Função de Transferência ft -2023-2

CONTROLE 1 Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Cornélio Procópio Resumo • Função de Transferência (FT) • Função de Transferência (FT) de Sistemas Mecânicos Translacionais Movimento que um objeto realiza de um ponto a outro Exemplo de aplicação: sistema de suspensão ativa Fonte: https://www.researchgate.net/figure/High-bandwidth-active-suspension-system_fig3_301776485 Exemplo de aplicação: sistema de suspensão ativa Fonte: https://www.quanser.com/video/active-suspension/ FT de Sistemas Mecânicos Translacionais  Os sistemas mecânicos trabalham basicamente com três componentes lineares passivos: mola, massa e amortecedor viscoso.  A mola e a massa são elementos armazenadores de energia.  O amortecedor viscoso é um dissipador de energia.  Na próxima tabela, 𝐾, 𝑓𝑣 e 𝑀 são chamados de constante de mola, coeficiente de atrito viscoso e massa, respectivamente. Relações força-velocidade, força-deslocamento e impedância translacional para molas, amortecedores viscosos e massa Componente | Força-velocidade | Força-deslocamento | Impedância Z_M(s) = F(s)/X(s) Mola K x(t) f(t) f(t) = K ∫[0, t] v(τ)dτ f(t) = Kx(t) K Amortecedor viscoso f_v x(t) f(t) f(t) = f_v v(t) f(t) = f_v dx(t)/dt f_v s Massa M x(t) f(t) f(t) = M dv(t)/dt f(t) = M d²x(t)/dt² Ms² Observação: o seguinte conjunto de símbolos e unidades é utilizado neste livro: f(t) – N (newtons), x(t) – m (metros), v(t) – m/s (metros/segundo), K – N/m (newtons/metro), f_v – N·s/m (newton·segundos/metro), M – kg (quilogramas = newton·segundos²/metro). • Sistema mecânico simples Exemplo 1: Considere o sistema mecânico: Determine a FT que relaciona o deslocamento, 𝑋(𝑠) (saída), à força motora 𝐹 𝑠 (entrada).           s x t saída FT entrada f X s G s t F     Objetivo Admitimos que a massa esteja se movendo para a direita. Assim, apenas a força aplicada é orientada para a direita; todas as demais forças dificultam o movimento e atuam para se opor a ela.  forças  0 Então, podemos escrever,                     2 2 2 1 1 v v v X s F s Ms f s K Ms X s f sX s KX s F s G s Ms f s K X s F s                 forças  0  Objetivo OK • Exercício 1: Para o mesmo sistema mecânico: Determine a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝑉(𝑠) 𝐹(𝑠). Resp.: Pelo diagrama de corpo livre, temos: 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) ou ( ) 1 ) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) v v v v V s M s G s sV s f s X s F F V s K V s K s F s f Ms f s K V s F s K s Ms f Ms s V s F s s s s s                             velocidade Exercício 1, continuação: E a aceleração? 2 ( ) ( ) ( ) v V s s F s Ms f s K G s     aceleração 2 ( ) ( ) ( ) ( ) v V s s F s Ms f s s K A s s F s     • Sistemas mecânicos complexos Exemplo 2: Considere o sistema mecânico de duas massas: Determine a relação, 𝑋2(𝑠) (saída) e 𝐹(𝑠) (entrada).           2 2 x t saída s FT entrada f t X s G s F     Objetivo Atuação das forças em 𝑀1 (diagrama de corpo livre): Todas forças sobre 𝑀1: A transformada de Laplace da equação de movimento é (fig. c):                   1 3 3 1 3 3 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( v v v v v v M s K K f f s M s X s F s f s K X s f f s K K X s f s K X s F s                       forças  0  𝟏º equação de movimento Atuação das forças em 𝑀2 (diagrama de corpo livre): Todas forças sobre 𝑀2: A transformada de Laplace da equação de movimento é (fig. c):                   3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 1 2 2 1 2 2 3 2 ( ) 0 v v v v v v K K f f s M s X s f s K X s f s K X s M s f f s K K X s                       forças  0  𝟐º equação de movimento Organizando matricialmente as expressões das massas 𝑀1 e 𝑀2,                   1 3 3 3 2 3 2 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 3 0 v v v v v v M s f f s K K f s K X s F s X s f s K M s f f s K K b                                                               3 2 3 1 3 3 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 v v v v v v f s K X s M s f M s f f s K K X s f s K X f s K K X s s F s                       Pela regra de Cramer, i.e.:         1 3 3 3 2 3 2 1 1 2 2 2 2 2 2 3 ( ) ( ) v v v v v v M s f f s K K f s K f s K M s f f s K K                                                             1 3 3 3 2 1 3 3 1 2 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 1 2 2 2 2 2 4 3 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 3 1 1 2 1 2 3 3 1 2 det det e 0 det d t + + v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v M s f f s K K f s K X s f s K X s M M s M f M f M f M f s f f f f f f K M K M K M K M s K f K f K f K f K f K K F s b F s f s K                                                 1 3 2 3 K K  K K Logo, a Função de Transferência, 𝑋2(𝑠)/𝐹(𝑠), é: DICA: Em sistemas mecânicos, a sugestão é analisar separadamente os blocos. Por exemplo, considere 𝑀2 parado e movimente 𝑀1 para a direita, e depois realize a análise inversa.                   3 3 2 2 2 2 de t det v v f s K f s K X s X F s F s s G s         Objetivo OK • Exercício 2: Para o sistema mecânico translacional: Determine a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝑋1(𝑠) 𝐹(𝑠) . Resp.: 1 2 2 ( ) 1 1 ( ) 5 4 v X s F s Ms f s s s     • Exercício 3: Para o sistema mecânico translacional: Determine a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝑋2(𝑠) 𝐹(𝑠) . • Exercício 3: Para o sistema mecânico translacional: Determine a função de transferência 𝐺 𝑠 = 𝑋2(𝑠) 𝐹(𝑠) . Resp.:           2 3 2 2 1 2 1 2 . . . . . d d d d X s k s F s m k s m k s k k k k s k k     