Notas sobre Análise de Estruturas Isostáticas

Universidade Salgado de Oliveira Curso de Engenharia Civil Disciplina Análise das Estruturas Prof MScEngº Alexandre Calheiros Niterói RJ 2022 Módulo I Revisão de Estruturas Isostáticas MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 2 Estabilidade A configuração de equilíbrio do arranjo estrutural não pode ser alterado drasticamente na presença das imperfeições e das ações perturbadoras MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS 3 Rigidez As peças estruturais devem ser capazes de absorver as ações externas sem apresentar grandes deslocamentos que comprometam sua funcionalidade MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS Rigidiez MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS Rigidiez Graus de Liberdade NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 6 Um corpo rígido livre em um espaço é suscetível de sofrer deslocamentos ou seja descrever determinada trajetória no espaço Qualquer condição que limita a possibilidade de que o corpo se desloque em certa forma denominase vínculo Uma condição que deixa estabelecida uma possibilidade de deslocamento do corpo rígido é denominada grau de liberdade Um corpo rígido no espaço tem seis graus de liberdade correspondentes a três translações segundo três direções ortogonais e três rotações em torno dos três mesmos eixos No plano um corpo rígido tem três graus de liberdade correspondentes às duas translações segundo duas direções ortogonais e a uma rotação em torno da direção perpendicular ao plano Apoios NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 7 Os apoios são sistemas que realizam as ligações do corpo rígido com o exterior restringindo graus de liberdade translações e rotações e dando origem às reações nas direções dos movimentos impedidos Tipos de apoios Os apoios são classificados em função do número de movimentos que impedem podendo ser 3 tipos diferentes no caso plano 6 tipos diferentes no caso espacial Caso Plano NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 8 Apoio simples Apoio do 1º gênero ou charriot Apoio duplo Apoio do 2º gênero Articulação ou Rótula Apoio do 3º gênero Engaste Apoios NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 9 1 Apoio simples Apoio do 1º gênero ou charriot Apoio Móvel impede apenas um movimento normalmente de translação Símbolo x y R Apoios NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 10 2 Apoio duplo Apoio do 2º gênero articulação ou rótula Apoio Fixo impede dois movimentos permite apenas o de rotação x y V Símbolo H Apoios NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 11 3 Apoio do 3º gênero engaste Apoio Fixo impede os três movimentos os dois de translação e o de rotação x y V H M Símbolo Estaticidade e Estabilidade A função dos apoios é limitar os graus de liberdade de uma estrutura Três casos podem ocorrer NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 12 1 Os apoios são em número estritamente necessário para impedir todos os movimentos possíveis de uma estrutura Neste caso o número de reações de apoio a determinar é igual ao número de equações de equilíbrio disponíveis número de incógnitas número de equações A ESTRUTURA É ISOSTÁTICA EQUILÍBRIO ESTÁVEL Estaticidade e Estabilidade NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 13 2 Os apoios são em número inferior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis de uma estrutura Neste caso o número de reações de apoio a determinar é menor que o número de equações de equilíbrio disponíveis número de incógnitas número de equações A ESTRUTURA É HIPOSTÁTICA EQUILÍBRIO INSTÁVEL SÃO ESTRUTURAS INADMISSÍVEIS PARA AS CONSTRUÇÕES Estaticidade e Estabilidade NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 14 3 Os apoios são em número superior ao necessário para impedir todos os movimentos possíveis de uma estrutura Neste caso o número de reações de apoio a determinar é maior que o número de equações de equilíbrio disponíveis número de incógnitas número de equações A ESTRUTURA É HIPERESTÁTICA EQUILÍBRIO ESTÁVEL MAIS QUE ESTÁVEL Serão estudadas em Teoria das estruturas II OBSERVAÇÕES NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 15 A partir do exposto podemos ser tentados a estabelecer o seguinte critério para classificar uma estrutura contar o número de apoios e ver se é igual menor ou maior que o número de graus de liberdade da estrutura Este critério é perfeito no caso das estruturas hipostáticas mas no caso das estruturas isostáticas e hiperestáticas fornece apenas uma condição necessária mas não suficiente 1 A estrutura abaixo possui três graus de liberdade um apoio do 2º gênero e um apoio do 1º gênero dando um total de três reações de apoio a determinar Isto sugeriria que a estrutura fosse isostática fato que não ocorre pois a rotação do sistema não está impedida e a estrutura é então HIPOSTÁTICA aparentemente ISOSTÁTICA y x A B OBSERVAÇÕES NOÇÕES