Base e Dimensões em Espacos Vetoriais

ÁLGEBRA LINEAR Professora Silmara A S Vicente BASE E DIMENSÃO p 201 do livrotexto BASE Definição Considere um espaço vetorial 𝑉 sobre ℝ e 𝐴 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 𝑉 Dizemos que 𝑨 é uma base de 𝑽 se e somente se 𝑖 𝐴 é 𝑙 𝑖 𝑖𝑖 𝐴 𝑔𝑒𝑟𝑎 𝑉 Exemplo 𝑆 Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 é denominada Base Canônica 𝑆 é li e gera ℝ3 Ԧ𝑖 1 0 0 Ԧ𝑗 0 1 0 𝑘 0 0 1 Exercício 1 Mostre que o conjunto 𝑆 𝑣1 𝑣2 𝑣3 é uma base de ℝ3 sendo 𝜶 𝒗1 𝜷 𝒗2 𝜸 𝒗3 𝕆 𝑣1 1 2 1 𝑣2 2 9 0 𝑣3 3 3 4 Solução duas condições precisam ser satisfeitas i 𝑺 é li 𝜶 𝒗𝟏 𝜷 𝒗𝟐 𝜸 𝒗𝟑 𝒗 ii 𝑺 gera ℝ𝟑 Para que 𝑆 gere ℝ3 qualquer vetor 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 deve ser combinação linear de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Exercício 1 Mostre que o conjunto 𝑆 𝑣1 𝑣2 𝑣3 é uma base de ℝ3 sendo 𝜶 𝒗1 𝜷 𝒗2 𝜸 𝒗3 𝕆 𝑣1 1 2 1 𝑣2 2 9 0 𝑣3 3 3 4 Solução duas condições precisam ser satisfeitas i 𝑺 é li 𝛼 1 2 1 𝛽 2 9 0 𝛾 3 3 4 0 00 𝛼 2𝛽 3𝛾 0 2𝛼 9𝛽 3𝛾 0 α 4𝛾 0 Resolvendo o sistema obtemos 𝛼 0 𝛽 0 𝛾 0 Logo 𝑆 é li 𝜶 𝒗𝟏 𝜷 𝒗𝟐 𝜸 𝒗𝟑 𝒗 ii 𝑺 gera ℝ𝟑 𝛼 2𝛽 3𝛾 𝑥 2𝛼 9𝛽 3𝛾 𝑦 α 4𝛾 z Resolvendo o sistema obtemos 𝛼 36𝑥 8𝑦 21𝑧 Assim 𝑆 gera ℝ3 Para que 𝑆 gere ℝ3 qualquer vetor 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 deve ser combinação linear de 𝑣1 𝑣2 𝑣3 𝛼 1 2 1 𝛽 2 9 0 𝛾 3 3 4 𝑥 𝑦 𝑧 𝛽 5𝑥 𝑦 3𝑧 𝛾 9𝑥 2𝑦 5𝑧 Ou seja qualquer que seja 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 é possível encontrar 𝛼 𝛽 𝛾 Portanto 𝑺 é 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 ℝ𝟑 Exercício 2 Verifique se S 100 220 333 é uma base de ℝ3 i 𝑺 é li ii 𝑺 gera ℝ𝟑 Exercício 2 Verifique se S 100 220 333 é uma base de ℝ3 i 𝑺 é li 𝛼 1 0 0 𝛽 2 2 0 𝛾 3 3 3 0 00 𝛼 2𝛽 3𝛾 0 2𝛽 3𝛾 0 3𝛾 0 Resolvendo o sistema obtemos 𝛼 0 𝛽 0 𝛾 0 Logo 𝑆 é li ii 𝑺 gera ℝ𝟑 𝛼 1 0 0 𝛽 2 2 0 𝛾 3 3 3 𝑥 𝑦 𝑧 𝛼 2𝛽 3𝛾 𝑥 2𝛽 3𝛾 𝑦 3𝛾 z Resolvendo o sistema obtemos 𝛼 𝑥 𝑦 𝛽 𝑦 𝑧 2 𝛾 𝑧 3 Logo 𝑆 gera ℝ3 Portanto 𝑺 é 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 ℝ𝟑 Exercício 3 O conjunto S de vetores 1 3𝑥 2𝑥2 1 𝑥 4𝑥2 1 7𝑥 é uma base de ℙ2 Exercício 3 O conjunto S de vetores 1 3𝑥 2𝑥2 1 𝑥 4𝑥2 1 7𝑥 é uma base de ℙ2 i 𝑺 é li 𝛼 𝛽 𝛾 0 3𝛼 𝛽 7𝛾 0 2𝛼 4𝛽 0 O sistema é SPI ou seja tem infinitas soluções Logo 𝑆 é ld Portanto 𝑺 𝒏ã𝒐 é 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 ℙ𝟐 𝛼 1 3𝑥 2𝑥2 𝛽 1 𝑥 4𝑥2 𝛾 1 7𝑥 0 0𝑥 0𝑥2 Resolva o sistema Exercício 4 O conjunto S de vetores 1 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥2 é uma base de ℙ2 Exercício 4 O conjunto S de vetores 1 𝑥 𝑥2 𝑥 𝑥2 𝑥2 é uma base de ℙ2 i 𝑺 é li 𝛼 0 𝛼 𝛽 0 𝛼 𝛽 𝛾 0 Portanto 𝑺 é 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 ℙ𝟐 𝛼 1 𝑥 𝑥2 𝛽 𝑥 𝑥2 𝛾 𝑥2 0 0𝑥 0𝑥2 Resolvendo o sistema obtemos 𝛼 0 𝛽 0 𝛾 0 Logo 𝑆 é li ii 𝑺 gera ℙ𝟐 𝛼 1 𝑥 𝑥2 𝛽 𝑥 𝑥2 𝛾 𝑥2 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝛼 𝑎 𝛼 𝛽 𝑏 𝛼 𝛽 𝛾 𝑐 Resolvendo o sistema obtemos 𝛼 𝑎 𝛽 𝑏 𝑎 𝛾 𝑐 𝑏 Logo 𝑆 gera ℙ2 Exercício 5 Mostre que o conjunto S de vetores é uma base de 𝕄2 3 6 3 6 0 1 1 0 0 8 12 4 1 0 1 2 Exercício 5 Mostre que o conjunto S de vetores é uma base de 𝕄2 3 6 3 6 0 1 1 0 0 8 12 4 1 0 1 2 i 𝑺 é li 𝛼 3 6 3 6 𝛽 0 1 1 0 𝛾 0 8 12 4 δ 1 0 1 2 0 0 0 0 Resolvendo o sistema obtemos 𝛼 0 𝛽 0 𝛾 0 𝛿 0 Logo 𝑆 é li