seguinte forma 2 2 2 y x d Se deri varmos essa equação com respeito a t vamos encontrar a qual é válida para t 0 Dividindo essa equação por 2 e isolando a derivada d obtemos para cada instante t 0 d xx yy d De acordo com o enunciado do problema precisamos determinar 51 d Dos valores acima necessários para o cálculo de 51 d dispomos somente de x15 96 e y15 80 Observe que a partir do instante inicial considerado as velocidades dos trens A e B são cons tantes e respectivamente dadas por yt 80 e xt 96 para t 0 Sendo assim necessitamos encontrar d 51 51 x e 51 y Mas como 2 2 2 y x d para t 0 basta que encontremos 51 x e 51 y pois 2 2 51 y 51 x d 51 No momento em que o trem B partiu instante t 0 que estamos considerando o trem A estava a 160 km distantes da estação Como ele continuou com a velocidade constante de 80 kmh sua distância à estação se exprime por yt 160 80t para t 0 Já o trem B Introdução ao cálculo diferencial2011indd 122 20022011 100533 123 manteve sua velocidade constante e igual a 96 kmh e se encontrava inicialmente na estação Logo sua distância à estação se expressa por xt 96t para t 0 Assim e Agora que temos todos os dados para calcular 51 d encontramos Ou seja a taxa de variação pedida é de aproximadamente 11505 kmh Problema 42 Um tanque de água tem a forma de um cone circular invertido com base de raio 2 m e altura igual a 4 m Se a água está sendo bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 2 m min 3 encontre a taxa de variação em relação ao tempo do nível de água quando esse nível for 3 m Figura 3 O volume V de um cone com certo raio r Resolução Para um nível h a água ocupa o volume V de um cone com certo raio r A relação entre essas três quantidades é 3 r h V 2 π Obser vamos ainda que podemos relacionar r e h utilizando semelhança de triângulos aula 12 2 Ver Stewart Cálculo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 123 20022011 100533 124 Introdução ao cálculo dIferencIal Figura 4 Relacionando r e h por meio de semelhança de triângulos O triângulo retângulo de catetos 2 e 4 é semelhante ao triângulo retân gulo de catetos r e h A razão de semelhança é h 4 r 2 uma vez que os catetos 2 e r são opostos a um mesmo ângulo Assim podemos concluir que 2 r h em cada instante t Substituindo essa relação na equação 3 r h V 2 π encontramos Desejamos encontrar h t em que t é o instante em que h t 3 A partir do enunciado do problema sabemos que 2 t V para todo t 0 Em particular V t 2 Derivando a equação em relação a t tempo encontramos ou 2 h 4 V h π Como conhecemos V t 2 e ht 3 já podemos calcular h t De fato temos isto é no momento em que o nível h é de 3 m sua taxa de variação velo cidade é de Como esse valor é positivo concluise que o nível está aumentando nesse momento como era de se esperar pois o volume cresce a uma taxa positiva de 2 m min 3 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 124 20022011 100534 125 3 eXercÍcIoS 1 Um avião à velocidade constante de 500 kmh voa horizontalmente a uma altitude de 2000 m e passa diretamente sobre uma estação de radar Encontre a taxa segundo a qual a distância do avião até a estação está crescendo quando ele está a 4000 m da estação 2 A luz de uma rua é colocada no topo de um poste de 15 m Um homem com 180 m de altura anda afastandose do poste com uma velocidade de 3 ms de acordo com uma trajetória reta Quando o homem estiver a 40 m do poste determine em relação ao poste a a taxa de variação do comprimento de sua sombra b a velocidade do topo de sua sombra 3 Dois carros iniciam o movimento a partir de um mesmo ponto no mesmo instante Um viaja para o sul a 60 kmh e o outro para oeste a 25 kmh A que taxa está aumentando a distância entre os carros duas horas depois da partida 4 A altura de um triângulo cresce a uma taxa de 1 cmmin enquanto a área do triângulo cresce a uma taxa de 2 cm2min A que taxa está variando a base do triângulo quando a altura é 10 cm e a área 100 cm2 5 Ao meiodia um navio A está 100 km a oeste do navio B O navio A está navegando para o sul a 35 kmh e o navio B está indo para o norte a 25 kmh Quão rápido está variando a distância entre eles às 4 horas da tarde 6 O volume de um cubo está aumentando à taxa de 2 cm3 por segundo Com que taxa está variando a área de uma de suas faces quando sua aresta tiver 20 cm 7 Uma partícula está se movendo ao longo do gráfico da função f x x Quando a partícula passa pelo ponto 4 2 sua coorde nada x está crescendo à taxa de 3 cms Quão rápido está variando a distância da partícula à origem nesse instante 8 Um papagaio pipa a 100 m acima do solo movese horizontal mente a uma velocidade de 3 ms A que taxa está decrescendo o ângulo entre a linha e a horizontal depois de 200 m de linha serem soltos 4 referÊncIaS PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira v 1 aula 12 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 125 20022011 100534 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 126 20022011 100534 AULA 13 Máximos e mínimos ObjETIVOS Definir as noções de máximos e mínimos absolutos e locais de uma função Definir ponto crítico Estabelecer critérios para decidir se um ponto crítico é ponto de máximo ou de mínimo de uma função 1 Introdução O estudo da derivada de uma função possibilita inúmeras aplicações porque nos permitem detalhar a variação de funções em seu domínio Utilizando derivadas vamos desenvolver um modo sistemático de traçar gráficos e de propor soluções para problemas de otimização Nesta aula vamos introduzir as primeiras noções já com esse objetivo que são as noções de máximos e mínimos de funções de uma variável 2 ValoreS MáXIMoS e MÍnIMoS aBSolutoS 21 definição Seja y f x uma função derivável definida para todo x em certo intervalo I a Um número real M quando existe é denominado de valor máximo absoluto ou simplesmente máximo da função y f x para x no intervalo I quando M f x para todo I x b Um número real m quando existe é denominado de valor mínimo absoluto ou simplesmente mínimo da função y f x para x no intervalo I m f x para todo I x Os valores das abscissas xM e m x dos pontos M f xM e m f xm recebem respectivamente o nome de ponto de máximo e ponto de mínimo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 127 20022011 100534 128 Introdução ao cálculo dIferencIal 22 exemplo a função senx y A Figura 1 representa o gráfico da função y senx para valores de x no intervalo 0 3 π I Observe que o máximo absoluto M 1 da função ocorre em dois pontos 2 1 x π e 2 3 3 x π e o mínimo absoluto m 1 ocorre somente no ponto 2x π Entretanto o valor máximo absoluto quando existe é único e o mesmo ocorre com o valor mínimo Figura 1 Valores máximos e mínimos da função sen x y 23 exemplo a função x y 1 Explore a representação do gráfico de x y 1 na Figura 2 e confirme as seguintes afirmações a tem um máximo absoluto a M 1 e nenhum mínimo absoluto no intervalo I a b um mínimo absoluto b m 1 e nenhum máximo absoluto no intervalo 0 b I c um máximo absoluto a M 1 e um mínimo absoluto b m 1 no inter valo I a b d não tem um máximo absoluto e nem um mínimo absoluto no inter valo 0 I Introdução ao cálculo diferencial2011indd 128 20022011 100535 129 Figura 2 A função x 1 y Em síntese 1 uma função y f x pode ter um valor máximo absoluto M atin gido em dois ou mais pontos de máximo xM e o mesmo pode ocorrer para o valor mínimo absoluto m 2 os valores máximo e mínimo absolutos de uma função y f x podem não existir 24 notação e linguagem Os valores máximo e mínimo de uma função são também chamados valores extremos ou simplesmente extremos da função1 3 ValoreS MáXIMoS e MÍnIMoS locaIS Veja o gráfico da função na Figura 3 Para os valores de x próximos de x c por exemplo pertencentes ao intervalo a d I vale f c M f x para todo I x De modo semelhante para x e observe que f e M f x para todo d f I x No entanto nenhum dos dois pontos satisfaz a definição 21 no inter valo a b I 1 No caso de funções constantes todos os seus valores são simultaneamente valores máximos e mínimos Em muitos textos de Cálculo os valores máximo e mínimo absolutos são também chamados máximos e mínimos globais Você pode usar essa terminologia se preferir aula 13 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 129 20022011 100535 130 Introdução ao cálculo dIferencIal e f Figura 3 Identificando máximos e mínimos locais Situações como essas são denominadas situações locais e também são importantes no estudo de funções Veja a definição a seguir 31 definição Seja y f x uma função definida para todo x em certo intervalo I a O valor M f c quando existe é denominado valor máximo local da função y f x se existe um intervalo a b I que contém c tal que M f x para todo I x b O valor m f c quando existe é denominado de valor mínimo local da função y f x se existe um intervalo a b I que contém c tal que m f x para todo I x Os valores das abscissas recebem respectivamente o nome de ponto de máximo local e ponto de mínimo local 32 notação e linguagem Os valores máximo e mínimo locais de uma função são também chamados valores extremos locais ou simplesmente extremos locais da função2 Observe ainda na Figura 3 que um valor mínimo local de uma função pode ser maior que um valor máximo local da função Compare os 2 No caso de funções constantes todos os seus valores são simultaneamente valores máximo e mínimo locais Introdução ao cálculo diferencial2011indd 130 20022011 100536 131 pontos de abscissas x d e x e E observe também que os pontos de máximo e mínimo absolutos são em particular pontos de máximos e mínimos locais pela nossa definição3 Essa observação pode ser gene ralizada para outras funções e por esse motivo os critérios para identi ficar pontos máximos e mínimos locais são importantes 4 crItÉrIoS Para deterMInar MáXIMoS e MÍnIMoS locaIS Retome as figuras 1 2 e 3 e confirme que os valores máximo e mínimo locais ocorrem em pontos onde a tangente à curva do gráfico é hori zontal ou onde a curva não admite tangente Ou seja em pontos c onde f c 0 ou f c não existe Os critérios algébricos relacionados para decidirmos se um ponto x c é um ponto de máximo ou de mínimo local ou nenhum desses estão relacionados a essa observação 41 Proposição Seja y f x uma função contínua definida em um inter valo fechado ab Se f assume seu máximo ou mínimo em um ponto x c no intervalo aberto ab então ou f c 0 ou f c não existe Demonstração da proposição Supor que x c é um extremo local da função y f x Se f c não existe não há o que provar Supor então que exista f c Como f c é um número real ele deverá satisfazer uma das três condições a f c 0 b f c 0 ou c f c 0 A demonstração consiste em mostrar que as duas primeiras opções não são possíveis Vamos trabalhar com a primeira hipótese de que f c 0 e mostrar que ela não é possível4 Veja que por definição c x f c f x c f x c lim e então f c 0 é o mesmo que dizer que 0 lim c x f c x f x c Assim existe um intervalo aberto ab que contém x c tal que 0 c x f c x f 3 Exceto quando estes ocorrem nos extremos do intervalo de definição da função 4 Para a segunda hipótese