Produto Escalar de Vetores em Geometria Analítica

53 GEOMETRIA ANALÍTICA Unidade II 5 PRODUTO ESCALAR 51 Produto escalar de dois vetores O resultado do produto escalar entre dois vetores é um escalar ou seja um número e não um vetor O produto escalar entre dois vetores é indicado por um ponto como mostrado a seguir u escalar v uv Dados os vetores 1 1 u x y e 2 2 v x y o produto escalar uv é calculado da seguinte forma 1 2 1 2 uv x x y y O produto escalar é calculado de forma similar para o caso de trabalharmos em três dimensões Dados os vetores 1 1 1 u x y z e 2 2 2 v x y z o produto escalar uv é calculado por 1 2 1 2 1 2 uv x x y y z z Sejam u v e w vetores e a um escalar O produto escalar obedece às propriedades mostradas a seguir Propriedade comutativa Vejamos uv vu Propriedade distributiva Vejamos uv w uv uw auv auv uav Quanto ao produto escalar de um vetor u por ele mesmo temos uu 0 se u 0 uu 0 se u 0 uu u2 54 Unidade II Essa última expressão é interessante Ela afirma que o produto escalar de um vetor por ele mesmo é igual ao quadrado do módulo desse vetor Observação Quando temos um ponto entre dois números como em 34 estamos tratando de uma multiplicação algébrica Quando temos um ponto entre dois vetores como em uv estamos tratando de um produto escalar Exemplo de aplicação Exemplo 1 Dados os vetores u 12 e v 34 calcule o produto escalar uv Resolução Aplicando o método de cálculo do produto escalar ficamos com uv 1234 uv 13 24 uv 3 8 uv 11 Logo o produto escalar uv para os vetores dados resultou em 11 Note que a resposta é um número e não um vetor Exemplo 2 Dados os vetores u 12 5 e v 341 calcule o produto escalar uv Resolução Aplicando o método de cálculo do produto escalar ficamos com uv 12 5341 uv 13 24 51 uv 3 8 5 uv 6 55 GEOMETRIA ANALÍTICA Logo o produto escalar uv para os vetores dados resultou em 6 Note que novamente a resposta é um número e não um vetor Exemplo 3 Determine x de forma que uv 3 para u 12 e v 2x Resolução Começamos substituindo os vetores na expressão do produto escalar uv 3 12 2x 3 Calculando o produto escalar dos dois vetores do lado esquerdo da equação temos 1 2 2x 3 2 2x 3 Isolando x chegamos a 2x 3 2 2x 5 5 x 2 Logo o valor que x que satisfaz à expressão uv 3 para os vetores dados é x52 Exemplo 4 Uma aplicação clássica de produto escalar ocorre no cálculo do trabalho em física O trabalho W de uma força F é calculado pelo produto escalar dessa força pelo deslocamento x experimentado corpo quando sofre a ação da força Resolução Seja uma força F 13 em newtons que quando aplicada em um corpo produz deslocamento x 02 em metros Calcule o trabalho W da força Como o trabalho é o produto escalar da força pelo deslocamento temos W Fx W 1302 57 GEOMETRIA ANALÍTICA Como cos90o 0 ficamos com uv u v 0 uv 0 Logo para vetores perpendiculares o produto escalar é igual a zero Quando os vetores são paralelos e de mesmo sentido o ângulo entre eles é igual a zero e portanto o produto escalar é o uv u v cos0 Como cos0o1 ficamos com uv u v 1 uv u v Então quando os vetores são paralelos e de mesmo sentido o produto escalar entre eles se reduz ao produto dos módulos dos vetores Quando os vetores são paralelos e de mesmo sentido o ângulo entre eles é igual a 180o e portanto o produto escalar é o uv u v cos180 Como cos180o1 ficamos com uv u v 1 uv u v Então quando os vetores são paralelos e de sentidos opostos o produto escalar entre eles se reduz a menos o produto dos módulos dos vetores Lembrete No produto escalar fazemos a soma do produto das coordenadas de dois vetores O resultado deve sempre ser um escalar ou seja um número 58 Unidade II A tabela a seguir contém os valores de seno e cosseno para alguns ângulos mais usados Tabela 1 Seno e cosseno de alguns ângulos Ângulo Seno Cosseno 0o 0 1 30o 12 3 2 45o 2 2 2 2 60o 3 2 12 90o 1 0 150o 12 3 2 180o 0 1 270o 1 0 Exemplo de aplicação Exemplo 1 Calcule o produto escalar dos vetores u e v sabendo que os vetores têm módulos iguais a 2 e 3 respectivamente e formam ângulo de 60o entre si Resolução Começando pela expressão que relaciona o produto escalar com o módulo dos vetores e o ângulo entre eles temos uv u v cos θ Substituindo os módulos e o ângulo dados na igualdade ficamos com uv 23cos60 uv 6cos60 Da tabela 1 temos que cos60o ½ Ou seja 1 uv 62 uv 3 Logo o produto escalar desses vetores é igual a 3 59 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo 2 Determine o ângulo formado entre os vetores u 11 e v 04 Resolução Devemos usar a expressão que relaciona o produto escalar com os módulos dos vetores e o ângulo entre eles dada por uv u v cos θ Começamos calculando o produto escalar entre os vetores a partir de suas coordenadas Isso é feito multiplicandose as coordenadas dos vetores em x e fazendo a soma com o produto das coordenadas em y Ou seja uv 1104 uv 10 14 uv 4 Em seguida calculamos o módulo de cada um dos vetores lembrando que o módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas Para o vetor u temos 2 2 u u u x y 2 2 u 1 1 u 2 Para o vetor v temos 2 2 v v v x y 2 2 v 0 4 v 16 v 4 60 Unidade II Substituindo o que calculamos na expressão que relaciona o produto angular com o ângulo entre os vetores chegamos a uv u v cos θ 4 24cos θ Como os dois lados da igualdade são multiplicados por 4 temos 1 2cos θ Isolando cosθ obtemos 1 cos 2 θ Racionalizamos essa fração multiplicandoa por 2 2 1 2 cos 2 2 θ Como 2 2 2 2 2 temos 2 cos 2 θ Vemos pela tabela 1 que o ângulo cujo cosseno é 2 2 é θ 45º Podemos colocar os vetores em estudo em um plano cartesiano para visualizar o ângulo como feito na figura 56 4 x 2 3 1 1 2 3 4 y Figura 56 Vetores u 11 em verde e v 04 em vermelho no plano cartesiano Note que dados aos eixos com mesma escala podemos ver o ângulo de 45o entre os vetores 61 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo 3 Determine o ângulo entre os vetores u 102 e v 