Transformações Lineares: Núcleo e Imagem

ÁLGEBRA LINEAR Professora Silmara A S Vicente TRANSFORMAÇÕES LINEARES NÚCLEO E IMAGEM INJETORA E SOBREJETORA 10ª edição página 438 NÚCLEO DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Seja 𝑓 𝑉 𝑊 uma transformação linear Chamase NÚCLEO de uma transformação linear 𝑓 ao subespaço S de V tal que todos os elementos de S são transformados no elemento neutro 𝕆 de W V W S v 𝕆 f Notação 𝑁𝑓 ou 𝑁𝑢𝑐𝑓 𝑵 𝒇 𝒗 𝑽 𝒇 𝒗 𝕆 subespaço 𝑆 𝑉 devemos encontrar os vetores de 𝑽 elemento neutro de 𝑾 EXEMPLOS Exemplo1 Seja 𝑓 ℝ2 ℝ3 linear definida por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Verifique quais dos vetores abaixo pertencem a 𝑁𝑓 𝑣1 1 1 𝑣2 0 1 𝑣3 1 0 𝑣4 0 0 EXEMPLOS Exemplo1 Seja 𝑓 ℝ2 ℝ3 linear definida por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Verifique quais dos vetores abaixo pertencem a 𝑁𝑓 𝑣1 1 1 𝑣2 0 1 𝑣3 1 0 𝑣4 0 0 𝑓 𝑣1 𝑓 1 1 1 1 0 𝕆 𝑣1 𝑁𝑓 𝑓 𝑣2 𝑓 0 1 0 1 1 𝕆 𝑣2 𝑁𝑓 𝑓 𝑣4 𝑓 0 0 0 0 0 𝕆 𝑣4 𝑁𝑓 𝑓 𝑣3 𝑓 1 0 1 0 1 𝕆 𝑣3 𝑁𝑓 Se ℝ2 tem infinitos vetores como vamos achar quais são os vetores que estão no 𝑁𝑓 Exemplo2 Seja 𝑓 ℝ2 ℝ3 linear definida por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Encontre o núcleo da transformação linear 𝑓 𝑁 𝑓 Em seguida dê uma base e a dimensão de 𝑁 𝑓 Solução Exemplo2 Seja 𝑓 ℝ2 ℝ3 linear definida por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Encontre o núcleo da transformação linear 𝑓 𝑁 𝑓 Em seguida dê uma base e a dimensão de 𝑁 𝑓 Solução Usando a definição de 𝑁 𝑓 𝑓 𝑣 𝕆 onde 𝑣 𝑥 𝑦 temos 𝑓 𝑥 𝑦 𝕆 lembrando que 𝕆 ℝ3 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 0 0 0 𝑥 0 𝑦 0 𝑥 𝑦 0 Sistema com uma única solução 𝑥 0 𝑦 0 Portanto 𝑵 𝒇 𝒙 𝒚 ℝ𝟐 𝒙 𝒚 𝟎 ou 𝑵 𝒇 𝟎 𝟎 ℝ𝟐 ou 𝑵 𝒇 𝕆 Como o elemento neutro 𝕆 00 é linearmente dependente neste caso 𝑵𝒇 não tem base o que implica em 𝒅𝒊𝒎 𝑵𝒇 𝟎 Exemplo3 Seja 𝑓 ℝ3 ℝ2 linear definida por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 Encontre o núcleo da transformação linear 𝑓 𝑁 𝑓 Em seguida dê uma base e a dimensão de 𝑁 𝑓 Solução Exemplo3 Seja 𝑓 ℝ3 ℝ2 linear definida por 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 Encontre o núcleo da transformação linear 𝑓 𝑁 𝑓 Em seguida dê uma base e a dimensão de 𝑁 𝑓 Solução Usando a definição de 𝑁 𝑓 𝑓 𝑣 𝕆 onde 𝑣 𝑥 𝑦 𝑧 temos 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝕆 lembrando que 𝕆 ℝ2 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 0 0 𝑥 𝑦 0 𝑦 𝑧 0 Sistema com infinitas soluções Portanto 𝑵 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 ℝ𝟑 𝒙 𝒚 𝒆 𝒛 𝒚 Para encontrar uma base de 𝑵𝒇 𝒅𝒊𝒎 𝑵𝒇 𝟏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦1 1 1 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑵 𝒇 𝟏 𝟏 𝟏 𝑥 𝑦 𝑧 𝑦 