de f c 0 a argumentação se constrói de modo semelhante aula 13 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 131 20022011 100537 132 Introdução ao cálculo dIferencIal Para que isso aconteça devem valer as inequações 1 0 f c f x e x c 0 para x em ab e x c 2 0 f c f x e x c 0 para x em ab e x c Isto quer dizer que f c f x sempre que x c para x em ab e f c f x sempre que x c para x em ab Em decorrência o ponto x c não é ponto nem de máximo nem de mínimo local De modo semelhante f c 0 nos leva a uma contra dição Afirmamos então que devemos ter f c 0 A partir dessa proposição identificamos os pontos c onde f c 0 ou onde f não existe como pontos importantes no estudo de máximos e mínimos Por isso lhes damos um nome 42 definição Um número x c é denominado um ponto crítico de f caso f c 0 ou f c não exista Usando essa terminologia veja que os extremos locais de uma função f devem ser procurados dentre os seus pontos críticos 43 exemplo identificando pontos críticos Seja a função definida no intervalo 55 Como ela é uma função polinomial e admite derivada em todos os seus pontos seus pontos críticos serão todos os números em seu domínio que anulam sua derivada Os zeros da função derivada são Ambos os pontos estão dentro do domínio da função Veja no gráfico da função na Figura 4 que 5 x é um ponto de mínimo local e 5 x é um ponto de máximo local No entanto não há pontos de máximos e mínimos absolutos5 5 Você sabe dizer por quê Introdução ao cálculo diferencial2011indd 132 20022011 100539 133 Figura 4 Pontos críticos de y x3 15 x 44 exemplo localizando pontos críticos de 3x y O domínio da função 3x y é Encontrando a expressão de sua derivada seus pontos críticos serão raízes de 0 3 x2 Isso significa que x 0 é o único ponto crítico Veja na Figura 5 e observe que esse é um exemplo de um ponto crítico que não é ponto extremo da função6 Figura 5 Ponto crítico de 3x y 6 Isso pode acontecer e não contradiz a proposição 41 Leia a proposição novamente e confirme o fato de que sua recíproca não está enunciada aula 13 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 133 20022011 100539 134 Introdução ao cálculo dIferencIal Vale colocar a questão como decidir se um ponto crítico é ou não um ponto extremo da função sem conhecermos o seu gráfico 7 A seção a seguir é dedicada a essa questão 5 o teSte da derIVada PrIMeIra Nesta seção vamos identificar o crescimento e o decrescimento de uma função por meio da análise do sinal de sua derivada Informações sobre os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função são impor tantes no estabelecimento de um teste para identificação de pontos de máximos e mínimos locais Com essa intenção retome as figuras 1 2 e 3 desta aula para confirmar os seguintes fatos próximo a um ponto8 de máximo local x c a função é crescente para x c e decrescente para x c próximo a um ponto de mínimo local x c a função é decrescente para x c e crescente para x c Retome as noções de função crescente e decrescente Essas noções estão relacionadas com a de taxa média de crescimento da função função crescente tem taxa de variação média positiva função decrescente tem taxa de variação média negativa A proposição a seguir relaciona o crescimento e decrescimento da função com sua derivada que é sua taxa instantânea de variação9 51 Proposição Seja f uma função contínua em ab e derivável em ab Assim a Se f x 0 em ab então f é crescente em ab b Se f x 0 em ab então f é decrescente em ab Nesta aula vamos aprender a utilizar o resultado enunciado em 51 52 exemplo utilizando a Proposição 51 Seja a função 8 3 4 3 2 3 4 x x x f x Para determinar os intervalos onde ela é crescente e onde é decrescente devemos identificar os inter valos em que a sua derivada é positiva e em que é negativa Derivando a função 7 Mais importante como decidir se um ponto crítico é ou não um ponto extremo da função como suporte para o esboço de seu gráfico 8 A análise que estamos fazendo é uma análise local ou seja requer identificar um recorte em torno de x c onde vale a observação Isso é feito por meio da escolha de um intervalo adequado se existir em que a propriedade se verifique 9 As demonstrações de ambos os resultados não serão abordadas nesta aula porque se fundamentam em um teorema importante que será também discutido em aula posterior Introdução ao cálculo diferencial2011indd 134 20022011 100540 135 2 3 6 3 4 4 3 2 2 3 x x x x x x x f Os pontos críticos da função são os pontos x tais que f x 0 ou seja os pontos em que Nesse exemplo os números críticos10 são 1 0 e 2 Como esses são zeros de funções contínuas são eles que determinam as possíveis mudanças de sinal da função derivada Para o estudo do sinal da derivada podemos organizar um quadro levando em conta os inter valos da reta que contém os números críticos em seus extremos tabela 1 Intervalos de crescimento e decrescimento de 8 3 4 3 2 3 4 x x x x f Intervalo 1 01 20 3x 0 0 0 0 x 2 0 0 0 0 x 1 0 0 0 0 f x 0 0 0 0 f x decrescente crescente decrescente crescente Assim determinamos os intervalos de crescimento e decrescimento da função Intervalos de crescimento 01 e Intervalos de decrescimento 1 e 20 53 teste da derivada Primeira Seja x c um número crítico de uma função f contínua em c ab e diferenciável em ab exceto talvez no próprio x c Valem as seguintes afirmações se f x 0 para c x a e f x 0 para b x c então o ponto x c é ponto de máximo local se f x 0 para c x a e f x 0 para b x c então o ponto x c é ponto de mínimo local se f x 0 ou f x 0 para todo x em ab exceto talvez no ponto x c então x c não é ponto nem de máximo nem de mínimo local 10 Um produto é igual a zero quando um de seus fatores é nulo aula 13 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 135 20022011 100541 136 Introdução ao cálculo dIferencIal 54 exemplo utilizando o teste da derivada primeira Para determinarmos os pontos de máximos e mínimos locais de 8 3 4 3 2 3 4 x x x f x pelo teste da derivada primeira devemos em primeiro lugar determinar seus pontos críticos Do exemplo anterior estes pontos são 1 0 e 2 Depois devemos identificar os intervalos de crescimento e decresci mento da função Da Tabela 1 vemos que a função f x satisfaz em x 1 decresce antes e cresce depois em x 0 cresce antes e decresce depois em x 2 decresce antes e cresce depois Assim a função tem mínimos locais em x 1 e x 2 e um máximo local em x 0 Para encontrar os valores máximo e mínimo locais devemos encontrar f 1 f 0 e f 2 55 exemplo máximo e mínimo locais da função Para determinarmos os pontos de máximo e mínimo locais da função podemos proceder como nos dois exemplos anteriores Primeiro encontramos a expressão de sua derivada Reescrevendo a expressão e fazendo y 0 para determinarmos seus pontos críticos Nesse exemplo a solução da equação é única e deve satisfazer 0 3 1 x3 ou seja 3 3 1 3 1 3 x Como a função é derivável em todo seu domínio 3 1 3 x é seu único ponto crítico Agora vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função Uma vez que 0 xe 3 sempre o sinal da derivada é determi nado pelo sinal de A Tabela 2 organiza os dados11 11 Confira as informações nessa tabela resolvendo as inequações Introdução ao cálculo diferencial2011indd 136 20022011 100542 137 tabela 2 Intervalos de crescimento e decrescimento de Intervalo 3 3 1 xe 3 0 0 1 3 3 x 0 0 f x 0 0 f x decrescente crescente Pelo teste da derivada primeira o ponto 3 1 3 x é um ponto de mínimo local da função Para determinarmos o valor mínimo local escrevemos 56 exemplo máximos e mínimos de A derivada de é Observe que ela é sempre diferente de zero mas a derivada não existe em x 2 que pertence ao domínio da função Esse é então um ponto crítico O sinal da derivada da função é o mesmo sinal de que é o mesmo sinal de x 2 A Tabela 3 organiza as informações que precisamos para usar o teste da derivada primeira tabela 3 Intervalos de crescimento e decrescimento de 3 x 2 2 y Intervalo 2 3 x 2 1 0 0 f x 0 0 f x decrescente crescente Do teste da derivada primeira tem um ponto de mínimo local em x 2 aula 13 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 137 20022011 100543 138 Introdução ao cálculo dIferencIal O valor mínimo local da função é Como será o gráfico de uma função como essa que tem um ponto de mínimo local em um ponto em que a função não admite derivada Nós vamos aprender a traçar gráficos como esses em uma próxima aula 6 eXercÍcIoS 1 Encontrar os pontos críticos das seguintes funções a 3 4 2 4 x x y b 2 1 x x y c d 2 Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções a 1 2 3 x x x y b x x y 1 3 1 c d x senx y 2 1 3 Pelo teste da derivada primeira encontre os máximos e mínimos locais das funções do item 2 4 Esboce o gráfico de uma função com domínio IR que tenha um máximo local em 21 e um mínimo global em 22 7 referÊncIaS PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 SWOKOWSKI EW Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1991 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 138 20022011 100543 AULA 14 derivadas de ordem superior ObjETIVOS Definir derivadas de ordem superior Estudar o significado da derivada segunda ou derivada de ordem dois Definir as noções de concavidade de curvas e ponto de inflexão Enunciar e usar o teste da derivada segunda 1 Introdução Ao derivarmos uma função f obtemos uma nova função a função derivada Faz sentido perguntar podemos calcular a taxa de variação da função derivada Por exemplo se a interpretação de taxa for a de velocidade de um movimento a taxa de variação da velocidade corresponderia ao que denominamos aceleração do movimento Na verdade o cálculo da taxa de variação de uma derivada é possível às vezes até mais de uma vez Nesta aula vamos estudar o processo de derivar ou diferenciar uma função f mais de uma vez Vamos estudar as informações que podemos obter sobre o gráfico de f a partir da derivada de sua derivada chamada derivada segunda de f Começamos a discussão com um exemplo 2 eXeMPlo derIVando MaIS de uMa VeZ A derivada da função 8 4 7 3 2 5 6 x x x x f x y é Veja que a função derivada é novamente uma função polinomial e portanto também admite derivada Introdução ao cálculo diferencial2011indd 139 20022011 100544 140 Introdução ao cálculo dIferencIal Podemos escrever Essa nova função é chamada derivada segunda de y f x ou deri vada de ordem 2 No caso especial desse exemplo a função derivada segunda pode ser derivada novamente A derivada da derivada segunda é chamada deri vada terceira ou derivada de ordem 3 Nesse exemplo e no caso dos polinômios em geral podemos derivá los indefinidamente Em algum momento obtemos a função identicamente nula Quer ver como funciona no exemplo que estamos trabalhando A derivada terceira de y f x será 2 3 420 360 x x A derivada quarta de y f x será x x 840 1080 2 A derivada de ordem 5 será 2160 840 x A derivada de ordem 6 será 2160 Veja que a partir dessa ordem na derivada todas as demais derivadas serão nulas 3 derIVadaS de ordeM SuPerIor Muitas funções admitem ser diferenciadas mais de uma vez como no exemplo anterior