1 14 Resolução Para determinar o ângulo entre dois vetores dados a partir de suas coordenadas precisamos da expressão que relaciona o produto escalar com o ângulo entre os vetores uv u v cos θ Calculando primeiro o produto escalar temos uv 1021 14 uv 11 0 1 24 uv 1 8 uv 9 Calculando o módulo dos vetores a partir de suas coordenadas primeiramente para o vetor u chegamos a 2 2 2 u u u u x y z 2 2 2 u 1 0 2 u 1 0 4 u 5 Para o vetor v obtemos 2 2 2 v v v v x y z 2 2 2 v 1 1 4 v 1 1 16 v 18 62 Unidade II Substituindo o resultado obtido na expressão do produto escalar e do ângulo ficamos com uv u v cos θ 9 5 18cos θ Isolando cosθ chegamos a 9 cos 5 18 θ 9 cos 518 θ 9 cos 90 θ Usando uma calculadora para calcular o lado direito dessa equação chegamos a cos 09487 θ acos09487 θ θ 184 Logo para os vetores u e v dados o ângulo entre eles é 184o Observação O arcocosseno cuja função é representada pelas indicações acosx arccosx ou cos1x é a função inversa do cosseno Quando calculamos por exemplo α acos07 é equivalente a determinarmos o ângulo α cujo cosseno é igual a 07 De forma similar o arcoseno cuja função é representada pelas indicações asenx arcsenx ou até por sen1x é a função inversa do seno 63 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo de aplicação Dados dois vetores u e v 103 e sabendo que o produto escalar desses vetores é igual a 5 e que o ângulo formado entre eles é de 140o determine o módulo do vetor u Resolução Começamos com a expressão que relaciona o produto escalar com os módulos dos vetores e o ângulo entre eles dada por uv u v cos θ O problema forneceu o resultado do produto escalar o ângulo entre os vetores e o vetor v Calculando o módulo do vetor v temos 2 2 2 v v v v x y z Substituindo as coordenadas na expressão anterior temos 2 2 2 v 1 0 3 v 1 9 v 10 Substituindo o módulo de v e as demais informações na equação do produto escalar temos uv u v cos θ 5 u 10cos140 Como cos140o não é um valor frequentemente tabelado nem o valor de seu ângulo complementar 180o 140o 40o teremos que usar calculadora para efetuarmos os cálculos do exemplo Faremos isso também com 10 Vejamos 5 u3162 0766 64 Unidade II Isolando u chegamos a 5 u 3162 0766 u 206 Logo o vetor u dadas as condições do problema tem módulo igual a 206 53 Condição de perpendicularismo entre dois vetores Dois vetores são ditos perpendiculares quando formam ângulo de 90 graus entre si Considere dois vetores u e v perpendiculares Podemos escrever o produto escalar entre esses vetores como uv u v cos θ Como para vetores perpendiculares θ 90o ficamos com uv u v cos90 Visto que cos90o 0 obtemos uv u v 0 uv 0 Logo para vetores perpendiculares o produto escalar é igual a zero Exemplo de aplicação Exemplo 1 Verifique se os vetores u 010 e v 111 são perpendiculares Resolução Devemos lembrar que vetores perpendiculares têm seu produto escalar igual a zero Logo para verificar se os vetores dados são perpendiculares basta calcularmos o seu produto escalar Temos então que uv 010111 65 GEOMETRIA ANALÍTICA Calculando o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores uv 01 11 01 uv 0 1 0 uv 1 Como o produto escalar entre os vetores não é igual a zero eles não são perpendiculares Exemplo 2 Determine a para que os vetores u a4 e v 21 sejam perpendiculares Resolução Para que os vetores dados sejam perpendiculares devemos ter uv 0 Substituindo as coordenadas dos vetores na expressão anterior ficamos com a4 21 0 Calculando o produto escalar a partir das coordenadas chegamos a a 2 41 0 Isolando a nessa equação obtemos 2a 4 0 2a 4 4 a 2 a 2 Logo a 2 faz com que os vetores u a4 e v 21 sejam perpendiculares Assim os vetores u 24 e v 21 são perpendiculares 66 Unidade II Podemos visualizar se esses vetores são de fato perpendiculares ao representálos em um plano cartesiano com a mesma escala nos eixos horizontal e vertical o que é feito na figura 57 x 2 3 2 1 1 1 1 2 3 4 5 y Figura 57 Vetores u 24 em vermelho e v 21 em azul Note que os vetores são de fato perpendiculares Exemplo 3 Determine a para que os vetores u a4 1 e v 1 21 sejam perpendiculares Resolução Para que os vetores dados sejam perpendiculares devemos ter uv 0 Substituindo as coordenadas dos vetores na equação anterior temos a4 11 21 0 Calculando o produto escalar a partir das coordenadas chegamos a a1 4 2 11 0 a 8 1 0 67 GEOMETRIA ANALÍTICA Isolando a ficamos com a 9 0 a 9 Logo a 9 faz com que os vetores u a4 1 e v 1 21 sejam perpendiculares Ou seja os vetores u 94 1 e v 1 21 são perpendiculares 54 Condição de paralelismo entre dois vetores Dois vetores são ditos paralelos se eles formam ângulo de 0o ou de 180o entre si No primeiro caso os vetores são paralelos e de mesmo sentido já no segundo caso os vetores são paralelos e de sentidos opostos Da definição de produto escalar temos uv u v cos θ Para vetores paralelos e de mesmo sentido temos uv u v cos0 uv u v 1 uv u v Para vetores paralelos e de sentidos opostos temos uv u v cos180 uv u v 1 uv u v Então quando o produto escalar de dois vetores é igual a 1 ou a 1 esses vetores são paralelos Podemos juntar essas duas condições usando a noção de módulo ou valor absoluto de um número Dessa forma dois vetores serão paralelos se uv u v 68 Unidade II Observação Note que no lado esquerdo da última equação temos um produto escalar que retorna um número Logo dentro do módulo estamos tratando do valor absoluto de um número Já do lado direito da última equação temos um produto de módulos de vetores que quantificam o tamanho ou a intensidade de um vetor O módulo ou o valor absoluto de um número nada mais é do que o número em sua forma positiva Dessa forma temos por exemplo que 3 3 3 3 Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determine se os vetores u 10 e v 21 são paralelos Resolução Da condição de paralelismo de vetores devemos ter que uv u v Calculando primeiramente