Análise Transitória de Sistemas de Segunda Ordem-2023-2

CONTROLE 1 Emerson Ravazzi Pires da Silva Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Análise transitória de sistemas de segunda ordem • Sistemas de segunda ordem subamortecidos Sistemas de Segunda Ordem Subamortecidos • O objetivo é analisar a resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem subamortecido. • O sistema subamortecido possui um fator de amortecimento no intervalo 0 <  < 1. • O sistema de segunda ordem subamortecido é um modelo comum para problemas físicos. A resposta ao degrau de um sistema de segunda ordem é dada por admitindo 0 <  < 1 (caso subamortecido). A expansão em frações parciais é dada por Aplicando a inversa de Laplace, resulta em   2 2 3 1 2 2 2 2 ( ) 2 2 n n n n n K s K K C s s s s s s s                    2 2 2 2 2 1 1 1 ( ) 1 n n n n s C s s s                  2 2 2 ( ) 1 cos 1 sin 1 1 nt n n c t e t t                       Resposta a um degrau unitário para diversos valores de  . Quanto menor o valor de , mais oscilatória é a resposta. Índices de desempenho • Tempo de Subida, 𝑇𝑟1: Tempo necessário para que a forma de onda vá de 0,1 até 0,9 do valor final. Uma expressão analítica precisa para o tempo de subida não pode ser obtida. No entanto, pode-se utilizar aproximações lineares. Uma das várias aproximações lineares disponíveis na literatura é normalizada para 0,05 ≤  ≤ 0,95, que é exata para 0,3 ≤  ≤ 0,8. 1 2,16 0,60 r n T     • Instante de Pico, 𝑇𝑝: Tempo necessário para alcançar o primeiro pico, ou pico máximo. Pode ser obtido por A resposta de pico é dada por 2 1 p n T      1 2 1 M pt e       • Ultrapassagem Percentual, %𝑈𝑃: Valor pelo qual a forma de onda ultrapassa o valor em regime permanente (Porcentagem de Overshoot ou Máxima Ultrapassagem). É dada pela seguinte expressão: ou, sendo, 𝑀𝑝𝑡 o valor de pico da resposta e 𝑓𝑣 o valor de regime permanente. Ainda, dado %𝑈𝑃 pode-se calcular  a partir de 1 2 % 100 % UP e       % 100 % M pt fv UP fv    2 2 ln % 100 % ln 100 UP UP                  Ultrapassagem percentual (%𝑈𝑃) versus fator de amortecimento . • Tempo de acomodação, 𝑇𝑠: Tempo necessário para que as oscilações amortecidas transitórias alcancem e permaneçam dentro de uma faixa de ±2% em torno do valor em regime permanente. Pode ser obtido por 4 s n T   • Resumo: Resposta subamortecida de segunda ordem. • Exercício 1: Dada a função de transferência, determine: Tempo de Subida, 𝑇𝑟1, Instante de Pico, 𝑇𝑝, Ultrapassagem Percentual, %𝑈𝑃 e o Tempo de acomodação, 𝑇𝑠. Utilizando o MatLab®, represente graficamente a resposta de saída para uma entrada em degrau unitário e realize as medições a partir do gráfico. Compare com os cálculos realizados. 