Antes de prosseguirmos com outros exemplos vamos estabelecer a notação e a linguagem que é utilizada no Cálculo para falar de deri vadas de ordem superior à primeira1 31 notação e linguagem A derivada da função derivada de f é chamada derivada segunda ou derivada de ordem dois de f Denotase por ou f Em geral a derivada de ordem n de uma função f que corresponde à função obtida derivando n vezes a função quando puder ser calculada denotase por ou f n 1 A notação parece complicada mas é a que vem sendo adotada Você verá nos exemplos como utilizála Introdução ao cálculo diferencial2011indd 140 20022011 100545 141 32 exemplo a derivada de ordem n de um polinômio Para a função polinomial do exemplo calculamos Podemos também escrever As derivadas de ordem superior a dois de outra função polinomial qualquer por exemplo 8 4 7 3 2 5 6 x x x x y são calculadas e denotadas do mesmo modo No caso dessa última função a derivada de ordem 7 vale zero Confirme esse fato Para n 7 as derivadas de todas as ordens da função 8 4 7 3 2 5 6 x x x x y existem e são nulas 33 exemplo a derivada de ordem n da função ex y Confirme que Assim y ex também admite derivada de todas as ordens 34 exemplo a derivada de ordem n da função senx y Podemos escrever Observe que recaímos na função y senx na quarta derivada A partir daí podemos continuar a derivar indefinidamente e as expressões da derivada vão ter os mesmos valores ciclicamente 35 exemplo derivada de ordem 2 de funções expressas implicitamente Retome a função y f x definida implicitamente por 1 2 2 x y e sua derivada encontrada no exemplo 31 A proposta aqui é a de calcular Para isso vamos derivar a função uma segunda vez aula 14 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 141 20022011 100545 142 Introdução ao cálculo dIferencIal Substituindo na expressão Simplificando a expressão 4 o SIGnIfIcado da derIVada SeGunda Na aula anterior estudamos o sinal da derivada primeira de y f x e obtivemos informações sobre onde a função é crescente e onde ela é decrescente Da mesma forma podemos usar o sinal da derivada segunda para infor mações sobre a derivada primeira onde a derivada primeira é cres cente e onde ela é decrescente Vamos iniciar essa discussão com um exemplo 41 exemplo aceleração e velocidade A aceleração de um movimento por exemplo de um carro na estrada corresponde à variação da velocidade Se f modela o movimento de um corpo em linha reta a derivada f tem o significado de sua veloci dade e f de sua aceleração A aceleração f quando maior que zero indica crescimento da função velocidade f Quando menor que zero indica redução ou decrescimento da veloci dade Em linguagem matemática escrevemos f x 0 em um intervalo aberto I f x é crescente em I f x 0 em um intervalo aberto I f x é decrescente em I Introdução ao cálculo diferencial2011indd 142 20022011 100546 143 Figura 1 O significado de f x ser crescente ou decrescente Na Figura 1 indicamos no gráfico de f o significado de f x ser crescente ou decrescente em um intervalo I Veja que f x crescente corresponde ao coeficiente angular das retas tangentes ao gráfico de f aumentar quando x aumenta E f x decrescente corresponde ao coeficiente angular das retas tangentes ao gráfico de f diminuir quando x diminui A classificação na Definição 42 corresponde a essas duas possibili dades 42 definição Seja y f x uma função diferenciável em ab Seu gráfico é côncavo para cima em ab se f x é crescente em ab côncavo para baixo em ab se f x é decrescente em ab A análise da concavidade do gráfico de y f x fundamentase na Proposição 43 43 Proposição Seja y f x uma função que admite derivada segunda f x em ab Então o gráfico de f é côncavo para cima em ab se f x 0 em ab côncavo para baixo em ab se f x 0 em ab Vamos utilizar essa proposição nos exemplos a seguir x y aula 14 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 143 20022011 100547 144 Introdução ao cálculo dIferencIal 45 exemplo analisando concavidade do gráfico de funções polinomiais Seja 1 5 2 3 x x f x Calculando as derivadas e a função é côncava para cima em a função é côncava para baixo em Podemos organizar a informação numa tabela tabela 1 análise dos sinais da derivada segunda de 1 5 2 3 x x x f 46 exemplo exponenciais e outras funções A função tem derivadas porque ex 0 sempre Sumarizando a análise de sinal da derivada segunda Introdução ao cálculo diferencial2011indd 144 20022011 100550 145 tabela 2 análise dos sinais da derivada segunda de 5 PontoS de InfleXão 51 definição Um ponto c f c do gráfico de y f x é chamado ponto de inflexão se f é contínua em x c a concavidade do gráfico muda em c f c Relendo a Definição 51 em termos da Proposição 44 ela nos diz que a derivada segunda f x muda de sinal em x c Para que isso seja possível f c 0 ou não existe f c Os pontos x c no domínio de y f x com essas características são os candidatos a pontos de inflexão 52 exemplo polinômios de terceiro grau O ponto 00 no gráfico de x3 f x é um exemplo de ponto de inflexão Calculando 3x2 x f e x x f 6 veja que f x é contínua nos reais e que f x 0 x 0 Esse será então o único candidato a ponto de inflexão Para verificar se 00 0 0 f é um ponto de inflexão podemos verificar se seu gráfico muda de concavidade em 00 Algebrica mente isso corresponde a verificar se x x f 6 muda de sinal em x 0 Veja que 6 0 x x f para x 0 e 6 0 x x f para x 0 Assim classificamos 00 como ponto de inflexão de x3 f x Esboce o gráfico de x3 f x que é uma função conhecida e confirme o fato visualmente aula 14 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 145 20022011 100551 146 Introdução ao cálculo dIferencIal As funções polinomiais de terceiro grau em geral sempre admitirão um ou mais pontos de inflexão Observe por exemplo que para a função 1 5 2 3 x x f x em 45 há mudança de concavidade em 3 x 5 Então 3 5 3 5 f é ponto de inflexão da função 53 exemplo exponenciais e outras funções a No Exemplo 46 confira que 2 2 2 e é ponto de inflexão b Para x x f x 1 3 1 temos Para estudar sua concavidade veja que f x não existe em x 0 que é ponto onde a função é contínua e f x 0 em 2 x 1 Na Tabela a seguir sintetizamos a análise da concavidade de x x f x 1 3 1 tabela 3 análise do sinal da derivada segunda de x x f x 1 3 1 Da análise acima concluímos que 0 f 0 e 2 1 2 1 f são ambos pontos de inflexão Introdução ao cálculo diferencial2011indd 146 20022011 100554 147 6 o teSte da derIVada SeGunda Na Aula 13 aprendemos a classificar pontos críticos a partir do teste da derivada primeira Nesta aula vamos aprender outra forma de fazer essa classificação 61 Proposição Seja y f x uma função diferenciável em ab com f c 0 para algum a b c se f c 0 então c é ponto de máximo local se f x 0 então c é ponto de mínimo local se f c 0 nada se pode afirmar 62 exemplo retomando um exemplo já estudado Na classificação dos pontos críticos da função 8 3 4 3 2 3 4 x x x f x na Aula 13 podemos usar a Proposição 61 e proceder do seguinte modo 2 3 6 3 4 4 3 2 2 3 x x x x x x f x 1 2 3 x x x e 6 6 9 2 x x x f Os pontos críticos são x 0 x 2 e x 1 Usando 61 podemos escrever 0 9 1 f e então x 1 é ponto de mínimo local 0 6 0 f e então x 0 é ponto de máximo local e então x 2 é ponto de mínimo local 63 exemplo explorando funções trigonométricas Seja a função no intervalo 20 π A derivada da função é Reescrevendo a expressão A determinação dos pontos críticos corresponde a resolver a equação 0 2 2 4 2 senx sen x ou seja 0 2 2 4 2 sen x senx aula 14 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 147 20022011 100555 148 Introdução ao cálculo dIferencIal Para isso utilizamos um artifício que é denominar m senx e a equação nesta releitura se escreve 0 2 2 4 2 m m Sua solução é 2 m 1 e m 1 Lembrando que m senx e que o domínio da função é 20 π temos como pontos críticos os valores 6 x π e 6 x 5π que correspondem a 2 senx 1 no intervalo 20 π e 2 x 3π que corres ponde a senx 1 no intervalo 20 π Temos que e então e portanto 6 x π é ponto de máximo local2 e portanto 6 x 5π é ponto de mínimo local3 No caso de 2 x 3π temos f x 0 e portanto o teste nada nos garante em termos da classificação desse ponto como máximo ou mínimo local Em casos como esses recorremos a outros testes como por exemplo o teste da derivada primeira para fazer a classificação 7 eXercÍcIoS 1 Encontre as derivadas de segunda ordem das funções a senx x y 2 1 b c d 5 3 x x y 2 Encontre a derivada segunda da função y f x definida implici tamente por a 1 3 3 x y b c xseny y d 0 1 2 2 y x 3 Ache os intervalos em que y f x é côncava para cima e é côncava para baixo a b 3 4 4 3 x x y c 3 2 x y Introdução ao cálculo diferencial2011indd 148 20022011 100557 149 4 Identifique os pontos de inflexão das funções a seguir a 1 2 3 4 x x y b 1 3 2 2 x x y c 5 Encontre os pontos críticos das funções abaixo e use o teste da deri vada segunda para classificálos a b 6 6 2 3 x x y c x2 1 x y 6 Determine os valores de a b c e d de modo que a função tenha um mínimo relativo em 00 e um máximo relativo em 11 7 Ache o valor de a para que tenha ponto de inflexão em 1 a 8 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 SWOKOWSKI EW Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1991 aula 14 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 149 20022011 100558 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 150 20022011 100558 AULA 15 traçando gráficos ObjETIVO Utilizar os conceitos estudados para esboçar gráficos de funções 1 Introdução Nesta aula vamos aprender a utilizar os conceitos estudados até aqui para esboçar gráficos de funções usando lápis e papel1 Embora a tecnologia já nos ofereça meios para obter tais esboços usando outras mídias o estudo do processo de esboçar gráficos tem sua importância na avaliação crítica das figuras apresentadas por exemplo na tela de um computador ou calculadora gráfica Com essa intenção iniciamos a discussão de traçados de gráficos que será o tema desta e da próxima aula Nesta aula vamos utilizar um roteiro para o traçado de gráfico desen volvendo dois exemplos A próxima aula faz uso do mesmo roteiro para esboçar gráficos de outras funções 2 roteIro Para o traçado de GráfIcoS Para traçar gráficos de funções reais utilizando as ferramentas do cálculo que desenvolvemos até aqui você pode proceder como a seguir 1 Inúmeras aplicações do Cálculo orientamse por explorações qualitativas de funções reais f ou seja por avaliações do comportamento de seus valores f x É para esse estudo de seu comportamento que o gráfico de uma função tornase importante Esboços de gráficos revelam ou sugerem propriedades que poderiam permanecer ocultas não percebidas Por exemplo retome o estudo das exponenciais que modelam decaimentos radioativos O gráfico das exponenciais revela a presença permanente da radioatividade em casos de desastres ecológicos mesmo que em medida suportável pelos seres vivos a partir de certo tempo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 151 20022011 100558 152 Introdução ao cálculo dIferencIal 1 Determine o domínio da função