Modelagem no Domínio do Tempo-2023-2

CONTROLE 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Modelagem no domínio do tempo • Representação geral no espaço de estados Introdução • Existem duas modelagens para analisar e projetar sistemas de controle. • A 1º técnica é denominada análise na frequência, no qual utiliza- se a transformada de Laplace. • A 2º é denominada de análise no tempo, no qual descreve-se o sistema na forma de espaço de estado. Introdução • A primeira desvantagem da modelagem na frequência é sua limitação de aplicabilidade. Neste caso, só podemos utilizar a modelagem na frequência em sistemas lineares, invariante no tempo ou em sistemas que podem ser aproximados a estas características. • A maior vantagem da análise no domínio da frequência é que podemos facilmente obter informações sobre a resposta transitória e resposta de regime. • A modelagem em espaço de estado, também referida como modelagem moderna, é um método unificado para análise e projeto que pode ser utilizado em muitos tipos de plantas. • A abordagem do espaço de estados pode ser utilizada para representar, por exemplo, sistemas não lineares, sistemas variantes no tempo, sistemas com múltiplas entradas e saídas. • As equações diferenciais que descrevem a dinâmica do sistema são organizadas na forma matricial. Definições • Variáveis de estado: O menor conjunto de variáveis do sistema linearmente independentes, tal que, os valores dos elementos do conjunto no instante 𝑡0 em conjunto com funções de entrada conhecidas determinam completamente o valor de todas as variáveis do sistema para todo 𝑡 ≥ 𝑡0. • Vetor de estado: Um vetor cujos elementos são as variáveis de estado. Espaço de Estados de Circuitos Elétricos • Os circuitos elétricos trabalham basicamente com 3 componentes passivos: resistor, capacitor e indutor. Exemplo 1: Considere o circuito 𝑅𝐿𝐶. Como o circuito é de 2º ordem, duas equações diferenciais de 1º ordem simultâneas são necessárias para achar a solução para duas variáveis de estado. Eq. Dif. é uma equação que apresenta derivadas de uma função desconhecida (a incógnita da equação). Escolhemos 𝑖(𝑡) e 𝑉𝑐(𝑡), tensão no capacitor, como variáveis de estado. Quais variáveis e constantes podem aparecer no nosso modelo Agora, é preciso encontrar as equações diferenciais 𝑉𝐿(𝑡) precisa ser substituído. Então, realizando-se o somatório de tensão na malha do circuito, temos ( ( ) ( ) ( ) , , ) ) ( C C i C di t dt t v t V t R L dV t dt            ( ( ) ) L L V t L L di t dt t di t dt V      0 ( ) ( ) ( ) C R L V tensões v t V t Ri t V t       Tabela anterior ... temos Fazendo a substituição, chega-se em: Agora, vamos encontrar 𝑉𝐶(𝑡),     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) L C VR L C VR v t Ri t V t v t Ri t V t t V V t        ( ( ) ) ( ) C ( ) d L t i t dt v t Ri t V    ( ( ) ( ) ( ) , , ) ) ( C C i C di t dt t v t V t R L dV t dt        0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) C t C dV t V t i t dt i t C C t d     Tabela anterior Reorganizando as equações anteriores, temos Organizando na forma matricial, Considere que o sinal de saída é a tensão no capacitor, logo: ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) C VC t R v t L i t L L i t C d dV t d i dt t t      ( ) ( ) ( ) 1 1 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 ) ( ( ) C u t x t B A x C t d t R i t L L L v t V t C dV t i dt d t                                               ( ) ( ) ( ) ) ( ) 0 1 ( ( ) ( 0 ( ) ) C C u t C D x t i t y V t v t V y t t t           A figura abaixo representa o diagrama de blocos do sistema anterior. Note que as saídas dos integradores são variáveis de estado. Como alterar o sinal de saída? ... Deve-se ajustar as matrizes 𝐶 e 𝐷. Por exemplo:     ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ? ? ? C u t C D x t i t y t v t V t                                   mede-se mede 1 -se mede-se med 1 0 