2 100 ( ) 15 100 G s s s    • Exercício 1: Dada a função de transferência, determine: Tempo de Subida, 𝑇𝑟1, Instante de Pico, 𝑇𝑝, Ultrapassagem Percentual, %𝑈𝑃 e o Tempo de acomodação, 𝑇𝑠. Utilizando o MatLab®, represente graficamente a resposta de saída para uma entrada em degrau unitário e realize as medições a partir do gráfico. Compare com os cálculos realizados. Resp.: 𝑛= 10,  = 0,75, 𝑇𝑟1 = 0,222 s, 𝑇𝑝 = 0,475 s, %𝑈𝑃 = 2,838 e 𝑇𝑠 = 0,533 s. 2 100 ( ) 15 100 G s s s    A figura abaixo mostra o diagrama de polos para um sistema de segunda ordem subamortecido geral. Pelo teorema de Pitágoras (desconsiderar ±𝑗 para o cálculo) temos que: A distancia da origem até o polo é a frequência natural, 𝑛, e que cos𝜃 = . Agora, podemos calcular o instante de pico e o tempo de acomodação em função da posição do polo. Sendo: • 𝑑 é a parte imaginária do polo e é chamada de frequência de oscilação amortecida. • 𝑑 é a magnitude da parte real do polo e é a frequência de amortecimento exponencial. 2 1 p n d T         4 4 s d n T     A partir das equações anteriores podemos concluir que: • O instante de pico, 𝑇𝑝, é inversamente proporcional a parte imaginária do polo. • Quanto maior a parte imaginária do polo, menor o instante de pico. • O tempo de acomodação, 𝑇𝑠, é inversamente proporcional à parte real do polo. • Quanto maior a magnitude da parte real do polo, menor o tempo de acomodação. • Ainda, como  = cos𝜃, e que a ultrapassagem percentual é uma função apenas de , temos que: • Quanto menor o ângulo 𝜃, maior é o fator de amortecimento,  , e, consequentemente, menor é a ultrapassagem percentual %𝑈𝑃. Na figura abaixo estão rotuladas, no plano 𝑠, as linhas 𝑇𝑝, 𝑇𝑠 e %𝑈𝑃. Observação: 𝑇𝑠2 < 𝑇𝑠1; 𝑇𝑝2 < 𝑇𝑝1; %𝑈𝑃1 < %𝑈𝑃2. Análise do efeito da variação dos polos de um sistema de segunda ordem. • Instante de pico diferente; • Frequência aumenta; • Mesma curva de decaimento exponencial e tempo de acomodação praticamente o mesmo, uma vez que a parte real do polo não está mudando; • Frequência constante; • A resposta amortece mais rapidamente; • O instante de pico é o mesmo para todas as formas de onda pois a parte imaginaria permanece inalterada. • Ultrapassagem percentual permanece a mesma; • Velocidade de resposta diferente; • Instante de pico diferente; • Exercício 2: Dado o diagrama de polos, determine , 𝑛, 𝑇𝑝, %𝑈𝑃 e 𝑇𝑠. Obtenha a resposta com a ajuda do MatLab®. • Exercício 2: Dado o diagrama de polos, determine , 𝑛, 𝑇𝑝, %𝑈𝑃 e 𝑇𝑠. Obtenha a resposta com a ajuda do MatLab®. Resp.: 𝑛= 7,616,  = 0,394, 𝑇𝑝 = 0,449 s, %𝑈𝑃 = 26% e 𝑇𝑠 = 1,333 s. Resolvendo o exercício anterior (Exercício 2) com a ajuda do MATLAB: p1=[1 3+7*i]; % Define o polinômio contendo % o primeiro polo. p2=[1 3-7*i]; % Define o polinômio contendo % o segundo polo. deng=conv(p1,p2); % Multiplica os dois polin. % para obter o polinômio de % segunda ordem, as^2+bs+c. omegan=sqrt(deng(3)/deng(1)) % Calcula a frequência % natural, sqrt(c/a). zeta=(deng(2)/deng(1))/(2*omegan) % Calcula o fator de % amortecimento,((b/a)/2*wn). Ts=4/(zeta*omegan) % Calcula o tempo de % acomodação, (4/z*wn). Tp=pi/(omegan*sqrt(1-zeta^2)) % Calcula o instante de % pico, pi/wn*sqrt(1-z^2). up=100*exp(-zeta*pi/sqrt(1-zeta^2)) % Calcula a ultrapassagem % percentual, % (100*e^(-z*pi/sqrt(1-z^2)). Resposta Transitória Através do Projeto de Componentes • Exercício 3: Dado o sistema abaixo, determine 𝐽 e 𝐷 para resultar um uma ultrapassagem de 20% e em um tempo de acomodação de 2 segundos para uma entrada em degrau do torque 𝑇(𝑡). Obtenha a resposta com a ajuda do MatLab®. 