Slide Aula 9 Controle1-2018 1

Sistemas de Controle Porém, Np - Nz = 3, então: θ = \frac{(2i + 1)180°}{Np - Nz}, i = 0, \pm1, \pm2, \cdots Retornando ao exemplo, os ângulos das assíntotas serão: θ = \frac{(2i + 1)180°}{3 - 0} = (2i + 1)60°, i = 0, \pm1, \cdots | i | θ | |-----|-----| | 0 | 60° | | 1 | 180° | | 2 | 300° | | -1 | -60° | | -2 | -180° | | -3 | -300° | Porém, 180° = -180°, 60° = -300° e -60° = 300°. Deste modo. θ1 = 60°, θ2 = -60° e θ3 = 180°. Sistemas de Controle Quando K se aproxima de +∞, os ramos do root-locus, assintotam retas com inclinação \frac{(2i + 1)180°}{Np - Nz}, i = 0, \pm1, \pm2, \cdots (5) EXEMPLO Considere KG(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+4)} . Deste modo temos: Np = 3 e Nz = 0. No plano complexo teremos. Fazendo o ponto P crescer infinitamente Sistemas de Controle Quando K se aproxima de +∞, os ramos do root-locus, assintotam retas com inclinação \frac{(2i + 1)180°}{Np - Nz}, i = 0, \pm1, \pm2, \cdots (5) EXEMPLO Considere KG(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+4)} . Deste modo temos: Np = 3 e Nz = 0. No plano complexo teremos. P Imag(s) Re(s) θ1 θ2 θ3 -2000 -1000 -1 0 Sistemas de Controle controlador planta sensor Sistemas de Controle O objetivo do método é estabelecer regras simples para traçar o lugar geométrico formado pelas raízes de 1 + G(s)H(s) quando K variar de 0 a +∞, sem o conhecimento explícito das raízes. Deseja-se estudar a seguinte equação: 1 + KG(s)H(s) = 0, para 0 < K < +∞. (1) EXEMPLO Considere o seguinte sistema de controle, U(s) Y(s) K 5 s(s+20) 1 Sistemas de Controle Podemos verificar a posição dos pólos de malha fechada para o sistema de controle ilustrado anteriormente quando K se assume os valores K = 0 até K = +∞. Vamos desenhar o root-locus do sistema calculando-se as raízes do denominador da função de transferência de malha fechada, então para cada valor de K temos, Y(s) U(s) = 5K s(s+20) 5K s² + 20s + 5K Os pólos de malha fechada são: −20 ± √20² − 4.5.K 2 = −10 ± √100 − 5K (2) Fórmula de Bhaskara Sistemas de Controle s_{1,2} = -10 \pm \sqrt{100 - 5K_a} \qquad (2) Variando-se o valor de K_a em (2), podemos montar a seguinte tabela. \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline K_a & s_1 & s_2 \\ \hline 0 & -20 & 0 \\ 1 & -19,75 & -0,25 \\ 5 & -18,66 & -1,34 \\ 10 & -17,07 & -2,93 \\ 20 & -10 & -10 \\ 30 & -10 + j7,07 & -10 - j7,07 \\ 40 & -10 + j14,14 & -10 - j14,14 \\ \rightarrow \infty & -10 + j\infty & -10 - j\infty \\ \hline \end{tabular} Sistemas de Controle Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus, \text{Imag}(s) K_a = 0 -20 Re(s) K_a = 0 0 Sistemas de Controle Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus, \text{Imag}(s) K_a = 0 K_a = 1 -20 Re(s) K_a = 0 0 Sistemas de Controle Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus, K_a = 0 K_a = 1 K_a = 5 K_a = 10 K_a = 20 K_a = 30 K_a = 0 -20 -10 0 Re(s) Imag(s) Sistemas de Controle Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus, K_a = 0 K_a = 1 K_a = 5 K_a = 10 K_a = 20 K_a = 30 K_a = 40 K_a = 0 -20 -10 0 Re(s) Imag(s) Sistemas de Controle Com os dados da tabela anterior, podemos traçar o root-locus, K_a = 0 K_a = 1 K_a = 5 K_a = 10 K_a = 20 K_a = 30 K_a = 40 K_a = 0 K → ∞ K → ∞ -20 -10 0 Re(s) Imag(s) Sistemas de Controle Regra 1 Os ramos do root-locus começam nos pólos de G(s)H(s), nos quais K = 0. Os ramos terminam nos zeros de G(s)H(s), inclusive nos zeros no infinito. O número de zeros no infinito é igual a: N_{Z_\infty} = N_p - N_z sendo, N_p : número de pólos de G(s)H(s) N_z : número de zeros de G(s)H(s) Exemplo Suponha que G(s) e H(s) são: G(s) = \frac{s + 2}{s^2} e H(s) = \frac{s + 5}{s + 4} Sistemas de Controle • As raízes de 1 + KG(s)H(s) serão determinadas por: 1 + K \frac{(s + 2)(s + 5)}{s^2(s + 4)} = 0 ou ainda, s^2(s + 4) + K (s + 2)(s + 