DE ESTATICIDADE E ESTABILIDADE 16 2 Analogamente a estrutura plana abaixo é aparentemente HIPERESTÁTICA pois possui três graus de liberdade para 5 reações de apoio a determinar Entretanto é fácil observar que nenhum dos apoios impede a translação na direção ABCDE com isto a estrutura é HIPOSTÁTICA aparentemente HIPERESTÁTICA y x A B C D E 3 Portanto para classificar uma estrutura sem vínculos internos como externamente isostática ou hiperestática não basta comparar o número de reações de apoio com o número de graus de liberdade da estrutura é necessário certificar que os apoios restrinjam de fato todos os graus de liberdade da estrutura em questão FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS 17 As estruturas funcionam como caminho das forças para leválas ao solo As forças que atuam nas edificações precisam ser muito bem conhecidas intensidade direção e sentido para que a concepção estrutural seja coerente com o caminho que essas forças devem percorrer até o solo e para que os elementos estruturais sejam adequadamente dimensionados CARGAS PERMANENTES TODA A VIDA ÚTIL CARGAS ACIDENTAIS EVENTUALMENTE FORÇAS QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS 18 Cargas Permanentes determinadas com boa exatidão Peso próprio da estrutura Peso dos revestimentos Peso das paredes Cargas Acidentais estimadas por Normas Técnicas Peso da ocupação de pessoas Peso dos mobiliários equipamentos Peso de veículos Força do vento AÇÕES QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS 19 Carregamentos distribuídos Considere um trecho retilíneo de um elemento estrutural qualquer submetido a um carregamento distribuído conforme a lei de variação definida através da função qx qx A x d D Nas equações de equilíbrio o carregamento acima deve contribuir no equilíbrio das forças e no equilíbrio dos momentos AÇÕES QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS 20 Carregamentos distribuídos Para o estabelecimento dessas contribuições devese entender o carregamento distribuído como uma combinação de infinitos carregamentos concentrados infinitesimais equivalentes aos carregamentos distribuídos ao longo das infinitas subdivisões infinitesimais de comprimento dx ao longo do trecho de carregamento qx x d D dx dFqxdx A AÇÕES QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS 21 Carregamentos distribuídos A força resultante equivalente ao carregamento distribuído é dada por que geometricamente pode ser interpretada como a área da figura representativa do carregamento distribuído O momento equivalente gerado pelo carregamento distribuído em relação ao ponto A é dado por AÇÕES QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS 22 Carregamentos distribuídos qx x d D dx dFqxdx A AÇÕES QUE ATUAM NAS ESTRUTURAS 23 Carregamentos distribuídos O momento equivalente pode ser interpretado como o momento estático de área da figura representativa do carregamento distribuído Quando se tem um carregamento distribuído cuja figura representativa possui o valor da área e a posição do centróide facilmente conhecidos podese construir o sistema equivalente antes da aplicação das equações de equilíbrio D D3 Dq2 q TIPOS DE SOLICITAÇÕES tração compressão cisalhamento flexão torção TIPOS DE SOLICITAÇÕES 25 a Tração b Compressão c Flexão d Torção e Compressão esbeltez f Cisalhamento Esquema Estrutural Modelo Matemático MODELAGEM DE APOIOS E VÍNCULOS 27 Tipos de apoios mais encontrados em problemas bidimensionais Estruturas Planas DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 28 Os vínculos entre os elementos estruturais e entre a estrutura e o solo restringem os movimentos da estrutura no plano As relações entre o número de vínculos e o número de elementos em um arranjo estrutural devem satisfazer certas condições para que a estrutura tenha sua posição determinada no plano O estudo destas relações baseado nas funções geométricas dos componentes da estrutura denominase determinação geométrica Barras vinculares equivalentes DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 29 Treliças São estruturas reticuladas cujas barras estão ligadas entre si nas suas extremidades por nós e com o exterior por apoios DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 30 Nós Apoios Barras Treliças Substituindo os apoios por barras vinculares equivalentes a estrutura fica constituída apenas por barras e nós DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 31 Treliças Um ponto no plano pode ter até dois graus de liberdade Um nó no plano é equivalente a um ponto no plano Duas barras vinculares portanto são suficientes para fixar um nó no plano DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 32 Treliças DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 33 Treliças DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 34 Sendo b o número de barras incluindo as barras vinculares equivalentes e n o número de nós de uma treliça plana a condição necessária