2 1 ( ) J G s D K s J s J    Resposta Transitória Através do Projeto de Componentes • Exercício 3: Dado o sistema abaixo, determine 𝐽 e 𝐷 para resultar um uma ultrapassagem de 20% e em um tempo de acomodação de 2 segundos para uma entrada em degrau do torque 𝑇(𝑡). Obtenha a resposta com a ajuda do MatLab®. Resp.: 𝐷 = 1,04 N. m. s/rad e 𝐽 = 0,26 kg. m2. 2 1 ( ) J G s D K s J s J    Determinação Experimental de Funções de Transferência de Segunda Ordem Exemplo: Considere a resposta ao degrau, obtenha a função de transferência. 𝑀𝑝𝑡 ≅ 13,82 𝑓𝑣 ≅ 11,03 𝑇𝑠 ≅ 2,62 s • Solução: Podemos medir a ultrapassagem percentual através de Logo,  pode ser obtido a partir da equação E, 𝑛 pode ser obtido através da equação 13,82 11,03 % 100 1 2 00 5, % 11 3 3 ,0 M pt fv UP fv        2 2 0,4 ln 100 ln 10 25,3 25 0 ,3                   4 4 0, 2,62 3,82 4 s n n n T         Ainda, sabemos que E, uma vez que (teorema do valor final) Logo, substituindo todos os valores, temos 2 2 2 ( ) 2 n n n K G s s s       2 n K  2 n  11,03 11,03 fv K     2 2 2 11,03 3,822 ( ) 2 0,4 3,82 3, 160,95 3,056 14,59 82 G s s s s s          0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 6 Step Response Time (seconds) Amplitude Exercício 4: Considere a resposta ao degrau, obtenha a função de transferência. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 6 Step Response Time (seconds) Amplitude Exercício 4: Considere a resposta ao degrau, obtenha a função de transferência. Resp.: 2 12 ( ) 0,5 4 G s s s    Exercício 5: • a) Para cada par de especificações de sistema de segunda ordem a seguir, determine a posição do par de polos de segunda ordem. 𝑖) %𝑈𝑃 = 12%; 𝑇𝑠 = 0,6 s. 𝑖𝑖) %𝑈𝑃 = 10%; 𝑇𝑝 = 5 s. 𝑖𝑖𝑖) 𝑇𝑠 = 7 s; 𝑇𝑝 = 3 s. • b) Desenhe a região do plano complexo com: %𝑈𝑃 < 20%; 𝑇𝑠 < 4 s. Respostas: a) 𝑖) 𝑝1,2 = −6,67 ± 𝑗9,88 𝑖𝑖) 𝑝1,2 = −0,4605 ± 𝑗0,6283 𝑖𝑖𝑖) 𝑝1,2 = −0,571 ± 𝑗1,047 b) A região pode ser obtida com a ajuda do MatLab®: 1- No MatLab® digite rltool; 2- Para adicionar os requisitos, clique com o botão direito do mouse no gráfico e selecione Design Requirements > New; Na caixa, selecione o requisito e coloque o valor correspondente. • Região para %𝑈𝑃 < 20% e 𝑇𝑠 < 4 s: Exercício 6: • Considerando o sistema de controle abaixo, deseja-se escolher o ganho 𝐾 e o parâmetro 𝑝 de modo que as seguintes especificações da resposta transitória a um degrau sejam alcançadas: • Máximo overshoot percentual igual ou inferior a 4,3%; • Tempo de assentamento para uma faixa de 2% do valor final deve ser inferior a 4 s; • Desenhe a região do plano complexo. Solução: • Para uma %𝑈𝑃 igual ou inferior a 4,3%, faça %𝑈𝑃 = 4,3/100 e calcule Para o tempo de assentamento (2%) ser inferior a 4 s, tem-se ou seja, é necessário que o módulo da parte real dos polos seja maior ou igual a 1. Pode-se escolher, por exemplo, 𝑛 = 1, e disto obtemos 𝑛 = 1,41. 2 2 ln 100 l 4,3 4, n 100 3 0,707                   4 4 1 s n n T       A função de transferência de malha fechada é: Comparando com o sistema de segunda ordem padrão, tem-se: portanto, 𝐾 = 2 e 𝑝 = 2. 2 ( ) ( ) Y s K R s s ps K    2 2 2 2 2 2 2 2 n n n s s s s        