Independência Linear em Espaços Vetoriais

ÁLGEBRA LINEAR Professora Silmara A S Vicente INDEPENDÊNCIA LINEAR p 190 do livrotexto INDEPENDÊNCIA LINEAR Sejam 𝑉 um espaço vetorial e 𝐴 𝑣1 𝑣2 𝑣𝑛 𝑉 A combinação linear 𝜶𝟏𝒗𝟏 𝜶𝟐𝒗𝟐 𝜶𝒏𝒗𝒏 𝕆 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝛼𝑖𝜖 ℝ 𝑒 1 𝑖 𝑛 1 onde 𝕆 é o elemento neutro do espaço vetorial 𝑽 tem sempre como solução ሻ 𝜶1 𝜶2 𝜶𝒏 0 𝑠𝑜𝑙𝑢çã𝑜 𝑡𝑟𝑖𝑣𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜 Se a equação 1 tem apenas a solução trivial solução única SPD dizemos que 𝑨 é um conjunto de vetores linearmente independente li Se a equação 1 admite outras soluções infinitas soluções SPI além da trivial dizemos que 𝑨 é um conjunto de vetores linearmente dependente ld EXEMPLOS Justifique usando a definição se os conjuntos são li ou ld Exemplo1 𝐴 1 2 2 4 ℝ2 𝜶1𝒗1 𝜶2𝒗2 𝕆 neste exemplo o elemento neutro 𝕆 𝜖 ℝ2 isto é 𝕆 0 0ሻ 𝛼1 1 2 𝛼2 2 4 0 0ሻ a partir desta equação montamos o sistema 𝛼1 2𝛼2 0 2𝛼1 4𝛼2 0 1 2 Observe que a equação 2 após simplificar por 2 é igual à equação 1 logo pode ser eliminada Portanto o sistema tem apenas uma equação e 2 incógnitas ou seja é um sistema com infinitas soluções SPI Da equação 1 temos 𝛼1 2𝛼2 para qualquer valor de 𝛼2 temos um valor para 𝛼1 Conclusão o conjunto A é ld observe que o vetor 𝑣2 2 4 pode ser escrito como 𝑣2 2𝑣1 𝜶 𝒗1 β 𝒗2 𝕆 neste exemplo o elemento neutro 𝕆 𝜖 ℝ2 isto é 𝕆 0 0ሻ α 1 0 β 2 1 0 0ሻ a partir desta equação montamos o sistema 𝛼 2𝛽 0 β 0 1 2 Exemplo2 𝐴 1 0 2 1 ℝ2 Substituindo 𝛽 0 na equação 1 temos 𝛼 0 O sistema tem uma única solução trivial é SPD Conclusão o conjunto A é li Exemplo3 𝐴 1 0 0 1 2 3ሻ ℝ2 𝜶 𝒗1 β 𝒗2 𝛾 𝑣3 𝕆 neste exemplo o elemento neutro 𝕆 𝜖 ℝ2 isto é 𝕆 0 0ሻ α 1 0 β 0 1 𝛾 23ሻ 0 0ሻ a partir desta equação montamos o sistema 𝛼 2𝛾 0 β 3𝛾 0 1 2 Conclusão o conjunto A é ld Exemplo3 𝐴 1 0 0 1 2 3ሻ ℝ2 Este sistema tem 2 equações e 3 incógnitas logo é um sistema com infinitas soluções SPI 𝛼 2𝛾 β 3𝛾 1 2 As incógnitas 𝛼 e 𝛽 dependem do valor de 𝛾 Exemplo4 𝐴 1 2 0 1 1 1 1 4 2ሻ ℝ3 𝜶 𝒗1 𝜷 𝒗2 𝜸 𝒗3 𝕆 o elemento neutro 𝕆 𝜖 ℝ3 isto é 𝕆 0 0 0ሻ ሻ 𝛼 1 2 0 𝛽 1 1 1 𝛾 1 4 2ሻ 0 00 montamos o sistema 𝛼 𝛽 𝛾 0 2𝛼 𝛽 4𝛾 0 𝛽 2𝛾 0 1 2 3 Da equação 3 temos 𝛽 2𝛾 Substituindo na equação 1 𝛼 𝛽 𝛾 2𝛾 𝛾 3𝛾 Substituindo na equação 2 2𝛼 𝛽 4𝛾 0 