Domínio conjunto de pontos da reta nos quais a função está definida 2 Calcule os limites à esquerda e à direita dos pontos onde a função não está definida identificando assíntotas verticais caso existam Assíntotas verticais Se x f a x lim ou x f a x lim é ou então a reta x a é uma assíntota vertical 3 Avalie as simetrias Verifique se a função f é uma função par ou uma função ímpar Se a função é par há simetria em relação ao eixo y Se a função f é ímpar há simetria em relação à origem 4 Identifique os pontos onde a função não é contínua se exis tirem calculando limites à esquerda e à direita dos mesmos 5 Determine as assíntotas horizontais caso existam De qualquer modo registre o resultado do cálculo dos limites quando e quando Assíntota horizontal Se ou então a reta y L é uma assíntota horizontal 6 Encontre os interceptos x e y Interceptos x e y correspondem à interseção do gráfico de f com os eixos coordenados Os valores solução de f x 0 correspondem aos interceptos no eixo x e f 0 corresponde ao intercepto no eixo y 7 Identifique pontos críticos e extremos locais Pontos críticos pontos onde a derivada não existe ou é nula Faça análise das regiões de crescimento f x 0 e decres cimento f x 0 e use o teste da derivada primeira para classificar os máximos e mínimos locais 8 Analise a concavidade e pontos de inflexão Concavidade Encontre f x e faça análise das regiões em que a curva do gráfico é côncava para cima f x 0 e côncava para baixo f x 0 Pontos de inflexão ponto onde f é contínua e onde há mudança de concavidade ou seja de sinal de f x Introdução ao cálculo diferencial2011indd 152 20022011 100559 153 Veja como esboçar gráficos utilizando o roteiro descrito 3 eXeMPloS 31 esboce o gráfico da função 8 2 2 4 x x f x 1Domínio O domínio de 8 2 2 4 x x f x consiste em todos os números reais 2Assíntotas verticais Não existem porque a função está definida para todo valor de x 3Simetrias 8 2 8 2 2 4 2 4 x x x x x f Então a função é par Veja que x f f x Isso quer dizer que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y 4 Continuidade A função é contínua em toda a reta real pois é uma função polinomial 5 Assíntotas horizontais Não existem portanto assíntotas horizontais 6 Interseções com os eixos x e y Resolvendo 0 8 2 2 4 x x f x obtemos as raízes reais 2 e 2 que correspondem aos interceptos x 2 O intercepto y será 7 Pontos críticos e extremos locais 0 4 4 3 x x x f 0 1 4 2 x x Assim x 0 x 1 e 1 x são pontos críticos No quadro seguinte o estudo das regiões de crescimento e decresci mento 2 Observe a simetria dos interceptos em relação ao eixo y aula 15 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 153 20022011 100600 154 Introdução ao cálculo dIferencIal A função f x passa de decrescente para crescente em x 1 e em x 1 Pelo teste da derivada primeira ambos são pontos de mínimo local Já no caso de x 0 a função passa de crescente para decres cente caracterizandoo como um ponto de máximo local 8 Concavidade e inflexões e candidatos a inflexões devem satisfazer Assim 3 3 x e 3 3 x são candidatos a inflexões No quadro a seguir a análise da concavidade do gráfico Ambos os pontos 3 3 x e 3 3 x são pontos de inflexão Sempre que possível para nos auxiliar no esboço do gráfico determi namos os valores da função em seus pontos extremos e nos de inflexão caso existam Esses valores bem como os valores dos interceptos cons tituem pontos de uma tabela de valores da função que são importantes para o esboço de seu gráfico Introdução ao cálculo diferencial2011indd 154 20022011 100602 155 Uma vez que a função é par seus valores em 1 2 e 3 3 são os mesmos O esboço do gráfico sintetiza todas as informações que obtivemos ante riormente Figura 1 Esboço do gráfico da função 8 2 2 4 x x x f aula 15 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 155 20022011 100603 156 Introdução ao cálculo dIferencIal 32 esboce o gráfico da função 1 Domínio O domínio de consiste em todos os números reais exceto os que anulam 16 x2 ou seja exceto em 4 e 4 2Assíntotas verticais porque o numerador da expressão se estabiliza em 16 e o denominador em 0 por valores negativos porque o numerador da expressão se estabiliza em 16 e o denominador em 0 por valores positivos porque o numerador da expressão se estabiliza em 16 e o denominador em 0 por valores negativos porque o numerador da expressão se estabiliza em 16 e o denominador em 0 por valores positivos Assim x 4 e x 4 são assíntotas verticais ao gráfico da função 3 Simetrias A função é par porque Dessa forma seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y 4 Continuidade A função é contínua em seu domínio 5 Assíntotas horizontais Assim y 1 é assíntota horizontal Introdução ao cálculo diferencial2011indd 156 20022011 100606 157 6 Interceptos x e y Desse modo o gráfico da função passa pela origem do sistema de coordenadas 7 Pontos críticos e extremos locais Veja que os pontos onde a derivada não existe são os mesmos onde a função não está definida Portanto não são pontos críticos Portanto x 0 é o único ponto critico No quadro abaixo o estudo das regiões de crescimento e decresci mento Observe a importância de acrescentarmos nesse quadro os pontos onde a derivada da função não existe Isso é necessário e você se certificará no gráfico da função que se não fizermos isso nossa análise não estará correta A função f x passa de decrescente para crescente em x 0 Pelo teste da derivada primeira x 0 é um ponto de mínimo local 8 Estudo da concavidade e pontos de inflexão f x 0 para todo x e não está definida em pontos onde não há determinação da função f x Portanto não há candidatos a pontos de inflexão No quadro a seguir a análise da concavidade do gráfico aula 15 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 157 20022011 100607 158 Introdução ao cálculo dIferencIal Na figura a seguir sintetizamos as informações que discutimos esbo çando o gráfico de Veja que basta fazermos o esboço para x 0 porque por simetria obtemos o ramo para x 0 Figura 2 Esboço do gráfico de Introdução ao cálculo diferencial2011indd 158 20022011 100609 159 4 eXercÍcIoS 1 Esboçar o gráfico das seguintes funções a 4 3 2 3 x x f x b 4 5 5 3 x x y c 9 9 y x2 d x x y 1 e 3 4 2 2 x x f x g 2 1 x x f x 2 Esboce o gráfico de uma função definida para todo x real tal que a f x 0 f x 0 f x 0 b f 0 2 f 2 0 0 2 0 f f f x 0 para x 1 1 f x 0 para x 1 1 f x 0 para x 1 f x 0 para x 1 c f 0 0 1 2 2 f f 0 0 f f x 0 para x 0 f x 0 para x 0 f x 0 para x 2 f x 0 para x 2 5 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 SWOKOWSKI EW Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1991 aula 15 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 159 20022011 100610 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 160 20022011 100610 AULA 16 formas indeterminadas e regra de lHôpital ObjETIVOS Apresentar as formas indeterminadas dos tipos 0 0 e Enunciar e utili zar a Regra de LHôpital para resolvêlas Apresentar outras formas indetermina das dos tipos 0 0 0 0 e 1 e desenvolver por meio de exemplos métodos para resolvêlas 1 Introdução No cálculo de limites podemos nos deparar com situações as quais chamamos formas indeterminadas ou simplesmente indetermina ções São limites cujos resultados não podemos determinar imediata mente e que em princípio podem resultar em números reais quaisquer como também podem não existir caso esse que inclui os resultados ou Por exemplo aqueles que se expressam por meio de quocientes de funções que tendem a zero ambas ou a ambas como os limites ln 1 lim 2 1 x x x e lim ln x ex x respectivamente Aliás a própria caracterização da derivada de uma função f em um ponto a a x f a f x a f x a lim se expressa por um limite indeterminado pois tanto f a f x quanto x a tendem a zero quando x a Como já vimos um limite como esse que define a derivada pode existir sendo um número real ou pode não existir caso esse que inclui os resultados ou Algumas dessas indeterminações conseguimos resolver utilizando algum argumento próprio para os tipos de funções envolvidas Como exemplo temos o caso do limite de uma função racional da forma lim x q x p xa em que a é raiz de ambos os polinômios px e qx Introdução ao cálculo diferencial2011indd 161 20022011 100610 162 Introdução ao cálculo dIferencIal Nesse caso podemos fatorar px e qx e em seguida cancelar os fatores comuns da forma x a antes de calcular o limite Acompanhe o seguinte exemplo Entretanto esses argumentos são apropriados para funções racionais e não funcionam em geral para quocientes formados por outros tipos de funções que não sejam polinômios Veremos a seguir que a Regra de LHôpital nos ajudará a resolver indeterminações que ocorrem com quocientes de funções bem gerais e na seção posterior mostraremos como podemos utilizála na resolução de outras indeterminações envolvendo produtos ou potências 2 reGra de lHÔPItal Dizemos que o limite lim g x x f xa é uma a forma indeterminada ou indeterminação do tipo 0 0 se lim 0 lim g x x f a x a x b forma indeterminada ou indeterminação do tipo se e O sinal do primeiro limite infinito pode ser diferente do sinal do segundo limite infinito Observe que nos dois seguintes casos 1 0 lim x f x a e ou 2 e o limite lim x g x f xa não se configura como uma indeterminação De fato esse limite pode ser resolvido diretamente1 NOTA As definições acima também contemplam os limites no infinito lim x g x f x e Introdução ao cálculo diferencial2011indd 162 20022011 100612 163 Vamos apresentar a seguir uma regra que quando aplicável nos permite resolver formas indeterminadas dos tipos 00 e Tal regra é denominada Regra de LHôpital2 lêse Lopital e diz que o limite de uma forma indeterminada gerada por um quociente de funções é o limite do quociente das derivadas das respectivas funções desde que esse último limite exista ou seja ou 21 regra de lHôpital Sejam f x e gx funções deriváveis e suponha que 0 x g em uma vizinhança de x a não é necessário que 0 g a a Se lim 0 lim g x x f a x a x então lim lim x g x f x g x f a x a x desde que esse último limite exista ou seu resultado seja ou b Se e então lim lim x g x f x g x f a x a x desde que esse último limite exista ou seu resultado seja ou NOTA Essa regra também é válida para limites laterais x a e x a ou para limites no infinito Uma demonstração completa dessa regra contendo todos os casos cobertos por ela pode ser encontrada em alguns livros de Cálculo ou Análise Matemática e utiliza uma forma mais elaborada do Teorema do Valor Médio que será estudado mais adiante neste curso de Cálculo Entretanto podemos exibir uma prova mais simples para o caso em que f e g são contínuas 0 g a f a e 0 g a De fato como 0 g a f a podemos escrever para x a a x g a g x a x f a x f g a g x f a f x g x x f Agora utilizando as proprie dades de limite e a definição de derivada obtemos lim lim lim lim lim lim lim g x x f x g x f g a a f a x g a g x a x f a x f a x g a g x a x f a x f g x x f a x a x a x a x a x a x a x 2 A Regra de LHôpital foi publicada pela primeira vez em 1696 pelo marquês