Geometria Analítica - Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro

Autora Profa Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro Colaboradoras Profa Vanessa Lessa Profa Christiane Mazur Doi Geometria Analítica Professora conteudista Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro é graduada em Física com habilitação em Astronomia pela Universidade de São Paulo USP desde 2001 Em 2006 concluiu doutorado em Astrofísica pela mesma universidade Em 2009 mudou seu enfoque de pesquisa para o ensino ministrando disciplinas para o ciclo básico do curso de Engenharia na Universidade Paulista UNIP Desde 2009 integra a equipe da Comissão de Qualificação e Avaliação CQA da Universidade Paulista elaborando e revisando materiais didáticos e de apoio de diversos cursos além de realizar a tabulação de resultados de avaliações internas e externas Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma eou quaisquer meios eletrônico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP R484g Ribeiro Fabíola Mariana Aguiar Geometria Analítica Fabíola Mariana Aguiar Ribeiro São Paulo Editora Sol 2021 120 p il Nota este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP Série Didática ISSN 15179230 1 Vetor 2 Produto 3 Cálculo I Título CDU 516 U51257 21 Prof Dr João Carlos Di Genio Reitor Prof Fábio Romeu de Carvalho ViceReitor de Planejamento Administração e Finanças Profa Melânia Dalla Torre ViceReitora de Unidades Universitárias Profa Dra Marília AnconaLopez ViceReitora de PósGraduação e Pesquisa Profa Dra Marília AnconaLopez ViceReitora de Graduação Unip Interativa EaD Profa Elisabete Brihy Prof Marcello Vannini Prof Dr Luiz Felipe Scabar Prof Ivan Daliberto Frugoli Material Didático EaD Comissão editorial Dra Angélica L Carlini UNIP Dr Ivan Dias da Motta CESUMAR Dra Kátia Mosorov Alonso UFMT Apoio Profa Cláudia Regina Baptista EaD Profa Deise Alcantara Carreiro Comissão de Qualificação e Avaliação de Cursos Projeto gráfico Prof Alexandre Ponzetto Revisão Lucas Ricardi Vera Saad Sumário Geometria Analítica APRESENTAÇÃO 7 INTRODUÇÃO 7 Unidade I 1 VETORES DEFINIÇÃO E APLICAÇÕES 9 11 Definição 9 12 Propriedades dos vetores 10 2 OPERAÇÕES COM VETORES15 21 Adição de vetores 15 22 Multiplicação de vetor por escalar 26 3 VETORES TRATAMENTO ALGÉBRICO 28 31 Vetor definido por dois pontos 28 32 Módulo de vetor 32 33 Operações com vetores 35 331 Soma de vetores 36 332 Multiplicação de vetor por escalar 39 4 DEPENDÊNCIA LINEAR ENTRE VETORES 42 Unidade II 5 PRODUTO ESCALAR 53 51 Produto escalar de dois vetores 53 52 Ângulo entre dois vetores 56 53 Condição de perpendicularismo entre dois vetores 64 54 Condição de paralelismo entre dois vetores 67 55 Produto escalar e dependência linear de dois vetores75 6 PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM VETOR SOBRE OUTRO 78 61 Projeção ortogonal de vetores 78 62 Aplicações 82 7 PRODUTO VETORIAL 85 71 Definição 85 72 Propriedades do produto vetorial 90 8 APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL 95 81 Cálculo da área de um paralelogramo 95 82 Cálculo da área de um triângulo 101 83 Vetor normal a uma figura plana determinada por dois vetores 106 7 APRESENTAÇÃO Neste livrotexto mostraremos os principais conceitos relacionados aos vetores em espaços euclidianos bidimensionais e tridimensionais Faremos exposições de conceitos e de operações envolvendo vetores tanto por suas representações geométricas quanto por suas coordenadas Além disso falaremos sobre as definições de produto escalar e de produto vetorial a projeção ortogonal e as condições de paralelismo e de perpendicularidade entre vetores Este livrotexto está organizado em duas unidades Na unidade I apresentaremos a definição e as propriedades dos vetores as operações com vetores adição de vetores e multiplicação de vetor por escalar o tratamento algébrico dos vetores a dependência linear entre vetores Na unidade II veremos o produto escalar incluindo os estudos das condições de perpendicularidade e de paralelismo entre dois vetores e da dependência linear de dois vetores a projeção ortogonal de um vetor sobre outro o produto vetorial e suas aplicações incluindo os cálculos das áreas de um paralelogramo e de um triângulo e a determinação do vetor normal a uma figura plana determinada por dois vetores INTRODUÇÃO Este livrotexto tem como objetivo apresentar ao aluno os elementos básicos de geometria analítica necessários para estudos de álgebra linear e importantes para diversas áreas da ciência da computação especialmente no que se refere às abordagens do campo da computação gráfica Conhecimentos a respeito de geometria analítica e de álgebra linear também são aplicados na elaboração e na análise de modelos preditivos em machine learning por exemplo De modo geral vetores são fundamentais quando estudamos e desenvolvemos aplicações de computação gráfica ou jogos eletrônicos As imagens digitais são formadas a partir de pontos retas e polígonos Para aplicar efeitos de iluminação