Otimização da Produção e Transporte Modelos de Programação Linear no Excel

Figura 516 Parâmetros e opções da ferramenta do Solver do caso de escala de produção Figura 517 Resultados da otimização do caso de escala de produção EXERCÍCIOS 51 1 A Miss Daisy Ltda é um laboratório de manipulação que presta serviços de entrega para idosos A empresa possui duas filiais e fornece o serviço a seis bairros diferentes Tendo em vista que atualmente a demanda é superior à capacidade de entrega da companhia ela gostaria de saber a quais clientes atender em cada filial de maneira a minimizar o custo de entrega As capacidades das filiais as demandas dos bairros e os custos unitários de entrega são mostrados na tabela a seguir Ipanema Copacabana Centro Barra Leblon Tijuca Capacidade Filial 700 900 100 1200 700 400 2500 Centro Filial 400 500 1200 100 300 800 2000 Barra Demanda 1400 1560 400 150 870 620 EXERCÍCIOS 51 Modele esse problema como um de transporte na forma tradicional e na forma de rede sem variáveis dummy Resolvao pelo Excel 2 A MariaBenz produz automóveis de passeio para o mercado local e de exportação para diversos países O primeiro estágio do processo de produção é fazer a fabricação dos monoblocos que em seguida são disponibilizados para a linha de produção para que as outras peças sejam montadas A empresa deseja programar a produção dos monoblocos para os próximos três meses As demandas estimadas a capacidade de produção e o custo unitário de produção para cada um dos meses em questão são apresentados na tabela a seguir Devido à existência de variações na capacidade de produção e no custo de fabricação entre os meses a empresa pode produzir alguns monoblocos um mês ou mais antes do programado A desvantagem é que tais monoblocos devem ser armazenados até o mês em que serão consumidos a um custo de armazenamento unitário de R 20000mês Assim o gerente de produção quer saber quantos monoblocos deve produzir em cada mês de forma a atender à demanda ao menor custo possível de produção e armazenamento Modele essa questão como um problema de transporte e resolvaa com a ajuda do Excel Mês Demanda prevista Produção máxima Custo unitário de produção 1 1000 2500 3000 2 2000 2500 3000 3 3000 2000 3200 3 Uma grande empresa industrial chegou à conclusão de que deve fabricar três novos produtos Atualmente existem cinco filiais com capacidade de produção excedente O custo unitário de fabricação do primeiro produto seria de R 9000 R 8200 R 9200 R 8400 e R 8600 nas fábricas 1 2 3 4 e 5 respectivamente O custo unitário de fabricação do segundo produto seria de R 6200 R 5800 R 6400 R 5600 e R 5800 nas fábricas 1 2 3 4 e 5 respectivamente O custo unitário de fabricação do terceiro produto seria de R 7600 R 7000 e R 8000 nas fábricas 1 2 e 3 respectivamente sendo que as fábricas 4 e 5 não estão equipadas para produzir esse produto As previsões de vendas indicam que deveriam ser produzidas por dia 5000 3000 e 4000 unidades dos produtos 1 2 e 3 respectivamente As fábricas 1 2 3 4 e 5 têm a capacidade de produzir 2000 3000 2000 3000 e 5000 unidades diárias respectivamente independentemente do produto ou combinação de produtos envolvidos A gerência deseja saber como alocar os novos produtos às fábricas de modo a minimizar o custo total de fabricação Formule esse problema como um de transporte construindo a tabela de custos e requisições apropriada resolvao utilizando o Excel e interprete o resultado 4 A organização nãogovernamental Criança Renascer está organizando