para que a estrutura tenha a sua posição determinada é b 2 n Treliças Classificação quanto à sua determinação geométrica DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 35 b 2 n Treliça indeterminada móvel b 2 n Treliça determinada b 2 n Treliça superdeterminada Barras vinculares equivalentes DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 36 Treliças Classificação quanto à sua determinação geométrica DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 37 b 2 n Treliça hipostática móvel b 2 n Treliça isostática b 2 n Treliça hiperestática DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 38 ISOSTÁTICA DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 39 ISOSTÁTICA DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 40 HIPOSTÁTICA móvel DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS 41 HIPERESTÁTICA DETERMINAÇÃO ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS PLANAS 42 A correta aplicação das equações e equilíbrio necessita da completa especificação de todas as forças externas atuantes sobre a estrutura Diagrama de corpo livre é a representação esquemática do corpo com as forças atuantes substituindose os vínculos por forças que correspondem às reações de apoio Se faz necessário estabelecer uma convenção de sinais para a direção e sentido das forças bem como sentido de giro em relação a um pólo em qualquer ponto da estrutura Inicialmente admitese um sentido para as reações e após aplicado as equações de equilíbrio caso resulte negativo basta inverter o sentido Sabemos que um corpo está em equilíbrio quando a resultante de todas as forças que nele atuam é nula Com isso a força resultante F e o momento resultante M devem se anular resultando considerando as três dimensões no espaço nas seguintes equações de equilíbrio Fx0 Fy0 Fz0 Mx0 My0 Mz0 Particularizando para o caso de estruturas planas com carregamento plano Fx0 Fy0 Mz0 Exemplo 1 Viga biapoiada com carga concentrada Exemplo 2 Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída Exemplo 3 Viga biapoiada com carga parcialmente distribuída CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO Exemplo 4 Viga biapoiada com carga triangularmente distribuída 6kNm 6m ΣMA 0 6xR VB 4x2 18 0 R VB 12kN ΣMB 0 6xR VA 2x18 0 R VA 6kN Diagrama de corpo livre CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO Exemplo 5 Viga biapoiada com carga momento concentrada 30kNm ΣMA 0 6xR VB 30 0 R VB 5kN ΣMB 0 6xR VA 30 0 R VA 5kN Diagrama de corpo livre CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO Exemplo 6 Viga engastada ou em balanço com carga concentrada ΣY 0 R VA 20 0 R VA 20kN ΣMA 0 4x20 M A 0 M A 80kNm Diagrama de corpo livre Exemplo 7 Viga engastada ou em balanço com carga distribuída uniforme R5x420kN Y0 RvA200 RvA20kN MA0 20x2MA0 MA40kNm Diagrama de corpo livre Exemplo 8 Viga engastada ou em balanço com carga momento Y0 RvA00 RvA0 MA0 10MA0 MA10kNm Diagrama de corpo livre Exemplo 9 Viga biapoiada com balanço e carga uniformemente distribuída R75x860kN MA0 6xRvB4x600 RvB40kN MB0 6xRvA2x600 RvA20kN Diagrama de corpo livre CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO 54 Exemplo 10 Quadro biapoiado com carga momento e carga concentrada 8mt 6t 3m 3m 4m 4m A B C D 4t 8mt 6t HA 4t VA VD Diagrama de corpo livre Obs os sinais positivos encontrados confirmam os sentidos arbitrados para as forças CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO 55 Exemplo 11 Estrutura espacial cujas barras em todos os nós formam 90º 4t 2m 4m 3m A B C D 3t 5t 2t 1t Diagrama de corpo livre ZA XA x MZA z y YA 4t A 3t 5t 2t 1t MXA MYA 1t 1t 3 mt 1t A 1 mt 6 mt As reações passam a ser DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 56 Solicitação é todo esforço ou conjunto de esforços que devido às ações se exerçam sobre uma ou mais seções de um elemento da estrutura Provocam nas estruturas 1Tensões Normais Compressão Tração 2Tensão de Cisalhamento DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 57 Esquematização dos Esforços y z x Seja um corpo em equilíbrio referenciado em relação a um sistema global de coordenadas xyz sob a ação de um sistema de forças externas F1 F2 F3 F4 F4 F3 F2 F1 α DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 58 Esquematização dos Esforços y z x Admitindo que o corpo seja virtualmente cortado por um plano α F1 F2 F3 F4 α DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 59 Esquematização dos Esforços y z x Idealizase que a interação entre as partes do corpo seja representada por uma distribuição de forças ao longo de toda a superfície virtual de corte F1 F3 F2 F4 y z x DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 60 Esquematização dos Esforços y z x Abstraindose da forma de distribuição de forças ao longo da superfície virtual de corte a atenção será voltada às resultantes sistema equivalente em relação a um ponto centróide localizado nesta superfície F1 F3 F2 F4 y z x y z x DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 61 Esquematização dos Esforços z y x F1 F3 z y x y x O DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 62 y z x As forças internas geralmente são distribuídas de forma complexa sobre as seções mas no entanto as condições de equilíbrio são satisfeitas para cada parte separadamente Isto significa que a resultante das forças internas na seção genérica S pode ser obtida tanto na parte esquerda quanto na direita do corte imaginário F1 F4 F3 F2 seção S y x O V N F1 F3 O V N F2 F4 DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 63 Com o objetivo de isolar os efeitos que as forças resultantes submetem o corpo estas são decompostas numa direção perpendicular à superfície virtual de corte e numa outra sobre o plano de corte y x O Q N F1 F3 O Q N F2 F4 FR FR Q é a força tangente à seção Força Cortante N é a força perpendicular à seção Força Normal DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES 64 Com o objetivo de isolar os efeitos que as forças resultantes submetem o corpo estas são decompostas numa direção perpendicular à superfície virtual de corte e numa outra sobre o plano de corte y x O M T F1 F3 O M T F2 F4 MR MR N Esforço Normal Tende a afastar tração positivo ou aproximar compressão negativo as partes do corpo na direção perpendicular à superfície de corte Q Esforço Cortante Tende a deslizar relativamente as partes do corpo numa direção paralela à superfície virtual de corte M Momento Fletor Tende girar relativamente as partes do corpo em torno de um eixo paralelo à superfície virtual de corte T Momento Torçor Tende girar relativamente as partes do corpo em torno da direção perpendicular à superfície virtual de corte ESFORÇOS SOLICITANTES 65 ESFORÇOS SOLICITANTES 66 Interação entre as partes numa barra reta ESFORÇOS SOLICITANTES 67 Interação entre as partes numa barra reta ESFORÇOS SOLICITANTES 68 Interação entre as partes numa barra reta ESFORÇOS SOLICITANTES 69 Interação entre as partes numa barra reta ESFORÇOS SOLICITANTES 70 Convenção de Sinais Esforços solicitantes de mesma intensidade podem significar ações físicas completamente diferentes Para retratar as diferentes ações físicas dos esforços solicitantes fazse uso de uma convenção de sinais que será apresentada a seguir A atribuição de sinais aos esforços solicitantes permite a identificação da ação física correspondente e diferenciação dos diagramas de esforços solicitantes de mesma intensidade mas com ações físicas distintas ou seja opostos ESFORÇOS SOLICITANTES 71 Convenção de Sinais Esforços Solicitantes Positivo Esquema Negativo Esquema Força Normal Tração Compressão Força Cortante Gira no sentido horário Gira no sentido antihorário Momento Fletor Traciona as fibras inferiores da barra Traciona as fibras superiores da barra N N N0 N N N0 V V V0 V V V0 M0 M M M0 M M ESFORÇOS SOLICITANTES 72 Convenção de Sinais Independente do caminho adotado para o cálculo dos esforços solicitantes estaremos sempre somando forças e momentos Por isso é conveniente adotar uma convenção de sinais esquerda direita S F1 F2 Fn1 Fn S ESFORÇOS SOLICITANTES 73 Convenção de Sinais ESFORÇOS SOLICITANTES 74 Convenção de Sinais Exemplo 1 Viga biapoiada com carga concentrada Cálculo dos esforços solicitantes Exemplo 2 Viga biapoiada com carga uniformemente distribuída Cálculo dos esforços solicitantes S1 0 x 3 N x HA N x0 Q x VRA 3X Vx 9 3X Mx VRA x X 3X²2 Mx 9X 3X²2 Exemplo 3 Viga biapoiada com carga momento concentrada S2 RVA 5kN MA 0 6xRVB 30 0 RVB 5kN MB 0 6xRVA 30 0 RVA 5kN Diagrama de corpo livre Cálculo dos esforços solicitantes S1 0 x 3 N x HA N x0 Q x VRA Vx5 KN Mx VRA x X Mx 5X S2 3 x 6 N x0 N x0 Q x VRB Vx 5 KN Mx VRB x X Mx 5X Exemplo 4 Viga engastada ou em balanço com carga concentrada Cálculo dos esforços solicitantes Como vimos os esforços internos solicitantes estão relacionados a uma determinada seção transversal Portanto é conveniente expressar a variação da grandeza dos esforços graficamente ao longo do eixo das estruturas Para tanto podemos relacionálos através de equações diferenciais INTRODUÇÃO 83 S1 0 x 3 AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 84 Seja a viga biapoiada abaixo A B dx qfx qdx x x0 S s VA VB Os esforços simples em S são dados por Q M N Q M N AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 85 Os esforços simples em S são dados por Derivando as expressões acima em relação à abscissa s que define a seção obtemos levando em conta que os valores Em resumo temos AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 86 Demonstramos então que a derivada do momento fletor atuante numa seção S de uma viga reta submetida a um carregamento a ela perpendicular em relação à abscissa que define a seção é igual ao esforço cortante nela atuante e que a derivada deste em relação a esta abscissa é igual ao valor da taxa de carga aplicada na seção S com o sinal trocado As igualdades abaixo são as equações fundamentais