23𝛾ሻ 2𝛾 4𝛾 0 resultando 0 𝛾 0 qualquer valor de 𝛾 Logo o sistema tem infinitas soluções SPI 𝛽 2𝛾 e 𝛼 3𝛾 Conclusão o conjunto A é ld Exemplo5 𝐴 𝑥2 1 𝑥 3 2𝑥2 2𝑥 1 ℙ2 Exemplo5 𝐴 𝑥2 1 𝑥 3 2𝑥2 2𝑥 1 ℙ2 𝜶 𝒗𝟏 𝜷 𝒗𝟐 𝜸 𝒗𝟑 𝕆 o elemento neutro 𝕆 𝜖 ℙ2 isto é 𝕆 0 0𝑥 0𝑥2 𝛼 𝑥2 1 𝛽 𝑥 3 𝛾2𝑥2 2𝑥 1ሻ 0 0𝑥 0𝑥2 Sistema criado a partir dos coeficientes das potências de 𝑥 coeficientes de 𝑥0 coeficientes de x coeficientes de 𝑥2 𝛼 3𝛽 𝛾 0 𝛽 2𝛾 0 𝛼 2𝛾 0 1 2 3 Resolvendo o sistema temos solução única SPD 𝛼 0 𝛽 0 𝛾 0 Conclusão o conjunto A é li Exemplo6 𝐴 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 𝕄2 Exemplo6 𝐴 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 𝕄2 𝜶 𝒗𝟏 𝜷 𝒗𝟐 𝜸 𝒗𝟑 𝕆 o elemento neutro 𝕆 𝜖 𝕄2 isto é 𝕆 0 0 0 0 𝛼 1 0 0 1 𝛽 0 1 1 0 𝛾 1 1 1 1 0 0 0 0 Sistema criado a partir dos elementos das mesmas posições 𝛼 𝛾 0 𝛽 𝛾 0 𝛽 𝛾 0 𝛼 𝛾 0 1 2 3 4 As equações 3 e 4 podem ser eliminadas pois são iguais a 1 e 2 Logo temos o sistema de 2 equações e 3 incógnitas com infinitas soluções SPI 𝛼 𝛾 0 1 𝛽 𝛾 0 2 𝛼 𝛾 𝛽 𝛾 Conclusão o conjunto A é ld Vamos apresentar exemplos no espaço vetorial 𝓕 cujos vetores são funções contínuas em ℝ EXEMPLOS EM 𝓕 Determinar se o conjunto de funções é li ou ld Exemplo1 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos x ℱ 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝜷𝐜𝐨𝐬 𝒙ሻ 𝕆 Elemento neutro do espaço vetorial das funções ℱ é a função nula 𝕆 𝒙 𝟎 para qualquer valor de 𝑥 ℝ a função nula resulta 0 sempre por exemplo 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 10 𝕆 10 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 10 𝕆 10 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 0 𝕆 0 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝜋 𝕆 𝜋 0 Portanto 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝜷𝐜𝐨𝐬 𝒙ሻ 𝕆𝒙ሻ 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝜷𝐜𝐨𝐬 𝒙ሻ 𝕆𝒙ሻ Para achar os valores de 𝛼 e 𝛽 devemos adotar 2 valores para x e obter um sistema de 2 equações diferentes Quando temos funções trigonométricas devemos adotar valores de x em radianos cujo seno e cosseno sejam conhecidos Por exemplo podemos adotar 𝑥 0 𝛼 𝑠𝑒𝑛 0 𝛽cos 0ሻ 𝕆0ሻ 𝛼 0 𝛽 1 0 𝛽 0 𝑥 𝜋 2 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝛽cos ቁ 𝜋 2ሻ 𝕆𝜋 2 𝛼 1 𝛽 0 0 𝛼 0 Conclusão o conjunto