realísticos precisamos saber a orientação desses polígonos o que é feito com o emprego de conceitos da geometria analítica Quando tratamos de animações 8 devemos simular o movimento mantendo o aspecto dos objetos Além disso frequentemente corrigimos a iluminação o que também é feito com o uso de conceitos da geometria analítica Adicionalmente para criarmos projeções que representem um movimento realístico são necessários conhecimentos de cinemática vetorial uma área da física que requer o domínio das propriedades dos vetores Boa leitura e bom estudo 9 GEOMETRIA ANALÍTICA Unidade I 1 VETORES DEFINIÇÃO E APLICAÇÕES 11 Definição Para começarmos nossa disciplina precisamos fazer a distinção entre grandezas escalares e grandezas vetoriais São grandezas escalares aquelas que podem ser dadas de forma completa por apenas um número Logo a massa de um objeto o preço de um produto e o tempo gasto em um deslocamento entre dois pontos são exemplos de grandezas escalares São grandezas vetoriais aquelas que para serem dadas de forma completa precisam de intensidade ou módulo direção e sentido Se fornecermos apenas a intensidade de uma grandeza vetorial não estamos descrevendo essa grandeza totalmente Velocidade e força são exemplos de grandezas vetoriais Quando falamos de velocidade devemos expressar a sua intensidade parte numérica a sua direção e o seu sentido como 60 kmh na pista da marginal e no sentido oeste Definimos o segmento orientado AB pelo par ordenado AB em que A representa a origem do segmento e B representa a sua extremidade e definimos o segmento orientado BA pelo par ordenado BA em que B representa a origem do segmento e A representa a sua extremidade figura 1 A A B B Figura 1 Segmentos orientados AB acima e BA abaixo Note pela figura 1 que os segmentos orientados AB e BA são distintos Podemos ter um segmento orientado em que a origem e a extremidade coincidem AA por exemplo Esse tipo de segmento é chamado de segmento nulo Dizemos que dois segmentos orientados têm o mesmo comprimento quando os segmentos de reta definidos por sua origem e por sua extremidade têm comprimentos iguais Na figura 1 vemos que os segmentos orientados AB e BA têm o mesmo comprimento Dizemos que dois segmentos orientados são paralelos quando eles têm a mesma direção Na figura 2 os segmentos orientados AB e CD são paralelos pois têm a mesma direção Unidade I GEOMETRIA ANALÍTICA 12 Unidade I Figura 9 Dois vetores definem um plano logo os vetores são sempre coplanares dois a dois Figura 10 Três vetores não coplanares Exemplo de aplicação Exemplo 1 Quais vetores são paralelos ao vetor AB dado na figura 11 A B C D Figura 11 Vetor AB Resolução Os vetores paralelos ao vetor AB são os que têm a mesma direção de AB mas podem ter o mesmo sentido ou sentido oposto ao vetor AB Na figura 12 vemos que o vetor CD é paralelo e tem o mesmo sentido de AB A B C D Figura 12 Vetor CD paralelo e com mesmo sentido do vetor AB 13 GEOMETRIA ANALÍTICA Temos ainda os vetores que são paralelos a AB mas com sentidos opostos a ele São esses os vetores BA e DC mostrados na figura 13 A B C D Figura 13 Vetores BA e DC paralelos ao vetor AB mas de sentido oposto Logo os vetores paralelos ao vetor AB são os vetores CD BA e DC Exemplo 2 Quais vetores são perpendiculares ao vetor AB dado na figura 14 A B C D Figura 14 Vetor AB Resolução Os vetores perpendiculares ao vetor AB são os que formam ângulo de 90o com o vetor AB em ambos os sentidos possíveis Vemos na figura 15 que os vetores perpendiculares a AB são os vetores DB BD CA e AC A B C D Figura 15 Vetores perpendiculares ao vetor AB 14 Unidade I Exemplo 3 Quais vetores são paralelos ao vetor CA na figura 16 A E C O B F D Figura 16 Vetor CA em um hexágono Resolução Os vetores paralelos a CA têm que ter a mesma direção desse vetor mas podem ter o mesmo sentido ou sentidos opostos Devido às características do hexágono o único vetor paralelo a CA e com mesmo sentido de CA é o vetor FD figura 17 A E C O B F D Figura 17 Vetor FD paralelo a CA e de mesmo sentido Já os vetores paralelos a CA mas com sentidos opostos são os inversos dos vetores CA e FD ou seja são os vetores AC e DF figura18 A E C O B F D Figura 18 Vetores AC e DF paralelos a CA mas de sentidos opostos a ele 2 OPERAÇÕES COM VETORES É frequente a necessidade de somar grandezas vetoriais como forças por exemplo O procedimento para somar vetores é distinto do que usamos para somar escalares como veremos a seguir 21 Adição de vetores Existem basicamente dois métodos para somar vetores graficamente a regra do polígono a regra do paralelogramo A regra do polígono para a soma de vetores é a aplicação do seguinte procedimento colocamos os vetores em sequência alinhando a origem de um com a extremidade do outro traçamos o vetor soma a partir da origem do primeiro vetor da sequência até a extremidade do último vetor da sequência Por exemplo considere os vetores da figura 19 A soma desses vetores aplicandose a regra do polígono é ilustrada na figura 20 Esse