Aula 2 Calculo Diferencial - Limites e Derivadas - Analise de Funcoes e Aplicacoes

AULA 2 cálculo diferencial limites derivadas Limites Você trabalha na ACME Corporation no departamento de análise de riscos e você está analisando o funcionamento do seu novo produto o Reator Atômico Master Plus O índice de eficiência do reator é dado pela equação f x aonde x é a quantidade de plutônio consumida fx 2x1x1 x1 Seu chefe Wile E C lhe pede um relatório sobre o funciona mento do reator quanto se utiliza o mesmo com uma unidade de plutônio apenas x1 Você analisa a manual e verifica que não o reator não foi desenhado para trabalhar num regime de uma unidade de plutônio como um estudante de matemática aplicada você alerta que isso causa uma divisão por zero na função eficiência e que isso não pode ser feito De qualquer maneira seu Wile E C insiste que quer uma análise da função De posse disso você decide utilizar seu conhecimento de limites para gerar o relatório Construa uma tabela com duas colunas Na primeira coloque valores de x aproximandose de 1 pela esquerda 0 05 07 08 09 091 etc e pela direita 2 15 11 109 etc Na segunda coluna indique o valor correspondente de f x Calcule os seguintes limites lim x 1 3x5 lim x 2 x 2 4 x2 lim x 2 x2 2x1 Uma das técnicas mais utilizadas na matemática financeira é a taxa continuamente capitalizada Para isso é necessário calcular o limite lim x 1 r x x Para isso considere que r 1 e considere a função f x 1 r x x No Excel calcule os valores de f 1 f 10 f 100 f 1000 f 10000 Qual o valor aproximado de lim x 1 1 x x com 2 casas de precisão Uma fábrica de parafusos utiliza um forno para fazer a tempera dos seus produtos O tratamento térmico de têmpera tem a finalidade de aumentar a resistência e a consistência do aço Para isso ela utiliza um forno que fica constantemente ligado Assumindo que a temperatura do forno T é dado pela equação abaixo aonde x é o tempo decorrido desde o início que o forno foi ligado determine T x 180 x 2 2x 2 2x10 Pelas normas da empresa o operador deve utilizar equipamento de proteção se o forno esta acima de 30 graus Quanto tempo o forno leva para atingir a temperatura de 30 graus O forno é extremamente sensível e deve caso tua temperatura passe de 100 graus Se um funcionário esqueceu de desligar o forno e assumindo que o forno funciona sem problemas qual a sua temperatura ao fim dos tempos O custo para produzir x unidades de um certo produto é dado por C x 025x3600 em reais Seja o custo médio o custo total dividido pelas x unidades produzidas Determine o custo médio Qual é o valor de tendência do custo quando as unidades produzidas ficam muito grandes Interprete o resultado Derivadas A derivada é na realidade um limite especial em particular li m h0 f xh fx h Dito isso considere a função f x x 2 Calcule o limite apresentado acima Calcule a derivada da função pelas regras de derivação Calcule a derivada das s eguintes funções f x x 7 5 x 5 3 f x e x f x ln x f x x 2 ln x A receita de uma empresa pode ser modelada pela e equação f x ln x 2 1 aonde x é a quantidade de reais em milhões investida na divulgação do produto Assumindo que a empresa investe atualmente 1 milhão na divulgação determine O nível atual de receita da empresa A taxa de variação no ponto de 1 milhão Integrais Você precisa calcular a área embaixo do gráfico da função f x x 2 no intervalo entre 0 e 1 Faça um gráfico da função nesse intervalo e marque a área que deve ser calculada Divida a área em quatro partes iguais e aproxime a área que deve ser calculada usando retângulos A base do retângulo é dada pela divisão do intervalo 01 dividido igualmente entre 4 A altura deve ser o ponto onde uma linha vertical que sai da base direita do retângulo e toca a fun ç ão Que valor de área total aproximada você achou Agora faça o mesmo procedimento mas faça a linha vertical saindo da base esquerda do retângulo Que valor de área total aproximada você achou Calcule a integral das seguintes funções 1 2 1 dx 0 1 x 2 dx 1 2 x 3 dx