Transformações Lineares em Álgebra Linear

ÁLGEBRA LINEAR Professora Silmara A S Vicente TRANSFORMAÇÕES LINEARES 10ª edição página 433 TRANSFORMAÇÕES LINEARES Vamos estudar um tipo de função que passaremos a chamar de transformação onde o Domínio e o Contradomínio são Espaços Vetoriais V e W espaços vetoriais f V W v fv w fv 2 𝒇 ℝ𝟐 ℝ 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝒚 exemplos numéricos 𝑓 1 2 𝑓 2 2 𝑓 2 3 Exemplos de transformações funções 1 𝒇 ℝ ℝ 𝒇 𝒙 𝒙 𝟏 exemplos numéricos 𝑓 0 𝑓 3 𝑓 10 3 𝒇 ℝ ℝ𝟑 𝒇 𝒙 𝒙 𝟏 𝒙 𝒙 𝟏 exemplos numéricos 𝑓 0 𝑓 2 5 𝒇 𝕄𝟐 ℙ𝟏 𝒇 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒙 exemplos numéricos 𝑓 2 1 3 4 𝑓 3 5 6 2 4 𝒇 ℝ𝟐 ℝ𝟑 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 exemplos numéricos 𝑓 1 2 𝑓 2 2 Os 5 exemplos são transformações mas nos interessam as TRANSFORMAÇÕES LINEARES existem transformações não lineares que não são objetos do nosso estudo Definição de Transformação Linear Sejam 𝑉 e 𝑊 espaços vetoriais sobre ℝ e 𝑓 uma transformação de 𝑉 em 𝑊 𝒇 é uma TRANSFORMAÇÃO LINEAR se e somente se i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 𝑢 𝑣 𝜖 𝑉 ii 𝑓 𝛼 𝑢 𝛼 𝑓 𝑢 𝑢 𝜖 𝑉 𝛼 𝜖 ℝ Exemplos Verifique se as transformações dos exemplos anteriores 2 3 4 5 são transformações lineares Para verificar demonstre as condições i e ii da definição 2 𝒇 ℝ𝟐 ℝ 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝒚 Sejam os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝜖 ℝ2 i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 Exemplos Verifique se as transformações dos exemplos anteriores 2 3 4 5 são transformações lineares Para verificar demonstre as condições i e ii da definição 2 𝒇 ℝ𝟐 ℝ 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝒚 Sejam os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝜖 ℝ2 i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 𝒇 𝒖 𝒗 𝑓 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑎𝑦𝑏 𝒇 𝒖 𝒇 𝒗 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑎 𝑏 𝑥𝑦 𝑎𝑏 Estas expressões são diferentes logo a condição i não é satisfeita Portanto 𝒇 𝒏ã𝒐 é 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂çã𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 3 𝒇 ℝ ℝ𝟑 𝒇 𝒙 𝒙 𝟏 𝒙 𝒙 𝟏 Sejam os vetores 𝑢 𝑥 e 𝑣 𝑎 𝜖 ℝ i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 3 𝒇 ℝ ℝ𝟑 𝒇 𝒙 𝒙 𝟏 𝒙 𝒙 𝟏 Sejam os vetores 𝑢 𝑥 e 𝑣 𝑎 𝜖 ℝ i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 𝒇 𝒖 𝒗 𝑓 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 1 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 1 𝒇 𝒖 𝒇 𝒗 𝑓 𝑥 𝑓 𝑎 𝑥 1 𝑥 𝑥 1 𝑎 1 𝑎 𝑎 1 𝑥 𝑎 2 𝑥 𝑎 𝑥 𝑎 2 Estas expressões são diferentes logo a condição i não é satisfeita Portanto 𝒇 𝒏ã𝒐 é 