o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores temos uv 1021 uv 12 01 uv 2 0 uv 2 Como o resultado é positivo ele não se altera quando calculamos o módulo Vamos calcular o módulo de cada um dos vetores 69 GEOMETRIA ANALÍTICA Para o vetor u temos 2 2 u u u x y 2 2 u 1 0 u 1 0 u 1 u 1 Para o vetor v temos 2 2 v v v x y 2 2 v 2 1 v 4 1 v 5 Substituindo os resultados obtidos pela condição de paralelismo temos uv u v 2 1 5 2 5 Vemos que a igualdade anterior é claramente falsa Portanto os vetores u 10 e v 21 não são paralelos Exemplo 2 Determine se os vetores u 103 e v 20 6 são paralelos 70 Unidade II Resolução Da condição de paralelismo de vetores devemos ter uv u v Calculando primeiramente o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores temos uv 103 20 6 uv 1 2 00 3 6 uv 2 0 18 uv 20 O produto escalar resultou em um valor negativo Ao aplicarmos o módulo ou valor absoluto a esse resultado mais adiante teremos um valor positivo Vamos calcular o módulo de cada um dos vetores Para o vetor u temos 2 2 2 u u u u x y z 2 2 2 u 1 0 3 u 1 0 9 u 10 Para o vetor v temos 2 2 2 v v v v x y z 2 2 2 v 2 0 6 v 4 0 36 v 40 71 GEOMETRIA ANALÍTICA Substituindo os resultados obtidos na condição de paralelismo temos uv u v 20 10 40 20 400 20 20 Chegamos a uma expressão verdadeira Logo os vetores u 103 e v 20 6 são paralelos Exemplo 3 Determine p para que os vetores u 13 e v 5p sejam paralelos Resolução A condição de paralelismo diz que uv u v Calculando primeiramente o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores temos uv 135p uv 15 3p uv 5 3p Vamos calcular o módulo de cada um dos vetores Para o vetor u temos 2 2 u u u x y 2 2 u 1 3 u 1 9 u 10 72 Unidade II Para o vetor v temos 2 2 v v v x y 2 2 v 5 p 2 v 25 p Substituindo os resultados obtidos na condição de paralelismo temos uv u v 2 5 3p 10 25 p 2 5 3p 1025 p 2 5 3p 250 10p Elevando ambos os lados da equação ao quadrado e sabendo que o quadrado é a operação inversa da raiz quadrada temos 2 2 2 5 3p 250 10p 2 2 5 3p 250 10p Do trinômio do quadrado perfeito veja observação adiante temos 2 2 2 5 253p 3p 250 10p 2 2 25 30p 9p 250 10p Agrupando os termos temos 2 2 10p 9p 30p 250 25 0 p2 30p 225 0 73 GEOMETRIA ANALÍTICA Chegamos a uma equação do segundo grau O discriminante determina quantas soluções temos e é calculado a partir dos coeficientes a b e c da equação do segundo grau por b2 4ac 302 41225 900 900 0 Como o discriminante é igual a zero temos uma única raiz real Essa raiz é dada por b p 2a Substituindo os coeficientes da equação do segundo grau e o discriminante na igualdade anterior chegamos a 30 0 p 21 30 p 2 p 15 Logo para que os vetores u 13 e v 5p sejam paralelos devemos ter p 15 Concluímos que os vetores u 13 e v 515 são paralelos Observação O trinômio do quadrado perfeito diz que 2 2 2 a b a 2ab b Uma equação do segundo grau é aquela do tipo ax2 bx c 0 74 Unidade II Na igualdade a b e c são os coeficientes da equação do segundo grau A partir dos coeficientes determinamos a solução dessa equação O discriminante é dado por b2 4ac O resultado de diz se temos soluções reais para a equação do segundo grau e se tivermos quantas são essas soluções reais Assim há os três casos listados a seguir 0 há duas soluções reais e distintas 0 há uma única solução real 0 não há nenhuma solução real As soluções da equação do segundo grau que são as raízes da função do segundo grau correspondente são calculadas pela expressão b x 2a Vejamos os exemplos mostrados nas figuras 58 59 e 60 5 4 3 2 1 1 1 2 x y 2 1 Figura 58 Gráfico da função yx21 com concavidade para cima e duas raízes reais e distintas em x 1 e x 1 75 GEOMETRIA ANALÍTICA 02 04 06 08 10 12 14 05 10 x y 10 05 Figura 59 Gráfico da função y x2 com concavidade para cima e uma única raiz real em x 0 1 2 3 4 5 6 7 1 2 x y 2 1 Figura 60 Gráfico da função y x21 com concavidade para baixo e nenhuma raiz real Note que a função não cruza o eixo x 55 Produto escalar e dependência linear de dois vetores Dizemos que dois vetores u e v serão linearmente dependentes LD se existir um escalar a de forma que u av Ou seja os vetores u e v são linearmente dependentes se forem paralelos Podemos então usar a condição de paralelismo para verificar se dois vetores dados são linearmente dependentes Vimos que a condição de paralelismo entre dois vetores é uv u v Logo dois vetores serão linearmente dependentes se essa condição for satisfeita 76 Unidade II Exemplo de aplicação Exemplo 1 Verifique se os vetores u 12 e v 32 são linearmente dependentes LD Resolução Vimos que para que os vetores sejam linearmente dependentes a seguinte condição deve ser satisfeita uv u v Calculando o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores temos uv 1232 uv 13 22 uv 3 4 uv 7 O produto escalar resultou em um valor positivo Logo o seu módulo ou valor absoluto é igual a 7 Vamos calcular o módulo de cada um dos vetores Para o vetor u temos 2 2 u u u x y 2 2 u 1 2 1 4 u 5 Para o vetor v temos 2 2 v v v x y 2 2 v 3 2 9 4 v 13 77 GEOMETRIA ANALÍTICA Substituindo os resultados obtidos na condição para que os vetores sejam linearmente dependentes ficamos com uv u v 7 5 13 7 65 Chegamos a uma relação claramente falsa já que 65 não é igual a 7 Logo os vetores u 12 e v 32 não são linearmente dependentes ou podemos dizer também que são linearmente independentes Exemplo 2 Verifique se os vetores u 125 e v 1 2 5 são linearmente dependentes Resolução Vimos que para que os vetores sejam linearmente dependentes a seguinte condição deve ser satisfeita uv u v Calculando o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores temos uv 125 1 2 5 uv 1 1 2 2 5 5 uv 1 4 25 uv 30 Vamos calcular o módulo de cada um dos vetores Para o vetor u temos 2 2 2 u u u u x y z 2 2 2 u 1 2 5 u 1 4 25 u 30 79 GEOMETRIA ANALÍTICA A projeção de u paralela a v é dada por v 2 uv proju v v Note que entre parênteses temos