da Estática pois nos permitem obter os esforços solicitantes nas diversas seções da viga em função do carregamento qx atuante Conclusão Observações 1 A partir da equação 1 temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de momentos fletores numa seção S é igual ao esforço cortante nela atuante 2 A partir da equação 2 temos que o coeficiente angular da tangente ao diagrama de esforços cortantes numa seção S é igual ao valor da taxa de carga atuante nesta seção com o sinal trocado 3 Um esforço cortante é positivo quando calculado pelas forças da esquerda der para cima ou quando calculado pelas forças da direita der para baixo e que um momento fletor é positivo quando tracionar as fibras inferiores da viga 4 Sob o ponto de vista conceitual após carregada a viga ela se deformará e os esforços estão sendo calculados para sua posição indeformada primitiva 1 2 AS EQUAÇÕES FUNDAMENTAIS DA ESTÁTICA 87 Relações entre carga força cortante e momento fletor REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 88 DIAGRAMA DE ESTADO Representação gráfica que utiliza o eixo da estrutura como eixo das abscissas e as ordenadas representam a grandeza do esforço solicitante REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 89 TIPOS DE DIAGRAMA DE ESTADO Diagrama de Esforços Normais DEN Diagrama de Esforços Cortantes DEC Diagrama de Momento Fletor DMF REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 90 IMPORTÂNCIA DOS DIAGRAMAS DE ESTADO Visto que o cálculo dos esforços Q e M é fundamental para o projeto de vigas devese estudar o comportamento dessas variáveis ao longo da viga Estas seções devem ser estudadas em regiões determinadas pelo surgimento ou término de um novo carregamento força concentrada carga distribuída ou momento binário O estudo é feito realizando cortes para distâncias arbitrárias em toda a extensão da viga Os diagramas de esforços internos facilitam a visualização da intensidade REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 91 OS DIAGRAMAS FACILITAM A VISUALIZAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS 4 kNm 4 kNm 2kN 1 kN Para essa viga necessitamos de pelo menos cinco seções e cada seção com três equações 1 kN 03 kN 18 kN 98 kN 345 kNm 150 kNm 35 kNm 30 kNm 05 kNm DEN DEC DMF REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 92 VIGAS BIAPOIADAS B l A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 93 VIGAS BIAPOIADAS 1 Carga Concentrada Seja a viga biapoiada submetida a uma carga concentrada P atuante na seção S DEC DMF A B P S a b l A B α β A B S S REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 94 VIGAS BIAPOIADAS 1 Carga Concentrada Exemplo Obter os diagramas solicitantes para a viga biapoiada abaixo 4m A B 5t 4m 3t 9t D E C 3m 2m 13m VA6t VB11t Das equações da Estática obtemos as reações de apoio As ordenadas necessárias à determinação do diagrama DMF são Os esforços cortantes valem REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 95 VIGAS BIAPOIADAS 1 Carga Concentrada Exemplo Obter os diagramas solicitantes para a viga biapoiada abaixo 4m A B 5t 4m 3t 9t D E C 3m 2m 13m VA6t VB11t A B 24mt 28mt 22mt DMF B A 6t 1t 2t 11t DEC REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 96 VIGAS BIAPOIADAS 2 Carga uniformemente distribuída Seja a viga biapoiada submetida a uma carga uniformemente distribuída q A B DMF B A α DEC B qx x q S l l4 l4 l4 l4 A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 97 VIGAS BIAPOIADAS 2 Carga uniformemente distribuída Cálculo de Ms e Qs O diagrama de esforços cortantes será uma linha reta para x0 e xl que são O diagrama de momentos fletores será dado por uma parábola do 2º grau passando por 0 em A e em B e um máximo no meio do vão xl 2 seção onde O cálculo de M numa seção genérica A função ωR encontrase na tabela a seguir REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 98 VIGAS BIAPOIADAS Funções ω REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 99 VIGAS BIAPOIADAS Funções ω REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 100 VIGAS BIAPOIADAS CARGA UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA OBSERVAÇÕES A B M M1 M2 I II III I II III 1 Temos que o que verifica o equilíbrio da viga 2 Sob carga uniformemente distribuída o diagrama de momentos fletores é uma parábola do 2º grau e o diagrama de esforços cortantes é uma reta 3 Segue abaixo uma construção geométrica que nos dá excelente precisão no traçado do DMF 4 Um valor notável no diagrama de momentos fletores é o valor para as ações com ε 025 e ε 075 5 É usual no traçado do DMF com cargas uniformemente distribuídas cotar apenas o 6 Inclinação do DEC REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 101 VIGAS BIAPOIADAS 3 Carga triangular Seja a viga biapoiada submetida a uma carga triangular de taxa máxima p no apoio da direita A B DMF B A DEC B x p S l A l3 0577l REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 102 VIGAS BIAPOIADAS 