Sistemas de Segunda Ordem Introdução-2023-2

CONTROLE 1 Emerson Ravazzi Pires da Silva Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Sistemas de Segunda Ordem: Introdução • Análise transitória de sistemas de segunda ordem Sistemas de Segunda Ordem: Introdução • Um sistema de segunda ordem exibe uma ampla variedade de respostas. • A variação do parâmetro 𝑎 de um sistema de primeira ordem simplesmente altera a velocidade da resposta, • As variações nos parâmetros de um sistema de segunda ordem podem alterar a forma da resposta. Exemplo: Variedades de respostas de sistemas de segunda ordem. Considere um sistema de segunda ordem geral, com dois polos finitos e nenhum zero. • A resposta ao degrau unitário pode então ser obtida utilizando 𝐶 𝑠 = 𝑅(𝑠)𝐺(𝑠), em que 𝑅 𝑠 = 1/𝑠. • O termo no numerador é simplesmente uma escala ou um fator de multiplicação da entrada que pode assumir qualquer valor sem afetar a forma dos resultados deduzidos. Caso 1: Resposta Superamortecida. Para a entrada degrau, temos • A função possui um polo na origem, proveniente da entrada em degrau unitário; • O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante. • Possui dois polos reais provenientes do sistema; • Cada um dos dois polos do sistema no eixo real gera uma resposta natural exponencial. • A inversa de Laplace pode ser dada por:      2 9 9 ( ) 7,854 1,146 9 9 C s s s s s s s       7,854 1,146 1 2 3 ( ) t t c t K K e K e      Resposta Superamortecida: diagrama de polos e resposta ao degrau Observe que os polos nos dizem a forma da resposta sem o calculo tedioso da transformada inversa de Laplace. Caso 2: Resposta Subamortecida. Para a entrada degrau, temos • A função possui um polo na origem, proveniente da entrada em degrau unitário; • O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante. • Possui dois polos complexos provenientes do sistema; • A parte real do polo corresponde à frequência de decaimento exponencial da amplitude da senoide, enquanto a parte imaginaria do polo corresponde à frequência da oscilação senoidal. • A inversa de Laplace pode ser dada por:      2 9 9 ( ) 2 9 1 8 1 8 C s s s s s s i s i           1 1 2 3 ( ) cos 8 sin 8 t c t K e K t K t     Resposta Subamortecida: diagrama de polos e resposta ao degrau Observe que os polos nos dizem a forma da resposta sem o calculo tedioso da transformada inversa de Laplace. A figura mostra uma resposta senoidal amortecida geral de um sistema de segunda ordem. • A resposta transitória consiste de uma amplitude exponencial- mente decrescente gerada pela parte real do polo, multiplicada por uma forma de onda senoidal gerada pela parte imaginaria do polo. Considerações: Resposta Subamortecida • A constante de tempo do decaimento exponencial é igual ao inverso da parte real do polo. • O valor da parte imaginaria é a frequência real da senoide. A esta frequência senoidal é dado o nome de frequência de oscilação amortecida, 𝜔𝑑. Caso 3: Resposta Não Amortecida. Para a entrada degrau, temos • A função possui um polo na origem, proveniente da entrada em degrau unitário; • O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante. • Possui dois polos imaginários provenientes do sistema; • Os dois polos no eixo imaginário geram uma resposta natural senoidal cuja frequência é igual à posição dos polos imaginários (±3𝑖). • A inversa de Laplace pode ser dada por:      2 9 9 ( ) 0 3 0 3 9 C s s s i s i s s          1 2 3 ( ) cos3 sin3 c t K K t K t    Resposta Não Amortecida : diagrama de polos e resposta ao degrau Observe que a ausência de uma parte real no par de polos corresponde a uma exponencial que não apresenta decaimento. Matematicamente, a exponencial