um produto escalar que resulta em um número dividido pelo quadrado do módulo de um vetor que é outro número Então a expressão entre parênteses é um número De fato a projeção do vetor u sobre o vetor v deve conservar a direção e o sentido de v o que é feito quando multiplicamos um escalar por v A projeção de u perpendicular a v pode ser calculada por uma soma de vetores Da figura 61 vemos que v v u proju proju Assim v v proju u proju Observação O símbolo significa paralelo O símbolo significa perpendicular Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determine a projeção do vetor u 43 na direção do vetor v 12 Resolução Aqui foi pedida apenas a projeção na direção do vetor Então devemos calcular apenas a projeção do vetor u paralela ao vetor v Da expressão que dá a projeção de um vetor paralela a outro vetor temos v 2 uv proju v v 80 Unidade II Calculando o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores ficamos com uv 4312 uv 41 32 uv 4 6 uv 10 Calculando o módulo do vetor v ficamos com 2 2 v v v x y 2 2 v 1 2 v 1 4 v 5 Substituindo os resultados obtidos na expressão que dá uma das projeções solicitadas chegamos a v 2 uv proju v v v 2 10 proju 12 5 Lembramos que temos um escalar multiplicando um vetor Seguindo com o cálculo ficamos com v 10 proju 12 5 projuv 212 projuv 24 Logo a projeção do vetor u 43 na direção do vetor v 12 é o vetor 24 81 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo 2 Determine as projeções ortogonais do vetor u 123 em relação ao vetor v 101 Resolução Da expressão que dá a projeção de um vetor paralela a outro vetor temos v 2 uv proju v v Calculando o produto escalar a partir das coordenadas dos vetores ficamos com uv 123101 uv 11 20 31 uv 1 0 3 uv 4 Calculando o módulo do vetor v ficamos com 2 2 2 v v v v x y z 2 2 2 v 1 0 1 v 1 0 1 v 2 Substituindo os resultados obtidos na expressão que dá uma das projeções solicitadas chegamos a v 2 uv proju v v v 2 4 proju 101 2 v 4 proju 2 101 83 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo de aplicação Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u 10 e v 01 Resolução Da fórmula de Lagrange para a área do paralelogramo temos 2 2 A u v uv Calculando primeiramente o módulo dos vetores para o vetor u temos 2 2 u u u x y 2 2 u 1 0 u 1 u 1 De forma equivalente para o vetor v temos 2 2 v v v x y 2 2 v 0 1 v 1 v 1 Calculando o produto escalar dos dois vetores a partir de suas coordenadas ficamos com uv 1001 uv 10 01 uv 0 Substituindo os resultados obtidos na fórmula de Lagrange para o cálculo de áreas de paralelogramos chegamos a 84 Unidade II 2 2 A u v uv 2 2 A 11 0 A2 1 A 1 A 1 Logo a área do paralelogramo definido pelos vetores u 10 e v 01 é igual a 1 Mas qual paralelogramo é esse e por que esse valor é razoável para sua área Na figura 63 temos esses vetores em um plano cartesiano com eixos simétricos 10 y 10 x 08 08 06 06 04 04 02 02 Figura 63 Paralelogramo definido pelos vetores u 10 em vermelho e v 01 em azul Note que a o paralelogramo da figura 63 é um quadrado já que os vetores têm mesmo módulo e são perpendiculares A área A de um quadrado é calculada como 2 A L Na expressão L é a medida do lado do quadrado Logo a área é A1 o que confere com o valor que obtivemos pela equação de Lagrange 85 GEOMETRIA ANALÍTICA Na área de informática o produto escalar é utilizado no campo da computação gráfica por exemplo Um exemplo do uso de produto escalar na computação gráfica é na determinação de pontos de suporte de figuras O ponto de suporte é o ponto mais afastado da figura na direção de um vetor d figura 64 Esse ponto é identificado quando o valor do produto escalar de um vértice da figura pela direção d é máximo d Figura 64 Exemplo de um ponto de suporte indicado em vermelho de um pentágono em relação a um vetor d 7 PRODUTO VETORIAL 71 Definição Sejam dois vetores u e v O produto vetorial entre esses dois vetores é indicado por u v ou por u v O produto vetorial de vetores tridimensionais no espaço é calculado a partir do determinante de uma matriz cuja primeira linha é composta pelos versores i j e k e a segunda e a terceira linhas são compostas pelas coordenadas dos vetores em questão Se u u u u x y z e v v v v x y z o produto vetorial u v é calculado por u u u u u u v v v v v v i j k i j k u v x y z det x y z x y z x y z É importante apontar que o resultado de um produto vetorial é um vetor Exemplo de aplicação Considere uma matriz A de ordem 3x3 ou seja com 3 linhas e 3 colunas como a matriz mostrada a seguir Calcule o determinante da matriz A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 a a a A a a a a a a 86 Unidade II Resolução Para calcular o determinante da matriz A podemos copiar as duas primeiras colunas ao lado da matriz 11 12 13 11 12 21 22 23 21 22 31 32 33 31 32 a a a a a A a a a a a a a a a a Em seguida fazemos a soma dos produtos dos três elementos da diagonal principal e de suas diagonais paralelas Depois fazemos a subtração dos produtos dos três elementos da diagonal secundária e de suas paralelas A diagonal principal é composta pelos elementos a11 a22 e a33 Já a diagonal secundária é composta pelos elementos a31 a22 e a13 Dessa forma o determinante da matriz A indicada por A detA é calculado por 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 A detA a a a a a a a a a a a a a a a a a a Saiba mais No cálculo de produtos vetoriais usamos determinantes de matrizes 3x3 ou seja de matrizes quadradas com três linhas e três colunas Para revisar o cálculo de determinantes de matrizes 3x3 veja o vídeo KHAN ACADEMY Determinante de uma matriz 3x3 método padrão 1 de 2 sda Disponível em httpscuttlydnZlwXg Acesso em 9 dez 2020 Consulte ainda o capítulo 8 do livro a seguir BOSQUILHA A CORRÊA M L P VIVEIRO T C Manual compacto de matemática ensino médio São Paulo Rideel 2010 87 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo de aplicação Exemplo 1 Sejam os vetores u 101 e v 110 Calcule o produto vetorial u v Resolução O primeiro passo é montarmos a matriz para o cálculo do produto vetorial u u u v v v i j k u v x y z x y z Substituindo as coordenadas dos vetores dados ficamos com i j k u v 1 0 1 1 1 0 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante ficamos com i j k i j u v 1 0 11 0 1 1 0 1 1 Calculando o determinante temos u v 00i 11j 11k 10k 11i 01j Agrupamos então os termos de cada versor excluindo logicamente os termos que já são nulos pois temos multiplicações por zero u v 11i 11j 11k u v 1i 1j 1k 88 Unidade II Ou na representação apenas com as coordenadas do vetor ficamos com u v 111 Logo o produto vetorial dos vetores u 101 e v 110 é u v 111 Exemplo 2 Um exemplo de aplicação em física de produto vetorial é o cálculo da força magnética m F que atua em uma carga elétrica q que se move com velocidade v em uma região de campo magnético B A força magnética nesse caso é dada por Fm qv B Resolução Considere uma carga q 1C que se move com vetor velocidade v 100 ms em uma região de campo magnético B 121 medido em tesla T Calculamos a força magnética por Fm qv B Fm 1100 121 Fm 100 121 Calculando o produto vetorial temos m i j k F 1 0 0 1 2 1 Copiando as duas primeiras colunas para facilitar o cálculo do determinante temos m i j k i j F 1 0 0 1 0 1 2 11 2 Calculando o determinante ficamos com Fm 01i 01j 12k 10k 20i 11j Fm 1j 2k 89 GEOMETRIA ANALÍTICA Em termos das coordenadas do vetor obtemos Fm 0 12 Logo a força magnética que atua na carga nas condições apresentadas é m F 0 12 N Observação No sistema internacional de unidades a velocidade é medida em metros por segundo ms a força é medida em newton N a carga elétrica é medida em coulomb C e o campo magnético é medido em tesla T Exemplo de aplicação Sejam os vetores u 100 e v 010 Calcule o produto vetorial u v Resolução O primeiro passo é montar a matriz para o cálculo do produto vetorial u u u v v v i j k u v x y z x y z Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade anterior temos i j k u v 1 0 0 0 1 0 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante temos i j k i j u v 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Calculando o determinante temos u v 00i 00j 11k 00k 10i 01j 90 Unidade II Então excluindo os termos que já são nulos pois agora temos muitas multiplicações por zero chegamos a u v 11k u v 1k Ou na representação apenas com as coordenadas do vetor temos u v 001 Logo o produto vetorial dos vetores u 100 e v 010 é u v 001 Qual é o significado desse produto vetorial O vetor u 100 é unitário e tem apenas coordenada x não nula ou seja tem direção e sentido do eixo x O vetor v 010 também é unitário mas tem apenas a coordenada y não nula logo tem direção e sentido do eixo y Com isso concluímos que u i e v j O resultado do produto vetorial u v 001 é unitário e tem apenas coordenada z não nula logo tem direção e sentido de z ou seja u v k Concluímos que para os versores i j e k vale a relação i j k Essa relação deve ser respeitada quando construímos sistemas de eixos para gráficos cartesianos como veremos adiante 72 Propriedades do produto vetorial A ordem com que é calculado o produto vetorial é importante pois u v v u Logo no caso do produto vetorial a ordem dos vetores afeta o resultado Essa expressão quer dizer que o produto vetorial é anticomutativo A propriedade distributiva também se aplica ao produto vetorial de forma que u v w u v u w 92 Unidade II i j k j k i k i j k j i z x y Figura 67 Base canônica As setas coloridas são indicativas para aplicação da regra da mão direita com os versores da base Quando construímos um sistema de eixos cartesianos é fundamental que uma dessas relações sejam obedecidas ou seja podemos montar o sistema de eixos de qualquer forma mas devemos garantir que i j k Exemplo de aplicação Determine um vetor unitário que seja simultaneamente ortogonal a u 102 e a v 0 11 Resolução Como dois vetores definem um plano o vetor ortogonal a u e também a v deve ser perpendicular a esse plano ou seja deve ter a mesma direção do produto vetorial u v Calculando o produto vetorial u v temos u u u v v v i j k u v x y z x y z Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade anterior ficamos com 93 GEOMETRIA ANALÍTICA i j k u v 1 0 2 0 1 1 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante chegamos a i j k i j u v 1 0 2 1 0 0 1 1 0 1 Calculando o determinante temos u v 01i 20j 1 1k 00k 12i 11j u v 2i 1j 1k Representando o resultado do produto vetorial por suas coordenadas ficamos com u v 2 1 1 Esse vetor é simultaneamente ortogonal aos vetores u e v mas precisamos de um vetor unitário Um vetor unitário mantendo a direção e o sentido do vetor original é obtido dividindose o vetor por seu módulo Então chamando de x o vetor unitário solicitado no exemplo temos u v x u v Calculando o módulo do produto vetorial ficamos com 2 2 2 u v x y z Substituindo as coordenadas dos vetores dados ficamos com 2 2 2 u v 2 1 1 u v 4 1 1 u v 6 94 Unidade II O vetor unitário é u v x u v 1 x 2 1 1 6 Racionalizando a fração multiplicando e dividindo por 6 temos 6 1 x 2 1 1 6 6 2 6 x 2 1 1 6 6 x 6 2 1 1 Lembrando da multiplicação de escalar por vetor ficamos com 6 6 6 x 2 6 6 6 6 6 6 x 3 6 6 Logo um vetor unitário e simultaneamente ortogonal a u 102 e a v 0 11 é 6 6 6 x 3 6 6 Note que o oposto desse vetor ou seja 6 6 6 y 3 6 6 também seria uma resposta correta já que teríamos apenas uma inversão de sentido mantendo a direção e o módulo 95 GEOMETRIA ANALÍTICA 8 APLICAÇÕES DO PRODUTO VETORIAL O produto vetorial é usado entre outras aplicações para o cálculo da área de polígonos dos tipos paralelogramo e triângulo que são utilizados em computação gráfica e no desenvolvimento de jogos eletrônicos Outra aplicação é o cálculo da normal à superfície desses polígonos o que permite a criação de