método pode ser aplicado inclusive para somar mais de dois vetores como esquematizado nas figuras 21 e 22 Unidade I Figura 21 Vetores vecu vecv vecw e vecp Figura 22 Soma dos vetores vecu vecv vecw e vecp pela regra do polígono Note que os vetores foram colocados em sequência e que o vetor soma se inicia na origem do primeiro vetor e termina na extremidade do último vetor Exemplo de aplicação Exemplo 1 Usando o método do polígono represente a soma dos vetores dados na figura 23 Resolução Pelo método do polígono devemos ordenar os vetores de forma que a extremidade de um deles coincida com o final do outro A ordem que adotamos nesse processo é indiferente Figura 23 Vetores vecu e vecv Figura 24 Vetores vecu e vecv ordenados para aplicação da regra do polígono O vetor soma é o vetor que se inicia no começo do primeiro vetor da sequência e termina na extremidade do último vetor figura 25 Exemplo 2 Usando o método do polígono represente a soma dos vetores dados na figura 26 Resolução Pelo método do polígono devemos ordenar os vetores de forma que a extremidade de um deles coincida com o final do outro A ordem que adotamos nesse processo é indiferente O vetor soma é o vetor que se inicia no começo do primeiro vetor da sequência e termina na extremidade do último vetor figura 28 19 GEOMETRIA ANALÍTICA Vemos na figura 30 que os três vetores quando em sequência para aplicar a regra do polígono formam uma figura fechada de forma que se seguirmos a direção e o sentido dos vetores a partir de qualquer ponto voltamos a esse ponto inicial Isso significa que a soma dos vetores é o vetor nulo vetor de módulo igual a zero Dessa forma temos que CA BA BD 0 Outra forma de resolvermos esse exercício é trocando o vetor BD pelo seu vetor idêntico AO e vendo que a soma de CA com AO é o vetor CO figura 29 Esse vetor por sua vez é paralelo ao vetor BA mas com sentido oposto figura 31 de forma que a soma final é um vetor nulo A E C O B F D Figura 31 Outro método para fazer a soma dos vetores indicados O vetor CO em rosa é a soma dos vetores CA e AO A soma do vetor CO com o vetor BA resulta em um vetor nulo Exemplo 4 Faça a soma dos vetores GH e CA dados na figura 32 A C G E B D H F Figura 32 Vetores GH e CA Resolução O primeiro passo seguindo o método do polígono é colocar os vetores em sequência Podemos ver que o vetor CA é idêntico ao vetor HF Então podemos trocar CA por HF conforme mostrado na figura 33 Consideres os vetores overlineCA overlineBA e overlineBD sobre um hexágono regular conforme indicado na figura 29 20 Unidade I A C G E B D H F Figura 33 Vetores GH e HF esse último é paralelo a CA A soma pelo método do polígono é o vetor que se inicia na origem do primeiro vetor da sequência e termina na extremidade do último vetor A soma dos vetores é portanto o vetor GF figura 34 A C G E B D H F Figura 34 Soma dos vetores GH e HF em verde Note que o vetor GF é idêntico ao vetor CB Logo o vetor CB é também uma resposta correta para a soma solicitada Exemplo 5 No exemplo anterior fizemos a soma de dois vetores mas o método do polígono permite somar diversos vetores de uma vez Considere os vetores CD BF e EG da figura 35 Para fazermos a soma de vetores pelo método do polígono precisamos colocálos em sequência e nesse processo podemos substituir qualquer vetor por outro vetor idêntico mesmo módulo mesma direção e mesmo sentido como feito na figura 30 21 GEOMETRIA ANALÍTICA A C G E B D H F Figura 35 Vetores CD BF e EG Resolução Para fazer a soma dos vetores precisamos ordenar os vetores da figura isso deve ser feito de forma que eles continuem nas arestas do paralelogramo Para tanto podemos substituir o vetor EG pelo vetor AC e também substituir o vetor BF pelo vetor DH já que eles são idênticos Fazendo dessa maneira temos a configuração a seguir A C G E B D H F Figura 36 Vetores ordenados para a soma Com os vetores em sequência pelo método do polígono a soma dos vetores é o vetor que se inicia na origem do primeiro vetor e tem extremidade na extremidade do último vetor da sequência figura 37 A C G E B D H F Figura 37 Soma dos vetores indicada em cinza Vemos portanto que a soma dos vetores CD BF e EG é o vetor AH Outro método para somar vetores não colineares é o método do paralelogramo dado pela seguinte sequência de etapas Para calcular a força resultante atuando sobre um corpo precisamos fazer a soma dos dois vetores overlineu e overlinev ilustrados na figura 41 Para fazer a soma de dois vetores o resultado é o mesmo usandose o método do paralelogramo ou o método do polígono para fazer a soma Aqui utilizaremos o método do paralelogramo Exemplo 2 Precisamos fazer a soma dos vetores indicados na figura 44 Resolução Para somar dois vetores usando a regra do paralelogramo devemos traçar paralelas aos vetores formando um paralelogramo figura 45 Em seguida traçamos o vetor soma que se inicia na origem dos dois vetores e termina no vértice oposto do paralelogramo figura 46 25 GEOMETRIA ANALÍTICA A soma de vetores segue algumas