ii 𝑺 gera 𝕄𝟐 𝛼 3 6 3 6 𝛽 0 1 1 0 𝛾 0 8 12 4 δ 1 0 1 2 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 Resolva o sistema e verifique que é possível encontrar 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 em função de 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 Logo 𝑆 gera 𝕄2 Portanto 𝑺 é 𝒃𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝕄𝟐 DIMENSÃO A dimensão de um espaço vetorial 𝑉de dimensão finita é definida como o número de vetores de uma base de 𝑉 Notação dim𝑉 Se pensarmos na base canônica de cada espaço vetorial fica fácil saber a dimensão Importante O espaço vetorial nulo isto é 𝑉 𝕆 não possui base pois o vetor nulo 𝕆 é ld Todos os demais espaços vetoriais possuem infinitas bases De todas as infinitas bases uma delas é considerada a mais simples e é chamada de BASE CANÔNICA A base canônica é formada pelos vetores canônicos que são os vetores que têm uma coordenada ou coeficiente ou 𝑎𝑖𝑗 igual a 1 e as demais iguais a 0 Espaço Vetorial Base canônica ℝ ℝ2 ℝ3 ℝ4 ℝ𝑛 Dimensão 1 10 01 100 010 001 1000 0100 0010 0001 dim ℝ 1 dim ℝ2 2 dim ℝ3 3 dim ℝ4 4 dim ℝ𝑛 𝑛 𝕄2 ℙ2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 𝑥 𝑥2 dim 𝕄2 4 dim 𝕄3 9 dim ℙ2 3 𝕄3 dim 𝕄23 6 ℙ3 1 𝑥 𝑥2 𝑥3 dim ℙ3 4 dim ℙ𝑛 𝑛 1 dim 𝕄𝑚𝑛 𝑚 𝑛 Espaço Vetorial Base canônica DIMENSÃO DE UM SUBESPAÇO VETORIAL Seja 𝑉 um espaço vetorial sobre ℝ de dimensão 𝑛 e 𝑆 um subespaço de 𝑉 É claro que se 𝑆 𝑉 então dim𝑆 dim𝑉 Podemos destacar duas situações dim 𝑆 0 𝑆 𝕆 espaço vetorial nulo não tem base dim 𝑆 𝑛 𝑆 𝑉 EXERCÍCIOS Dados os subespaços 𝑆 indique uma base e a dimensão de 𝑆 a 𝑆 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 b 𝑆 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 0 EXERCÍCIOS Dados os subespaços 𝑆 indique uma base e a dimensão de 𝑆 a 𝑆 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥 desfazer a combinação linear 𝑥1 1 Então dim 𝑆 1 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 1 1 b 𝑆 𝑥 𝑦 ℝ2 𝑥 𝑦 0 dim 𝑆 0 𝑆 não tem base um único vetor é sempre li 𝑆 𝕆 c 𝑆 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑥 𝑦 𝑧 d 𝑆 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝕄2 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 c 𝑆 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑥 𝑥 desfazer a combinação linear 𝑥1 11 Então dim 𝑆 1 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 1 1 1 d 𝑆 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝕄2 𝑎 𝑑 𝑏 𝑐 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑑 𝑐 𝑐 𝑑 𝑑 1 0 0 1 𝑐 0 1 1 0 os vetores são li um não é múltiplo do outro 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 1 0 0 1 0 1 1 0 dim 𝑆 2 desfazer a combinação linear e 𝑆 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 ℝ4 𝑦 𝑥 𝑧 dim 𝑆 3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑥 𝑥 𝑧 𝑧 𝑤 desfazer a combinação linear 𝑥 1 1 0 0 𝑧 0110 𝑤0001 são lipodese verificar por inspeção ou por escalonamento 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 1 1 0 0 0110 0001 Por escalonamento 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 Observe que os 3 vetores já estão escalonados O escalonamento permite ver se algum deles é combinação linear dos outros Se aparecer no processo de escalonamento