Cálculo de Pressões e Volume em Sistema Esférico com Óleo

Exercício 9 Aula 2 No sistema da figura na situação inicial a esfera está vazia Introduzse óleo pelo funil até preencher totalmente o recipiente esférico e y passa a valer y 1m Dados óleo8000Nm³ H2O10000Nm³ a Qual é o valor de y na situação inicial b Qual é o diâmetro da esfera c Qual é o volume de óleo introduzido para estabelecer a situação final Solução Inicialmente montamos uma equação manométrica que represente a situação inicial deste sistema da figura Tomaremos como referência a escala de pressões efetiva Deste modo o referencial de pressão pressão no local é tomado como sendo igual a zero Vale notar que o sistema está aberto em ambas as extremidades 0 𝛾𝐻2𝑂ℎ𝐻2𝑂 𝛾𝑂ℎ𝑂 0 Reescrevendo a equação e substituindo os valores temos 𝛾𝐻2𝑂ℎ𝐻2𝑂 𝛾𝑂ℎ𝑂 x x Item a 10000 𝑦 8000 05 𝑦 8000 05 10000 04𝑚 Para determinarmos o valor do diâmetro do reservatório esférico precisamos primeiramente encontrar quanto a água se movimentou a coluna dágua Em termos de equação com base na geometria dada na figura temos 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑦 Rearranjando e substituindo os valores temos 𝑦 2𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 2 1 04 2 03𝑚 Aplicando novamente a equação manométrica para o sistema temos 0 𝛾𝐻2𝑂ℎ𝐻2𝑂 𝛾𝑂ℎ𝑂 0 Reescrevendo temos 𝛾𝐻2𝑂ℎ𝐻2𝑂 𝛾𝑂ℎ𝑂 Substituindo os valores temos 𝛾𝐻2𝑂 𝑦 𝛾𝑂05 𝐷 𝑥 Item b 𝛾𝐻2𝑂 𝑦 𝛾𝑂 05 𝑥 𝐷 𝐷 10000 1 8000 05 03 045𝑚 O cálculo do volume adicionado de óleo deve considerar o volume de óleo que entrou no manômetro diferencial percorreu uma distância x já determinada e o volume correspondente ao reservatório formato esférico vide enunciado 𝑉𝑎𝑑𝑖𝑐 𝑉𝑟𝑒𝑠 𝑉𝑚𝑎𝑛 Reescrevendo em termos das variáveis correspondentes para cada uma das partes temos 𝑉𝑎𝑑𝑖𝑐 4 3 𝜋𝑅3 𝐴𝑡𝑢𝑏𝑜 𝑥 Substituindo os valores temos Item c 𝑉𝑎𝑑𝑖𝑐 4 3 𝜋045 2 3 4 104 03 478 102𝑚3478𝑙 Exercício 10 Dados D 714mm d357mm h400mm Hg136000Nm³ Solução Inicialmente precisamos montar uma equação para o atuador que está no topo da figura relacionando as forças presentes Temos 1 força aplicada diretamente na haste e outras forças originadas da pressão atuando sobre áreas do êmbolo no interior do atuador 𝑃𝑎𝑟1𝐴1 𝐹 𝑃𝑎𝑟2𝐴2 Reescrevendo temos 𝑃𝑎𝑟1𝜋𝐷2 4 𝐹 𝑃𝑎𝑟2𝜋𝐷2 𝑑² 4 Substituindo os valores 𝑃𝑎𝑟1𝜋007142 4 31 𝑃𝑎𝑟2𝜋007142 00357² 4 Reescrevendo obtemos a equação 1 𝑃𝑎𝑟1 4 103 31 𝑃𝑎𝑟2 3 103 Esta equação relaciona as pressões Contudo como ambas são desconhecidas precisamos de uma segunda equação relacionando estas pressões para que possamos determinar seus valores Uma segunda equação que pode ser utilizada para relacionar estas pressões é a equação manométrica que pode ser aplicada neste sistema 𝑃𝑎𝑟1 𝛾𝐻20 2ℎ 𝛾𝑚ℎ 𝛾𝐻20ℎ 𝑃𝑎𝑟2 Para simplificar esta equação iremos encontrar quanto vale o ℎ 2ℎ 𝜋𝐷² 4 ℎ 𝜋𝑑² 4 Substituindo os valores temos ℎ 𝜋 00714² 4 04 2 𝜋 00357² 4 ℎ 005𝑚 Substituindo este e os demais valores na equação manométrica temos 𝑃𝑎𝑟1 10000 2 005 50000 04 10000 04 𝑃𝑎𝑟2 Reescrevendo encontramos a equação 2 𝑃𝑎𝑟1 17000 𝑃𝑎𝑟2 Substituindo a equação 2 em 1 temos Item a 𝑃𝑎𝑟1 4 103 31 𝑃𝑎𝑟1 17000 3 103 𝑃𝑎𝑟1 20000𝑃𝑎 20𝑘𝑃𝑎 Substituindo este valor na equação 1 ou 2 encontramos o outro valor Da equação 1 temos item b 20000 17000 𝑃𝑎𝑟2 37000𝑃𝑎 37𝑘𝑃𝑎