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂çã𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 4 𝒇 ℝ𝟐 ℝ𝟑 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 Sejam os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝜖 ℝ2 i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 ii 𝑓 𝛼 𝑢 𝛼 𝑓 𝑢 𝛼 𝜖 ℝ 4 𝒇 ℝ𝟐 ℝ𝟑 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 Sejam os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝜖 ℝ2 i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 𝒇 𝒖 𝒗 𝑓 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝒇 𝒖 𝒇 𝒗 𝑓 𝑥 𝑦 𝑓 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 Estas expressões são iguais logo a condição i é satisfeita ii 𝑓 𝛼 𝑢 𝛼 𝑓 𝑢 𝛼 𝜖 ℝ 𝒇 𝜶 𝒖 𝑓 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦 𝜶 𝒇 𝒖 𝛼 𝑓 𝑥 𝑦 𝛼 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼𝑥 𝑦 Estas expressões são iguais logo a condição ii é satisfeita Portanto 𝒇 é 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂çã𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 5 𝒇 𝕄𝟐 ℙ𝟏 𝒇 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒂 𝒃 𝒄 𝒅 𝒙 Sejam os vetores 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e 𝑣 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝜖 𝕄2 obs não use x pois x é a variável do polinômio i 𝑓 𝑢 𝑣 𝑓 𝑢 𝑓 𝑣 𝒇 𝒖 𝒗 𝑓 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 𝑐 𝑔 𝑑 ℎ 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 𝑐 𝑔 𝑑 ℎ 𝑥 𝒇 𝒖 𝒇 𝒗 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑥 𝑎 𝑒 𝑏 𝑓 𝑐 𝑔 𝑑 ℎ 𝑥 Estas expressões são iguais logo a condição i é satisfeita ii 𝑓 𝛼 𝑢 𝛼 𝑓 𝑢 𝛼 𝜖 ℝ 𝒇 𝜶 𝒖 𝑓 𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐 𝛼𝑑 𝛼𝑎 𝛼𝑏 𝛼𝑐 𝛼𝑑 𝑥 𝜶 𝒇 𝒖 𝛼 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝛼 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑥 𝛼 𝑎 𝑏 𝛼 𝑐 𝑑 𝑥 Estas expressões são iguais logo a condição ii é satisfeita Portanto 𝒇 é 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂çã𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 Exemplo Verifique se a transformação dada pela fórmula é uma transformação linear 𝑇 ℝ3 ℝ2 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 4𝑥 Solução i 𝑇 𝑢 𝑣 𝑇 𝑢 𝑇 𝑣 Sejam 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 ℝ3 𝑇 ℝ3 ℝ2 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 4𝑥 Seja 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 ii 𝑇 𝛼 𝑢 𝛼 𝑇 𝑢 𝛼 𝜖 ℝ Exemplo Verifique se a transformação dada pela fórmula é uma transformação linear 𝑇 ℝ3 ℝ2 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 4𝑥 Solução i 𝑇 𝑢 𝑣 𝑇 𝑢 𝑇 𝑣 𝑻 𝒖 𝒗 𝑇 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 𝑐 𝑻 𝒖 𝑻 𝒗 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 