3 Carga triangular Cálculo de Ms e Qs Sendo as reações de apoio as indicadas na figura e temos os seguintes esforços Ou simplificando 1 Temos que o que verifica o equilíbrio da viga 2 Sendo a taxa de carregamento uma função linear grau um o DEC é uma parábola de 2º grau e o DMF é uma parábola do 3º grau 3 Segue abaixo uma construção geométrica que nos dá excelente precisão no traçado do DMF 4 É usual proceder a este traçado por pontos Uma ordenada genérica do diagrama seria dada por 5 O caso do carregamento abaixo recai imediatamente no anterior REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 103 VIGAS BIAPOIADAS CARGA TRIANGULAR OBSERVAÇÕES A B M N α β REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 104 VIGAS BIAPOIADAS CARGA TRIANGULAR OBSERVAÇÕES 6 O caso do carregamento trapezoidal abaixo é resolvido empregandose o princípio de superposição de efeitos somandose uma carga uniforme pA com uma carga triangular de taxa máxima pB pA em B Superposição de retângulo com triângulo Superposição de dois triângulos pA pA pB pB pA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 105 VIGAS BIAPOIADAS 4 Cargamomento Seja a viga biapoiada submetida a cargamomento M As reações de apoio devem ser tais que formem um binário de módulo M e sentido oposto ao do momento aplicado A partir destas reações temos imediatamente os diagramas solicitantes A B DMF B A DEC B a S l A b A M REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 106 VIGAS BIAPOIADAS CARGAMOMENTO OBSERVAÇÕES 1 Temos que o valor da área do DEC de uma viga biapoiada é igual ao valor da resultante de todas as cargasmomento aplicadas na viga o sinal positivo corresponde ao sentido antihorário 2 Na seção de aplicação de uma cargamomento numa viga o DMF sofre uma descontinuidade igual ao seu valor no seu sentido 3 Posições notáveis da cargamomento REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 107 VIGAS BIAPOIADAS 5 Caso geral de carregamento Seja a viga biapoiada submetida ao carregamento indicado Para fazer este problema recair num já conhecido rompemos a viga em B e C o que é lícito fazer desde que apliquemos nestes pontos seus esforços simples mantendo assim o equilíbrio de cada trecho da viga A A D q B C B B C C D MB MB MC MC D QC QD A B C C B MB MC MB MC QA QB QB QC REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 108 VIGAS BIAPOIADAS 5 Caso geral de carregamento A B C C B D MB MC MB MC MB MC a q DMF A obtenção do DEC não apresenta maiores problemas sendo imediata a partir do conhecimento das reações de apoio REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 109 VIGAS BIAPOIADAS 5 Caso geral de carregamento A B C D MB MC a q DMF DEC REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 110 VIGAS BIAPOIADAS Caso geral de carregamento Exemplo A C D E 1 tm F G B 1 t 2 tm 4 mt 4 m 2m 2m 3m 25m 25m 16m DMF 12 14 14 11 35 75 DEC 5 1 3 3 zero em mt em t 2m 2m R4 t R3 t REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 111 VIGAS BIAPOIADAS 1Cálculo das reações de apoio VA e VB Substituindose as cargas distribuídas por suas resultantes indicadas na figura obtémse 2Cálculo dos momentos fletores atuantes nos pontos de transição de carga Caso geral de carregamento Exemplo Ligando estes pontos por linhas retas passamos então à fase de pendurar a partir destas retas os diagramas relativos às cargas distribuídas uma parábola do 2º grau no trecho AC cuja ordenada na seção média do trecho é Uma parábola do 3º grau no trecho EF cuja ordenada genérica é dada por REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 112 VIGAS BIAPOIADAS 3Cálculo dos esforços cortantes trecho a trecho No trecho AC retilíneo pois o carregamento é uniforme variando de 5t em A até 1t em C No trecho CD é constante trecho descarregado e igual a 1t No trecho DE Em D a carga concentrada acarreta uma descontinuidade igual ao seu valor caindo o cortante então para zero valor que se mantém no trecho DE No trecho EF será uma parábola do 2º grau carregamento triangular que começa em zero com tangente horizontal pois dQds q 0 terminando com 3t com tangente inclinada pois dQds q 2tm No trecho FB O valor 3t se mantém constante no trecho FB sem cargas verticais subindo a zero no apoio B Caso geral de carregamento Exemplo 1 Nas seções C E F existe concordância dos trechos parabólicos com os trechos retilíneos no DMF pois não há cargas concentradas 2 Na seção D existe um ponto anguloso no sentido da carga no DMF devido à carga concentrada 3 As retas do DMF nos trechos FG e GB são paralelas pois o cortante nestes trechos é constante e igual a 3t 4 Na região de MF máximo trecho DE o cortante é nulo 5 Qualquer ordenada do DEC no trecho EF pode ser obtida com o auxílio da função ωM 6 Valor da área do DEC Este valor é igual ao valor da cargamomento atuante o sinal negativo indica que seu sentido é o horário 7 Na seção G o DMF apresenta uma descontinuidade de 4 mt valor da cargamomento nela aplicada 8 