é 𝑒−0𝑡 = 1. Caso 4: Resposta Criticamente Amortecida. Para a entrada degrau, temos • A função possui um polo na origem, proveniente da entrada em degrau unitário; • O polo da entrada na origem gera a resposta forçada constante. • Possui dois polos reais iguais provenientes do sistema; • Os dois polos no eixo real em −3 geram uma resposta natural que consiste de uma exponencial e de uma exponencial multiplicada pelo tempo, em que a frequência exponencial é igual à posição dos polos reais. • A inversa de Laplace pode ser dada por:      2 9 9 ( ) 3 3 6 9 C s s s s s s s       3 3 1 2 3 ( ) t t c t K K e K te      Resposta Criticamente Amortecida : diagrama de polos e resposta ao degrau Essas respostas são as mais rápidas possíveis sem ultrapassagem, que é uma característica da resposta subamortecida. Respostas ao degrau para os quatro casos de amortecimento: Observe que o caso criticamente amortecido é o divisor entre os casos superamortecidos e os casos subamortecidos, e é a resposta mais rápida sem ultrapassagem. • Sistema de Segunda Ordem Geral As duas grandezas definidas agora e denominadas de frequência natural e fator de amortecimento, podem ser utilizadas para descrever as características da resposta transitória de segunda ordem. Frequência Natural, 𝑛: é a frequência natural de oscilação do sistema sem amortecimento. Exemplo: A frequência de oscilação de um circuito RLC em série com a resistência em curto-circuito seria a frequência natural. 2 (s) ( ) 1 C L V V R Cs s   0 Cs 1 Fator de Amortecimento,  : Essa grandeza considera a razão entre a frequência de decaimento exponencial e a frequência natural.  = Frequência de decaimento exponencial Frequência natural (𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) = 1 2𝜋 Período natural (segundos) Constante de tempo exponencial sendo, período natural = 2𝜋/ e constante de tempo exponencial = 1/𝑎. Assim, o sistema de segunda ordem geral pode ser transformado para mostrar as grandezas  e 𝑛. Logo, O termo 𝐾 no numerador é simplesmente uma escala ou um fator de multiplicação da entrada. 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 n n n K G Kb G s s as b s s s           Demonstração: (𝑏𝑛2) Sem amortecimento, os polos estariam no eixo 𝑗, e a resposta seria uma senoide não amortecida. Para que os polos sejam imaginários puros, 𝑎 = 0. Portanto, Por definição, a frequência natural, 𝑛, é a frequência de oscilação desse sistema. Uma vez que os polos desse sistema estão no eixo 𝑗 em ±𝑗 𝑏, Portanto, 2 ( ) b G s s b   n b   2 n b   Demonstração: (𝑎2𝑛) Admitindo um sistema subamortecido (dois polos complexos em −𝜎 ± 𝑗), os polos complexos possuem uma parte real, 𝜎, igual a −𝑎/2. A magnitude desse valor é então a frequência de decaimento exponencial. Portanto  = Frequência de decaimento exponencial Frequência natural (𝑟𝑎𝑑 𝑠 ) = 𝜎 𝑛 = 𝑎/2 𝑛 a partir do que Exercício 1: Dada 𝐺(𝑠), determine  e 𝑛. Resp.:  = 0,35 e 𝑛 = 6. 2 n a   2 36 ( ) 4,2 36 G s s s    A posição dos polos da função de transferência, pode ser calculada, em relação as grandezas  e 𝑛, a partir da equação: Demonstração (Fórmula de Bhaskara): 2 2 2 ( ) 2 n n n K G s s s       2 1,2 1 n n s             2 2 2 2 1,2 1,2 2 2 1,2 1,2 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 1 1 2 n n n n n n n n n s s s s                                A equação anterior revela que os diversos casos de resposta de segunda ordem são uma função de . Continuação: Respostas de segunda ordem em função do fator de amortecimento, . Exercício 2: Determine o valor de  e descreva o tipo de resposta. Resp.: 𝑎  = 1,155, superamortecido; 𝑏  = 1, criticamente amortecido; 𝑐  = 0,894, subamortecido.