propriedades listadas a seguir Propriedade comutativa a ordem da soma dos vetores não altera o resultado Ou seja u v v u Propriedade de elemento neutro a soma de um vetor nulo indicado por 0 a um vetor não altera o resultado Ou seja u 0 u Propriedade do elemento oposto ao somarmos um vetor com seu oposto o resultado é o vetor nulo Ou seja u u 0 Propriedade associativa se temos a soma de mais de dois vetores o resultado é o mesmo independentemente de quais vetores escolhamos para iniciar o processo de soma Ou seja u v w u v w Observação As prioridades quando realizamos cálculo são as potências seguidas das multiplicações e das divisões e por último das somas e das subtrações Os parênteses os colchetes e as chaves nessa ordem têm como função alterar prioridades no cálculo Logo uma operação ou um conjunto de operações entre parênteses deve ser calculada primeiro Por exemplo 3 4 1 3 3 9 dá um resultado completamente diferente da expressão calculada sem parênteses em que a prioridade de cálculo é a multiplicação conforme mostrado a seguir 3 4 1 12 1 11 Um vetor pode ser multiplicado por um escalar ou seja por um número conforme será discutido a seguir Observação O vetor nulo ainda é um vetor e é indicado por 0 Para somar dois vetores usando a regra do paralelogramo devemos traçar paralelas aos vetores formando um paralelogramo figura 42 Em seguida traçamos o vetor soma que se inicia na origem dos dois vetores e termina no vértice oposto do paralelogramo figura 43 22 Multiplicação de vetor por escalar O comprimento de um vetor é dado pelo seu módulo Quando multiplicamos um vetor por um escalar ou seja por um número podemos alterar o seu módulo e o seu sentido A figura 47 ilustra a multiplicação do vetor pelo escalar 3 Note que nesse processo o módulo do vetor resultante é 3 vezes o módulo do vetor original Observação Seja n um número Calcular 3 n é o equivalente a calcular n n n Quando o escalar é negativo o vetor resultante da multiplicação tem sentido invertido conforme ilustrado na figura 48 Então para inverter o sentido de um vetor sem alterar seu módulo figura 49 basta multiplicarmos esse vetor por 1 Note que quando multiplicamos um vetor por um escalar o resultado é sempre um vetor paralelo ao vetor original Podemos resumir a multiplicação de um vetor por um escalar a da seguinte forma 27 GEOMETRIA ANALÍTICA o resultado é um vetor de mesmo sentido do vetor u se a 0 o resultado é um vetor de sentido oposto ao vetor u se a 0 Observação Dizer que um número n é maior do que zero é equivalente a dizer que esse número é positivo Dizer que um número n é menor do que zero é equivalente a dizer que esse número é negativo Se o número n é igual a zero podemos dizer também que ele é nulo Caso multipliquemos um vetor por zero o resultado será um vetor nulo Ou seja u0 0 Temos então as propriedades mostradas a seguir para a multiplicação de vetores por escalar sendo que a e b representam escalares Propriedade comutativa a ordem da multiplicação não altera o resultado Ou seja au ua Propriedade de elemento neutro a multiplicação de um vetor por 1 resulta nesse mesmo vetor Ou seja u1 u Propriedade distributiva ao multiplicarmos a soma de dois vetores por um escalar isso é equivalente a multiplicar primeiro cada parcela da soma pelo escalar e em seguida somar os resultados Isso aplicase quando temos um vetor multiplicado por uma soma de escalares Ou seja au v au bv a bu au bu Propriedade associativa se temos o produto de mais de dois escalares por um vetor o resultado é o mesmo independentemente de quais escalares escolhamos para iniciar o processo de multiplicação Ou seja abu abu Nas figuras 38 39 e 40 apresentamos a sequência para se fazer a soma de dois vetores pela regra do paralelogramo Observação O elemento neutro da soma é o número 0 enquanto o elemento neutro da multiplicação é o número 1 3 VETORES TRATAMENTO ALGÉBRICO 31 Vetor definido por dois pontos Além de representar um vetor graficamente como já fizemos podemos representálo a partir de suas coordenadas em relação a uma base mas primeiro precisamos ver o que é uma base Qualquer conjunto ordenado de vetores não paralelos constitui uma base Essa base é usada como referência para representar outros vetores Por exemplo considere os vetores e e uma base B dada por B Imagine um vetor dado por a b Nesse caso as coordenadas do vetor na base B são ab Um caso especial de bases corresponde às bases ortonormais compostas por vetores unitários e ortogonais O sistema de eixos que usamos para construir gráficos tanto no plano quanto no espaço é um exemplo de uma base ortonormal Observação O termo normal referese a um ângulo de 90º Dois vetores são ditos normais se há entre eles ângulo de 90º figura 50 29 GEOMETRIA ANALÍTICA É um exemplo de base ortonormal portanto a base canônica B xy em duas dimensões Em três dimensões a base canônica é dada por B xyz Observação Na base canônica conforme descrita x representa um versor ou seja tem módulo unitário e conserva apenas a