uma linha nula ou múltipla de outra essa linha deve ser eliminada Portanto f 𝑆 1011 21 12 0000 1345 3103 ℝ4 1 0 1 2 1 1 1 3 3 1 4 0 1 2 5 3 Fazemos escalonamento se aparecer algum vetor nulo ou múltiplo de outro deverá ser eliminado OBS representa o subespaço gerado pela combinação linear dos vetores A dimensão de ℝ4 é quatro Como 𝑆 ℝ4 então sua dimensão deve ser menor ou igual a 4 dim𝑆 4 𝑆 apresenta 5 vetores pelo menos um a mais O vetor nulo é ld logo podemos eliminar o vetor nulo O demais vetores podem ser ld mesmo com a exclusão do vetor nulo 1 0 1 2 1 1 1 3 3 1 4 0 1 2 5 3 1 0 1 0 1 3 0 0 3 1 3 3 1 0 4 0 Linhas 2 e 4 são iguais podemos eliminar a 4 1 0 1 0 1 3 0 3 3 1 0 4 1 0 1 0 1 3 0 0 12 1 0 4 os 3 vetores são li já está escalonado nenhuma linha é múltipla de outra dim 𝑆 3 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 1 0 1 1 0 1 3 0 0 0 12 4 OBS escalonamento diferente pode dar vetores diferentes mas a dimensão é a mesma g 𝑆 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 0 1 3 2 1 0 𝕄2 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 2 1 0 1 3 2 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 3 0 2 1 3 Linhas 2 e 3 são iguais podemos eliminar a 3 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 3 0 2 1 3 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 3 0 0 1 3 Linhas 3 e 4 são iguais podemos eliminar a 4 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 3 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 3 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 3 os 3 vetores são li já está escalonado nenhuma linha é múltipla de outra 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 3 Para escrever os vetores da base é preciso voltar para a forma de matriz 2x2 na ordem 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 3 dim 𝑆 3 h 𝑆 𝑥 1 𝑥2 3 𝑥 4𝑥2 𝑥2 1 2𝑥 ℙ2 𝑥0 𝑥1 𝑥2 0 1 0 1 0 1 3 1 4 0 0 1 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 1 7 0 0 1 0 2 1 0 1 0 1 0 1 0 0 7 0 0 1 0 0 1 Linha 3 é múltipla das linhas 4 e 5 podemos eliminar a 3 e a 5 0 1 0 1 0 1 0 0 1 vetores são li Para escrever os vetores da base é preciso voltar para a forma de polinômio na ordem 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 𝑥 1 𝑥2 𝑥2 dim 𝑆 3 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 𝑥 1 𝑥2 dim 𝑆 3 Se desejar escalonar a última matriz podemos ter EXERCÍCIO Determine a dimensão e encontre uma base do espaço solução do sistema 𝑥 𝑦 𝑧 0 3𝑥 2𝑦 2𝑧 0 4𝑥 3𝑦 𝑧 0 6𝑥 5𝑦 𝑧 0 Para este tipo de exercício o primeiro passo é encontrar a solução do sistema usando Gauss ou outro método Encontramos a solução em função da variável 𝑧 𝑆 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 4𝑧 𝑦 5𝑧 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 ℝ Em seguida para encontrar a base de 𝑆 temos 𝑥 𝑦 𝑧 4𝑧 5𝑧 𝑧 𝑧4 5 1 Portanto 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑆 4 5 1 dim 𝑆 1 OBS Podemos encontrar outra solução para o sistema SPI em função da variável 𝑥 ou em função da variável 𝑦 levando a uma base diferente mas com dimensão igual a 1 Bibliografia Livrotexto ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10a ed reimp Porto Alegre Bookman 2012 710 p Minha Biblioteca Biblioteca Digital