Importante Seja 𝑓 𝑉 𝑊 uma transformação linear 𝑓 é INJETORA 𝑁 𝑓 𝕆 Exemplo4 Verifique se 𝑓 é injetora no exemplo2 e no exemplo3 Justifique No exemplo2 encontramos 𝑵 𝒇 𝕆 logo 𝒇 é injetora No exemplo3 encontramos 𝑵 𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 ℝ𝟑 𝒙 𝒚 𝒆 𝒛 𝒚 𝕆 logo 𝒇 não é injetora IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Seja 𝑓 𝑉 𝑊 uma transformação linear Chamase IMAGEM de uma transformação linear 𝑓 ao subespaço S de W em que todos os elementos de S são imagem de pelo menos um vetor v de 𝑽 V W S f f Notação 𝐼𝑚𝑓 𝑰𝒎𝒇 é a própria lei de formação de 𝒇 No exemplo2 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 Exemplo5 Qual a 𝐼𝑚𝑓 no exemplo2 e no exemplo3 Em seguida encontre uma base e dimensão da 𝐼𝑚𝑓 𝑰𝒎 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙 𝒚 ℝ𝟑 𝒙 𝒚 ℝ Para encontrar uma base de 𝑰𝒎𝒇 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝑥 1 0 1 𝑦0 1 1 𝒅𝒊𝒎 𝑰𝒎𝒇 𝟐 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑰𝒎 𝒇 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 esses vetores são li No exemplo3 𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑰𝒎 𝒇 𝒙 𝒚 𝒚 𝒛 ℝ𝟐 𝒙 𝒚 𝒛 ℝ Para encontrar uma base de 𝑰𝒎𝒇 𝑥 𝑦 𝑦 𝑧 𝑥 10 𝑦 11 𝑧01 esses vetores são li ou ld Observamos que 11 10 01 logo 11 é ld portanto 𝒅𝒊𝒎 𝑰𝒎𝒇 𝟐 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑰𝒎 𝒇 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 Importante Seja 𝑓 𝑉 𝑊 uma transformação linear 𝑓 é SOBREJETORA dim 𝐼𝑚 𝑓 dim 𝑊 Exemplo6 Verifique se 𝑓 é sobrejetora no exemplo2 e no exemplo3 Justifique logo 𝒇 é sobrejetora No exemplo2 𝑓 ℝ2 ℝ3 encontramos dim 𝐼𝑚𝑓 2 e dim ℝ3 3 logo 𝒇 não é sobrejetora No exemplo3 𝑓 ℝ3 ℝ2 encontramos 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚𝑓 2 e dim ℝ2 2 Teorema da Dimensão Finita Seja 𝑓 𝑉 𝑊 uma transformação linear 𝐝𝐢𝐦 𝑵𝒇 𝐝𝐢𝐦 𝑰𝒎 𝒇 𝐝𝐢𝐦 𝑽 Exemplo7 Confirme as dimensões usando o Teorema da Dimensão Finita no exemplo2 e no exemplo3 𝒅𝒊𝒎 𝑵𝒇 𝟎 𝒅𝒊𝒎 𝑰𝒎𝒇 𝟐 No exemplo2 𝑓 ℝ2 ℝ3 temos dim 𝑁𝑓 dim 𝐼𝑚 𝑓 dim ℝ2 0 2 2 então teorema confirmado No exemplo3 𝑓 ℝ3 ℝ2 temos 𝒅𝒊𝒎 𝑰𝒎𝒇 𝟐 𝒅𝒊𝒎 𝑵𝒇 𝟏 dim 𝑁𝑓 dim 𝐼𝑚 𝑓 dim ℝ3 1 2 3 então teorema confirmado Exemplo8 Seja 𝑇 ℝ2 ℝ2 o operador linear dado pela formula 𝑇 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 8𝑥 4𝑦 a Encontre 𝑁𝑇 dê uma base e a dim 𝑁𝑇 Definição de 𝑁 𝑇 𝑇 𝑣 𝕆 onde 𝑣 𝑥 𝑦 temos b T é injetora Justifique c Encontre 𝐼𝑚𝑇 dê uma base e a dim 𝐼𝑚𝑇 𝑰𝒎 𝑻 𝟐𝒙 𝒚 𝟖𝒙 𝟒𝒚 ℝ𝟐 𝒙 𝒚 ℝ d 𝑇 é sobrejetora Justifique e Confirme as dimensões pelo Teorema das dimensões finitas Exemplo8 Seja 𝑇 ℝ2 ℝ2 o operador linear dado pela formula 𝑇 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑦 8𝑥 4𝑦 a Encontre 𝑁𝑇 dê uma base e a dim 