de LHôpital mas embora leve seu nome ela foi descoberta por Johan Bernoulli em 1694 Ambos tinham um acordo que dava ao marquês o direito sobre as descobertas de Bernoulli seu antigo professor aula 16 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 163 20022011 100613 164 Introdução ao cálculo dIferencIal Vamos aplicar a Regra de LHôpital para resolver a indeterminação 6 5 4 lim 2 2 2 x x x x do tipo 0 0 que abordamos na parte introdutória desta aula Naquela parte nós a resolvemos utilizando fatoração de polinô mios Agora temos 4 1 4 5 2 2 lim 6 5 4 lim 2 2 2 2 x x x x x x x ATENÇÃO A Regra de LHôpital somente deve ser utilizada para calcular o limite de um quociente x g f x se o limite for realmente uma indeterminação Assim é necessário que verifiquemos que os limites de f x e de g x são ambos iguais a zero ou são ambos infinitos Por exemplo o limite 6 5 4 lim 2 2 2 x x x x pode ser calculado por simples substituição Por outro lado calculando o limite do quociente das derivadas obtemos 9 4 5 2 2 2 2 5 2 2 lim 2 x x x que é diferente do valor correto calcu lado diretamente 3 eXeMPloS 31 exemplo cálculo do limite 1 ln lim 1 x x x 1 ln lim 1 x x x é uma forma indeterminada do tipo 0 0 pois 1 lim 0 lim ln 1 1 x x x x Portanto podemos aplicar a Regra de LHôpital Introdução ao cálculo diferencial2011indd 164 20022011 100615 165 32 exemplo cálculo do limite 2 lim x ex x 2 lim x ex x é uma forma indeterminada do tipo pois x x lime e x x lime Aplicando a Regra de LHôpital encontramos Porém esse último limite ainda é uma forma indeterminada do tipo uma vez que x x lime e x x lim2 Para calculálo aplicamos novamente a Regra de LHôpital e encontramos Concluímos então que 2 lim x ex x 33 exemplo cálculo de lim p x ex x onde 0 1 1 a x a a x p x n n n n Seja 0 1 1 a x a a x p x n n n n um polinômio de grau n então podemos concluir com base no exemplo anterior que se aplicarmos sucessivamente a Regra de LHôpital ao limite lim p x ex x encontra remos Por exemplo 34 exemplo consideremos ainda 0 1 1 a x a a x p x n n n n um polinômio de grau n Então 0 lim x x e p x verifique aula 16 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 165 20022011 100616 166 Introdução ao cálculo dIferencIal 35 exemplo Se r 0 então o limite p x x lnx lim é uma indeterminação do tipo pois limln x x e r x lim x Aplicando a Regra de LHôpital obtemos Se r 0 então o limite acima não é uma forma indeterminada Por quê 36 exemplo o limite O limite é uma indeterminação do tipo 0 0 verifique Mas ao aplicarmos a Regra de LHôpital nos deparamos novamente com outra indeterminação do mesmo tipo verifique isso também Daí mais uma aplicação da Regra de LHôpital é suficiente nesse caso 37 exemplo o limite O limite é uma indeterminação do tipo 0 0 E como você pode verificar acompanhando o desenvolvimento a seguir teremos que aplicar LHôpital sucessivas vezes cada uma delas sinalizada por H L e correspondente a uma indeterminação do tipo 0 0 até conseguirmos resolver a última indeterminação3 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 166 20022011 100620 167 4 outraS forMaS IndeterMInadaS 0 0 0 0 e 1 Além das formas indeterminadas acima estudadas existem as do tipo 0 0 0 0 e 1 Veremos por meio de exemplos que essas formas indeterminadas podem ser resolvidas em muitas situações pela Regra de LHôpital após algum artifício algébrico que as transforma em uma das formas indeterminadas 0 0 ou 41 exemplo cálculo de ln lim 0 x x x ln lim 0 x x x é uma forma indeterminada do tipo 0 uma vez que 0 lim 0 x x e Podemos reescrever essa indeterminação em outra do tipo e resolvêla por LHôpital Acompanhe 42 exemplo cálculo de x x 0 x lim x x 0 x lim é uma indeterminação do tipo 0 0 Porém escrevendo xlnx x x e podemos resolver essa indeterminação utilizando a continuidade4 da função exponencial e o resultado do exemplo anterior Veja a seguir 1 lim lim 0 ln lim ln 0 0 0 e e e x x x x x x x x x 43 exemplo o limite x x x 1 lim O limite x x x 1 lim é uma forma indeterminada do tipo 0 Para resolvê la escrevemos x x x x x e e x ln ln 1 1 e novamente utilizamos a continuidade da função exponencial e transferimos o limite para o expoente da base e Acompanhe Observe que a indeterminação x x x ln lim do tipo foi resolvida5 por LHôpital aula 16 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 167 20022011 100621 168 Introdução ao cálculo dIferencIal 44 exemplo o limite sendo a um número real qualquer Vamos calcular o limite sendo a um número real qual quer Tal limite é uma forma indeterminada do tipo 1 Mas Agora resolvendo por LHôpital obtemos a forma indeterminada do tipo 0 0 encontramos Logo6 5 eXercÍcIoS Calcule os limites 1 x x x ln lim 0 Resposta 2 3 0 lim x x x sen x Resposta 6 1 3 x x x 2 ln lim Resposta 0 4 1 lim x tan x x Resposta 1 5 x x x 1 0 2 lim 1 Resposta e 2 6 Resposta q p 7 x x lim x3e Resposta 0 8 ln lim 0 x x x Resposta 0 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 168 20022011 100624 169 9 Resposta 0 10 ln lim 0 x x sen x Resposta 0 11 Resposta 1 12 ln lim x x x Resposta 13 x x x x 2 lim Resposta 14 Resposta 2 15 Resposta e1 2 16 Resposta 2 17 Resposta eab 18 x x x x 1 lim Resposta 1 e 19 Resposta e 20 1 2 0 5 2 3 2 lim x x x x Resposta e8 21 ln 0 lim x p x x Resposta p e 22 senx x x 1 1 lim 0 Resposta 0 23 Resposta 3 24 Resposta 1 25 3 2 4 lim 0 x x sen x Resposta 0 26 Resposta 1 aula 16 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 169 20022011 100624 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 170 20022011 100625 AULA 17 ainda traçando gráficos ObjETIVO Utilizar os conceitos estudados para esboçar gráficos de funções 1 Introdução Prosseguimos traçando gráficos de funções reais desenvolvendo nesta aula quatro outros exemplos 2 eXeMPloS 21 esboce o gráfico de 2 1 x x f x 1 O domínio é o conjunto dos números reais porque 0 1 2 x sempre A função é contínua em seu domínio e não há portanto assín totas verticais 2 Veja que f x x x x x x f 1 1 2 2 Isso quer dizer que a função é ímpar e portanto há simetria em relação à origem 3 O gráfico da função passa pela origem do sistema de coordenadas porque 0 0 x f x 4 Quanto a assíntotas horizontais Introdução ao cálculo diferencial2011indd 171 20022011 100625 172 Introdução ao cálculo dIferencIal 5 Calculando a derivada Simplificando a expressão obtemos Veja que a derivada é sempre positiva e não se anula nunca Portanto não há pontos críticos e a função é sempre crescente 6 Calculando a derivada segunda pela Regra da Cadeia 2 3 2 5 1 2 1 2 3 2 2 x x x x x f Veja que x 0 é candidato à inflexão Da análise da concavidade concluímos que x 0 é ponto de inflexão O gráfico está esboçado a seguir Figura 1 Gráfico da função 2 1 x x x f Introdução ao cálculo diferencial2011indd 172 20022011 100628 173 22 esboce o gráfico de 1 O domínio é o conjunto dos números reais A função é contínua e portanto não existem assíntotas verticais ao seu gráfico 2 A função não é nem par nem ímpar porque Assim não há simetria em relação à origem ou ao eixo y 3 Interseção com eixos se dá quando Isso acon tece apenas quando x 0 porque ex 0 sempre 4 Assíntotas horizontais são identificadas com o cálculo dos limites a seguir porque ambos os fatores x e x e crescem indefini damente quando A reescrita foi necessária porque o limite resultava numa indeterminação do tipo 0 Utilizando a Regra de L Hôpital Assim o eixo y 0 é uma assíntota horizontal 5 Análise dos pontos críticos será feita a partir da derivada Uma vez que ex 0 zeros e sinais da derivada serão determinados pela expressão 1 x Assim 1 0 1 x x e y x que é o único ponto crítico da função Uma vez que 1 0 1 x x e y x a função é decrescente em 1 1 0 1 x x e y x a função é crescente em A função passa de decrescente para crescente em x 1 e então esse ponto é um ponto de mínimo local 6 Para a análise de inflexões e concavidade calculamos x e x e e y x x x 2 1 Do mesmo modo que na análise da derivada primeira ex 0 e zeros e sinais da derivada segunda serão determinados pela expressão 2 x Assim 2 0 2 x x e y x que é o único candidato a ponto de inflexão aula 17 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 173 20022011 100629 174 Introdução ao cálculo dIferencIal Uma vez que 2 0 2 x x e y x a função é côncava para baixo em 2 2 0 2 x x e y x a função é côncava para cima em Assim x 2 é ponto de inflexão Na tabela a seguir os valores da função em seu extremo e ponto de inflexão Em seguida à tabela o esboço do gráfico x x f 0 0 1 1 e 2 2 2 e Figura 2 Gráfico da função Introdução ao cálculo diferencial2011indd 174 20022011 100630 175 23 esboce o gráfico de 1 O domínio da função é porque y ln x só está definida nesse intervalo A condição x 0 para o denominador está satisfeita nesse intervalo 2 A função é contínua em Uma assíntota vertical pode acon tecer em x 0 Calculando confirmamos que x 0 é de fato uma assíntota vertical Para o cálculo de podemos utilizar a Regra de LHôpital porque estamos com uma indeterminação do tipo Assim e portanto y 0 é uma assíntota horizontal 3 Interceptos correspondem a soluções de Estas acontecem apenas quando 4 Encontrando a derivada primeira de para identificação de extremos e regiões de crescimento e Veja que Isso quer dizer que y 0 em 0 e o que significa que a função é crescente nesse intervalo Em a derivada é negativa e portanto a função é decrescente no intervalo O ponto crítico x e é então um ponto de mínimo local 5 Analisando a derivada segunda Em temos y 0 e a concavidade é para baixo Em temos y 0 e a concavidade é para cima Então 2 3 x e é ponto de inflexão Na tabela a seguir os valores da função em seus extremos inflexões e interceptos aula 17 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 175 20022011 100631 176 Introdução ao cálculo dIferencIal Figura 3 Gráfico da função 24 esboço do gráfico de no intervalo π 20 1 A função está definida e é contínua em 20 π Portanto não há assíntotas verticais 2 Não há simetrias em relação ao eixo y e à origem Isso porque cuja expressão não coincide com a expressão de f x nem com a de f x o que quer dizer que a função não é par nem ímpar 3 Interseção com o eixo y acontece em Interseção com o eixo x acontece quando ou seja quando Resolvendo ou 0 2 2 senx e no intervalo 20 π a solução é 2 x π e 2 x 3π 4 A derivada da função é Reescrevendo a expressão chegamos a No Exemplo 63 da Aula 14 determinamos os pontos críticos ou seja os zeros de f x que são os valores 6 x π e 6 x 5π que corres pondem a 2 senx 1 no intervalo 20 π e 2 x 3π que corresponde a Introdução ao cálculo diferencial2011indd 176 20022011 100634 177 senx 1 no intervalo 20 π Pelo teste da derivada segunda obti vemos 6 x π é um mínimo local e 6 x 5π é um máximo local No caso de 2 x 3π o teste falha ou seja nada podemos afirmar A análise do sinal da derivada será feita referenciada na análise do sinal de 0 2 2 4 2 senx sen x interpretada como a equação de segundo grau 0 2 2 4 2 m m que já resolvemos Assim 6 x π é ponto de mínimo local e 2 x 3π é ponto de mínimo local 5 Para a análise da concavidade e