Modelagem Matemática de Sistemas Mecânicos: Análise da Composição Locomotiva-Vagão

Prof MSc Rafael Bertoncini rbertonciniprofunisabr Modelagem e simulação de sistemas Modelagem matemática de sistemas mecânicos Modelos matemáticos de sistemas mecânicos térmicos e hidráulicos Modelo matemático Composição locomotivavagão Esquema da composição locomotivavagão Representação das forças e deslocamentos dos corpos para a aplicação das Leis de Newton Diagrama de Corpo Livre DCL Modelo matemático Composição locomotivavagão Sistema massamolaamortecedor Sistema mecânico translacional Sistema de segundaordem Sistema com 1 grau de liberdade Modelo matemático Composição locomotivavagão 2ª Lei de Newton Onde Assim Lembrando que Modelo matemático Composição locomotivavagão 2ª Lei de Newton Onde Lembrando que Assim Modelo matemático Massamolaamortecedor A figura a seguir apresenta um sistema massamola com m4kg e k1Nm Em t0s o sistema tem condições iniciais nulas isto é x00m e v00ms Supor que não há atritos e nenhum tipo de força de oposição ao movimento além da força da mola Determine a A equação do modelo matemático que relaciona o deslocamento do corpo xt com a força aplicada Ft b A resposta do sistema xt para uma força Ft dada por uma valor de 1N a partir de t0s degrau unitário Forneça os valores de xt que estão sendo requisitados na tabela a seguir c A função de transferência do sistema d Verifique que a sua resposta do item b está correta através da resposta ao degrau unitário da função de transferência realizada no programa computacional Octave 𝑡 𝑠 0 𝜋 2𝜋 3𝜋 4𝜋 5𝜋 6𝜋 𝑥 𝑡 𝑚 Modelo matemático Massamolaamortecedor a A equação do modelo matemático 4 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 1𝑥 𝑡 𝐹 𝑡 𝑓𝑜𝑟ç𝑎𝑠𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑚𝑎 𝑡 𝑚 𝑑𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑚 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 2ª Lei de Newton 𝐹 𝑡 𝑓𝑚𝑜𝑙𝑎 𝑡 𝑚 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 Logo 𝐹 𝑡 𝑘𝑥 𝑡 𝑚 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 Assim 𝑚 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 𝑘𝑥 𝑡 𝐹 𝑡 Isolando Ft Modelo matemático Massamolaamortecedor b A resposta do sistema xt Para determinar xt quando Ft 1t devemos aplicar a transformada de Laplace com condições iniciais nulas isolar o Xs e substituir o Fs pela função do degrau unitário Na sequência devemos determinar a transformada inversa de Laplace 4𝑠2𝑋 𝑠 𝑋 𝑠 𝐹 𝑠 ℒ 4 𝑑2𝑥 𝑡 𝑑𝑡2 1𝑥 𝑡 ℒ 𝐹 𝑡 Transformada de Laplace 4 𝑠2𝑋 𝑠 𝑠𝑥 0 ሶ𝑥 0 𝑋 𝑠 𝐹 𝑠 𝑋 𝑠 4𝑠2 1 𝐹 𝑠 Isolando Xs temos 𝐹 𝑠 1 𝑠 Mas Ft 1t assim Modelo matemático Massamolaamortecedor b A resposta do sistema xt X s 4𝑠2 1 1 𝑠 𝑋 𝑠 1 𝑠4𝑠2 1 Portanto 𝜔2 025 𝜔 025 𝜔 05 Do denominador temos 1 t cosω𝑡 𝜔2 𝑠𝑠2 𝜔2 Encontramos o seguinte par 𝑋 𝑠 1 𝑠4𝑠2 1 1 4𝑠𝑠2 1 4 025 𝑠𝑠2 025 Assim 𝑥 𝑡 1 𝑡 𝑐𝑜𝑠05𝑡 Finalmente Modelo matemático Massamolaamortecedor b A resposta do sistema xt Tabela preenchida com os valores de xt 𝑡 𝑠 0 𝜋 2𝜋 3𝜋 4𝜋 5𝜋 6𝜋 𝑥 𝑡 𝑚 0 1 2 1 0 1 2 Como se verifica é uma função periódica que tem seu valor máximo em xt2m O gráfico a seguir ilustra o comportamento no tempo Modelo matemático Massamolaamortecedor c A função de transferência do sistema 𝐺 𝑠 𝑋𝑠 𝐹𝑠 1 4𝑠2 1 4𝑠2𝑋 𝑠 𝑋 𝑠 𝐹 𝑠 𝑋 𝑠 4𝑠2 1 𝐹 𝑠 Isolando Xs temos Modelo matemático Massamolaamortecedor d Verificação da resposta do item b Entrar no Octave online com os seguintes comandos num1 den4 0 1 t000120 gtfnum den xstepgt plottx xlabelTempo s ylabelDeslocamento do corpo xt m titleResposta ao degrau unitário a partir de Gs t x 𝐺 𝑠 𝑋𝑠 𝐹𝑠 1 4𝑠2 1 Bibliografia NISE NS Engenharia de sistemas de controle 6ª edição Rio de Janeiro Editora LTC 2012 OGATA K Engenharia de controle moderno 5ª edição São Paulo Editora Pearson 2010 Elemento textual Modelagem e Simulação de Sistemas Unisa