Produto Interno em Espaços Vetoriais: Definições e Exemplos

ÁLGEBRA LINEAR Professora Silmara A S Vicente PRODUTO INTERNO p 335 do livrotexto PRODUTO INTERNO Foi visto em GA o produto escalar no ℝ3 Exemplo Se 𝑢 3 2 1 e Ԧ𝑣 1 2 5 então No livro o autor denomina Produto Interno Euclidiano do ℝ𝟑 𝑢 𝑥1 𝑦1 𝑧1 e Ԧ𝑣 𝑥2 𝑦2 𝑧2 𝑢 Ԧ𝑣 𝑥1𝑥2 𝑦1𝑦2 𝑧1𝑧2 𝑢 Ԧ𝑣 3 1 2 2 1 5 4 Esse Produto Escalar será chamado de Produto Interno Usual do ℝ𝟑 Introdução PRODUTO INTERNO O Produto Interno em um espaço vetorial 𝑉 sobre ℝ é uma função que associa cada par de vetores 𝒖 𝒗 𝑽 a um número real Definição de maneira que os seguintes axiomas são satisfeitos 𝑢 𝑣 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 Notação para produto interno 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Axiomas Sejam 𝑢 𝑣 𝑤 𝑉 e 𝛼 ℝ I 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 comutativa II 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 distributiva III 𝛼𝑢 𝑣 𝛼 𝑢 𝑣 associativa IV 𝑢 𝑢 0 e 𝑢 𝑢 0 𝑢 𝕆 elemento neutro Para que um produto seja interno é necessário que satisfaça os 4 axiomas Observações importantes Se 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 então o produto interno usual de 𝑢 por 𝑢 é dado por 𝑢 𝑢 𝑎2 𝑏2 𝑐2 Observe que esse produto jamais será negativo Por isso o axioma IV diz que 𝑢 𝑢 0 Observe ainda que 𝑢 𝑎2 𝑏2 𝑐2 𝑢 𝑢 extremamente útil principalmente quando tivermos produtos internos não usuais Valem ainda as fórmulas demonstradas em GA a 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 tal que θ é o ângulo formado pelos vetores Observe ൞ 𝑢 𝑣 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 cos 𝜃 0 𝜃 é â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 𝑢 𝑣 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝜃 é â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑟𝑒𝑡𝑜 𝑢 𝑣 0 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 𝜃 é â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜 b 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 𝑢 𝑣 𝑣2 𝑣 com 𝑣 não nulo c OBSERVAÇÃO NÃO VIMOS EM GA A distância entre dois vetores é definida por 𝑑 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Produto interno usual ou Euclidiano ou Canônico Dados os vetores 𝑢 1 1 2 e 𝑣 0 2 1 Usando o produto interno usual ache o ângulo entre esses vetores e classifique o ângulo EXEMPLO 1 Solução Produto interno usual ou Euclidiano ou Canônico Dados os vetores 𝑢 1 1 2 e 𝑣 0 2 1 Usando o produto interno usual ache o ângulo entre esses vetores e classifique o ângulo EXEMPLO 1 Solução Sabese que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 então 𝑢 𝑣 1 0 12 21 4 𝑢 𝑢 𝑢 1 1 11 22 6 𝑣 𝑣 𝑣 00 22 11 5 Logo 4 6 5 cos θ Portanto o ângulo é agudo cos θ 4 30 0 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 4 30 Produtos internos não usuais Dados os vetores 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 e 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 com produto interno definido por 𝑢 𝑣 2𝑎𝑑 𝑏𝑒 3𝑐𝑓 como se vê tratase de um produto não usual Usando esse produto calcule o ângulo entre os vetores EXEMPLO 2 𝑢 1 1 2 e 𝑣 0 2 1 Solução Logo 𝑢 1 1 2 e 𝑣 0 2 1 𝑢 𝑣 2𝑎𝑑 𝑏𝑒 3𝑐𝑓 