inflexões encontramos e f x 0 ou 4 senx 1 Esses valores correspondem a 2 x π 2 x 3π e 4 1 arcsen x e 4 1 2 3 arcsen x π que são candidatos a inflexões Na tabela a seguir a análise da concavidade e dos pontos de inflexão aula 17 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 177 20022011 100635 178 Introdução ao cálculo dIferencIal Assim 2 x π 2 x 3π e 4 1 arcsen x e 4 1 2 3 arcsen x π são todos pontos de inflexão A seguir o esboço do gráfico de no intervalo 20 π Figura 4 Gráfico da função no intervalo π 20 3 eXercÍcIoS 1 Esboce os gráficos das funções a seguir a no intervalo 20 π b x x f x 1 3 2 c x e y x d 2 Simplifique 2 1 1 x x f x e esboce seu gráfico Idem para 3 2 6 2 2 x x x x f x f Introdução ao cálculo diferencial2011indd 178 20022011 100636 179 4 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 SWOKOWSKI EW Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1991 aula 17 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 179 20022011 100636 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 180 20022011 100636 AULA 18 Problemas de otimização ObjETIVO Exibir técnicas que são utilizadas para encontrar valores máximos eou mínimos de funções bem como os pontos em que esses valores ocorrem 1 Introdução O conhecimento de valores máximos ou mínimos das funções envol vidas em um modelo matemático é um aspecto relevante em várias das aplicações do Cálculo Por exemplo se o lucro obtido com a fabricação e a venda de x unidades de um produto é dado por uma função L x formada a partir das receitas várias formas de venda do produto dos custos fixos aluguel impostos etc e dos custos variáveis energia elétrica água insumos então é de interesse do fabricante conhecer as situações em que seu lucro é máximo ou suas despesas são mínimas de acordo com a quantidade de produto que ele fabrica ou pode fabricar O conhecimento dessas situações permite que decisões sejam tomadas e estratégias sejam formuladas a bem do negócio Podemos citar outros exemplos simples que aparecem com frequência nos primeiros cursos de Cálculo a encontrar as dimensões de uma caixa de base quadrada uma emba lagem com dado volume de modo a minimizar a quantidade de mate rial área lateral a ser utilizado para construíla b determinar o deslocamento máximo de um objeto quando lançado em uma dada direção com certa velocidade inicial e sobre a ação de seu próprio peso e de uma força de resistência c determinar a maior área retangular que se pode cercar com uma quantidade determinada de arame Problemas desse tipo que têm como objetivo principal a determinação de valores máximos ou mínimos são chamados de problemas de otimi zação Muitos deles são formulados matematicamente da seguinte Introdução ao cálculo diferencial2011indd 181 20022011 100636 182 Introdução ao cálculo dIferencIal forma Uma função derivável f x é definida para todo x em certo intervalo I e desejase determinar caso existam os valores máximo absoluto M f xM e mínimo absoluto m f xm bem como os respectivos pontos xM e m x em que eles são atingidos 2 MáXIMoS e MÍnIMoS aBSolutoS eM InterValoS fecHadoS Nesta seção admitindo que a função y f x seja derivável1 em um intervalo fechado a b vamos desenvolver nosso primeiro e mais simples método para encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função bem como os pontos em que eles ocorrem A continuidade de f em a b f é derivável garante que ambos os valores máximo e mínimo absolutos existem O método consiste em encontrar os extremos locais da função f e comparálos com os valores f a e f b Como os extremos locais são atingidos em pontos críticos2 de f devemos encontrar todos os pontos críticos da função no intervalo aberto a b Em seguida formamos duas listas X e Y Na lista X colecionamos os pontos críticos juntamente com os pontos a e b extremidades do intervalo Na lista Y colecionamos os valores da função calculados nos pontos da primeira lista observe que entre estes estarão f a e f b O maior valor da lista Y será o valor máximo absoluto de f enquanto o menor valor dessa lista será o valor mínimo absoluto de f Além disso os pontos em que esses valores ocorrem são os pontos de máximo absoluto e os pontos de mínimo absoluto e podemos identificálos na lista X 22 um Método para encontrar Máximos e Mínimos em um Intervalo fechado Seja y f x derivável em um intervalo fechado a b Se M e m denotam respectivamente os valores máximo e mínimo absolutos de f e se então Y M max e Y m min Vamos utilizar a função para exemplificar o método calculando seus valores máximo e mínimo absolutos bem 1 As derivadas em x a e em x b são as derivadas laterais 2 Lembrese que c é um ponto crítico se f c 0 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 182 20022011 100638 183 como os pontos em que eles ocorrem no intervalo 32 Temos Logo para encontrar os pontos críticos de f devemos resolver a equação a qual depois de dividir ambos os lados por 12 fica equivalente a 0 2 2 x x x Vemos de imediato que c1 0 é uma raiz dessa equação e que as outras são as raízes de 0 2 2 x x Calculandoas encontramos 1 2 c e c3 2 Portanto os pontos críticos de f são c1 0 1 2 c e c3 2 Podemos então formar as listas X e Y Vamos dispôlas na seguinte tabela tabela 1 X 2 1 0 2 3 Y 47 10 15 17 42 Portanto podemos concluir que m 17 é o valor mínimo absoluto de f no intervalo 32 atingido no ponto e M 47 é o valor máximo absoluto de f no intervalo 32 atingido no ponto xM 2 Observe que o valor máximo absoluto é atingido em um ponto crítico enquanto que o mínimo absoluto é atingido no extremo esquerdo do intervalo Veja na Figura 1 abaixo o gráfico da função no intervalo 32 bem como seus extremos locais e absolutos Figura 1 Gráfico de em 32 e seus extremos locais e absolutos aula 18 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 183 20022011 100639 184 Introdução ao cálculo dIferencIal Exemplo 13 Uma caixa sem tampa deve ser construída dobrandose pequenos quadrados de lado x cm em uma folha de papel quadrada de 12 cm de lado veja figura abaixo Qual deve ser o comprimento x para que a caixa tenha capacidade volume máxima Qual é essa capaci dade Figura 2 Quadrados de lado x cm em uma folha de papel quadrada Resolução Vamos denotar por Vx o volume da caixa Então uma vez que a altura da caixa será x e sua base será um quadrado de lado Os valores de x devem variar no intervalo 60 Reescrevendo x x x V 2 4 6 e aplicando a regra do produto junta mente com a regra da cadeia para derivar 2 6 x encontramos Assim resolvendo encontramos os pontos críticos c1 2 e c2 6 Agora montamos a tabela cuja linha X é constituída dos pontos críticos juntamente com os extremos 0 e 6 do intervalo em questão e a linha V dos valores do volume nesses pontos tabela 2 X 0 2 6 V 0 0 V 128 2 V 0 6 V Inspecionando a Tabela 2 vemos imediatamente que o valor máximo para o volume é 128 cm3 e ocorre quando x é 2 cm Exemplo 2 Determinar as dimensões do retângulo de maior área que pode ser inscrito num semicírculo de raio R 3 Ver Thomas Cálculo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 184 20022011 100640 185 Figura 3 Retângulo inscrito num semicírculo de raio R Resolução Se x e y são as dimensões do retângulo então 2 2 2 2 y x R Teorema de Pitágoras Assim 4 2 2 x R y e a área do retângulo será 4 2 2 x x R A x para 20 R x Para encontrar pontos críticos devemos derivar a função A ou seja 2 4 1 2 2 2 2 x R x R A x Resolvendo a equação 0 A x encontramos R 2 x Desses dois valores o único que está no intervalo aberto 20 R é c R 2 O valor da área para esse ponto crítico é tabela 3 X 0 R 2 R 2 A 0 A0 R2 A R 2 0 A 2R Observando a Tabela 3 percebemos que o valor máximo absoluto da área é 2 R e esse valor ocorre quando as dimensões são x R 2 e 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 R R R R R R y y é a metade de x aula 18 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 185 20022011 100640 186 Introdução ao cálculo dIferencIal 3 MáXIMoS e MÍnIMoS aBSolutoS eM InterValoS não fecHadoS A seguir vamos resolver um problema de otimização cuja função a ser otimizada está definida em um intervalo que não é fechado Em situ ações como essa podemos recorrer a uma análise do crescimento da função para a determinação da natureza máximo ou mínimo de cada ponto crítico encontrado Alternativamente podemos utilizar o teste da derivada segunda para essa determinação Nesse caso devemos analisar a existência do extremo procurado e eventualmente considerar a possibilidade de existirem dois ou mais pontos com a mesma natureza caso em que devemos aprofundar a análise da função Exemplo 3 Um reservatório de base quadrada e sem tampa deve ser construído com a capacidade de armazenar um volume de 32 m3 de água Determine as dimensões desse reservatório que minimizam a quantidade de material a ser usado para construílo Resolução Se denotarmos a dimensão da base quadrada do reserva tório por x e sua altura por h então encontraremos que sua área lateral sem a tampa é dada por correspondendo à área do fundo somada com as áreas das 4 faces laterais Como essa expressão depende de duas variáveis x e h devemos encontrar uma relação entre ambas de modo que possamos expressar a área lateral como função de apenas uma dessas variáveis Para isso utilizamos a informação dada de que o volume do reservatório é de 32 m3 Mas como esse volume é dado por h x2 área da base multiplicada pela altura encontramos a relação pretendida Portanto encontramos a área lateral como a seguinte função definida4 para 0 x A dimensão m x que deve minimizar a função área lateral Ax se existir deve estar entre os pontos críticos dessa função uma vez que m x será também um ponto de mínimo local Derivando a função A x encontramos 2 128 2 x x A x Daí decorre que a equação de ponto crítico é 0 128 2 x x2 ou equivalentemente A solução dessa equação é x 4 Esse é o único ponto crítico da função x x A x 128 2 0 x e para decidirmos se ele é de fato ponto de mínimo absoluto podemos analisar o crescimento da função à esquerda e à direita desse ponto Da expressão 2 128 2 x x A x para a Introdução ao cálculo diferencial2011indd 186 20022011 100641 187 derivada de Ax vemos que 0 A x se x 4 e que 0 A x se x 4 Isso significa que a função Ax é estritamente decrescente à esquerda do ponto crítico x 4 e estritamente crescente à direita desse ponto crítico Dessa forma5 confirmamos que x 4 é de fato o ponto de mínimo absoluto da função Ax Concluímos que as dimensões que minimizam a área lateral do reservatório sem a tampa são m xm 4 e a unidade só pode ser metro pois o volume foi dado em metros cúbicos Uma pequena discussão sobre o teste da derivada segunda Você pode observar no problema do exemplo anterior que 3 2 128 2 x x A e 0 6 4 A Assim o teste da derivada segunda mostra que o ponto crítico x 4 é um ponto de mínimo local Sendo esse o único crítico poderíamos ter utilizado esse teste para obtermos a mesma conclusão do problema Isso porque se o mínimo absoluto fosse atingido em outro ponto do intervalo 0 então esse ponto seria crítico e teria que ser