𝑇𝑎 𝑏 𝑐 Sejam 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 ℝ3 2 𝑥 𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 𝑐 𝑦 𝑏 4 𝑥 𝑎 2𝑥 2𝑎 𝑦 𝑏 𝑧 𝑐 𝑦 𝑏 4𝑥 4𝑎 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 4𝑥 2𝑎 𝑏 𝑐 𝑏 4𝑎 2𝑥 𝑦 𝑧 2𝑎 𝑏 𝑐 𝑦 4𝑥 𝑏 4𝑎 Estas expressões são iguais logo a condição i é satisfeita 𝑇 ℝ3 ℝ2 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 4𝑥 Seja 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 Portanto 𝑻 é 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂çã𝒐 𝒍𝒊𝒏𝒆𝒂𝒓 ii 𝑇 𝛼 𝑢 𝛼 𝑇 𝑢 𝛼 𝜖 ℝ 𝑻 𝜶 𝒖 𝑇 𝛼 𝑥 𝛼 𝑦 𝛼𝑧 2 𝛼 𝑥 𝛼𝑦 𝛼𝑧 𝛼 𝑦 4𝛼𝑥 𝜶 𝑻 𝒖 𝛼 𝑇 𝑥 𝑦 𝑧 𝛼 2𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 4𝑥 Estas expressões são iguais logo a condição ii é satisfeita IMPORTANTE a Se 𝑓 é transformação linear a igualdade é válida 𝒇 𝜶𝟏𝒗𝟏 𝜶𝟐𝒗𝟐 𝜶𝒏𝒗𝒏 𝜶𝟏𝒇 𝒗𝟏 𝜶𝟐𝒇 𝒗𝟐 𝜶𝒏𝒇𝒗𝒏 Decorrente das condições i e ii b Notação para vetor visto em Geometria Analítica e Vetores 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 vetor em coordenadas 𝑢 𝑥 Ԧ𝑖 𝑦 Ԧ𝑗 𝑧 𝑘 vetor como combinação linear da base canônica Ԧ𝑖 Ԧ𝑗 𝑘 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 vetor na forma matricial vetor coluna c Quando o domínio e o contradomínio são iguais podemos chamar a transformação linear de OPERADOR LINEAR 𝒇 𝑽 𝑽 LEI DE FORMAÇÃO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR EXEMPLO 1 Sejam 𝑓 ℝ3 ℝ2 uma transformação linear e 𝐵 𝑣1 𝑣2 𝑣3 base do ℝ3 sendo 𝑣1 0 1 0 𝑣2 1 0 1 𝑣3 1 1 0 Determinar 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 sabendo que 𝑓 𝑣1 1 2 𝑓 𝑣2 3 1 𝑓 𝑣3 0 2 ℝ3 ℝ2 Para achar 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 podemos realizar duas etapas Etapa 1 escrever 𝑥 𝑦 𝑧 como combinação linear dos vetores da base dada 𝐵 𝑣1 𝑣2 𝑣3 Nomeando 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 temos 𝑣 𝛼 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝛾 𝑣3 𝑥 𝑦 𝑧 𝛼 0 1 0 𝛽 1 0 1 𝛾 1 1 0 Para calcular os valores dos escalares 𝛼 𝛽 𝛾 𝜖 ℝ montamos o sistema de equações 𝑥 𝛽 𝛾 𝑦 𝛼 𝛾 𝑧 𝛽 Logo 𝑣 𝛼 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝛾 𝑣3 𝒗 𝒙 𝒚 𝒛 𝒗1 𝒛 𝒗2 𝒙 𝒛 𝒗3 Resolvendo o sistema encontramos a solução 𝛼 𝑥 𝑦 𝑧 𝛽 𝑧 𝛾 𝑥 𝑧 Etapa 2 aplicar a transformação linear 𝒇 a ambos os membros da equação anterior 𝒇𝑣 𝒇 𝑥 𝑦 𝑧 𝑣1 𝑧 𝑣2 𝑥 𝑧 𝑣3 𝒗 𝒙 𝒚 𝒛 𝒗1 𝒛 𝒗2 𝒙 𝒛 𝒗3 Como 𝒇 é uma transformação linear podemos aplicar a equação a do quadro IMPORTANTE visto anteriormente 𝒇𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 𝒇𝑣1 𝑧 𝒇𝑣2 𝑥 𝑧 𝒇𝑣3 Substituindo os valores dados temos 𝒇𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 1 2 𝑧 3 1 𝑥 𝑧 0 2 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 2𝑥 2𝑦 2𝑧 3𝑧 𝑧 0 2𝑥 2𝑧 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒚 𝟒𝒛 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑𝒛 que é a lei de formação ou fórmula geral da transformação linear 𝒇 Testando a lei de formação para um vetor por exemplo 𝑣1 0 1 0 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 4𝑧 4𝑥 2𝑦 3𝑧 𝑓 0 1 0 0 1 0 0 2 0 1 2 como dado no enunciado do exemplo EXEMPLO 2 Ache a lei de formação da transformação linear 𝑓 ℝ2 ℝ3 tal que 𝑓 1 1 3 2 2 e 𝑓 12 1 1 3 Etapa 1 escrever 𝑣 𝑥 𝑦 como combinação linear dos vetores 𝑣1 𝑣2 Etapa 2 aplicar a transformação linear 𝒇 a ambos os membros da equação 𝑣 𝛼 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝒇𝑣 𝒇𝛼 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝒇 𝑣 𝛼 𝒇𝑣1 𝛽 𝒇𝑣2 ℝ3 ℝ2 EXEMPLO 2 Ache a lei de formação da transformação linear 𝑓 ℝ2 ℝ3 tal que 𝑓 1 1 3 2 2 e 𝑓 12 1 1 3 Etapa 1 escrever 𝑣 𝑥 𝑦 como combinação linear dos vetores 𝑣1 𝑣2 𝑣 𝛼 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝑥 𝑦 𝛼 1 1 𝛽 12 𝑥 𝛼 𝛽 𝑦 𝛼 2𝛽 Resolvendo o sistema encontramos a solução 𝛼 2𝑥 𝑦 𝛽 𝑥 𝑦 Etapa 2 aplicar a transformação linear 𝒇 a ambos os membros da equação 𝑣 𝛼 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝒇𝑣 𝒇𝛼 𝑣1 𝛽 𝑣2 𝒇 𝑣 𝛼 𝒇𝑣1 𝛽 𝒇𝑣2 𝒇 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 𝒇1 1 𝛽 𝒇1 2 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 𝟑 𝟐 𝟐 𝑥 𝑦 𝟏 𝟏 𝟑 𝒇 𝒙 𝒚 𝟕𝒙 𝟒𝒚 𝟑𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 que é a lei de formação da transformação linear 𝒇 ℝ3 ℝ2 MATRIZ CANÔNICA É uma matriz que representa uma transformação linear Exemplo 1 Determine a matriz canônica da transformação linear 𝑓 ℝ3 ℝ2 definida por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 4𝑧 4𝑥 2𝑦 3𝑧 Inicialmente encontre a base canônica do domínio da transformação linear 𝑓 Neste exemplo o domínio é o espaço vetorial ℝ3 com base canônica 𝐵 1 0 0 0 1 0 0 0 1 mantendo a ordem dos vetores Aplique a transformação 𝑓 a cada vetor canônico 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 4𝑧 4𝑥 2𝑦 3𝑧 𝑓 1 0 0 1 4 𝑓 0 1 0 1 2 𝑓 0 0 1 4 3 𝑓 1 1 4 4 2 3 Observe que a transformação linear 𝑓 ℝ𝟑 ℝ𝟐 e a matriz canônica de 𝑓 tem ordem 2 x 3 e os espaços vetoriais têm dimensão 3 e 2 A matriz canônica é composta pelos vetores canônicos transformados e na forma de vetor coluna Representação da matriz canônica da transformação linear 𝑓 𝒇 Exemplo 2 Determine a matriz canônica da transformação linear 𝑇 ℝ2 ℝ3 definida por 𝑇 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 A base canônica do domínio da transformação linear 𝑇 é a do espaço vetorial ℝ2 𝐵 1 0 0 1 Aplicando a transformação 𝑇 a cada vetor canônico 𝑇 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 A matriz canônica é composta pelos vetores