𝑁𝑇 Definição de 𝑁 𝑇 𝑇 𝑣 𝕆 onde 𝑣 𝑥 𝑦 temos 𝑇 𝑥 𝑦 𝕆 lembrando que 𝕆 ℝ2 2𝑥 𝑦 8𝑥 4𝑦 0 0 2𝑥 𝑦 0 8𝑥 4𝑦 0 Portanto 𝑵 𝑻 𝒙 𝒚 ℝ𝟐 𝒙 𝒚 𝟐 𝒚 ℝ Sistema com infinitas soluções 𝑥 𝑦 2 Achando uma base de 𝑵𝑻 𝒅𝒊𝒎 𝑵𝑻 𝟏 𝑥 𝑦 𝑦 2 𝑦 𝑦 1 2 1 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑵 𝑻 𝟏 𝟐 𝟏 b T é injetora Justifique 𝑇 não é injetora pois 𝑁 𝑇 𝕆 c Encontre 𝐼𝑚𝑇 dê uma base e a dim 𝐼𝑚𝑇 𝑰𝒎 𝑻 𝟐𝒙 𝒚 𝟖𝒙 𝟒𝒚 ℝ𝟐 𝒙 𝒚 ℝ Para achar uma base de 𝑰𝒎𝑻 2𝑥 𝑦 8𝑥 4𝑦 𝑥 2 8 𝑦14 esses vetores são li ou ld Usando o Algoritmo de Gauss cada vetor em uma linha podemos eliminar vetores ld 2 8 1 4 2 8 1 4 0 0 1 4 𝑜 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟 0 0 é 𝑙𝑑 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚𝑇 1 𝑩𝒂𝒔𝒆 𝒅𝒆 𝑰𝒎 𝑻 𝟏 𝟒 d 𝑇 é sobrejetora Justifique 𝑻 não é sobrejetora pois 𝐝𝐢𝐦 𝑰𝒎 𝑻 𝒅𝒊𝒎 ℝ𝟐 e Confirme as dimensões pelo Teorema das dimensões finitas 𝑇 ℝ2 ℝ2 𝑑𝑖𝑚 𝑁𝑇 1 dim 𝑁𝑇 dim 𝐼𝑚 𝑇 dim ℝ2 1 1 2 então teorema confirmado 𝒅𝒊𝒎 𝑰𝒎𝑻 𝟏 Exemplo9 Seja 𝑇 ℝ4 ℝ3 linear dado por 𝑇 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 4𝑥1 𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 2𝑥1 𝑥2 𝑥3 4𝑥4 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 a Encontre 𝑁𝑇 dê uma base e a dim 𝑁𝑇 b T é injetora Justifique c Encontre 𝐼𝑚𝑇 dê uma base e a dim 𝐼𝑚𝑇 d 𝑇 é sobrejetora Justifique e Confirme as dimensões pelo Teorema das dimensões finitas Exemplo9 Seja 𝑇 ℝ4 ℝ3 linear dado por 𝑇 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 4𝑥1 𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 2𝑥1 𝑥2 𝑥3 4𝑥4 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 a Encontre 𝑁𝑇 dê uma base e a dim 𝑁𝑇 Definição de 𝑁 𝑇 𝑇 𝑣 𝕆 onde 𝑣 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 temos 𝑇 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 𝕆 lembrando que 𝕆 ℝ3 4𝑥1 𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 2𝑥1 𝑥2 𝑥3 4𝑥4 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 0 0 0 4𝑥1 𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 0 2𝑥1 𝑥2 𝑥3 4𝑥4 0 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 0 4𝑥1 𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 0 2𝑥1 𝑥2 𝑥3 4𝑥4 0 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 0 1 2 3 1 2 x3 2𝑥1 3𝑥3 𝑥4 0 6𝑥1 9𝑥3 3𝑥4 0 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 0 3 6𝑥4 0 𝑥4 0 Sistema de 4 incógnitas e 3 equações Infinitas soluções 4 Substituindo em 4 temos 2𝑥1 3𝑥3 0 𝑥1 3 2 𝑥3 Substituindo em 1 temos 4 3 2 𝑥3 𝑥2 2𝑥3 0 𝑥2 4𝑥3 Núcleo de T 𝑵 𝑻 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟏 𝟑 𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟒𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟎 𝑵 𝑻 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝒙𝟏 𝟑 𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟒𝒙𝟑 𝒙𝟒 𝟎 Para encontrar a base de 𝑁𝑇 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4 3 2 𝑥3 4𝑥3 𝑥3 0 𝑥33 2 4 1 0 Base de 𝑵 𝑻 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 𝟎 𝐝𝐢𝐦 𝑵 𝑻 𝟏 b T é injetora Justifique 𝑻 não é injetora pois 𝑵 𝑻 𝕆 c Encontre 𝐼𝑚𝑇 dê uma base e a dim 𝐼𝑚𝑇 𝑰𝒎 𝑻 4𝑥1 𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 2𝑥1 𝑥2 𝑥3 4𝑥4 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 ℝ𝟑 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝟒 ℝ Para achar uma base de 𝑰𝒎𝑻 4𝑥1 𝑥2 2𝑥3 3𝑥4 2𝑥1 𝑥2 𝑥3 4𝑥4 6𝑥1 9𝑥3 9𝑥4 𝑥1 4 2 6 𝑥2 1 1 0 𝑥3 2 1 9 𝑥43 4 9 Precisamos escalonar os vetores para eliminar os vetores ld Os vetores encontrados 4 2 6 1 1 0 2 1 9 3 4 9 4 2 6 1 1 0 2 1 9 3 4 9 0 2 6 1 1 0 0 3 9 0 1 9 0 2 6 1 1 0 0 3 9 0 1 9 0 0 12 1 0 9 0 0 18 0 1 9 0 0 1 1 0 9 0 0 1 0 1 9 linhas 1 e 3são iguais podemos eliminar a linha 3 0 0 1 1 0 9 0 1 9 0 0 1 1 0 0 0 1 0 Base da 𝑰𝒎 𝑻 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 𝟎 𝐝𝐢𝐦𝑰𝒎 𝑻 𝟑 ou Base da 𝑰𝒎 𝑻 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟗 𝟎 𝟏 𝟗 𝐝𝐢𝐦𝑰𝒎 𝑻 𝟑 Usando o Algoritmo de Gauss cada vetor em uma linha podemos eliminar vetores ld 𝑑𝑖𝑚 𝐼𝑚𝑇 3 d 𝑇 é sobrejetora Justifique 𝑻 é sobrejetora pois 𝐝𝐢𝐦 𝑰𝒎 𝑻 𝒅𝒊𝒎 ℝ𝟑 𝟑 e Confirme as dimensões pelo Teorema das dimensões finitas 𝑇 ℝ4 ℝ3 𝑑𝑖𝑚 𝑁𝑇 1 dim 𝑁𝑇 dim 𝐼𝑚 𝑇 dim ℝ4 1 3 4 então teorema confirmado Exemplo10 Seja 𝑇 ℙ2 ℙ3 linear dado por 𝑇 𝑝 𝑥 𝑥𝑝 𝑥 𝑝 𝑥 𝑥2 𝑝 𝑥 0 𝑝 𝑥 1 𝑥 a Determine a imagem dos polinômios 𝑻 𝒙𝟐 𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝑝 𝑥 𝑥2 𝑝 𝑥 0 𝑝 𝑥 1 𝑥 𝑻 𝟎 𝒙 𝟎 𝟎 𝑻 𝟏 𝒙 𝒙 𝟏 𝒙 𝒙 𝒙𝟐 𝑇 ℙ2 ℙ3 𝑇 𝑝 𝑥 𝑥𝑝 𝑥 b Determine a base e dimensão de 𝑁𝑇 e verifique se é injetora 𝑇 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝕆 𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 0 0𝑥 0𝑥2 0𝑥3 Seja 𝑝 𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 temos 𝑎𝑥 𝑏𝑥2 𝑐𝑥3 0 0𝑥 0𝑥2 0𝑥3 𝑎 0 𝑏 0 𝑐 0 Portanto 𝑵 𝑻 𝟎 𝟎𝒙 𝟎𝒙𝟐 𝕆 𝑵𝑻 não tem base 𝐝𝐢𝐦 𝑵 𝑻 𝟎 𝑻 é injetora pois 𝑵 𝑻 𝕆 𝑇 ℙ2 ℙ3 𝑇 𝑝 𝑥 𝑥𝑝 𝑥 c Determine a base e dimensão de 𝐼𝑚𝑇 e verifique se é sobrejetora 𝑇 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 𝑎𝑥 𝑏𝑥2 𝑐𝑥3 Seja 𝑝 𝑥 𝑎 𝑏𝑥 𝑐𝑥2 temos Portanto 𝑰𝒎 𝑻 𝒂𝒙 𝒃𝒙𝟐 𝒄𝒙𝟑 Base de 𝑰𝒎 𝑻 𝒙 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝐝𝐢𝐦 𝑰𝒎 𝑻 𝟑 𝑻 não é sobrejetora pois 𝐝𝐢𝐦 𝐢𝐦 𝑻 𝟑 𝒅𝒊𝒎 ℙ𝟑 4 Para encontrar a base de 𝑰𝒎 𝑻 𝑎𝑥 𝑏𝑥2 𝑐𝑥3 𝑎 𝑥 0𝑥2 0𝑥3 𝑏 0𝑥 𝑥2 0𝑥3 𝑐0𝑥 0𝑥2 𝑥3 Seja 𝑓 𝑉 𝑊 uma transformação linear Resumo 𝐝𝐢𝐦 𝑵𝒇 𝐝𝐢𝐦 𝑰𝒎 𝒇 𝐝𝐢𝐦 𝑽 𝒇 é injetora 𝑵 𝒇 𝕆 𝒇 é sobrejetora 𝐝𝐢𝐦𝑰𝒎 𝒇 𝐝𝐢𝐦𝑾 Referência bibliográfica Anton H Rorres C ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES 10ª Ed 2012 Porto Alegre