x 4 Se por outro lado não houvesse de fato um mínimo absoluto então a função assumiria valores menores do que A4 Mas como A4 é mínimo local a função também assume valores maiores do que A4 Sendo assim o gráfico da função subiria a partir da altura A4 e depois desceria para atingir alturas menores que A4 Isso significa que o gráfico passaria por algum ponto de máximo local o qual ocorreria obrigatoriamente em um ponto crítico Mas o único ponto crítico é x 4 e como vimos A4 é um mínimo local e não um máximo local 4 eXercÍcIoS 1 Determine os valores máximo e mínimo absolutos de 6 5 2 2 3 x x x f x definida no intervalo 4 2 2 Desejase escavar um túnel entre os pontos A e B Este último está 30m abaixo e 200m à direita de A veja figura abaixo Acima da hori zontal AC o solo é constituído de terra e dessa horizontal o solo é rochoso Sabese que o metro da escavação de terra custa R100000 e de rocha R300000 Determine até que ponto devese escavar na terra para que o custo do túnel seja o menor possível aula 18 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 187 20022011 100642 188 Introdução ao cálculo dIferencIal Figura 4 Túnel entre os pontos A e B 3 Um arame de comprimento deve ser cortado em dois pedaços um para formar um quadrado e outro para formar um círculo Como deve ser cortado o arame para que a soma das áreas do quadrado e do círculo seja a Máxima b Mínima 4 Uma pessoa está no ponto A da margem de um rio e deseja chegar ao ponto B na margem oposta ver figura abaixo Sabendo que pode se deslocar na margem a uma velocidade de 10ms e na água a uma velo cidade de 5ms determine o ângulo α necessário para cruzar o rio de modo que o ponto B seja alcançado no menor tempo possível Sabese que a distância entre A e B é 500m e a largura do rio é 300m Figura 5 5 Determine o raio e a altura do cilindro de maior volume possível que pode ser inscrito em uma esfera de raio r 6 Uma escada deve ser estendida sobre uma cerca de 36dm de altura até uma parede situada a 6 dm atrás da cerca Qual é o comprimento da menor escada que pode ser usada 7 A área do piso de uma loja retangular é 315m2 De suas quatro paredes de mesma altura as três laterais devem ser de tijolos e a da frente de vidro O metro quadrado da parede de vidro custa o dobro do preço do metro quadrado da parede de tijolos Quais as dimensões da loja que minimizarão o custo total de material das paredes e da frente Introdução ao cálculo diferencial2011indd 188 20022011 100642 189 8 Uma pessoa em um ponto A da praia de um lago circular com raio igual a 2km quer chegar ao ponto C diametralmente oposto ver figura abaixo no menor tempo possível Suponha que a velocidade dessa pessoa andando seja de 4kmh e remando seja de 2kmh Determine o valor do ângulo α Figura 6 Determinando α aula 18 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 189 20022011 100642 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 190 20022011 100643 AULA 19 o teorema do Valor Médio ObjETIVOS Enunciar demonstrar e utilizar o Teorema do Valor Médio 1 Introdução O tema desta aula referese a um teorema central no desenvolvimento teórico do Cálculo chamado Teorema do Valor Médio Por meio do Teorema do Valor Médio vamos justificar na próxima aula o teste da derivada primeira e o teste da derivada segunda que utili zamos no traçado de gráficos e problemas de otimização Além disso por meio desse teorema vamos estabelecer também relações entre funções que possuem a mesma derivada explorando seu significado geométrico e algébrico No enunciado do Teorema do Valor Médio as duas primeiras hipó teses sobre a função y f x são as mesmas de um outro teorema do qual ele é uma aplicação o Teorema de Rolle y f x deve ser uma função contínua em um intervalo fechado ab e diferenciável em ab No entanto não se exige mais a condição f b f a A novidade que o Teorema do Valor Médio traz diz respeito a uma outra forma pela qual podemos perceber o Teorema de Rolle Esse novo olhar será nosso ponto de partida nesta aula 2 o teoreMa de rolle Não há garantias incondicionais para que os números críticos existam No entanto podemos enunciar condições suficientes para sua exis tência Por exemplo explore na Figura 1 os gráficos de funções contínuas em intervalos da reta que esboçamos então sem tirar o lápis do papel Introdução ao cálculo diferencial2011indd 191 20022011 100643 192 Introdução ao cálculo dIferencIal c b a f h g Figura 1 Gráficos de funções contínuas ligando dois pontos a mesma altura Mais do que contínuas as funções representadas na figura admitem derivada em todos os pontos Ou seja o esboço de seu gráfico é suave sem esquinas ou bicos o que quer dizer que admite retas tangentes em todos os seus pontos Além de contínuas e diferenciáveis as funções representadas na Figura 1 satisfazem a uma terceira condição têm ordenadas y iguais nos extremos x a e x b do intervalo ab de sua definição Tente fazer esboços de gráficos de funções que satisfazem as três condi ções enunciadas A proposta é ligar sem tirar o lápis do papel e sem fazer quinas e bicos dois pontos que estão a uma mesma altura em relação a um sistema de coordenadas como representado na Figura 2 c b a a b c b Figura 2 Ligando pontos sem tirar o lápis do papel Introdução ao cálculo diferencial2011indd 192 20022011 100643 193 Sintetizando em linguagem matemática estamos afirmando que se f satisfaz as três condições anunciadas então existe pelo menos um número a b c tal que f c 0 Para conferir essa afirmação observe a função f que você desenhou e veja se ela se enquadra em um dos três casos 1 f é constante em ab ou seja f a f x para todo a b x Nesse caso f x 0 para todo a b x e então todo número x c em ab é um número crítico 2 f a f x para algum a b x o que quer dizer que o valor máximo da função em ab é maior do que f a e f b e ocorre em um número a b c Como f tem derivada em todos os pontos de ab em linguagem matemática podemos escrever que f c 0 3 f a f x para algum a b x o que quer dizer que o valor mínimo da função em ab é menor do que f a e f b e ocorre em um número a b c Como f tem derivada em todos os pontos de ab em linguagem matemática escrevemos que f c 0 Esses três casos discutidos acima compõem o argumento que demonstra o Teorema de Rolle que vamos enunciar a seguir 21 teorema de rolle Seja y f x uma função contínua em um intervalo fechado ab diferenciável em ab Se f b f a então existe pelo menos um número x c em ab tal que f c 0 3 o teoreMa do Valor MÉdIo Explore novamente as figuras 1 e 2 e veja que a tangente horizontal aos gráficos no ponto x c é uma reta paralela à reta que passa pelos pontos a f a e b f b Em seguida explore a Figura 3 em que não se exige mais a condição f b f a aula 19 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 193 20022011 100644 194 Introdução ao cálculo dIferencIal c b a b a a a b b Figura 3 O Teorema do Valor Médio A intenção nos esboços da nova figura é a de sugerir que existe um ponto x c em ab em que a tangente à curva é paralela à reta que passa por a f a e b f b ou seja em que a b f a f b f c 1 O enunciado do Teorema do Valor Médio sintetiza essa discussão 31 teorema do Valor Médio Seja y f x uma função contínua em um intervalo fechado ab diferenciável em ab Então existe pelo menos um número x c em ab tal que a b f a f b f c ou equivalentemente 311 Preparando a demonstração Como demonstrar esse novo Teorema usando o Teorema de Rolle Bem primeiro observe que a reta que passa pelos pontos a f a e b f b tem equação f a a x a b f a f b y Podemos interpretar essa equação como uma função expressa por f a a x a b f a f b g x Veja que a única coisa que foi feita foi dar o nome g x a ela Em seguida verifique que f a g a e f b g b Introdução ao cálculo diferencial2011indd 194 20022011 100645 195 Geometricamente isso fica evidente se você se lembrar de que o gráfico da reta e o gráfico da função passam pelos mesmos pontos a f a e b f b no plano Desse modo a função g f h vale zero em x a e x b e se torna adequada para utilização do Teorema de Rolle Calcule o valor de f a a x a b f a f b f x h x em x a e x b e verifique essa última afirmação Podemos agora iniciar a demonstração demonstração Seja a função f a a x a b f a f b f x h x Uma vez que f x é contínua em ab e derivável em ab h x também é Você sabe o porquê Além disso 0 h b h a Isso quer dizer que a função y h x satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle Logo existe a b c tal que h c 0 Calculando h x temos a b f a f b x f h x Calculando h x em x c obtemos a b f a f b f c h c Como h c 0 podemos escrever a b f a f b f c 0 Portanto no ponto a b c em que h c 0 temos a b f a f b c f como enuncia o Teorema 32 exemplo funções polinomiais A função 1 2 3 x x f x definida no intervalo 31 satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio Isso porque a função f é polinomial e portanto é contínua e diferen ciável em todo o seu domínio Valem então as condições de continui dade em 31 e a diferenciabilidade em 31 como exige o Teorema aula 19 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 195 20022011 100646 196 Introdução ao cálculo dIferencIal O Teorema garante então que existe 31 c tal que 1 3 1 3 f f c f Vamos determinar este valor c Calculando f 3 e 1 f 2 1 12 1 1 f Calculando f x 2 3 2 x x f O valor procurado deve satisfazer Ou seja ou Levando em conta o intervalo de definição em que estamos trabalhando Confira esta afirmação de que 33 exemplo explorando funções quadráticas Seja uma função quadrática em que m n e p são números reais genéricos definida em um intervalo fechado b a É possível mostrarmos que existe apenas um único valor x c em ab que satisfaz a conclusão do Teorema do Valor Médio no caso dessa função ou seja tal que Faça um esboço do gráfico de uma função quadrática genérica e confirme esse fato visualmente Argumentando algebricamente observe que é uma equação de primeiro grau Então a equação terá uma única solução que é m n a b m y a y b x 2 2 Esse valor corresponde ao valor de x c procurado Falta mostrar que a b c Para isso vamos escrever Introdução ao cálculo diferencial2011indd 196 20022011 100647 197 Desse modo E então 2 2 2 2 2 2 a b m n m n a b m n a b m y a y b Veja que esse valor é o ponto médio do intervalo ab correspon dendo portanto a um ponto a b c 4 o teoreMa do Valor MÉdIo SoB outro olHar O Teorema do Valor Médio pode ser interpretado de uma forma interes sante em termos de taxas de variação2 Por exemplo se f t for interpretada como a posição de um corpo P em movimento numa linha reta a velocidade média do corpo num intervalo de tempo ab será a b f a f b vm O Teorema do Valor Médio afirma que essa velocidade média será atin gida em f c para algum tempo a b c 41 exemplo projetando radares O velocímetro de um automóvel registra a velocidade de 50 kmh quando ele passa por um marco A ao longo de uma rodovia Três minutos mais tarde numa posição B a cinco quilômetros da primeira posição o velo címetro registra 55 kmh Podemos usar o Teorema do Valor Médio para mostrar que em algum momento do