Produto Interno e Transformações Lineares: Conceitos e Exemplos

produto interno seja um espaço vetorial de uma função É dita produto interno em V se 01 comutativa 02 distributiva para soma 03 homogeneidade 04 positividade exemplos seja VR com as operações usuais Daí temos que a função é um produto interno R seja R o espaço euclidiano com os operações usuais o produto interno canônico é dado por seja R o espaço euclidiano com os operações usuais o produto interno ponderado a função norma de um vetor II u II u u dizemos que u é um vetor unitário se II u II 1 ângulo entre vetores Se 0 0 90 angulo aguda temos u v 0 Se 090 angulo reto temos u v 0 Se 90 0 180 angulo obtuso temos u v 0 projeção V xVxVHR ev v v uv vu uv w xuv cuw duv a uV uu 0e uu 0 r 0 3 ⑳ 1V M1 M2 Mb v V2Vs MVu2v2usvs 3 ⑧ 234 20 1 2 2 30 4 1 8 X1 x2 Xn 1 ya Yn x1x X2 Yzt Xn Yn ⑧ X1 x2 Xn 1 ya Yn a1 14192XaYa an Xn Yn onde ai0 COSO eV O 11 UII 1IVII W iprogi ProjeYYor transformações lineares Seja T V W uma função do espaço vetorial v no espaço vetorial W Dizemos que T é uma transformação linear de v em W se T v T v homogeneidade T u v T u T v aditividade ideia geometrica Quando VW a transformação linear T V V é chamada de operador linear propriedade exemplo seja T V W dada por T u 0 Temos que a transformação nula é uma transformação linear PROVA T 0 0 exemplo seja T V W dada por T x K X é uma transformação linear PROVA T 0 K 0 0 0 X X 2 D 3 T TIV I X Enter v V T S d z v Tr TV 3 xu 2 0 xTU v v 0 0 0 Tu Tlv qu kxu x ku x Tu 1 2 v kr v ku kv Tv Tv produto interno definicao Se T V W uma transformação linear Q conjunto dos vetores em V que T transforma em O é denominado núcleo de T e denotado por NucT O conjunto de todos os vetores em W que são imagens por T de pelo menos um vetor de v ê denominado imagem de T e denotado por ImT ideia núcleo Ow T0 V W T NucT C V O núcleo é um subconjunto de V v ImT V T W ImT C W A imagem é um subconjunto de W exemplos 01 Seja T V W a transformação linear nula dado por Tv 0 Daí temos NucT V ImT 0 02 Região Ortogonal Seja T R R a transformação linear dada por Txy x0 NucT 0y y E R ImT x0 x E R Núcleo logo NucT xy E R x0 0y y E R ger01 dimensão do núcleo 1 Imagem ImT x0 E R x E R ger 10 dimensão da imagem 1 dim R 2 dimensão do núcleo dimensão da imagem caso geral NucT ImT V W T nulidade domínio do núcleo Posto dimensão da imagem dimV nulidade posto teorema do núcleo e da imagem Seja T V W uma transformação linear do espaço vetorial V no espaço vetorial W então dimV posT nulT w z I 2 2 I T y 00 00 x 00 0 2 W ⑧ transformacao linear matriz de uma v1 V2 Vn base de V V a1v1 a2v2 anvn V a1 a2 an coordenadas do vetor V na base w1 w2 wm base de W TV b1w1 b2w2 bmwm TV b1 b2 bm Av TV a matriz A é chamada de matriz da transformação T V W exemplos Seja T P1 P2 a transformação linear definida por Tpx xpx Encontre a matriz de T em relação as bases canônicas v1 v2 1 x w1 w2 w3 1 x x 1º passo calcule A transformação na base do domínio 2º passo ache as coordenadas das transformações do item anterior 3º passo ache a matriz da transformação colocando cada coordenada encontrada no item anterior was colunas da matriz A 0 0 1 0 0 1 Seja T R R a transformação definida por Txy y 5x 13y 7x 16y encontre a matriz da transformação T em relação as bases canônicas V1 V2 10 0 1 e W1 W2 W3 100 010 001 a O SriSriin the B B 3 B 2 TV T1 x 1 xTVel TW xx x 2 1 x1 101 1x 0x1 01011 x1 xY 101 0x 1x 1001 Ho 11 B B Vel T10 0 51 130 71 160 037 V2 T01 1 50 131 70 161 11316 I Ul1057 e TY 11316 A 0 1 5 13 716 autovetores e autovalores autovalores autovetores Seja T v V uma transformação linear entre dois espaços vetoriais V e W Dizemos que V é um autovetor da transformação se existe E R tal que Tv v Chamemos de autovetor associado ao autovetor V Se A é a matriz de transformação T Podemos efemina os autovalores e os autovalores da seguinte forma Av v Av Iv 0 onde I é a matriz identidade A Iv 0 A equação detA I 0 é chamorada de equação característica Esta equação gera um polinômio na variável P a1 a1 a0 que denominaremos de polinômio característico As raizes do polinômio característico são os autovalores da transformação Exemplo o vetor v 12 é um autovetor de operador T R R cuja matriz é dada por A 3 0 pois 8 1 Av 3 0 1 3 3 3 1 3v ou seja T12 312 Tv v 8 1 2 82 6 2 Dai 3 é um autovalor de T associado ao autovetor v12 IDEIA Observe o seguinte detA I0 det 3 0 1 0 0 8 1 0 1 det 3 0 0 3 1 0 Logo 3 e 1 são autovalores da transformação 8 1 Para achar os autovetores basta fazer para 3 Logo os autovetores associados ao autovalor 3 são da forma Vx2x x12 ou seja os autovalores são múltiplos de 12 base do autoespaço para 3 para 1 Logo os autovetores associados ao autovalor 1 são da forma V0y y01 ou seja os autovetores são múltiplos de 01 base do auto espaço para 1 I I S I I I I S S 1 A A I X 12 6 T12 36 2 2 A 1 1 3 I A 7 Av 3IeY3183y 8x44y ex B 5123 A 10 Y 13x e B5013