direção e sentido do eixo ordenado x O mesmo acontece com y e z Outra forma de representarmos a base canônica é usando os versores i j e k que correspondem respectivamente à direção e ao sentido dos eixos x y e z Nessa representação a base canônica em duas dimensões é dada por B ij em três dimensões é dada por B ijk Dessa forma um vetor v bidimensional de coordenadas ab no plano xOy pode ser representado por v ai bj ax by ab De forma similar em três dimensões temos v ai bj ck ax by cz abc Podemos definir um vetor a partir dos pontos que o limitam Seja um vetor v de origem no ponto A a1a2 e extremidade no ponto B b1b2 O vetor v pode ser representado a partir da diferença das coordenadas desses pontos sempre considerando as coordenadas do ponto da extremidade menos as coordenadas do ponto da origem Vejamos v B A 1 2 1 2 v b b a a 1 1 2 2 v b a b a A mesma ideia é aplicada no caso tridimensional Seja um outro vetor v agora tridimensional de origem no ponto A a1a2a3 e de extremidade no ponto B b1b2b3 Esse vetor pode ser descrito a partir das coordenadas dos dois pontos da seguinte forma v B A 1 2 3 1 2 3 v b b b a a a 30 Unidade I Expressando essa diferença coordenada a coordenada temos 1 1 2 2 3 3 v b a b a b a Exemplo de aplicação Considere os pontos A 01 e B 54 Expresse o vetor AB e o vetor BA Resolução Para definir um vetor a partir de dois pontos basta fazermos a diferença coordenada a coordenada do ponto final do vetor e do ponto inicial do vetor Para o vetor AB com A 01 e B 54 temos B B A A AB x y x y Substituindo as coordenadas dos pontos ficamos com AB 54 01 Agrupando coordenada a coordenada chegamos a AB 5 04 1 AB 53 De forma similar para o vetor BA com A 01 e B 54 temos A A B B BA x y x y Substituindo as coordenadas dos pontos ficamos com BA 01 54 Agrupando coordenada a coordenada chegamos a BA 0 51 4 BA 5 3 Note que AB BA Podemos representar esses pontos e os vetores em um plano cartesiano figuras 51 e 52 31 GEOMETRIA ANALÍTICA 5 x 4 2 3 1 A B 1 2 3 4 5 y Figura 51 Vetor AB 5 x 4 2 3 1 A B 1 2 3 4 5 y Figura 52 Vetor BA Observação Note que A xy representa um ponto enquanto AB xy indica um vetor 32 Unidade I 32 Módulo de vetor Vimos que o módulo de um vetor é o mesmo que o tamanho de um vetor Considere um vetor bidimensional v xy O módulo desse vetor representado por v é calculado pela seguinte expressão 2 2 v x y No caso de um vetor tridimensional v xyz por exemplo o seu módulo é calculado por 2 2 2 v x y z Ou seja o módulo de qualquer vetor é calculado como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas Exemplo de aplicação Considere o vetor u 24 Podemos determinar seu módulo a partir de suas coordenadas pelo seguinte cálculo 2 2 u x y Resolução Substituindo as coordenadas dadas na expressão e fazendo os cálculos ficamos com 2 2 u 2 4 u 4 16 u 20 u 2 5 Logo o módulo do vetor u 24 é u 2 5 33 GEOMETRIA ANALÍTICA Observação Quando temos 20 podemos escrever o número 20 como 2 20 225 2 5 Assim no cálculo da raiz ficamos com 2 20 2 5 2 20 2 5 Como a raiz quadrada é a operação inversa de se elevar algo ao quadrado temos 20 2 5 Exemplo de aplicação Exemplo 1 Considere o vetor u 341 Podemos determinar seu módulo a partir de suas coordenadas pelo seguinte cálculo 2 2 2 u x y z Resolução Substituindo as coordenadas dadas na expressão e fazendo os cálculos ficamos com 2 2 2 u 3 4 1 u 9 16 1 u 26 Logo o módulo do vetor u 341 é u 26 34 Unidade I Exemplo 2 Calcule o versor do vetor u 125 Resolução Vimos que um versor é um vetor de comprimento unitário Dessa forma o versor do vetor u indicado por u deve conservar as informações de direção e de sentido desse vetor e ter tamanho unitário Como podemos fazer um vetor qualquer se tornar unitário Basta dividilo pelo seu comprimento ou seja basta dividilo pelo seu módulo Calculamos primeiramente o módulo do vetor u a partir de suas coordenadas 2 2 2 u x y z 2 2 2 u 1 2 5 u 1 4 25 u 30 Calculamos então o versor de u u u u 125 u 30 1 2 5 u 30 30 30 Chegamos ao versor de u que conserva as informações de direção e de sentido de u mas tem tamanho unitário Na matemática não costumamos expressar valores com raízes no denominador de frações logo vamos racionalizar a resposta Voltando à passagem anterior vamos multiplicar o resultado por 30 30 125 30 u 30 30 35 GEOMETRIA ANALÍTICA Mas 30 30 é o mesmo que 30 2 Logo 2 125 u 30 30 125 u 30 30 30 2 30 5 30 u 30 30 30 Lembramos que as duas respostas às quais chegamos estão corretas mas a última tem um rigor matemático maior Observação Esteja preparado para racionalizar frações principalmente em provas de múltipla escolha em que as alternativas podem ter frações racionalizadas ou não Saiba mais Para saber mais sobre racionalização de denominadores de frações veja o vídeo no endereço KHAN ACADEMY Introdução à racionalização de denominadores sdb Disponível em httpscuttlyCnBvG2W Acesso em 18 jun 2021 33 Operações com vetores Tratamos da soma de vetores e da multiplicação de vetores por escalar de forma gráfica Agora