efeitos de iluminação dos polígonos tornando a imagem mais realista 81 Cálculo da área de um paralelogramo Sejam dois vetores u e v não paralelos Esses vetores definem um paralelogramo e a área A desse paralelogramo figura 68 é igual ao módulo do produto vetorial dos vetores Ou seja A u v 𝑣 𝑢 A θ Figura 68 Paralelogramo definido por dois vetores Exemplo de aplicação Determine a área do paralelogramo definido pelos vetores u 111 e v 132 Resolução A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial dos dois vetores Ou seja A u v Calculando o produto vetorial temos u u u v v v i j k u v x y z x y z 96 Unidade II Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade anterior ficamos com i j k u v 1 1 1 1 3 2 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante temos i j k i j u v 1 1 11 1 1 3 21 3 Calculando o determinante temos u v 12i 11j 13k 11k 31i 21j u v 2i 1j 3k 1k 3i 2j Agrupando os termos de cada versor temos u v 2 3i 1 2j 3 1k u v 1i 1j 2k Representado esse vetor por suas coordenadas temos u v 1 12 Calculando o módulo desse vetor temos 2 2 2 u v x y z 2 2 2 u v 1 1 2 u v 1 1 4 u v 6 Logo a área do paralelogramo é igual a A u v 6 97 GEOMETRIA ANALÍTICA Observação Por que demos a resposta do exemplo anterior como A 6 em vez de usarmos uma calculadora para expressar o resultado final Se usarmos uma calculadora chegaremos a 6 244948974 Não podemos apresentar o resultado com essa quantidade de casas decimais então precisaríamos arredondar tal número Com isso perdemos precisão na resposta o que pode ser prejudicial dependendo do caso Expressar a resposta como uma raiz ou como uma fração garante uma solução por vezes mais elegante e sem a necessidade de arredondamentos Exemplo de aplicação Determine a área do paralelogramo definido pelos vetores u 100 e v 224 Resolução A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial dos dois vetores Ou seja A u v Calculando o produto vetorial temos u u u v v v i j k u v x y z x y z Substituindo as coordenadas dos vetores temos i j k u v 1 0 0 2 2 4 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante temos i j k i j u v 1 0 0 1 0 2 2 4 2 2 98 Unidade II Calculando o determinante temos u v 04i 02j 12k 20k 20i 41j u v 4j 2k Representado esse vetor por suas coordenadas temos u v 0 42 Calculando o módulo desse vetor temos 2 2 2 u v x y z 2 2 2 u v 0 4 2 u v 0 16 4 u v 20 Podemos melhorar o resultado apresentado fatorando o número 20 Para isso basta lembrar que 20 2 2 5 Vejamos u v 225 Sabemos que 2 2 22 Ou seja 2 u v 2 5 2 u v 2 5 u v 2 5 Logo a área do paralelogramo é igual a A u v A 2 5 99 GEOMETRIA ANALÍTICA O processo de fatorar um número é verificar se ele é divisível por números primos ou seja por 1 2 3 5 7 11 Logicamente ser divisível por 1 não acrescenta nenhuma informação relevante já que todo número é divisível por 1 e por ele mesmo Por exemplo podemos escrever 64 como 2 2 2 2 2 2 ou seja 64 26 64 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 2 Ainda 35 pode ser escrito como 5 7 ou seja 35 5 7 35 7 1 5 7 No processo de fatoração fazemos divisões por números primos É interessante partirmos do menor número primo maior do que 1 ou seja começamos a dividir por 2 e prosseguimos até não conseguirmos mais fazer a divisão Observação Número primo é o número inteiro que é divisível apenas por 1 e por ele mesmo Por exemplo 11 17 e 79 são números primos Exemplo de aplicação Determine a de forma que a área do paralelogramo definido pelos vetores u 101 e v 2a0 seja igual a 3 Resolução A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial dos dois vetores Ou seja A u v Calculando o produto vetorial temos u u u v v v i j k u v x y z x y z 100 Unidade II Substituindo as coordenadas dos vetores temos i j k u v 1 0 1 2 a 0 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante temos i j k i j u v 1 0 1 1 0 2 a 0 2 a Calculando o determinante temos u v 00i 12j 1ak 20k a1i 01j u v 2j ak ai u v ai 2j ak Representado esse vetor por suas coordenadas temos u v a2a Calculando o módulo desse vetor temos 2 2 2 u v x y z 2 2 2 u v a 2 a 2 2 u v a 4 a 2 u v 2a 4 101 GEOMETRIA ANALÍTICA A área do paralelogramo relacionase com o módulo do produto vetorial por A u v 2 A 2a 4 É pedido que a área do paralelogramo seja igual a 3 Assim 2 3 2a 4 Elevando ambos os lados da equação ao quadrado ficamos com 2 2 2 3 2a 4 Como elevar ao quadrado é a operação inversa da raiz quadrada ficamos com 2 9 2a 4 Isolando a chegamos a 2a2 9 4 2a2 5 2 5 a 2 5 a 2 Logo 5 a 2 faz com que a área do paralelogramo definido pelos vetores u 101 e v 2a0 seja igual a 3 Ou seja o paralelogramo determinado pelos vetores u 101 e 5 u 1 1 2 tem área igual a 3 82 Cálculo da área de um triângulo Uma extensão do cálculo da área de paralelogramos usando produto vetorial é o cálculo da área de triângulos Para tanto basta visualizarmos que um triângulo nada mais é do que metade de um paralelogramo figura 69 102 Unidade II Figura 69 Triângulo como metade do paralelogramo determinado por dois vetores em vermelho e em azul Logo a área A de um triângulo determinado por dois vetores u e v é dada por u v A 2 Lembrete No cálculo do produto vetorial de dois vetores precisamos primeiro montar uma matriz cuja primeira linha é composta pelos versores i j e k e a segunda e a terceira linhas são compostas pelas coordenadas dos vetores em questão Em seguida calculamos o determinante dessa matriz O produto vetorial é sempre um vetor Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determine a área do triângulo definido pelos vetores u 111 e v 402 Resolução A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial dos dois vetores Ou seja A u v Calculando o produto vetorial temos u u u v v v i j k u v x y z x y z 103 GEOMETRIA ANALÍTICA Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade anterior ficamos com i j k u v 1 1 1 4 0 2 