5) = 0 \hspace{2mm} (3) i) se K = 0, a equação acima ficará: s^2(s + 4) = 0 s_1 = s_2 = 0; \space s_3 = -4 Note que esses são os pólos de G(s)H(s). Sistemas de Controle ii) Se K \rightarrow \infty, para analisar este intervalo, vamos reescrever (3) K = - \frac{s^2(s + 4)}{(s + 2)(s + 5)} \hspace{2mm} (4) deste modo, caso K \rightarrow \infty, o lado direito de (4) é igual a +\infty se e somente se: • s \rightarrow -2 (pela esquerda) • s \rightarrow -5 (pela esquerda) • s \rightarrow -\infty Neste caso • s_1 = -2 e s_2 = -5 são os zeros de G(s)H(s). • s \rightarrow -\infty é um zero no infinito. • Temos que: N_p = 3 e N_z = 2, logo N_{Z_\infty} = 3 - 2 = 1. Regra 2 Sistemas de Controle Isto é: Se polos + zeros = número impar, desenha- se o root-locus à esquerda. Sistemas de Controle 2 (polos) + 1 (zero) = 3 (impar) – desenha-se o root-locus 2 (polos) + 1 (zero) = 3 (impar) – desenha-se o root-locus Sistemas de Controle 2 (polos) + 1 (zero) = 3 (impar) – desenha-se o root-locus Sistemas de Controle 2 (polos) + 1 (zero) = 3 (impar) – desenha-se o root-locus 3 (polos) + 1 (zero) = 4 (par) – não desenha-se o root-locus 3 (polos) + 2 (zero) = 5 (impar) – desenha-se o root- locus Sistemas de Controle Sistemas de Controle • Esta regra é facilmente obtida verificando-se a condição de ângulo da equação 1 + \(KG(s)H(s) = 0\), que pode ser reescrita na forma: \(KG(s)H(s) = -1, K > 0\) • Para que esta equação seja verdadeira, o ângulo deverá ser: \(\angle KG(s)H(s) = \angle -1 = (2i + 1)180°; i = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\) Observação 1 Considere \(KG(s)H(s) = \frac{s + 1}{s(s + 2)}\) e queremos avaliar o ângulo deste sistema em \(s = p\) ou \(\bigg|_{s=p}\) \(\angle KG(s)H(s)\bigg|_{s=p} = \angle(s + 1) - \angle(s(s + 2))\) 2 2 c a b = + arctan 4 0,9273 rad = 53,1294 (1 rad = 57,295 ) 3 180 53,1 126,9   =     ∴ − = o o o o Cálculo da magnitude: Teorema de Pitágoras Cálculo do ângulo: o ângulo é medido no sentido antihorário, a partir do eixo real Sistemas de Controle Sistemas de Controle • A magnitude de \(F(s)\) em qualquer ponto \(s\) é dada por: \(M = \frac{\prod_{i=1}^{m} |(s + z_i)|}{\prod_{j=1}^{n} |(s + p_j)|}\), Portanto, \(F(s)\bigg|_{s=-3+j4} = \frac{\sqrt{20}}{5\sqrt{17}}\angle(116, 6° - 126, 9° - 104, 0°) = 0, 217\angle - 114, 3°\) • O ângulo de \(F(s)\) em qualquer ponto \(s\) é dada por: \(\theta = \sum_{i=1}^{m}\angle(s + z_i) - \sum_{j=1}^{n}\angle(s + p_j)\) Sistemas de Controle Regra 3 Quando K se aproxima de +∞, os ramos do root-locus, assintotam retas com inclinação \(\frac{(2i + 1)180°}{N_p - N_z}\); \(i = 0, \pm 1, \pm 2, \cdots\) (5) Exemplo Considere \(KG(s)H(s) = \frac{K}{s(s+1)(s+4)}\). Deste modo temos: \(N_p = 3\) e \(N_z = 0\). No plano complexo teremos. Sistemas de Controle Regra 4 O ponto de partida das assíntotas é o centro de gravidade (C.G.) da configuração de pólos e zeros, ou seja: C.G. = (Σpólos - Σzeros) / (N_p - N_z) EXEMPLO Para o sistema do exemplo anterior, onde G(s)H(s) = 1 / (s(s + 1)(s + 4)) teremos, 1. N_p = 3 e N_z = 0 2. os pólos são: p_1 = 0, p_2 = -1 e p_3 = -4 3. os zeros são: nenhum 60o −60 o 180o assíntota Sistemas de Controle assíntota Regra 5 Sistemas de Controle desprezado, pois não pertence ao root–locus Sistemas de Controle Na figura abaixo podemos visualizar o ponto de ramificação do root-locus. −0,4648 0,5 ( ) ( ) ( 0,5) s G s H s s s + = − num=[1 0.5]; den=conv([1 -0.5],[1 0]); rlocus(num,den); [k,polo]=rlocfind(num,den) 3 2 1 ( ) ( ) 5 6 s G s H s s s s + = + + num=[1 1]; den=[1 5 6 0]; [A,B,C,D]=tf2ss(num,den); sys=ss(A,B,C,D); rltool(sys) num=[1 1]; den=[1 5 6 0]; sys=tf(num,den); rltool(sys) ou Sistemas de Controle Sistemas de Controle Exercício Trace o root-locus de um sistema de controle com realimentação sendo que: KG(s)H(s) = K / (s^3 + 3s^2 + 2s) U(s) Y(s) K G(s) H(s)