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 Solução Sabese que 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 então 𝑢 𝑣 2 1 0 12 321 8 𝑢 𝑢 𝑢 1 1 2 1 1 2 2 1 1 11 322 15 𝑣 𝑣 𝑣 0 2 1 0 2 1 2 00 22 311 7 Logo 8 15 7 cos θ Portanto o ângulo é agudo cos θ 8 15 7 0 𝜃 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 8 157 𝑢 1 1 2 e 𝑣 0 2 1 𝑢 𝑣 2𝑎𝑑 𝑏𝑒 3𝑐𝑓 𝑢 𝑎 𝑏 𝑐 𝑣 𝑑 𝑒 𝑓 Produtos internos não usuais Em geral é necessário verificar se os produtos não usuais podem ser chamados de produtos internos Para isso vamos fazer a verificação dos 4 axiomas Um produto é interno se satisfaz os 4 axiomas EXEMPLO 3 Dados os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 verifique se o produto pode ser chamado de produto interno 𝑢 𝑣 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 Solução EXEMPLO 3 Dados os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 verifique se o produto pode ser chamado de produto interno 𝑢 𝑣 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 Precisamos verificar se esse produto satisfaz os 4 axiomas Caso qualquer um não seja satisfeito então o produto não é interno Solução Axiomas I 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 II 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 𝒖 𝒗 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 𝒗 𝒖 3𝑎𝑥 2𝑏𝑦 Vale o axioma 𝑢 𝑥 𝑦 𝑣 𝑎 𝑏 𝑤 𝑚 𝑛 𝒖 𝒗 𝒘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 𝑎 𝑚 𝑏 𝑛 3𝑥𝑎 𝑚 2𝑦𝑏 𝑛 𝒖 𝒗 𝒖 𝒘 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑥 𝑦 𝑚 𝑛 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 3𝑥𝑚 2𝑦𝑛 Vale o axioma 𝑢 𝑣 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 Axiomas III 𝛼𝑢 𝑣 𝛼 𝑢 𝑣 IV 𝑢 𝑢 0 e 𝑢 𝑢 0 𝑢 𝕆 elemento neutro Vale o axioma 𝜶𝒖 𝒗 𝛼 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝛼𝑥 𝛼𝑦 𝑎 𝑏 3 𝛼𝑥 𝑎 2 𝛼𝑦 𝑏 𝜶 𝒖 𝒗 𝛼 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝛼3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 𝒖 𝒖 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 3𝑥2 2𝑦2 Sempre 0 Vale a primeira parte do axioma A segunda parte do axioma se 𝑢 𝑢 0 verificar se 𝑢 𝕆 3𝑥2 2𝑦2 0 Então 𝑥 0 e 𝑦 0 Logo 𝑣 0 0 𝕆 Vale a segunda parte do axioma Conclusão os 4 axiomas são válidos indicando que o produto é PRODUTO INTERNO 𝑢 𝑥 𝑦 𝑣 𝑎 𝑏 𝑢 𝑣 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 EXEMPLO 4 Dados os vetores 𝑢 1 1 e 𝑣 11 e o produto interno do exercício anterior ache a 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 Solução 𝑢 𝑣 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 𝑢 𝑣 𝑣2 𝑣 EXEMPLO 4 Dados os vetores 𝑢 1 1 e 𝑣 11 e o produto interno do exercício anterior ache a 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 Solução 𝑢 𝑣 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 𝑢 𝑣 𝑣2 𝑣 𝑢 𝑣 3 1 1 2 1 1 1 𝑣 𝑣 𝑣 11 11 3 1 1 211 5 𝑣 2 5 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑣𝑢 1 5 𝑣 1 5 11 1 5 1 5 Calcule a distância entre os vetores 𝑢 1 1 e 𝑣 11 usando o produto interno do exercício anterior Solução 𝑢 𝑣 3𝑥𝑎 2𝑦𝑏 𝑢 𝑥 𝑦 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑑 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 Seja 𝑤 𝑢 𝑣 então 𝑑 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑤 𝑤 𝑤 0 2 0 2 3 0 0 222 8 𝑤 1 1 11 0 2 EXEMPLO 5 Dados os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 verifique se o produto pode ser chamado de produto interno 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 Solução EXEMPLO 6 I 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝒖 𝒗 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝒗 𝒖 𝑎𝑥 𝑏𝑦 𝑐𝑧 Vale o axioma II 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 𝑚 𝑛 𝑝 𝒖 𝒗 𝒘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑛 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑚 𝑏 𝑛 𝑐 𝑝 𝑥 𝑎 𝑚 𝑦 𝑏 𝑛 𝑧𝑐 𝑝 𝒖 𝒗 𝒖 𝒘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 𝑛 𝑝 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝑥𝑚 𝑦𝑛 𝑧𝑝 Vale o axioma 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 III 𝛼𝑢 𝑣 𝛼 𝑢 𝑣 IV 𝑢 𝑢 0 e 𝑢 𝑢 0 𝑢 𝕆 elemento neutro Vale o axioma 𝜶𝒖 𝒗 𝛼 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼𝑥 𝛼𝑦 𝛼𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼𝑥 𝑎 𝛼𝑦 𝑏 𝛼𝑧 𝑐 𝜶 𝒖 𝒗 𝛼 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝒖 𝒖 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 Não é possível afirmar que sempre 0 Axioma inválido Conclusão o produto NÃO É PRODUTO INTERNO 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 Dados os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 verifique se o produto pode ser chamado de produto interno 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑧𝑐 Solução EXEMPLO 7 I 𝑢 𝑣 𝑣 𝑢 𝒖 𝒗 𝑥𝑎 𝑧𝑐 𝒗 𝒖 𝑎𝑥 𝑐𝑧 Vale o axioma II 𝑢 𝑣 𝑤 𝑢 𝑣 𝑢 𝑤 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑤 𝑚 𝑛 𝑝 𝒖 𝒗 𝒘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑚 𝑛 𝑝 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑚 𝑏 𝑛 𝑐 𝑝 𝑥 𝑎 𝑚 𝑧𝑐 𝑝 𝒖 𝒗 𝒖 𝒘 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 𝑦 𝑧 𝑚 𝑛 𝑝 𝑥𝑎 𝑧𝑐 𝑥𝑚 𝑧𝑝 Vale o axioma 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑧𝑐 III 𝛼𝑢 𝑣 𝛼 𝑢 𝑣 IV 𝑢 𝑢 0 e 𝑢 𝑢 0 𝑢 𝕆 elemento neutro Vale o axioma 𝜶𝒖 𝒗 𝛼 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼𝑥 𝛼𝑦 𝛼𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼𝑥 𝑎 𝛼𝑧 𝑐 𝜶 𝒖 𝒗 𝛼 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑐 𝛼𝑥𝑎 𝑧𝑐 𝒖 𝒖 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑧2 sempre 0 Primeira parte do axioma é válida Conclusão o produto NÃO É PRODUTO INTERNO 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑧𝑐 A segunda parte do axioma se 𝑢 𝑢 0 verificar se 𝑢 𝕆 𝑥2 𝑧2 0 Então 𝑥 0 e 𝑧 0 Logo 𝑣 0 𝑦 0 para qualquer 𝑦 ℝ Segunda parte do axioma é inválida Dados os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e o produto interno 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝑤𝑑 1 Calcule 𝑢 𝑣 para os vetores EXEMPLO 8 a 𝑢 3 2 4 8 𝑣 1 3 1 1 b 𝑢 1 2 3 5 𝑣 4 6 0 8 Dados os vetores 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 e o produto interno 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝑤𝑑 1 Calcule 𝑢 𝑣 para os vetores EXEMPLO 8 a 𝑢 3 2 4 8 𝑣 1 3 1 1 𝒖 𝒗 3 1 2 3 4 1 8 1 3 6 4 8 3 b 𝑢 1 2 3 5 𝑣 4 6 0 8 𝒖 𝒗 1 4 2 6 3 0 5 8 4 12 0 40 56 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝑤𝑑 2 Calcule 𝑢 para 𝑢 3 2 4 8 3 Calcule distância entre os vetores 