Notar que as parábolas devidas às cargas distribuídas são sempre marcadas perpendicular à barra vertical Observações REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 113 VIGAS ENGASTADAS E LIVRES B l A REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 114 VIGAS ENGASTADAS E LIVRES Seja a viga engastada e livre abaixo C B l A q D MA VA 1No engaste apoio A aparecerão uma reação vertical VA e uma reaçãomomento MA que equilibrarão o carregamento atuante q 2O DMF será obtido a partir das conclusões tiradas anteriormente bastando marcar os MF de cálculo imediato nas seções em que muda a lei de variação de carregamento no caso A C D B ligálos por retas e a partir da linha assim obtida pendurar os diagramas de viga biapoiada para cada uma das cargas distribuídas atuantes no caso CD 3O DEC será obtido imediatamente a partir do carregamento e reações de apoio atuantes REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 115 VIGAS ENGASTADAS E LIVRES EXEMPLO Seja a viga engastada e livre abaixo obter os DMF e DEC 1 Os MF atuantes nos pontos de transição de carga todos tracionando as fibras superiores são 2 Ligandose estes valores por retas e pendurandose na vertical a partir delas as parábolas iguais a temse determinado o DMF 3 O DEC é obtido sem maiores problemas como indicado na figura seguinte 3tm C A 2m B 32mt 16t 2m 4t REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 116 VIGAS ENGASTADAS E LIVRES EXEMPLO 3tm C A 2m B 32mt 16t 2m 4t 32mt 6t 10t 16t 6mt DMF DEC REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 117 VIGAS ENGASTADAS E LIVRES 1 Na seção A o DMF tem tangente horizontal QA 0 e na seção C apresenta um ponto anguloso presença de carga concentrada de 4t 2 Valor da área do DEC que é o valor do MF no engaste equivalente a uma cargamomento aplicada numa viga biapoiada AB com reações verticais VA 0 e VB 16t Na seção D existe um ponto anguloso no sentido da carga no DMF devido à carga concentrada 3 Para a mesma viga com o mesmo carregamento mas com o engaste à esquerda vide figura abaixo o DMF seria o mesmo bastando girar o anterior em 180º mas o DEC teria seu sinal trocado pois as convenções de sinais são opostas conforme sejam usadas as forças à esquerda ou à direita da seção 4 No caso de vigas engastadas e livres é possível traçar o DMF e o DEC sem determinar as reações de apoio Observações C B A 3tm 2m 2m 4t REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 118 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS B l A C D b2 b1 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 119 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS B l A C D b2 b1 Seja a viga biapoiada com balanços abaixo P1 P2 P3 P4 P5 q P3 P1 P2 P4 P5 A B B C D P1P2 P4P5 MB VB MC VC C REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 120 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS 1 A obtenção dos DMF e DEC nos balanços AB e CD é imediata a partir do que vimos nas vigas engastadas e livres 2 Passemos então à análise do trecho BC Dividindo a viga teremos uma viga biapoiada BC submetida ao carregamento que lhe está diretamente aplicado mais as cargasmomento MB e MC e as cargas verticais P1 P2 e P4 P5 devido aos balanços Recaímos assim para o trecho BC no caso de uma viga biapoiada 3 Para traçar o DMF numa viga biapoiada com balanços tratamos os balanços como vigas engastadas e livres ligamos os momentos atuantes nos apoios por uma linha reta e a partir dela penduramos o diagrama de viga biapoiada devido às cargas atuantes no trecho entre os apoios 4 Como nos casos anteriores a obtenção do DEC é imediata a partir do carregamento e das reações de apoio REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 121 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS EXEMPLO 1 Obter o DMF e o DEC para a estrutura abaixo B A 2t 2tm C D 1tm 1tm 2m 4m 2m Cálculo das reações de apoio empregando o princípio de superposição de efeitos VB 5t VC 9t 1 Devido às cargas distribuídas temse por simetria 2 Devido à carga concentrada de 2t 3 As reações finais superposição de efeitos são Cálculo dos MF atuantes nos apoios que tracionam as fibras superiores 1m 1m A partir da linha de fechamento do DMF pendurase as parábolas de cada trecho O DEC não apresenta novidades em relação aos casos anteriores REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 122 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS EXEMPLO 1 Obter o DMF e o DEC para a estrutura abaixo B A 2t 2tm C D 1tm 1tm 2m 4m 2m VC 9t 1m 1m VB 5t DMF DEC 3t 4t 2t 5t 2t x 35 m 2mt 6mt 025 mt REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 123 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS 1 O DMF tem tangente horizontal QA 0 em A o mesmo não acontecendo em D devido a presença da carga concentrada de 2t 2 Nos apoios o DMF apresenta pontos angulosos no sentido das reações de apoio e o DEC apresenta descontinuidade iguais a estas reações de apoio 3 O MF máximo