Combinação Linear em Álgebra Linear - Exemplos e Exercícios

ÁLGEBRA LINEAR Professores Silmara A S Vicente COMBINAÇÃO LINEAR p 183 do livrotexto Dizemos que um vetor 𝒘 é uma combinação linear dos vetores 𝒗𝟏 𝒗𝟐 𝒗𝒏 se 𝒘 pode ser escrito na forma 𝒘 𝜶𝟏𝒗𝟏 𝜶𝟐𝒗𝟐 𝜶𝒏𝒗𝒏 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝛼𝑖𝜖 ℝ 𝑒 1 𝑖 𝑛 Combinação Linear EXEMPLOS NO ℝ𝟑 Ex 7 p 189 Quais dos seguintes vetores são combinações lineares de 𝑢 0 2 2 e 𝑣 1 3 1 a 2 2 2 Podemos chamar de 𝑤 2 2 2 e escrever a equação 𝒘 𝜶𝒖 𝜷𝒗 para verificar se existe valor real para 𝛼 e 𝛽 2 2 2 𝛼0 2 2 𝛽1 3 1 2 2 2 0 2𝛼 2𝛼 𝛽 3𝛽 𝛽 2 2 2 𝛽 2𝛼 3𝛽 2𝛼 𝛽 vetores são iguais quando as suas coordenadas são iguais logo temos 2 𝛽 2 2𝛼 3𝛽 2 2𝛼 𝛽 Obtemos um sistema de 3 equações e 2 incógnitas Podemos usar 2 equações para resolver o sistema e a outra equação para verificar se o sistema é consistente 𝜷 𝟐 da primeira equação que pode ser substituído na segunda equação A terceira equação é usada para verificar a consistência do sistema 2 2𝛼 𝛽 2 2 2 2 2 2 como a igualdade é satisfeita o sistema tem uma única solução SPD Solução 𝜶 𝟐 e 𝜷 𝟐 Portanto o vetor 𝑤 2 2 2 é combinação linear dos vetores 𝑢 e 𝑣 𝒘 𝟐𝒖 𝟐𝒗 2 2𝛼 3𝛽 2𝛼 3𝛽 2 2𝛼 3 2 2 4 𝜶 𝟐 EXEMPLO Ex 7 c 0 4 5 Podemos chamar de 𝑤 0 4 5 e escrever a equação 𝒘 𝜶𝒖 𝜷𝒗 para verificar se existe valor real para 𝛼 e 𝛽 0 4 5 𝛼0 2 2 𝛽1 3 1 0 4 5 0 2𝛼 2𝛼 𝛽 3𝛽 𝛽 0 4 5 𝛽 2𝛼 3𝛽 2𝛼 𝛽 vetores são iguais quando as suas coordenadas são iguais logo temos 0 𝛽 4 2𝛼 3𝛽 5 2𝛼 𝛽 Obtemos um sistema de 3 equações e 2 incógnitas Podemos usar 2 equações para resolver o sistema e a outra equação para verificar se o sistema é consistente 𝜷 𝟎 da primeira equação que pode ser substituído na segunda equação A terceira equação é usada para verificar a consistência do sistema 5 2𝛼 𝛽 5 2 2 0 5 4 como a igualdade não é satisfeita o sistema não tem solução sistema impossível SI Portanto o vetor 𝑤 0 4 5 não é combinação linear dos vetores 𝑢 e 𝑣 4 2𝛼 3𝛽 2𝛼 3𝛽 4 2𝛼 3 0 4 4 𝜶 𝟐 EXERCÍCIO Resolver os itens b e d do exercício 7 b 3 1 5 d 0 0 0 Resolver os itens do exercício 8 EXEMPLO COM VETORES QUE SÃO POLINÔMIOS Ex 10 p 189 Expresse os seguintes vetores como combinações lineares de 𝑝1 2 𝑥 4𝑥2 𝑝2 1 𝑥 3𝑥2 𝑝3 3 2𝑥 5𝑥2 a 9 7𝑥 15𝑥2 Podemos chamar de 𝑝 9 7𝑥 15𝑥2 e