podemos usar a representação de um vetor por suas coordenadas para analisar como fazer essas operações matemáticas 36 Unidade I 331 Soma de vetores Sejam dois vetores 1 1 u x y e 2 2 v x y A soma desses dois vetores é dada por 1 1 2 2 u v x y x y 1 2 1 2 u v x x y y Ou seja na soma de vetores é feita a soma coordenada a coordenada No caso tridimensional o tratamento é o mesmo Sejam dois vetores 1 1 1 u x y z e 2 2 2 v x y z A soma desses dois vetores é dada por 1 1 1 2 2 2 u v x y z x y z Fazendo a soma coordenada a coordenada temos 1 2 1 2 1 2 u v x x y y z z Lembrete Vimos os métodos de soma de vetores de forma gráfica e esses métodos são dois No primeiro podemos colocar os vetores em sequência e o vetor soma será o que se inicia no começo do primeiro vetor da soma e termina no final do último vetor da soma No segundo conhecido como método do paralelogramo juntamos as origens de dois vetores e o vetor soma é dado pela diagonal do paralelogramo que se inicia na origem desses vetores Os métodos gráficos e algébricos de soma de vetores devem retornar os mesmos resultados Exemplo de aplicação Uma bola de bilhar sofre duas forças distintas 1F 01 e 2F 23 ao ser atingida por duas outras bolas durante um jogo Calcule a força resultante R F que atua sobre essa primeira bola de bilhar dada pela soma das forças 1F e 2F Resolução Calculando a soma das forças temos 37 GEOMETRIA ANALÍTICA R 1 2 F F F FR 01 23 Como a soma de vetores é feita coordenada a coordenada ficamos com FR 0 21 3 FR 24 Logo a força resultante é dada pelo vetor 24 Observação O que significa um vetor 24 O vetor 24 tem extremidade no ponto 24 e origem no ponto 00 Podemos representar esse vetor em um plano cartesiano como ilustrado na figura 53 4 2 2 2 4 6 8 y x Figura 53 Vetor 24 representado em um plano cartesiano 38 Unidade I Exemplo de aplicação Exemplo 1 Calcule a soma dos vetores u 321 e v 202 Resolução Basta somarmos coordenada a coordenada da seguinte forma u v 321 202 u v 3 22 01 2 u v 523 Logo a soma dos vetores dados resulta no vetor 523 Exemplo 2 Calcule a soma dos vetores u 1214 e v 20 2 1 Resolução Basta somarmos coordenada a coordenada da seguinte forma u v 1214 20 2 1 u v 1 22 01 24 1 u v 32 13 Logo a soma dos vetores u 1214 e v 20 2 1 é o vetor 3213 Exemplo 3 Considere uma carga elétrica Próximas a ela estão duas outras cargas que produzem forças elétricas 1F 348 e 2F 0 41 na primeira carga Resolução Sabendo que a força resultante R F na primeira carga é dada pela soma das forças 1F e 2F podemos calculála da seguinte forma R 1 2 F F F FR 348 0 41 39 GEOMETRIA ANALÍTICA Somando coordenada a coordenada temos FR 3 04 48 1 FR 309 Logo a força elétrica resultante na primeira carga causada pelas duas outras cargas é R F 309 Saiba mais Para saber mais sobre força elétrica consulte YOUNG H D Física III eletromagnetismo Young e Freedman São Paulo Addison Wesley 2009 332 Multiplicação de vetor por escalar De forma similar à soma de vetores na multiplicação de um vetor por um escalar basta multiplicar cada componente do vetor pelo escalar Seja um vetor 1 1 u x y e um escalar a A multiplicação desse vetor pelo escalar é dada por 1 1 au ax y 1 1 au ax ay O mesmo tratamento é aplicado no caso tridimensional Seja um vetor 1 1 1 u x y z e um escalar a A multiplicação desse vetor pelo escalar é dada por 1 1 1 au ax y z Fazendo a multiplicação coordenada a coordenada ficamos com 1 1 1 au ax ay az Exemplo de aplicação Exemplo 1 Considere a velocidade inicial representada pelo vetor 0 v 102 Qual vetor representa a velocidade final após dado tempo dada pelo triplo da velocidade inicial 40 Unidade I Resolução Temos aqui uma aplicação da multiplicação de um vetor no caso v0 102 por um escalar no caso 3 calcular o triplo de algo equivale a multiplicar por 3 Fazendo o cálculo temos 0 v 3v Substituindo o vetor v0 102 na expressão anterior chegamos a v 3102 Da multiplicação de escalar por vetor temos v 313032 v 306 Logo o triplo de v0 102 é v 306 Exemplo 2 Seja u 123 e v 410 calcule 3u v Resolução Nesse exemplo temos soma de vetor calcular a diferença de vetores não deixa de ser um tipo de soma e multiplicação de vetor por escalar O primeiro passo é substituir os vetores na expressão pedida 3u v 3123 410 Pela prioridade de cálculo devemos começar com a multiplicação de vetor por escalar 3u v 313233 410 3u v 369 410 Fazemos então a soma ou a subtração o que é equivalente de vetores coordenada a coordenada 3u v 3 46 19 0 3u v 159 Logo para os vetores u e v dados a expressão 3u v resulta no vetor 159 41 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo 3 Calcule x de forma que w 5u 2v para w 120 u x4 e v 20 Resolução Começamos substituindo os vetores na expressão dada w 5u 2v 120 5x4 220 Pela prioridade de cálculo devemos começar com as multiplicações de vetores pelos escalares 120 5x54 2220 120 5x20 40 Calculamos então a soma ou diferença o que é equivalente de vetores coordenada a coordenada 120 5x 420 0 120 5x 420 Da igualdade de vetores temos que