percurso o motorista ultrapassou o limite de velocidade naquela estrada que é de 70 kmh Veja só como fazemos isto Primeiro consideramos o tempo decorrido t em horas após o carro ter passado pelo ponto A na estrada e f a função que descreve seu deslo camento Uma vez que três minutos corresponde a de uma hora a velo cidade média do carro entre os pontos A e B da rodovia foi kmh Isso quer dizer que em 2 Faça uma revisão das definições de taxa de variação média e instantânea aula 19 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 197 20022011 100648 198 Introdução ao cálculo dIferencIal algum momento do percurso o carro atingiu a velocidade de 100 kmh garantido pelo Teorema do Valor Médio ultrapassando assim o limite de velocidade na estrada Veja que de nada adianta a estratégia de reduzir a velocidade em pontos onde a velocidade seria registrada se radares fossem colocados em dois marcos e o tempo de deslocamento entre eles fosse medido 42 exemplo avaliando dietas Seja W t o peso de uma pessoa em função do tempo t medida em meses Então representa o ganho ou a perda de peso em quilo gramas por mês O recorde de perda de peso registrado em dietas pres critas é uma redução de 220 kg para 60 kg em oito meses Podemos mostrar que a taxa de redução de peso excedeu 20 kgmês em algum tempo durante esse período Para isso escrevemos a perda média de peso nos oito meses como Assim o Teorema do Valor Médio nos garante que em algum momento da dieta a taxa de perda de peso no mês foi de 20 kgmês 5 eXercÍcIo Você está dirigindo em uma estrada em linha reta cujo limite de velo cidade é de 90 kmh Às 905 da noite um guarda rodoviário registra a sua velocidade como 80 kmh Três minutos depois outro guarda a cinco quilômetros na estrada registra sua velocidade como 88kmh Discuta se o DETRAN pode lhe multar por excesso de velocidade 6 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira v 1 SWOKOWSKI EW Cálculo com geometria analítica Makron Books 1991 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 198 20022011 100648 AULA 20 duas consequências do teorema do Valor Médio ObjETIVOS justificar teoricamente os testes da derivada primeira e da derivada segunda que usamos no traçado de gráficos e problemas de otimização Explorar rela ções entre funções que têm a mesma derivada 1 Introdução Nesta aula vamos usar o Teorema do Valor Médio para justificar métodos já utilizados em aulas anteriores ao traçarmos gráficos e resol vermos problemas de otimização Muitos desses métodos são intuitivos e foram discutidos desse modo quando foram enunciados Aqui avan çamos um pouco em direção à formalização desse conteúdo Como um segundo resultado do Teorema do Valor Médio vamos estudar funções f e g que têm a mesma derivada discutindo o signi ficado dessa coincidência Os exercícios ao final desta aula referemse principalmente a esse último resultado 2 oS teSteS da derIVada PrIMeIra e da derIVada SeGunda Para provar os testes que utilizamos no traçado de gráficos e otimi zação precisamos discutir as relações existentes entre o crescimento e o decrescimento da função e o sinal de sua derivada Se interpretamos a derivada de uma função y f x como taxa de variação é razoável relacionarmos derivada positiva a crescimento e derivada negativa a decrescimento da função Aqui essa relação será estabelecida algebricamente por meio do Teorema do Valor Médio Introdução ao cálculo diferencial2011indd 199 20022011 100648 200 Introdução ao cálculo dIferencIal 21 Proposição Seja y f x uma função contínua em ab e diferen ciável em ab a Se f x 0 para todo a b x então f é crescente em ab b Se f x 0 para todo a b x então f é decrescente em ab c Se f x 0 para todo a b x então f é constante em ab demonstração Para a parte a do Teorema nossa hipótese é a de que y f x é uma função contínua em ab e f x 0 para todo a b x A tese é f é crescente em ab Assim dados quaisquer valores 1x e 2x em ab devemos mostrar que 2 1 x x 2 1 f x f x No intervalo x1 x2 as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas porque x1 x2 é um subintervalo de b a Então existe c x1 x2 tal que 1 2 1 2 x x f x f x f c Do fato de f x 0 para todo a b x segue que 0 1 2 1 2 x x f x f x Uma vez que 2 1 x x então 0 1 2 x x e 1 2 f x f x também deverá ser positivo ou seja 2 1 f x f x como queríamos provar A prova da parte b é similar Para a parte c nossa hipótese é a de que f x 0 para todo a b x e desejamos mostrar que dela decorre que f é constante em ab Se isso não ocorresse existiriam 1x e 2 x em ab tais que 2 1 f x f x Assim de acordo com o Teorema do Valor Médio 0 x x f x f x c f 1 2 1 2 para algum c x1 x2 o que seria uma contradição pois 0 x f por hipótese Introdução ao cálculo diferencial2011indd 200 20022011 100649 201 Essa proposição estabelece o teste da derivada primeira que é utilizado para classificar pontos de máximos e mínimos Explore a Figura 1 e veja essa classificação representada graficamente x y c x y c Figura 1 O teste da derivada primeira O teste da derivada primeira está enunciado em nossa Aula 13 como a seguir 22 teste da derivada primeira Seja x c um número crítico de uma função f contínua em c ab e diferenciável em ab exceto talvez no próprio x c Valem as seguintes afirmações se f x 0 para c x a e f x 0 para b x c então o ponto x c é ponto de máximo local se f x 0 para c x a e f x 0 para b x c então o ponto x c é ponto de mínimo local se f x 0 ou f x 0 para todo x em ab exceto talvez no ponto x c então x c não é ponto nem de máximo nem de mínimo local demonstração Supor f x 0 para c x a e f x 0 para b x c Podemos escolher a e b de modo que a função f seja contínua em ab Logo por 21 f é crescente em ac e decrescente em cb Assim f c f x para todo a b x Isso quer dizer que o ponto x c é ponto de máximo local A demonstração das outras duas afirmações são análogas Uma consequência do que discutimos referese à análise do crescimento aula 20 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 201 20022011 100650 202 Introdução ao cálculo dIferencIal e decrescimento de f x que pode ser feita através do sinal de f x Vamos pensar assim para demonstrar o teste da derivada segunda enun ciado na Aula 14 23 teste da derivada segunda Seja f diferenciável em um aberto contendo c e f c 0 se f c 0 então f tem máximo local em c se f c 0 então f tem mínimo local em c se f c 0 nada se pode afirmar demonstração Se f c 0 então f x é decrescente em algum intervalo ab contendo c Uma vez que f c 0 então f x 0 em ac e f x 0 em cb Confirme a afirmação na figura a seguir Figura 2 O teste da derivada segunda Pelo teste da derivada primeira segue que f tem máximo local em c A segunda afirmativa é demonstrada do mesmo modo Para a terceira explore as funções x2 f x x2 f x e x3 f x em x 0 Todas elas satisfazem 0 0 f e x 0 é ponto de mínimo para a primeira função de máximo para a segunda e nem de máximo nem de mínimo para a terceira Introdução ao cálculo diferencial2011indd 202 20022011 100651 203 3 teoreMa da dIferença conStante 31 Proposição Sejam f e g duas funções contínuas em ab tais que g x x f para todo a b x Então f e g diferem por uma constante ou seja existe uma constante k tal que k g x f x para todo a b x demonstração Seja a função g x f x h x definida em ab Para todo a b x temos 0 g x x f h x Pelo item c do teorema anterior h é constante em ab Isso quer dizer k g x f x h x ou seja k g x f x O significado geométrico desse Teorema está representado na Figura 3 a seguir Em síntese o esboço na figura realça o fato de que se duas funções f e g têm a mesma derivada as retas tangentes a seu gráfico têm a mesma inclinação em cada ponto a b x Desse modo seu gráfico tem a mesma forma a equação k g x f x que se rees creve k g x f x vale porque cada um dos gráficos pode ser obtido a partir do outro por meio de uma translação x y y fx K y fx Figura 3 Gráfico de y f x e de k f x y aula 20 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 203 20022011 100652 204 Introdução ao cálculo dIferencIal 32 exemplo identificando funções com derivada nula Seja f uma função contínua em ab e f x 0 para todo a b x Veja como o Teorema da Diferença Constante nos permite afirmar que k f x para algum número real k Primeiro observamos que tomando c g x onde c é uma constante qualquer então g x 0 Assim g x x f para todo a b x Uma vez que f e g são contínuas em ab usamos o Teorema da Diferença Constante para afirmar que k g x f x para todo a b x Isso quer dizer que k c f x para todo a b x ou seja k c f x para todo a b x Renomeando a constante genérica c k e escrevendoa como k chegamos a k f x para todo a b x Informalmente se a derivada de uma função é zero em um intervalo então a função é constante nesse intervalo 33 exemplo identificando funções com derivada constante Seja f uma função contínua em ab e c x f para todo a b x O Teorema da Diferença Constante nos permite afirmar que para todo a b x Vamos construir um argumento referenciado no Teorema para justificar essa afirmação Primeiro observamos que para então c g x Assim g x x f para todo a b x Uma vez que f e g são contínuas em ab usamos o Teorema da Diferença Constante para afirmar que k g x f x para todo a b x Renomeando essa constante k e escrevendoa como d chegamos a Informalmente se a derivada de uma função é constante em um inter valo então a função é linear nesse mesmo intervalo Introdução ao cálculo diferencial2011indd 204 20022011 100653 205 4 eXercÍcIoS 1 Seja f uma função contínua em ab e para todo a b x Mostre que k senx f x para algum número real k 2 Seja f uma função contínua em ab e x x f para todo a b x Mostre que k x f x 2 2 para algum número real k 3 Seja f uma função contínua em ab e x2 x f para todo a b x Mostre que k x f x 3 3 para algum número real k 4 Seja f uma função contínua em ab e xn x f para todo a b x e n um inteiro positivo Mostre que k n x x f n para algum número real k 5 Seja f uma função contínua em ab e ex x f para todo a b x Mostre que k e x f x para algum número real k 5 referÊncIaS ANTON H Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 PINTO M ARAÚJO J FERREIRA C Cálculo I Belo Horizonte Editora UFMG 2008 Educação a Distância SIMMONS G Cálculo com geometria analítica São Paulo McGraw Hill 1987 STEWART J Cálculo São Paulo Pioneira v 1 SWOKOWSKI EW Cálculo com geometria analítica Makron Books 1991 aula 20 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 205 20022011 100654 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 206 20022011 100654 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 207 20022011 100654 208 Introdução ao cálculo dIferencIal A presente edição foi composta pela Editora UFMG em caracteres Chaparral Pro e Optma Std e impressa pela Didatica Editora do Brasil em sistema offset 90g e cartão supremo 250g em maio 2009 A presente edição foi composta pela Editora UFMG em caracteres Chaparral Pro e Optima Std e impressa pela Imprensa Universitária da UFMG em sistema offset 90g miolo e cartão supremo 250g capa em 2011 Introdução ao cálculo diferencial2011indd 208 20022011 100654