a festa dos aniversariantes do mês Para isso ela começa a pesquisar o preço de doces e salgados em cinco diferentes bufês do Rio de Janeiro Como a festa será realizada com o dinheiro de doações ela deseja ter os menores custos possíveis Dada a tabela a seguir que relaciona os custos de cada item por empresa bem como as quantidades requeridas para a festa demanda e as capacidades de produção de cada empresa determine quantos doces e salgados a organização deve encomendar a cada empresa resolva com o auxílio do Excel Feira de Santana Milagres Itabuna Maiquiqu e Usina 1 R 800 R 600 R 1000 R 900 Usina 2 R 900 R 1200 R 1300 R 700 Usina 3 R 1400 R 900 R 1600 R 500 Formule o problema como um de transporte e resolvao utilizando o Excel Interprete o significado das variáveis e os resultados obtidos 6 A Pitaf Motores fornece motores para um grande número de equipes de Fórmula 2 A companhia detém uma série de contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano As entregas deverão ocorrer trimestralmente de acordo com as necessidades das equipes A tabela a seguir resume as entregas programadas bem como a capacidade máxima de produção o custo de produção por trimestre variável durante o ano devido a férias feriados etc e o custo de armazenamento que se fizer necessário as equipes não possuem armazéns para receber os motores com antecedência A Pitaf deseja ter no final do ano um estoque de dois motores Trimestre Pedidos contratados Capacidade de produção Custo unitário Custo de armazenamento por trimestre 1 10 25 108 2 30 15 111 0015 3 20 40 110 0025 4 20 10 113 0015 Custos em milhões de reais Modele esse problema como um de transporte na forma tradicional e como um problema de rede e ache o número de motores que devem ser fabricados em cada trimestre para atender aos pedidos contratados resolva com a ajuda do Excel 7 Uma vinícola do sul de Santa Catarina possui três fábricas e três armazéns nos quais os vinhos são envelhecidos Como as fábricas e os armazéns ficam em diferentes locais do estado a empresa deseja saber quantos tonéis de vinho deve enviar de cada fábrica para cada armazém de forma a minimizar o seu custo de transporte As capacidades das fábricas e dos armazéns em número de tonéis bem como os custos de transporte por tonel estão explicitados na tabela a seguir Resolva esse problema como um de transporte na forma tradicional com o auxílio do Excel Armazéns Capacidade A1 A2 A3 das fábricas Fábricas F1 20 16 24 300 F2 10 10 8 500 F3 12 18 10 200 Capacidade dos armazéns 200 400 300 8 A tabela que se segue indica o tempo em horas que cada uma das quatro máquinas da empresa Super Machine SA gasta para realizar cada uma das cinco tarefas relacionadas Sabendo que cada máquina pode realizar somente uma tarefa a Super Machine SA deseja designar tarefas às máquinas visando a minimizar o tempo total gasto a Modele esse problema como um de transporte e resolvao com o auxílio do Excel b Determine um modelo que represente o mesmo problema porém levando em consideração que cada máquina pode realizar até duas tarefas Resolvao com a ajuda do Excel Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 Máquina 1 14 5 8 7 9 Máquina 2 2 12 6 5 7 Máquina 3 7 8 3 9 7 Máquina 4 2 4 6 10 6 9 A Comes e Bebes Buffets foi contratada pela organização de um congresso de pesquisa operacional para prover certa quantidade de guardanapos por dia durante os sete dias do congresso Como a quantidade de guardanapos é grande o custo de transporte para levar os