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante ficamos com i j k i j u v 1 1 1 1 1 4 0 2 4 0 Calculando o determinante temos u v 12i 14j 10k 41k 01i 21j u v 2i 4j 4k 2j Agrupando os termos de cada versor temos u v 2i 4 2j 4k u v 2i 2j 4k Representado esse vetor por suas coordenadas temos u v 22 4 Calculando o módulo desse vetor temos 2 2 2 u v x y z 2 2 2 u v 2 2 4 u v 4 4 16 u v 24 104 Unidade II Lembrando que 24 2 2 2 3 ficamos com u v 2223 2 u v 2 6 2 u v 2 6 Como elevar ao quadrado é a operação inversa da raiz quadrada chegamos a u v 2 6 Finalmente calculamos a área do triângulo que é dada por u v A 2 2 6 A 2 A 6 Logo a área do triângulo definido pelos vetores u 111 e v 402 é A 6 Exemplo 2 Determine a de forma que a área do triângulo definido pelos vetores u 1 20 e v 3a0 seja igual a 3 Resolução A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial dos dois vetores Ou seja A u v Calculando o produto vetorial temos u u u v v v i j k u v x y z x y z 105 GEOMETRIA ANALÍTICA Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade temos i j k u v 1 2 0 3 a 0 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante chegamos a i j k i j u v 1 2 0 1 2 3 a 0 3 a Calculando o determinante temos u v 20i 03j 1ak 23k 0ai 01j u v ak 6k u v a 6k Representado esse vetor por suas coordenadas temos u v 00a 6 Calculando o módulo desse vetor temos 2 2 2 u v x y z 2 2 2 u v 0 0 a 6 2 u v a 6 Como a raiz quadrada é a operação inversa de elevamos ao quadrado ficamos com u v a 6 106 Unidade II A área do paralelogramo é dada por u v A 2 a 6 A 2 É pedido que a área do paralelogramo seja igual a 3 Assim a 6 3 2 Isolando a ficamos com 3 2 a 6 6 a 6 a 6 6 a 12 Logo a 12 faz com que a área do triângulo definido pelos vetoresu 1 20 e v 3a0 seja igual a 3 Ou seja o triângulo determinado pelos vetores u 1 20 e v 3120 tem área igual a 3 83 Vetor normal a uma figura plana determinada por dois vetores Considere uma figura plana ou seja bidimensional definida por dois vetores u e v Um vetor normal ao plano definido pelos dois vetores e consequentemente à figura plana determinada pelos dois vetores é dado pelo produto vetorial dos dois vetores Note que temos dois sentidos possíveis e portanto dois vetores normais possíveis figura 70 n n Figura 70 Vetores normais a um triângulo 107 GEOMETRIA ANALÍTICA Exemplo de aplicação Exemplo 1 Determine um vetor normal ao triângulo definido pelos vetores u 100 e v 001 Resolução Um vetor normal n é dado pelo produto vetorial dos dois vetores Assim n u v Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade temos n 100 001 Calculando o produto vetorial chegamos a u u u v v v i j k n u v x y z x y z Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade temos i j k n u v 1 0 0 0 0 1 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante temos i j k i j n u v 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 Calculando o determinante temos n 01i 00j 10k 00k 00i 11j n 11j n 1j 108 Unidade II Em termos das coordenadas temos n 0 10 Logo um vetor normal ao triângulo definido pelos vetores u 100 e v 001 é n 0 10 Outro vetor também normal ao triângulo é o oposto desse vetor Ou seja n n n 0 10 n 010 Note que os vetores dados no enunciado u 100 e v 001 têm direção e sentido dos eixos x e z respectivamente Os vetores normais que obtivemos n 0 10 e n 010 têm direção do eixo y Veja a representação vetorial feita na figura 71 n v n u z x y Figura 71 Representação dos vetores u e v e dos vetores normais ao triângulo definido por u e v Exemplo 2 Determine um vetor normal ao triângulo definido pelos vetores v 154 e v 310 Resolução Um vetor normal n é dado pelo produto vetorial dos dois vetores Assim n u v Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade temos n 154 310 109 GEOMETRIA ANALÍTICA Calculando o produto vetorial temos u u u v v v i j k n u v x y z x y z Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade temos i j k n u v 1 5 4 3 1 0 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante temos i j k i j n u v 1 5 4 1 5 3 1 0 3 1 Calculando o determinante temos n 50i 4 3j 11k 35k 14i 01j n 12j 1k 15k 4i Agrupando os termos de cada versor temos n 4i 12j 1 15k n 4i 12j 16k Escrevendo em termos das coordenadas temos n 4 1216 Então um dos vetores normais ao triângulo definido pelos vetores v 154 e v 310 é o vetor n 4 1216 Outro vetor normal é o vetor oposto a n dado por 110 Unidade II n n n 4 1216 n 412 16 Resumo O resultado do produto escalar entre dois vetores é um escalar ou seja um número e não um vetor O produto escalar entre dois vetores é indicado por um ponto como mostrado a seguir u escalar v uv Dados os vetores 1 1 1 u x y z e 2 2 2 v x y z o produto escalar uv é calculado por 1 2 1 2 1 2 uv x x y y z z O produto escalar de dois vetores u e v com ângulo θ entre eles é calculado por uv u v cos θ Podemos usar o produto escalar para verificar se dois vetores são paralelos ou perpendiculares No caso de vetores perpendiculares devemos ter uv 0 No caso de vetores paralelos devemos ter uv u v A condição de paralelismo é a mesma para que dois vetores sejam linearmente dependentes Outra aplicação do produto escalar é o cálculo das projeções ortogonais de um vetor sobre o outro 111 GEOMETRIA ANALÍTICA A projeção de u paralela a v é dada por v 2 uv proju v v A projeção de u perpendicular a v é calculada por v v proju u proju Sejam dois vetores u u u u x y z e v v v v x y z O produto vetorial u v é calculado por u u u u u u v v v v v v i j k i j k u v x y z det x y z x y z x y z É importante apontar que o resultado de um produto vetorial é um vetor A ordem com que é calculado o produto vetorial é importante pois u v v u Temos ainda uma relação entre o produto vetorial de dois vetores e o ângulo θ formado entre esses vetores dada por u v u v sen θ Essa equação dá apenas o módulo do produto vetorial mas a sua direção e o seu sentido podem ser