canônicos transformados e na forma de vetor coluna Representação da matriz canônica da transformação linear 𝑓 𝒇 Exemplo 2 Determine a matriz canônica da transformação linear 𝑇 ℝ2 ℝ3 definida por 𝑇 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 A base canônica do domínio da transformação linear 𝑇 é a do espaço vetorial ℝ2 𝐵 1 0 0 1 Aplicando a transformação 𝑇 a cada vetor canônico 𝑇 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 𝑇 1 0 3 4 1 𝑇 0 1 2 1 0 𝑇 3 4 1 2 1 0 Observe que a transformação linear 𝑇 ℝ𝟐 ℝ𝟑 e a matriz canônica de 𝑇 tem ordem 3 x 2 e os espaços vetoriais têm dimensão 2 e 3 Exemplo 3 A matriz 1 1 4 4 2 3 representa a matriz canônica de uma transformação linear 𝑓 Determine a lei de formação Sabemos pelo tamanho da matriz canônica 2 x 3 que a transformação linear 𝑓 é 𝑓 ℝ3 ℝ2 Para determinar 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 a partir da matriz canônica podemos calcular o produto da matriz canônica 2 x 3 pelo vetor coluna do vetor 𝑥 𝑦 𝑧 de tamanho 3 x 1 resultando uma matriz de tamanho 2 x 1 1 1 4 4 2 3 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 4𝑧 4𝑥 2𝑦 3𝑧 Portanto na forma de vetor 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒙 𝒚 𝟒𝒛 𝟒𝒙 𝟐𝒚 𝟑𝒛 Exemplo 4 Seja 𝑇 ℝ𝟐 ℝ𝟑 linear definida por 𝑇 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 a Encontre 𝑇 1 1 Neste exercício basta aplicar a fórmula dada 𝑇 1 1 5 3 1 b Encontre o vetor 𝑣 𝑇 𝑣 1 0 1 Seja 𝑣 𝑥 𝑦 então c Encontre o vetor 𝑣 𝑇 𝑣 4 9 2 Seja 𝑣 𝑥 𝑦 então Exemplo 4 Seja 𝑇 ℝ𝟐 ℝ𝟑 linear definida por 𝑇 𝑥 𝑦 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 a Encontre 𝑇 1 1 Neste exercício basta aplicar a fórmula dada 𝑇 1 1 5 3 1 b Encontre o vetor 𝑣 𝑇 𝑣 1 0 1 Seja 𝑣 𝑥 𝑦 então 𝑇 𝑥 𝑦 1 0 1 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 1 0 1 igualando as coordenadas correspondentes 3𝑥 2𝑦 1 1 4𝑥 𝑦 0 2 𝑥 1 3 Sistema de 3 equações e 2 incógnitas usar duas equações para achar x e y e a equação não utilizada deve servir para verificar se o sistema é compatível De 3 temos 𝑥 1 e substituindo em 2 𝑦 4 Verificando em 1 3𝑥 2𝑦 1 3 1 2 4 1 3 8 1 11 1 𝑛ã𝑜 Portanto o sistema é incompatível ou seja o sistema não tem solução Conclusão não existe vetor 𝒗 𝑇 𝑣 1 0 1 c Encontre o vetor 𝑣 𝑇 𝑣 4 9 2 Seja 𝑣 𝑥 𝑦 então 𝑇 𝑥 𝑦 4 9 2 3𝑥 2𝑦 4𝑥 𝑦 𝑥 4 9 2 igualando as coordenadas correspondentes 3𝑥 2𝑦 4 1 4𝑥 𝑦 9 2 𝑥 2 3 De 3 temos 𝑥 2 e substituindo em 2 𝑦 1 Verificando em 1 3𝑥 2𝑦 4 32 21 4 6 2 4 4 4 𝑜𝑘 Portanto o sistema é compatível ou seja o sistema tem solução 𝑥 2 e 𝑦 1 Conclusão O vetor 𝑣 𝑇 𝑣 4 9 2 é 𝒗 𝟐 𝟏 Referência bibliográfica Anton H Rorres C ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES 10ª Ed 2012 Porto Alegre