eles devem ser iguais coordenada a coordenada Na segunda coordenada já temos uma expressão verdadeira 20 20 Na primeira coordenada temos a seguinte equação 1 5x 4 Isolando x ficamos com 5x 4 1 5x 1 4 5x 5 5 x 5 x 1 Logo o valor de x que satisfaz à expressão w 5u 2v para os vetores dados é x 1 42 Unidade I 4 DEPENDÊNCIA LINEAR ENTRE VETORES Considere dois vetores u e v Dizemos que há dependência linear entre esses dois vetores ou ainda que esses vetores são linearmente dependentes se u av Na equação a é um escalar Dessa equação concluímos que os vetores u e v serão linearmente dependentes condição abreviada por LD se forem paralelos a uma mesma reta Caso contrário serão vetores linearmente independentes condição abreviada por LI Esse conceito pode ser ampliado para o caso de mais de dois vetores De forma similar dizemos que um vetor w é combinação linear dos vetores u e v se ele puder ser escrito da seguinte forma w au bv Na equação a e b são escalares Dessa equação concluímos que os vetores w u e v serão linearmente dependentes condição abreviada por LD se forem paralelos a um mesmo plano Caso contrário serão vetores linearmente independentes condição abreviada por LI Lembrete Ao estudarmos dependência linear de vetores precisamos relembrar a soma de vetores e o produto por escalar Na soma de dois vetores somamos coordenada a coordenada No produto de um vetor por um escalar ou seja por um número multiplicamos coordenada a coordenada por esse escalar Exemplo de aplicação Exemplo 1 Dados os vetores u 12 e u 5 10 verifique se eles são linearmente dependentes LD ou linearmente independentes LI Resolução Para que os vetores sejam linearmente dependentes deveremos ter u av 43 GEOMETRIA ANALÍTICA Ou de forma similar v bu Substituindo as coordenadas dos vetores na expressão temos 5 10 b12 Do produto de um escalar por um vetor vemos que 5 10 b1b2 Lembramos que a igualdade de vetores implica igualdade coordenada a coordenada Assim chegamos ao sistema de equações lineares mostrado a seguir em que cada equação é dada por uma coordenada 5 b1 10 b2 Isolando b em ambas equações ficamos com 5 b 5 1 10 b 5 2 Como existe valor de b que satisfaça simultaneamente às duas equações do sistema os vetores u 12 e u 5 10 são linearmente dependentes LD Poderíamos chegar a essa mesma conclusão observando que os vetores mesmo com sentidos opostos são paralelos Exemplo 2 Determine x para que os vetores u 16 e v 42x 1 sejam linearmente dependentes LD Resolução Começamos escrevendo a relação de dependência linear Ou seja u av Substituímos na relação os vetores dados 16 a42x 1 44 Unidade I Do produto de um vetor por um escalar temos 16 a4a2x 1 Da igualdade de vetores vemos que eles devem ser iguais coordenada a coordenada o que nos leva a um sistema de equações em que cada equação se refere a uma coordenada Vejamos 1 4a 6 a2x 1 Temos um sistema com duas equações em duas incógnitas a e x Isolando a na primeira equação e em seguida substituindo a expressão encontrada na segunda equação temos 1 a 4 6 a2x 1 1 6 2x 1 4 1 1 6 2x 1 4 4 x 1 6 2 4 Iniciamos o processo para isolar x x 1 6 2 4 x 24 1 2 4 x 25 2 4 25 x 2 4 25 x 2 Logo x 25 2 faz com que os vetores dados sejam linearmente dependentes LD 45 GEOMETRIA ANALÍTICA Saiba mais Para ler mais sobre a manipulação de equações desse exemplo bem como sobre a soma de frações visite RIBEIRO F M A Revisão de alguns conceitos de matemática sda Disponível em httpsbitlyrevmatematica1 Acesso em 15 dez 2020 Exemplo de aplicação Dados os vetores w 123 u 101 e v 011 determine a e b de forma que o vetor w seja combinação linear CL dos vetores u e v Resolução Para que o vetor w seja combinação linear CL dos vetores u e v devemos ter w au bv Substituindo os vetores dados na igualdade ficamos com 123 a101 b011 Da multiplicação de um escalar por um vetor temos 123 a0a 0bb A soma de vetores é feita coordenada a coordenada Logo 123 a 00 ba b 123 aba b De forma semelhante a igualdade de vetores também implica que eles sejam iguais coordenada a coordenada o que nos leva a um sistema linear de equações no qual cada equação representa uma das coordenadas do vetor Vejamos 1 a 2 b 3 a b 46 Unidade I As duas primeiras equações do sistema já fornecem de forma direta os valores de a e b mas precisamos verificar se esses valores satisfazem à terceira equação Substituindo a 1 e b 2 na terceira equação temos 3 1 2 3 3 Vemos que se trata de uma expressão verdadeira Logo a 1 e b 2 também satisfazem à terceira equação Desse modo a 1 e b 2 fazem com que o vetor w seja combinação linear CL dos vetores u e v Observação Sistemas de equações lineares podem ser resolvidos por vários métodos de acordo com a situação Os métodos mais comuns de resolução de sistemas de equações são os métodos da substituição igualdade subtração No método da substituição isolamos uma variável em uma das equações e fazemos sua substituição nas demais No método da igualdade para duas equações isolamos a mesma variável e em seguida igualamos as duas