escrever a equação Para verificar se existe valor real para 𝛼 𝛽 e 𝛾 Para obter o sistema de equações podemos igualar os coeficientes das potências de 𝑥 9 2𝛼 𝛽 3𝛾 7 𝛼 𝛽 2𝛾 15 4𝛼 3𝛽 5𝛾 𝒑 𝜶 𝒑𝟏 𝜷 𝒑𝟐 𝜸 𝒑𝟑 9 7𝑥 15𝑥2 𝛼 2 𝑥 4𝑥2 𝛽 1 𝑥 3𝑥2 𝛾 3 2𝑥 5𝑥2 coeficientes de x0 coeficientes de x1 coeficientes de x2 Sistema de 3 equações e 3 incógnitas que pode ser resolvido por métodos conhecidos Gauss substituição combinação das equações e outros Sugestão para resolver o sistema 9 2𝛼 𝛽 3𝛾 7 𝛼 𝛽 2𝛾 15 4𝛼 3𝛽 5𝛾 1 2 3 Podemos somar a equação 1 e 2 para cancelar a variável 𝛽 por exemplo obtendo 16 3𝛼 5𝛾 4 Para obter outra equação somente com 𝛼 e 𝛾 podemos cancelar a variável 𝛽 usando as equações 2 e 3 3 x 2 21 3𝛼 3𝛽 6𝛾 3 15 4𝛼 3𝛽 5𝛾 obtendo 36 7𝛼 11𝛾 5 Das equações 4 e 5 podemos cancelar uma das variáveis 𝛼 ou 𝛾 por exemplo caso queira cancelar 𝛼 7 x 4 112 21𝛼 35𝛾 3 x 5 108 21𝛼 33𝛾 obtendo 4 2𝛾 então 𝜸 𝟐 Agora podemos achar o valor de 𝛽 em uma das equações 1 2 ou 3 Podemos substituir 𝛾 2 na equação 4 ou 5 para achar o valor de 𝛼 Substituindo em 4 encontramos 𝜶 𝟐 Substituindo 𝛼 e 𝛾 por exemplo em 1 encontramos 𝜷 𝟏 Logo o sistema tem solução 𝜶 𝟐 𝜷 𝟏 𝜸 𝟐 Portanto o polinômio 𝑝 9 7𝑥 15𝑥2 é combinação linear dos polinômios 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝 𝛼 𝑝1 𝛽 𝑝2 𝛾 𝑝3 𝒑 2 𝒑1 𝒑2 2 𝒑3 EXERCÍCIO Resolver os itens b c e d do exercício 10 b 6 11𝑥 6𝑥2 c 0 d 7 8𝑥 9𝑥2 EXEMPLO COM VETORES QUE SÃO MATRIZES Ex 9 p 189 Quais dos seguintes vetores são como combinações lineares de 𝐴 4 0 2 2 𝐵 1 1 2 3 𝐶 0 2 1 4 a 6 8 1 8 Podemos chamar de 𝐷 6 8 1 8 e escrever a equação 𝑫 𝜶 𝑨 𝜷 𝑩 𝜸 𝑪 achar 𝛼 𝛽 𝛾 6 8 1 8 𝛼 4 0 2 2 𝛽 1 1 2 3 𝛾 0 2 1 4 Para obter o sistema de equações podemos igualar os elementos nas mesmas posições das matrizes 6 4𝛼 𝛽 0𝛾 1 8 0𝛼 𝛽 2𝛾 2 1 2𝛼 2𝛽 𝛾 3 8 2𝛼 3𝛽 4𝛾 4 Sistema de 4 equações e 3 incógnitas escolher 3 equações e deixar uma para verificar a consistência do sistema Solução do sistema 𝜶 𝟏 𝜷 𝟐 𝜸 𝟑 Portanto a matriz 𝐷 é combinação linear das matrizes 𝐴 𝐵 𝐶 𝑫 𝜶 𝑨 𝜷 𝑩 𝜸 𝑪 𝐷 𝐴 2 𝐵 3 𝐶 EXERCÍCIO Resolver os itens b c e d do exercício 9 b 0 0 0 0 c 6 0 3 8 d 1 5 7 1 Bibliografia Livrotexto ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10a ed reimp Porto Alegre Bookman 2012 710 p Minha Biblioteca Biblioteca Digital