Introdução Estabilidade-2023-2

CONTROLE 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Introdução – Estabilidade • Análise de Estabilidade via Função de Transferência Introdução • A estabilidade é a especificação mais importante. • Caso o sistema seja instável, a resposta transitória e os erros em regime permanente são uma questão irrelevante. Um sistema e estavel se a resposia natural tende a zeroa medida que o tempo tende a infinito. J@ 1 1 —10 a | G=—_, * ed S + —10 IR 0 Assim, a estabilidade relaciona-se com os polos da FT. sistemas estaveis possuem polos apenas no spe. E marginalmente estavel caso a resposta natural permaneca constante ou oscile constante a medida que o tempo tende a infinito. J@ ] 0 R S J@ 2j 2 ITY G= > L' sin 2t R s +4 _\/__ + —2] E instavel se a resposta natural aumenta sem limites a medida que o tempo tende a infinito. J@ I G= Co! 1001 s—100 100 ® | a Sistemas instaveis possuem pelo menos um polo no spd. on - Instavel: duplicidade de polos Polos com multiplicidade maior que 1 no eixo imaginario: J@ I a 0 R 5 Pd 2j tJ” 7 A = 2j G =—_. L' tsin2t (s° +4) ay R ~\ —2j ay ™. - Um metodo para testar a estabilidade sem a necessidade de calcular os polos €e chamado de critério de estabilidade de Routh-Hurwitz. Criterio de estabilidade de Routh-Hurwitz > Com o metodo podemos dizer quantos polos do sistema em malha-fechada estao no spe, no spd e sobre 0 eixo jw (Observe que foi dito quantos, e nao onde). - O poder do metodo esta no projeto e nao na analise. • Caso 1 – • Exemplo 1: Construa a tabela de Routh-Hurwitz e diga quantos polos estão no spd e no spe. Solução: obter o sistema em malha-fechada. • Verificação com a ajuda do Scilab® 2 polos no spd 3 10 2 31 1030 d s s e s n + + = + Montar a tabela de Routh-Hurwitz: 3 2 1 0 1 31 10 10 30 a b c s s s s 3 10 2 31 1030 d s s e s n + + = + 3 2 1 0 7 10 1 31 103 0 0 2 c s s s s − 72 0 10 31 1 1030 10 0 1 0 10 10 a b − × − × × − × = = = = 3 2 1 0 1 31 1030 0 0 10 72 103 s s s s − 0 72 1030 1 0 103 0 72 c − − × = = − × Interpretar a tabela de Routh-Hurwitz: • 2 mudanças de sinal na primeira coluna da tabela, logo: • 2 polos no spd: SISTEMA INSTÁVEL. 3 2 1 0 1 31 103 1 0 7 0 2 3 0 1 0 0 0 s s s s − Or ¢ Exercicio 3: Utilize o criterio de Routh-Hurwitz para descobrir quantos polos do sistema em malha-fechada, T(s), estao no spd, no spe e sobre O eIXO jw: 3 2 s +7s° —21s+10 I(s)={— 4 3. ~O« s +s —6s° +0s° —s° —s+6 Solução: 6 5 4 3 2 1 0 1 6 1 6 1 0 1 s s s s s s s − − − 6 5 4 3 2 6 0 6 den s s s s s s + − + − − + = 6 5 4 3 2 1 0 6 0 6 1 6 1 6 1 0 1 s s s s s s s − − − − sl 1 6 -1 6 s|/1 0 -1 linha de zeros na tabela 1-6 0 oo s | 0 0 Construa o Pe polinomio auxiliar (par) 5! P(s) =—6s* +0s° +658° 9° Derivando em relacao a s, temos OMS) _ 5453 405! ds Substitua os coeficientes na linha de zeros. Substitua os coeficientes na linha de zeros. 3 1 ( ) 24 0 dP s s s ds = − + 6 5 4 3 2 1 0 1 6 0 6 2 6 4 1 6 1 0 1 0 s s s s s s s − − − − − 6 5 4 3 2 1 6 1 6 6 1 6 0 24 0 0 0 1 s s s s s − − − − − 1 0 6 144 / 6 s s ε ε ON se} 1 -6 -1 6 s | QO -l s” —6 QO 6 +— polinédmio 12 analise: 3 _ ar do S 24 Q 7 p polindmio s | Be 6 iil ar até s° ° s' | 144/e gs? 6 real - Os polinOmios pares SO possuem raizes que sao simetricas em relacao a origem. Aqui, 1 troca de sinal. 6 2° analise: 5 | 6 1 6 de s® até s° 1 QO -l polindmio A indmi — — InNomMI par S 6 O 6 polinédmio s | -24 QO par Ss” Be 6 1 imaginary s | 144/e s° 6 real Tambeém, 1 troca de sinal. Se nao existir uma linha de zeros, nao existe polos no jw. Atenção com duplicidade de polos no polinômio par, por exemplo: Polinômio par: 5 4 3 2 1 0 1 6 8 7 42 56 28 84 21 56 0 2 0 8 0 0 3 56 0 0 0 0 s s s s s s 4 2 0 4 2 8 7 42 56 u 6 o P s s s P s s = + + = + + ( ) 2 2 4 2 2 quadrado perfeito: 2 s p s ps p + = + + 2 2 6 8 p p = = Projeto de Estabilidade via Routh-Hurwitz - Exemplo 5: Determine a faixa de valores de K que fara com que oO sistema seja estavel, instavel e marginalmente estavel. Admita K>0. R(s) +K> EG) K C(s) + sea 741) 7 x s(s + 7)(s + 11) > Solucao: Obtenha a FT em malha-fechada: K (ss) = >——— Ss +18s°+77s+K Construa. © A a tabela: s 1 77 s 18 K A 1386 —K 18 s° K - Se 0 < K < 1386 nao ha mudangas de sinal, sistema estavel. - Se K > 1386, s* sera negativo. Havera 2 mudangas de sinal, sistema instavel. - Se K = 1386, linha st de zeros, 0 que pode significar polos sobre jw. Na linha s*, com K = 1386, 5 tem-se 0 polindémio par: P=18s~" +1386 Derivando: aP — 365+0 ds Substituindo na, linha de zeros: * ! TI s* 18 1386 s! YF 36 s° 1386 Como nao ha mudancas de sinal do polinémio par até s°, seus 2 polos estao no eixo jw com multiplicidade 1. Como nao ha mudangas de sinal acima do polinémio par, a raiz remanescente esta no spe. Portanto, o sistema e marginalmenie estavel. Respostas ao degrau para alguns valores de K: , Resposta ao Degrau 5 Resposta ao Degrau 42000 Resposta ao Degrau 09 | | 10000 0.8 "| | g000 07 14 _ | 06 12 2 3") | § 4000 ! 505 S 1 = | | 0 03 06 02 OA -2000 0.1 0.2 4000 % 1 2 3 % 5 10 15 20 25 60005 0.5 1 15 2 Tempo (s) (seconds) Tempo (s) (seconds) Tempo (s) (seconds) K =100 K =1386 K = 10000