0 0 0 0 1 e 0 1 -se R L C t D y t i t V t R v t R V   Tensão da fonte: Informação conhecida     ( 1 ( ) ( ) ) ( ) ( ) 1 ( ) L L C C v t Ri t V t i t V V t t v t R t V        Equação inicial: somatório de tensão na malha Pode-se ter acesso a várias saídas ao mesmo tempo ... Por exemplo:         1 2 3 ( ) ( ) 4 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) C R C u t x t L C D V t y i t i t y v t V t V t R R t y V y                                                              Logo, a representação no espaço de estados de um sistema linear e invariante no tempo pode ser dada pelo seguinte conjunto de equações 𝑥 = vetor de estado; 𝑥 = derivada do vetor de estado em relação ao tempo; 𝑦 = vetor de saída; 𝑢 = vetor de entrada ou vetor de controle; 𝐴 = matriz do sistema; 𝐵 = matriz de entrada; 𝐶 = matriz de saída; 𝐷 = matriz de transmissão direta; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t y t Cx t Du t     O diagrama de blocos, representado no espaço de estados, pode ser visto abaixo ( ) ( ) ( ) y t Cx t Du t   ( ) ( ) ( ) x t Ax t Bu t   Exemplo 2: Considere o circuito 𝑅𝐿𝐶 com duas malhas. Obtenha uma representação em espaço de estados. Escolhemos 𝑖1 𝑡 e 𝑖2(𝑡), correntes que passam sobre os indutores 𝐿1 e 𝐿2, respectivamente, e 𝑣𝐶(𝑡), tensão no capacitor 𝐶, como variáveis de estado. Considere que a saída seja a tensão no resistor 𝑅 e a tensão no capacitor 𝐶. Sistema de 3º ordem Quais variáveis e constantes podem aparecer no nosso modelo 1 1 2 1 2 2 ( ) ( ), ( ) , , , ( ) ( ) ) ) ( ( C a C i t v t i t R L L C t dv t t d di t dt di t d v t          Solução: As equações de malha são:     1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 0 eq 1 0 0 eq 2 a a c c c c di dt di d v Ri L v Ri t s t di dt di l v v v v ensõe L L L nas L ma has L dt                      1 1 2 1 2 2 ( ) ( ), ( ) , , , ( ) ( ) ) ) ( ( C a C i t v t i t R L L C t dv t t d di t dt di t d v t          Ainda, a relação corrente-tensão no capacitor é dada por:     0 1 2 ( ) ( ) q ) 1 1 ( ( ) ) 3 ( 1 e t C C C C C dv t v C t dt dv i t dt C d C i i t i t t        Tabela 1 1 2 1 2 2 ( ) ( ), ( ) , , , ( ) ( ) ) ) ( ( C a C i t v t i t R L L C t dv t t d di t dt di t d v t          Substituir 𝒊𝑪(𝒕) Organizando na forma matricial, Como mencionado, a saída será a tensão no resistor 𝑅 e a tensão no capacitor 𝐶, ou seja, Logo,   1 1 1 1 2 2 ( ) 2 ( ) ( ) 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 a u t x t B x c c t A R L L L i d d C i dt di dt v i v L d C v t                                                                    1 c Ri y v          1 2 ( ) ( ) 0 0 0 0 0 1 0 a u t C c D x t v i R y i v                         O nº de colunas de 𝑩 indica o nº de entradas; e o nº de linhas de 𝑪 o nº de saídas. Logo, neste caso, o sistema possui uma entrada e duas saídas. 𝑉𝑅 Exemplo 3: Considere o circuito 𝑅𝐿𝐶. Obtenha uma representação em espaço de estados para o circuito. Escolhemos 𝑖2(𝑡), corrente que passa sobre o indutor, e 𝑣𝑐(𝑡), tensão no capacitor, como variáveis de estado. Solução: As equações de malha são: Ainda, a relação corrente-tensão no capacitor é dada por Eliminando 𝑖1(𝑡) e 𝑖3(𝑡) das equações anteriores, temos   1 2 2 2 1 3 4 2 0 2 1 0 3 0 C C v i i di tensões nas malhas i i v dt i v                2 3 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 ( ) 3 2 C C C C di i i v i v v dv t i i dt dt i v               2 2 3 3 C 1 2 = F 2 C C dv i i dt dv i i C dt            A equação anterior pode ser organizada na forma matricial, Considere que a saída seja a tensão no resistor de 2Ω da malha mais à direita, ou seja, ou seja, Vale lembrar que a forma de representação em espaço de estados não é única. 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 1/ 2 2 2 / 3 0 ( ) u t C A B x t x t dvC t di i dt v v dt                                    3 3 2 2 mas 3 3 c c v y i i y v       2 ( ) ( ) 0 2 / 3 0 D u t C C x t i y v v        