𝑢 𝑣 para 𝑢 3 2 4 8 𝑣 1 3 1 1 𝑑 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 4 5 3 7 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 e 𝑣 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑢 𝑣 𝑥𝑎 𝑦𝑏 𝑧𝑐 𝑤𝑑 𝑢 𝑢 𝑢 3 2 4 8 3 2 4 8 3 3 2 2 4 4 88 2 Calcule 𝑢 para 𝑢 3 2 4 8 9 4 16 64 93 3 Calcule distância entre os vetores 𝑢 𝑣 para 𝑢 3 2 4 8 𝑣 1 3 1 1 𝑑 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 4 5 3 7 4 5 3 7 4 5 3 7 4 4 5 5 3 3 77 16 25 9 49 99 Dados os vetores 𝑝 𝑎0 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥2 e 𝑞 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑏2𝑥2e o produto interno 𝑝 𝑞 𝑎0𝑏0 𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 1 Calcule 𝑝 𝑞 para os vetores EXEMPLO 9 a 𝑝 2 𝑥 3𝑥2 𝑞 4 7𝑥2 b 𝑝 5 2𝑥 𝑥2 𝑞 3 2𝑥 4𝑥2 Dados os vetores 𝑝 𝑎0 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥2 e 𝑞 𝑏0 𝑏1𝑥 𝑏2𝑥2e o produto interno 𝑝 𝑞 𝑎0𝑏0 𝑎1𝑏1 𝑎2𝑏2 1 Calcule 𝑝 𝑞 para os vetores EXEMPLO 9 a 𝑝 2 𝑥 3𝑥2 𝑞 4 7𝑥2 𝒑 𝒒 2 4 1 0 3 7 8 0 21 29 b 𝑝 5 2𝑥 𝑥2 𝑞 3 2𝑥 4𝑥2 𝒑 𝒒 5 3 2 2 1 4 15 4 4 15 2 Calcule 𝑝 para 𝑝 2 𝑥 3𝑥2 4 1 9 14 3 Calcule distância entre os vetores 𝑝 𝑞 para 𝑝 2 𝑥 3𝑥2 𝑞 4 7𝑥2 𝑑 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 6 𝑥 10𝑥2 𝑝 𝑝 𝑝 2 𝑥 3𝑥2 2 𝑥 3𝑥2 2 2 1 1 3 3 2 Calcule 𝑝 para 𝑝 2 𝑥 3𝑥2 4 1 9 14 3 Calcule distância entre os vetores 𝑝 𝑞 para 𝑝 2 𝑥 3𝑥2 𝑞 4 7𝑥2 𝑑 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 6 𝑥 10𝑥2 6 𝑥 10𝑥2 6 𝑥 10𝑥2 6 6 1 1 10 10 36 1 100 137 Em cada item use o produto interno definido por 𝑝 𝑞 න 1 1 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 para os vetores 𝑝 𝑝𝑥 e 𝑞 𝑞𝑥 em ℙ3 EXEMPLO 10 1 Calcule 𝑝 𝑞 para os vetores 𝑝 𝑥 5𝑥3 𝑞 2 8𝑥2 Em cada item use o produto interno definido por 𝑝 𝑞 න 1 1 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 para os vetores 𝑝 𝑝𝑥 e 𝑞 𝑞𝑥 em ℙ3 EXEMPLO 10 𝒑 𝒒 𝒑 𝒒 න 1 1 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 න 1 1 𝑥 5𝑥3 2 8𝑥2 𝑑𝑥 1 Calcule 𝑝 𝑞 para os vetores 𝑝 𝑥 5𝑥3 𝑞 2 8𝑥2 න 1 1 2𝑥 8𝑥3 10𝑥3 40𝑥5𝑑𝑥 න 1 1 2𝑥 2𝑥3 40𝑥5𝑑𝑥 อ 2 𝑥2 2 2 𝑥4 4 40 𝑥6 6 1 1 1 1 1 2 1 1 20 3 1 1 𝟎 𝑝 𝑝 𝑝 න 1 1 𝑝 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 2 Calcule 𝑝 para 𝑝𝑥 𝑥2 𝑝 𝑞 න 1 1 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 𝑝 𝑝 𝑝 න 1 1 𝑝 𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 2 Calcule 𝑝 para 𝑝𝑥 𝑥2 න 1 1 𝑥2 𝑥2𝑑𝑥 න 1 1 𝑥4𝑑𝑥 ቤ 𝑥5 5 1 1 1 5 1 5 𝟐 𝟓 𝑝 𝑞 න 1 1 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 Suponha que ℝ3 tem o produto interno euclidiano Para que valores de 𝑘 os vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais EXEMPLO 11 𝑢 213 𝑣 17 𝑘 Para que os vetores sejam ortogonais sabemos que 𝑐𝑜𝑠𝜃 0 pois 𝜃 90𝑜 Solução 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 cos 𝜃 𝑢 𝑣 0 213 17 𝑘 0 2 1 1 7 3𝑘 0 Logo 𝑘 3 Em ℱ espaço vetorial das funções contínuas com produto interno definido por 𝑓 𝑔 න 0 1 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 Calcule 𝑎 𝑓 𝑔 𝑏 𝑔 sendo 𝑓 𝑡 𝑡3 e 𝑔 𝑡 𝑡 1 EXEMPLO 12 𝑎 𝒇 𝒈 න 0 1 𝑓 𝑡 𝑔 𝑡 𝑑𝑡 න 0 1 𝑡4 𝑡3𝑑𝑡 න 0 1 𝑡3𝑡 1𝑑𝑡 1 20 𝑏 𝒈 𝑔 𝑔 න 0 1 𝑔 𝑡 𝑔𝑡𝑑𝑡 න 0 1 𝑡 12𝑑𝑡 න 0 1 𝑡2 2𝑡 1𝑑𝑡 1 3 Referência bibliográfica Anton H Rorres C ÁLGEBRA LINEAR COM APLICAÇÕES 10ª Ed 2012 Porto Alegre