guardanapos do Rio de Janeiro sede da empresa para Salvador local do congresso é inviável Dessa forma todos os guardanapos utilizados durante o congresso serão comprados em Salvador e doados a uma instituição de caridade no final A demanda diária de guardanapos é dada na tabela a seguir Dia 1 2 3 4 5 6 7 Demanda 2400 1200 1400 2000 1800 1400 2200 O gerente operacional da Comes e Bebes Buffets descobriu que existem serviços de lavanderia expressos e tradicionais em Salvador O serviço expresso cobra R 060 por guardanapo lavado recolhendoos ao final do dia e entregandoos no início do próximo dia O serviço tradicional recolhe os guardanapos ao final de um dia e retornaos após três dias a tempo de serem utilizados no congresso cobrando por isso R 030 Paralelamente existem lojas especializadas que vendem guardanapos em Salvador a R 120 Modele esse problema como um de transporte e resolvao com o auxílio do Excel 10 O gerente de compras da Faculdade Diploma quer realizar o máximo de reformas possíveis nas instalações da faculdade conforme seu orçamento limitado Para isso contata quatro empresas e pedelhes que apresentem propostas para cada uma das reformas que gostaria que fossem executadas A tabela abaixo apresenta as propostas das empresas para cada uma das reformas em milhões de reais EmpresaReforma 1 2 3 4 5 6 7 1 10 211 25 264 171 20 213 2 20 17 135 14 25 253 223 3 14 40 20 13 12 15 25 4 17 20 15 20 20 22 19 53 Rede de distribuição Problemas que consideram múltiplas fontes centros consumidores e locais intermediários por onde os produtos simplesmente passam são denominados problemas de rede de distribuição Os problemas de transporte podem ser considerados uma simplificação do problema de rede de distribuição de custo mínimo em que as localizações intermediárias não existem O exemplo a seguir ilustra um típico caso de problema de rede de distribuição Caso LCL Carros Brasil Ltda A montadora de veículos LCL Carros Brasil Ltda está iniciando suas operações no país com duas fábricas uma na Bahia e outra em São Paulo A LCL está estudando uma forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas localizadas nos estados de Goiás Rio de Janeiro Minas Gerais Paraná Santa Catarina e Rio Grande do Sul de modo a minimizar o custo total de distribuição Figura 518 As capacidades instaladas de cada uma das fábricas as demandas das revendas bem como os custos unitários de transporte entre fábricas e revendas são mostrados no diagrama da Figura 519 Em uma primeira e rápida análise concluímos facilmente que as variáveis de decisão do modelo serão as quantidades de veículos enviadas de cada fábrica a cada distribuidor e a funçãoobjetivo será a minimização do custo total de transporte No entanto o problema apresenta dois detalhes especiais o número de carros demandados é maior do que a capacidade de produção da empresa e alguns distribuidores de Minas Gerais e de Santa Catarina também podem enviar carros que receberam das fábricas para outros distribuidores possivelmente suas filiais Existem duas maneiras básicas de resolver esse tipo de problema A primeira consiste em inserir uma unidade dummy que iguale a oferta e a demanda totais Se a oferta for maior que a demanda a variável dummy será colocada como uma unidade de demanda ligada às unidades de oferta De forma inversa se a demanda for maior que a oferta a variável dummy representará um novo ponto de oferta para atender à demanda excedente Em ambos os casos todas as restrições serão consideradas