A é li EXEMPLOS EM 𝓕 Determinar se o conjunto de funções é li ou ld Exemplo2 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 ℱ Exemplo2 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 ℱ 𝜶 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝜷𝐱 𝕆𝒙 Adotando valores para 𝑥 𝑥 0 𝛼 𝑠𝑒𝑛 0 𝛽0ሻ 𝕆0ሻ 𝛼 0 𝛽 0 0 0 0 esta equação não serve 𝑥 𝜋 2 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝜋 2 𝛽𝜋 2 ቁ ሻ 𝕆𝜋 2 𝛼 𝜋 2 𝛽 0 𝑥 𝜋 𝛼 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝛽π 𝕆𝜋 𝛼 0 𝜋 𝛽 0 𝜋𝛽 0 Obtemos o sistema de equações 𝛼 𝜋 2 𝛽 0 𝜋𝛽 0 1 2 Da equação 2 temos 𝛽 0 Substituindo em 1 temos 𝛼 0 Conclusão o conjunto A é li Exemplo3 𝐴 cos 2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ℱ Exemplo3 𝐴 cos 2𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2𝑥 ℱ 𝜶 𝒄𝒐𝒔 2𝒙 𝜷𝒔𝒆𝒏2𝒙 𝜸𝒄𝒐𝒔2𝒙 ሻ 𝕆𝒙 Adotando valores para 𝑥 para encontrar 3 equações diferentes pois temos 3 incógnitas 𝑥 0 𝛼 𝑐𝑜𝑠 20ሻ 𝛽𝑠𝑒𝑛20ሻ 𝛾𝑐𝑜𝑠20ሻ 𝕆0ሻ 𝛼 𝛾 0 𝑥 𝜋 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2𝜋 𝛽𝑠𝑒𝑛2𝜋 𝛾𝑐𝑜𝑠2𝜋ሻ 𝕆𝜋 𝛼 𝛾 0 esta equação é igual à primeira logo não serve Adotar mais um valor para x 𝑥 𝜋 2 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝜋 2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝜋 2 𝛾 𝑐𝑜𝑠2 𝜋 2 𝕆𝜋 2ሻ 𝛼 𝛽 0 𝑥 𝜋 4 𝛼 𝑐𝑜𝑠 2 𝜋 4 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝜋 4 𝛾 𝑐𝑜𝑠2 𝜋 4 𝕆𝜋 4ሻ 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜋 2 𝛽 𝑠𝑒𝑛2 𝜋 4 𝛾 𝑐𝑜𝑠2 𝜋 4 𝕆 𝜋 4 𝛽 2 2 2 𝛾 2 2 2 0 2 2 2 𝛽 𝛾 0 𝛽 𝛾 0 Sistema de equações obtido 𝛼 𝛾 0 𝛼 𝛽 0 𝛽 𝛾 0 1 2 3 𝛾 𝛼 𝛽 𝛼 Substituindo em 3 𝛼 𝛼 0 0 0 Logo o sistema tem apenas 2 equações e 3 incógnitas com infinitas soluções SPI 𝛾 𝛼 𝛽 𝛼 Conclusão o conjunto A é ld 1 2 Exemplo4 𝐴 1 𝑥 𝑒𝑥 ℱ 𝜶 1 𝜷𝒙 𝜸𝒆𝒙 ሻ 𝕆𝒙 Adotando valores para 𝑥 para encontrar 3 equações diferentes pois temos 3 incógnitas 𝑥 0 𝛼 1 𝛽0 𝛾𝑒0 ሻ 𝕆0 𝛼 𝛾 0 𝑥 1 𝛼 1 𝛽1 𝛾𝑒1 ሻ 𝕆1 𝛼 𝛽 𝑒 𝛾 0 𝑥 1 𝛼 1 𝛽1 𝛾𝑒1 ሻ 𝕆1 𝛼 𝛽 𝑒1 𝛾 0 Sistema 𝛼 𝛾 0 𝛼 𝛽 𝑒 𝛾 0 𝛼 𝛽 𝑒1 𝛾 0 Resolvendo o sistema temos 𝛼 0 𝛽 0 𝛾 0 Conclusão o conjunto A é li 1 2 3 EXERCÍCIOS Resolver os exercícios da 10ª edição página 199 Exs 1 3 5 Ex 20 a b c d e f Resposta do ex 20 a d e f Bibliografia Livrotexto ANTON H RORRES C Álgebra linear com aplicações 10a ed reimp Porto Alegre Bookman 2012 710 p Minha Biblioteca Biblioteca Digital