tracionando as fibras inferiores da viga não ocorre no meio do vão mas sim na seção de cortante nulo que é aquela a 35m de A O seu valor pode ser obtido utilizandose a expressão calculandose o MF atuante na seção a partir do carregamento e das reações de apoio Observações B A 2tm 1tm 2m VB 5t 1m S Mmáx x x2 4 O DEC passa em suas descontinuidades devidas às reações de apoio pelo valor zero o que indica que nos dois apoios temse máximos não analíticos sem tangente horizontal no DEF 5 A área total do DEC é igual a zero indicando a inexistência de cargasmomento aplicadas REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 124 VIGAS BIAPOIADAS COM BALANÇOS EXEMPLO 2 Obter o DMF e o DEC para a estrutura abaixo 1 Sendo o carregamento atuante equivalente a um momento total de 3 4 3 10 mt as reações verticais deverão formar um momento de igual valor e sentido oposto VA VB 10 4 25 t nos sentidos indicados na figura acima 2 A área do DEC é 10mt valor este indicando que existem cargasmomento aplicadas cuja resultante nos dá um momento de 10 mt no sentido horário devido ao sinal negativo 2m B A C D 2m 2m 2m VB 25t VC 25t 3mt 4mt 3mt DMF DEC 25t 25t 3mt 2mt 2mt 3mt 3mt 3mt 4mt REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 125 PROBLEMAS RESOLVIDOS 1 A equação dos esforços cortantes atuantes numa viga biapoiada de 6m de vão é sendo x a distância do apoio esquerdo à seção genérica que descreve a viga Sabendose que se houver cargamomento atuante ela estará aplicada no apoio direito pedese a Reconstruir o carregamento atuante b Obter o momento fletor máximo atuante a Temos que Para o apoio esquerdo q0 2tm Para o apoio direito q6 4tm Verificando se existe cargamomento aplicada em B Temos o que indica não existir cargamomento atuante O carregamento atuante é então b A seção de momento fletor máximo é aquela em que 0 ou seja x 316 m a outra raiz da equação é negativa desprovida portanto de significado físico O MF máximo será dado por tracionando as fibras inferiores Solução 2tm 4tm 6m REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 126 PROBLEMAS RESOLVIDOS 2 Obter os esforços solicitantes da viga AB abaixo submetida ao carregamento distribuído segundo uma lei parabólica do 2º grau começando com tangente horizontal e terminando com um valor máximo igual a p p l x A B REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 127 PROBLEMAS RESOLVIDOS p l A B l4 DMF DEC A equação do será da forma Impondo a condição obtémse com que REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 128 PROBLEMAS RESOLVIDOS p x A B x4 Para obter as reações de apoio precisamos conhecer a posição da resultante dada por O valor da resultante é dado por e as reações de apoio valem e Os esforços atuantes numa seção genérica S são dados por É fácil ver que o momento máximo atuará na seção que tem Qx0 ou seja na seção S REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 129 PROBLEMAS RESOLVIDOS 3 O DEC de uma viga biapoiada AF é o representado abaixo Sabendose que caso exista cargamomento ela está aplicada em D reconstituir o carregamento atuante e traçar o DMF 8m 2m A F 2m 15m 1m 15m B C D E DEC 8t 4t 4t 4t 6t 6t REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 130 SOLUÇÃO Podemos afirmar que 1 O carregamento atuante no trecho AB é uniforme de cima para baixo DEC decrescente e de taxa igual a 2 Em B existe uma carga concentrada aplicada de cima para baixo e igual a 4t valor da descontinuidade no DEC 3 No trecho BC o carregamento é distribuído uniforme de cima para baixo de taxa igual a 4 O trecho CE não possui cargas distribuídas ou concentradas aplicadas 5 Em E existe uma carga concentrada de 2t para baixo descontinuidade no DEC 6 Cálculo da área do DEC indica uma cargamomento em D no sentido horário DMF A F B C D E 4t 2tm 8m 2m 2m 15m 1m 15m 2t 10 mt 12 mt 12 mt 6 mt 2 mt 8 mt 6t 8t REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 131 PROBLEMAS RESOLVIDOS 4 A viga biapoiada abaixo possui um carregamento tal que seu DMF é o indicado na figura Pedese reconstituir este carregamento OBS Existe concordância em B entre a parábola do 2º grau e a reta DMF 2m 2m 2m A B C D 6m 2mt 2mt parábola do 2º grau REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 132 A partir da configuração do DMF podemos afirmar que o aspecto do carregamento atuante é o da figura abaixo DMF 2m 2m 2m A B C D 6m 2mt 2mt parábola do 2º grau SOLUÇÃO q P VA VD REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS 133 Passemos à determinação dos valores numéricos das cargas atuantes 2m 2m 2m A B C D 6m SOLUÇÃO q P VA VD Temos que Pelas forças da direita MC 2VD 20 VD 1 t Pelas forças da direita MB 2 mt 14 2P 2 P 3 t Por Y 0 VA 2q 1 3 VA 2q 2 Pelas forças da esquerda MB 2 mt 2q 22 2q 2 q 3 tm Conclusão o carregamento é constituído por uma carga uniformemente distribuída de 3 tm no trecho AB e por uma carga concentrada de 3t em C nos sentidos arbitrados inicialmente Fim do Módulo I