igualdades A segunda forma de resolver problemas de distribuição é seguir a regra do fluxo balanceado para cada nó unidade da rede Por essa regra não há necessidade da inserção de variáveis do tipo dummy o desequilíbrio entre a oferta total e a demanda total é tratado por meio de restrições de maior ou igual ou de menor ou igual A Tabela 510 resume a forma de aplicação da regra do fluxo balanceado Variáveis de decisão xi quantidade de carros fabricados na fábrica i 1 Rio de Janeiro 2 São Paulo 3 Vitória 4 Uberaba Item a A fábrica 1 produzirá 400 automóveis a fábrica 2 produzirá 200 automóveis e a fábrica 3 produzirá 400 automóveis A fábrica 4 não produzirá nenhum automóvel O custo total de produção será de R 11600 mil ou R 1160000000 Item b O custo de produção de um automóvel é de R 30 mil Este valor é o mesmo para produzir um a mais ou um a menos relatório de sensibilidade preçosombra da restrição de número de carros Item c A solução ótima não mudaria se o custo de produção na fábrica 2 passasse de R 1000000 para R 800000 O custo total teria uma redução total de 200 x 2000 R 40000000 relatório de sensibilidade custo reduzido do coeficiente de variável x2 Item d Sobram 300 horas de mãodeobra Logo não existe disposição de adquirir horaextra ou seja não estamos dispostos a pagar nada por uma hora extra de mãodeobra relatório de análise de sensibilidade preçosombra da restrição de mãodeobra Item e O acordo trabalhista está custando R 400000 por automóvel Se o limite passasse para 200 automóveis reduzisse 200 automóveis a economia total seria de 200 x 4 R 80000000 Nada poderia ser dito se o limite fosse para 600 automóveis pois o aumento de 200 unidades provocaria uma alteração no preçosombra não é suportado pelo relatório Fazendo a alteração e rodando de novo o Solver chegaríamos a uma solução inviável Item f Como uma unidade a mais de matériaprima pode reduzir o custo em R 500000 esse é o valor máximo que a empresa está disposta a pagar por essa hora O relatório de sensibilidade indica que apenas 300 horas devem ser adquiridas por esse valor Item g Qualquer que seja o custo de produção continuará sendo necessário fabricar 400 carros na fábrica 1 pois é a que oferece melhor aproveitamento de mãodeobra e de matériaprima 5 Variáveis de decisão xi qtde de caixas de cerveja do tipo i 1 Antartida 600 ml 2 Antartida 350 ml 3 Boemia Regressa 4 Mudwieser 5 Malebier 6 Bama Chopp 7 Labati 8 Desce Redondo Item a Solução ótima x1 86250 x2 52500 x3 4500 x4 750 x5 1500 x6 750 x7 3000 x8 750 Z 333900 Item b Solução ótima x1 86300 x2 52500 x3 4500 x4 750 x5 1500 x6 750 x7 3000 x8 750 Z 334026 EXERCÍCIOS 51 1 Variáveis de decisão xij qtde de entregas da filial i para o bairro j 1 Filial Centro 2 Filial Barra 1 Ipanema 2 Copacabana 3 Centro 4 Barra 5 Leblon 6 Tijuca Solução ótima Z 21060 tabela com entregas Centro Barra e Não atendida para bairros Ipanema Copacabana Centro Barra Leblon Tijuca ou uma solução ótima alternativa tabela Ipanema Copacabana Centro Barra Leblon Tijuca para Centro Barra Não atendida 2 Variáveis de decisão xij quantidade de produtos fabricados no mês i e entregues no mês j Solução ótima Z 18700000 tabela Variáveis xij Entrega no mês Produzido no mês 1 2 3 1 1000 500 0 2 1500 1000 3 2000 ou uma solução ótima alternativa tabela Variáveis xij Entrega no mês Produzido no mês 1 2 3 1 1000 0 500 2 2000 500 3 2000 3 Variáveis de decisão xij quantidade fabricada na fábrica i do produto j Solução ótima Z 884000 tabela Variáveis Produto 1 Produto 