equações No método da subtração subtraímos uma equação da outra de forma que a equação resultante não dependa mais de uma das variáveis 47 GEOMETRIA ANALÍTICA Resumo Vetor é uma entidade matemática que tem módulo ou intensidade direção e sentido Um vetor pode ser representado por uma seta Os vetores podem ser paralelos quando têm mesma direção perpendiculares quando formam ângulo de 90o entre si A soma de vetores pode ser feita graficamente por dois métodos regra do polígono regra do paralelogramo Na regra do polígono os vetores são ordenados de forma que a origem do próximo coincida com a extremidade do seguinte A soma dos vetores é o vetor que começa na origem do primeiro vetor da sequência e tem extremidade no último vetor da sequência A regra do paralelogramo diz que para somar dois vetores basta traçarmos as paralelas a cada vetor formando um paralelogramo A soma será o vetor cuja origem coincide com a dos vetores e tem extremidade no vértice oposto do paralelogramo A multiplicação de um vetor por um escalar pode alterar o módulo e o sentido de um vetor mas não a sua direção Um vetor v bidimensional de coordenadas ab no plano xy pode ser representado por v ai bj ax by ab Em três dimensões temos v ai bj ck ax by cz abc Podemos definir um vetor a partir dos pontos A a1a2a3 e B b1b2b3 v B A 1 1 2 2 3 3 v b a b a b a 48 Unidade I O módulo do vetor v xy representado por v é calculado pela seguinte expressão 2 2 v x y No caso de um vetor tridimensional o módulo do vetor u xyz representado por u é calculado pela seguinte expressão 2 2 2 u x y z Sejam dois vetores 1 1 u x y e 2 2 v x y A soma desses dois vetores é dada por 1 1 2 2 u v x y x y 1 2 1 2 u v x x y y No caso tridimensional o tratamento é similar ao anterior Sejam dois vetores 1 1 1 u x y z e 2 2 2 v x y z A soma desses dois vetores é dada por 1 1 1 2 2 2 u v x y z x y z 1 2 1 2 1 2 u v x x y y z z Concluímos que na soma de vetores é feita a soma coordenada a coordenada De forma equivalente à soma de vetores na multiplicação de vetor por escalar basta multiplicar cada componente do vetor pelo escalar Seja um vetor 1 1 u x y e um escalar a A multiplicação desse vetor pelo escalar é dada por 1 1 au ax y 1 1 au ax ay O mesmo tratamento é aplicado no caso tridimensional Seja um vetor 1 1 1 u x y z e um escalar a A multiplicação desse vetor pelo escalar é dada por 1 1 1 au ax y z 1 1 1 au ax ay az 49 GEOMETRIA ANALÍTICA Dizemos que há dependência linear entre esses dois vetores ou ainda que esses vetores são linearmente dependentes se u av Na equação a é um escalar Dessa equação concluímos que os vetores u e v serão vetores linearmente dependentes condição abreviada por LD se forem paralelos a uma mesma reta Caso contrário serão vetores linearmente independentes condição abreviada por LI Dizemos que um vetor w será uma combinação linear CL dos vetores u e v se o vetor w puder ser escrito da forma w au b v Na igualdade a e b são escalares Os vetores w u e v serão linearmente dependentes condição abreviada por LD se forem paralelos a um mesmo plano Caso contrário serão linearmente independentes condição abreviada por LI 50 Unidade I Exercícios Questão 1 Considere o vetor r xy O módulo do vetor r indicado por r ou r é dado por 2 2 r x y Essa relação pode ser observada na figura a seguir A x y y r 0 x Figura 54 Vetor r xy O módulo do vetor r é igual à distância entre os pontos O e A vide figura A distância entre esses pontos é a hipotenusa do triângulo observado ou seja é a raiz quadrada da soma dos lados ao quadrado Teorema de Pitágoras Com base no exposto assinale a alternativa correta A Se r 3 6 então r 81 9 B Se r 34 então r 49 7 C Se r 34 então r 1 1 D Se r 36 então r 9 3 E Se r 3 6 então r 45 3 5 Resposta correta alternativa E Resolução da questão Se r 3 6 então r 3 5 pois 2 2 r 3 6 9 36 45 533 3 5 Se r 34 então r 5 pois 2 2 r 3 4 9 16 25 5 51 GEOMETRIA ANALÍTICA Se r 34 então r 5 pois 2 2 r 3 4 9 16 25 5 Se r 36 então r 3 5 pois 2 2 r 3 6 9 36 45 533 3 5 Questão 2 Para determinarmos o versor u de um vetor s de módulo s devemos fazer o seguinte cálculo s u s O versor u do vetor s é um vetor unitário de módulo igual a 1 de mesma direção e de mesmo sentido de s Com base no exposto assinale a alternativa correta A Se s 2i 2j 3k então o versor de s é igual a 2 2 3 u i j k 3 3 3 B Se s 2i 2j 3k então o versor de s é igual a 2 2 3 u i j k 17 17 17 C Se s 2i 2j 3k então o versor de s é igual a 2 2 3 u i j k 7 7 7 D Se s 2i 3j 1k então o versor de s é igual a 1 1 1 u i j k 3 2 6 E Se s 2i 3j 1k então o versor de s é igual a 1 3 1 u i j k 5 10 10 Resposta correta alternativa B Resolução da questão Se s 2i 2j 3k então o versor de s é igual a 2 2 3 u i j k 17 17 17 conforme calculado a seguir 2 2 2 s 2i 2j 3k u u s 2 2 3 2i 2j 3k 2i 2j 3k 2i 2j 3k u u u 4 4 9 17 17 17 17 52 Unidade I Se s 2i 3j 1k então o versor de s é igual a 2i 3j 1k u 14 14 14 conforme calculado a seguir 2 2 2 s 2i 3j 1k u u s 2 3 1 2i 3j 1k 2i 3j 1k 2i 3j 1k u u u 4 9 1 14 14 14 14