determinados pela regra da mão direita Na regra da mão direita pegamos a mão direita erguemos o polegar e curvamos os outros quatro dedos juntos Com esses quatro dedos curvados ligamos a extremidade do primeiro vetor do produto vetorial com a extremidade do segundo vetor enquanto o polegar erguido dá a direção e o sentido do produto vetorial Sejam dois vetores u e v não paralelos Esses vetores definem um paralelogramo e a área A desse paralelogramo é igual ao módulo do produto vetorial dos vetores Ou seja A u v 112 Unidade II A área A de um triângulo determinado por dois vetores u e v é dada por u v A 2 Seja uma figura plana ou seja bidimensional definida por dois vetores u e v Um vetor normal ao plano definido pelos dois vetores e consequentemente à figura plana determinada pelos dois vetores é dado pelo produto vetorial dos dois vetores O outro vetor normal é o oposto desse vetor Exercícios Questão 1 O produto escalar de dois vetores u e v indicado por uv e lido como u escalar v resulta em um escalar número real Esse resultado é igual ao produto dos módulos dos vetores u e v pelo cosseno do ângulo θ formado entre eles isto é uv u v cos θ A figura a seguir mostra uma representação pictórica de dois vetores e do ângulo formado entre eles θ v u Figura 72 Representação de dois vetores e do ângulo formado entre eles Com base no conceito de produto escalar assinale a alternativa correta A Se u 6 v 9 e o ângulo formado entre eles é de 150º então uv 27 3 B Se u 10 v 4 e o ângulo formado entre eles é de 45º então uv 20 3 C Se u 2 v 5 e o ângulo formado entre eles é de 90º então uv 10 D Se u 12 v 5 e o ângulo formado entre eles é de 0º então uv 0 E Se u 6 v 5 e o ângulo formado entre eles é de 180º então uv 30 Resposta correta alternativa A 113 GEOMETRIA ANALÍTICA Resolução da questão Se u 6 v 9 e o ângulo formado entre eles é de 150º então uv 27 3 pois 3 uv u v cos 69cos150 54 27 3 2 θ Se u 10 v 4 e o ângulo formado entre eles é de 45º então uv 20 2 pois 2 uv u v cos 104cos45 40 20 2 2 θ Se u 2 v 5 e o ângulo formado entre eles é de 90º então uv 0 pois uv u v cos 25cos90 10 0 0 θ Se u 12 v 5 e o ângulo formado entre eles é de 0º então uv 60 pois uv u v cos 125cos0 60 1 60 θ Se u 6 v 5 e o ângulo formado entre eles é de 180º então uv 30 pois uv u v cos 65cos180 30 1 30 θ Questão 2 A área do triângulo definido pelos vetores u 201 e v 111 é igual a A 14 B 7 2 C 14 2 D 7 E 7 Resposta correta alternativa C 114 Unidade II Resolução da questão A área do triângulo é dada pela metade do módulo do produto vetorial dos dois vetores Ou seja u v A 2 Calculando o produto vetorial temos u u u v v v i j k u v x y z x y z Substituindo as coordenadas dos vetores dados na igualdade anterior ficamos com i j k u v 2 0 1 1 1 1 Copiando as duas primeiras colunas no final da matriz para auxiliar no cálculo do determinante ficamos com i j k i j u v 2 0 1 2 0 1 1 1 1 1 Calculando o determinante ficamos com u v 01i 1 1j 2 1k 10k 11i 21j u v 0i 1j 2k 0k 1i 2j u v 1i 3j 2k Representando esse vetor por suas coordenadas ficamos com u v 1 3 2 115 GEOMETRIA ANALÍTICA Calculando o módulo desse vetor ficamos com 2 2 2 u v x y z 2 2 2 u v 1 3 2 u v 1 9 4 u v 14 Calculamos então a área do triângulo que é dada por u v 14 A 2 2 116 REFERÊNCIAS Textuais ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 8 ed Porto Alegre Bookman 2001 BORIN JR A M S org Geometria analítica São Paulo Pearson 2014 BOSQUILHA A CORRÊA M L P VIVEIRO T C Manual compacto de matemática ensino médio São Paulo Rideel 2010 CALLIOLI C A DOMINGUES H H COSTA R C F Álgebra linear e aplicações 4 ed São Paulo Atual 1983 CAMARGO I de BOULOS P Geometria analítica um tratamento vetorial 3 ed São Paulo Prentice Hall 2007 COELHO F U LOURENÇO M L Um curso de álgebra linear São Paulo EDUSP 2001 EDWARDS D E PENNEY C H Cálculo com geometria analítica Rio de Janeiro LTC 2005 v 1 ESPINOSA I C de N BARBIERI FILHO P Vetores e geometria analítica São Paulo UNIP 1992 FERNANDES L F D Geometria analítica Curitiba Intersaberes 2016 KHAN ACADEMY Determinante de uma matriz 3x3 método padrão 1 de 2 sda Disponível em httpscuttlydnZlwXg Acesso em 9 dez 2020 KHAN ACADEMY Introdução à racionalização de denominadores sdb Disponível em httpscuttlyCnBvG2W Acesso em 18 jun 2021 KOLMAN B Álgebra linear com aplicações São Paulo Livros Técnicos e Científicos 1999 LEITHOLD L O cálculo com geometria analítica 2 ed São Paulo Harbra 1977 v 1 LIMA E L Álgebra linear 6 ed Rio de Janeiro Impa 2003 Coleção Matemática Universitária LIMA E L Coordenadas no espaço Rio de Janeiro SBM 1993 Coleção do Professor de Matemática LIMA E L Coordenadas no plano geometria analítica vetores e transformações geométricas Rio de Janeiro SBM 1992 Coleção do Professor de Matemática MASSAGO S Planos e espaços coordenados e vetores sd Disponível em httpscuttlyCnZlbSW Acesso em 11 dez 2020 117 MATOS D Por que você deve aprender álgebra linear para trabalhar com machine learning Disponível em httpscuttlyenZlW0o Acesso em 15 dez 2020 POOLE D Álgebra linear São Paulo Thomson 2004 PROVASI R PEF 5743 Computação gráfica aplicada à engenharia de estruturas São Paulo USP 2011 Disponível em httpscuttly7nZlAsw Acesso em 11 dez 2020 RIBEIRO F M A Revisão de alguns conceitos de matemática sda Disponível em httpsbitlyrevmatematica1 Acesso em 15 dez 2020 RIBEIRO F M A Revisão de outros conceitos de matemática potências sdb Disponível em httpsbitlyrevmatematica2 Acesso em 15 dez 2020 SANTOS N M Vetores e matrizes Rio de Janeiro LTC 1988 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria analítica São Paulo McGrawHill 1987 WINTERLE P Vetores e geometria analítica São Paulo Makron Books 2000 YOUNG H D Física III eletromagnetismo Young e Freedman São Paulo Addison Wesley 2009 ZANI S L Álgebra linear sd Disponível em httpscuttlyQnZzuXA Acesso em 15 dez 2020 Informações wwwsepiunipbr ou 0800 010 9000