2 Produto 3 Fábrica 1 0 0 1000 Fábrica 2 0 0 3000 Fábrica 3 0 0 0 Fábrica 4 3000 0 Fábrica 5 2000 3000 ou uma solução ótima alternativa tabela Variáveis Produto 1 Produto 2 Produto 3 Fábrica 1 0 0 1000 Fábrica 2 0 0 3000 Fábrica 3 0 0 0 Fábrica 4 3000 0 Fábrica 5 2000 3000 4 Variáveis de decisão xij quantidade produzida pela empresa i do produto j Solução ótima Z 130950 tabela Variáveis Produto 1 Produto 2 Produto 3 Fábrica 1 0 0 1000 Fábrica 2 0 0 3000 Fábrica 3 0 0 0 Fábrica 4 3000 0 Fábrica 5 2000 3000 Variáveis Ouriço 1 Cajuzinho 2 Brigadeiro 3 Bolinha de queijo 4 Rissole 5 Croquete 6 Coxinha de galinha 7 Empresa 1 0 0 0 0 0 0 0 Empresa 2 0 0 0 0 0 0 0 Empresa 3 0 0 0 5000 500 3500 6000 Empresa 4 5000 4000 7000 0 3500 0 0 Empresa 5 0 0 0 0 0 0 0 5 Variáveis de decisão xij qtde de energia da produzida pela usina i e entregue na cidade j Solução ótima Z 1020 tabela Variáveis F Santana 1 Milagres 2 Itabuna 3 Maiquinique 4 Usina 1 0 10 25 0 Usina 2 45 0 5 0 Usina 3 0 10 0 30 6 Variáveis de decisão xij quantidade produzida no trimestre i entregue no trimestre j Solução ótima Z 90435 tabela Variáveis Entrega no trimestre Produzido no trim 1 2 3 4 1 10 15 0 0 2 15 0 0 3 20 20 4 2 7 Variáveis de decisão xij qtde produzida pela fábrica i entregue no armazém j Solução ótima Z 10000 tabela Variáveis Armazéns Fábricas 1 2 3 1 0 200 0 2 200 200 100 3 0 0 200 ou uma solução ótima alternativa Armazéns 1 2 3 1 0 200 0 2 0 200 300 3 200 0 0 8 Variáveis de decisão Xij se a máquina i fará a tarefa j xij 0 não faz xij 1 faz Item a Solução ótima Z 15 Trimestre fábrica armazém Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 Máquina 1 0 1 0 0 0 Máquina 2 0 0 0 1 0 Máquina 3 0 0 1 0 0 Máquina 4 1 0 0 0 0 Item b Solução ótima Z 20 Trimestre fábrica armazém Tarefa 1 Tarefa 2 Tarefa 3 Tarefa 4 Tarefa 5 Máquina 1 0 0 0 0 0 Máquina 2 0 0 0 1 0 Máquina 3 0 0 1 0 0 Máquina 4 1 1 0 0 1 9 Variáveis de decisão Xij quantidade de toalhas compradas ou utilizadas em i e utilizadas em j i j Solução ótima Z 8400 Variáveis Utilização no dia 1 2 3 4 5 6 7 Compradas 2400 1000 0 0 0 0 0 Utilizada no dia 1 200 200 2000 0 0 0 Utilizada no dia 2 1200 0 0 0 0 Utilizada no dia 3 0 1400 0 Utilizada no dia 4 1800 0 200 Utilizada no dia 5 0 1800 Utilizada no dia 6 200 10 Variáveis de decisão Xij se a empresa i fará o projeto j xij 0 não faz o projeto e xij 1 faz o projeto Solução ótima Z 5917 Funçãoobjetivo Z 1000 i1 a 4 j1 a 7 xij i1 a 4 j1 a 7 cij xij Var xij Proj 1 Proj 2 Proj 3 Proj 4 Proj 5 Proj 6 Proj 7 Empresa 1 1 0 0 0 0 0 0 Empresa 2 0 1 0 1 0 0 0 Empresa 3 0 0 0 0 1 1 0 Empresa 4 0 0 1 0 0 0 0 Observação a constante 1000 no primeiro termo da funçãoobjetivo tem a finalidade de dar preferência ao primeiro termo da equação isto é o número de projetos a serem executados sem desconsiderar o gasto total neles representado pelo segundo termo EXERCÍCIOS 52 1 Solução ótima Z 2450 Trecho utilizado Chapecó Lages Caxias do Sul Porto Alegre 2 Solução ótima Z 2150 Qtde remetida De Para Nó Cidade Nó Cidade 400 1 Chapecó 2 Joaçaba 950 1 Chapecó 3 Lages 800 1 Chapecó 4 Joinville 0 2 Joaçaba 5 Caxias do Sul 400 2 Joaçaba 6 Florianópolis 400 3 Lages 5 Caxias do Sul 550 3 Lages 6 Florianópolis 350 4 Joinville 6 Florianópolis 450 4 Joinville 7 Sombrio 400 5 Caxias do Sul 8 Porto Alegre 0 6 Florianópolis 5 Caxias do Sul 0 6 Florianópolis 7 Sombrio 1300 6 Florianópolis 8 Porto Alegre 450 7 Sombrio 8 Porto Alegre 2150 8 Porto Alegre 1 Chapecó Observação Existem soluções ótimas múltiplas